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第1章 有理数 单元测试 培优卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．东、西为两个相反方向，如果表示一个物体向西运动，那么物体向东运动应记作（ ）
A． B． C． D．
2．的相反数是（ ）
A．3 B． C． D．
3．如图，有理数、在数轴上的对应点如图所示，则下列式子中正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．数轴上一点表示的有理数为，则距离点3个单位长度的点所表示的有理数应为（ ）
A．1 B． C． D．1或
5．在数轴上A点表示的数为，点B表示的数为2，则线段的长为（ ）
A． B．5 C．6 D．7
6．下列各数中小于的是（ ）
A． B． C．0 D．1
7．如图，已知数轴上、、、四点对应的分别是整数、、、，且，那么原点应该是点（ ）
A．A B．B C．C D．D
8．a、b是有理数，且，用数轴上的点来表示a、b，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．对于|m－1|，下列结论正确的是（ ）
A．|m－1|≥|m| B．|m－1|≤|m| C．|m－1|≥|m|－1 D．|m－1|≤|m|－1
10．若关于x的方程有四个实数解，则化简的结果是（ ）
A． B．0 C．2 D．4
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．化简： ．
12．如果和互为相反数，那么 ．
13．有理数，，0，，，，，2003中，负分数有 个．
14．给出下列各数：，，，，，其中分数的个数是，非正数的个数是，则 ．
15．若，则 ， ．
16．有理数x在数轴上的位置如图听示，化简： ．
17．若，那么 ．
18．如图，点A，B，C在数轴上对应的实数分别为a，b，c，则下列说法正确的是 （填序号）．
①；②；③若点A与点到原点0的距离相等，则；④点A，B间的距离可以表示为．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）把下列各数填到相应的集合中7，－9，－301，3.14，，＋2004，0，．
解：负数集合：{ …}；
分数集合：{ …}；
非负整数集合：{ …}；
正有理数集合：{ …}．
20．（8分）请解答下列问题．
（1）请数轴上用点表示数的相反数；
（2）如果该数轴上点与点之间的距离是，那么点B表示的数是 ．
21．（10分）根据这条性质，解答下列问题：
（1）当________时，有最小值，此时最小值为________；
（2）已知，互为相反数，且，，求的值．
22．（10分）某单位对员工“学习强国”每日的分数进行统计，规定多于分的记作正，少于分的记作负，小芳学习的第一周每日的积分单位：分为：，，，，，，
（1）求小芳周三的学习积分是多少？
（2）小芳哪一天的学习积分最少？是多少？哪一天的学习积分最多，是多少？
（3）这一周小芳的分数累计为多少分？
23．（10分）如图，点对应的有理数为，点对应的有理数为，点对应的有理数为，且，点向左移动个单位长度到达点，向右移动个单位长度到达点．
（1）___________，___________；
（2）若将数轴折叠，使得点与点重合，求与点重合的点表示的数；
（3）若点从点开始以个单位长度/秒的速度向左运动，同时，点从点开始以个单位长度/秒的速度向右运动，点从点开始以个单位长度/秒的速度向右运动，设运动时间秒，则的值是否随着的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
24．（12分）阅读下列材料，回答问题：“数形结合”的思想是数学中一种重要的思想．例如：在我们学习数轴的时候，数轴上任意两点，A表示的数为a，B表示的数为b，则A，B两点的距离可用式子（表示，例如：5和的距离可用或表示．
（1）【知识应用】我们解方程时，可用把看作一个点x到5的距离，则该方程可看作在数轴上找一点P（P表示的数为x）与5的距离为2，所以该方程的解为或所以，方程的解为___（直接写答案，不离过程）．
（2）【知识拓展】我们在解方，可以设A表示数5，B表示数，P表示数x，该方程可以看作在数轴上找一点P使得，因为，所以由可知，P在线段AB上都可，所以该方程有无数解，x的取值范围是．类似的，方程的___（填“唯一”或“不唯一”），x的取值是___，（“唯一”填x的值，“不唯一”填x的取值范围）；
（3）【拓展应用】解方程
参考答案
1．A
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示，“正”和“负”相对．
解：东、西为两个相反方向，如果表示一个物体向西运动，那么物体向东运动应记作．
故选：A．
【点拨】本题考查了相反意义的量，熟练掌握正负数的意义是解答本题的关键．在一对具有相反意义的量中，规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
2．B
【分析】根据“只有符号不同的两个数叫做互为相反数”以及去绝对值解答．
解：∵，
∴的相反数是．
故选：B
【点拨】本题考查了相反数以及绝对值，掌握相反数的定义是关键．
3．C
【分析】由数轴得出，，再进行逐一判断即可得到答案．
解：由数轴可得：，，
A、，故原选项错误，不符合题意；
B、，故原选项错误，不符合题意；
C、，故原选项正确，符合题意；
D、，故原选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点拨】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，由数轴得出，，是解题的关键．
4．D
【分析】分点位于点的左侧和点位于点的右侧两种情况，分别求解即可得到答案．
解：点表示的有理数为，点距离点3个单位长度，
当点位于点的左侧时，点所表示的有理数应为：，
当点位于点的右侧时，点所表示的有理数应为：，
综上所述：距离点3个单位长度的点所表示的有理数应为：1或，
故选：D．
【点拨】本题考查了有理数与数轴，体现了分类讨论的思想，熟练掌握点可能位于点的左侧，也有可能位于点的左侧，是解题的关键．
5．D
【分析】根据数轴上两点间的距离公式列式计算即可．
解：，
故选：D．
【点拨】本题考查了数轴上两点之间的距离，若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离．
6．A
【分析】根据有理数大小比较规则，正数大于零，零大于负数；两个负数比较，绝对值大的反而小，即可求解．
解：∵，∴，A选项符合题意；
∵，∴，B选项不符合题意；
∵，∴C、D选项不符合题意；
故选：A
【点拨】此题考查了有理数大小的比较，解题的关键是掌握有理数大小比较规则．
7．B
【分析】先根据数轴上各点的位置可得到，，，再分别用表示出，，，再代入，求出的值即可
解：由数轴上各点的位置可知，，，
故，，，代入
得，，
解得
所以故数轴上原点对应的点是点，
故选：B．
【点拨】本题考查的是数轴的特点，即数轴上右边的数总比左边的大，两点间的距离为两点间的坐标差．
8．A
【分析】根据已知条件可以判断出a到原点的距离大于b到原点的距离，据此判断即可.
解：∵a、b是有理数，，
∴，
故选：A．
【点拨】本题主要考查了数轴上点的位置，属于基础题，要熟练掌握.
9．C
【分析】分情况讨论m的值，利用绝对值的代数意义化简得到结果，即可求解．
解：①当m＜1时，|m－1|＝－m+1，可得|m－1|＞|m|－1
②当m≥1时，|m－1|＝m－1，可得|m－1|＝|m|－1，
综上所述：|m－1|≥|m|－1，
故选：C．
【点拨】本题主要考查了绝对值，利用了分类讨论的思想，熟练掌握绝对值的代数意义是解本题的关键．
10．C
【分析】由可化简得,在化简的过程中判断的符号，从而对题中的绝对值进行化简．
解：由有四个实数解，可知a、b均不为0，且，故，
∴，
化简得可知，
∴，
∴
故选：C．
【点拨】本题考查的是绝对值的相关计算，理解绝对值方程四个解的意义是难点，会判断绝对值符号中的每个代数式的正负是化简的关键．
11．
【分析】根据多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“”号结果为负，有偶数个“”号结果为正，可得答案．
解：，
故答案为：．
【点拨】本题考查了相反数，关键是掌握多重符号的化简．
12．6
【分析】根据相反数的定义求解即可．
解：∵和互为相反数
∴
解得
故答案为6．
【点拨】本题主要考查了相反数的定义，熟知只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键．
13．4
【分析】根据“比0小的分数为负分数，小数可以化为分数”即可得出答案．
解：负分数有：，，，，共4个，
故答案为：4．
【点拨】本题考查了有理数的分类，解题的关键是掌握负分数的定义．
14．
【分析】根据有理数是整数和分数的统称，有限小数和无限循环小数都是分数，可得的值，根据小于或等于零的数是非正数，可得的值，再代入计算即可．
解：∵，，是分数，
∴，
∵，，是非正数，
∴，
∴．
故答案为：．
【点拨】本题考查有理数，求代数式的值．掌握有理数的分类是解题的关键．
15． / 5
【分析】根据绝对值的非负性进行求解即可．
解：∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：，5．
【点拨】本题主要考查了绝对值的非负性，熟知几个非负数相加的结果为0，那么这几个非负数的值都为0是解题的关键．
16．/
【分析】由数轴上表示x的点的位置，得到，利用绝对值的代数意义：负数的绝对值等于它的相反数，去括号合并即可得到结果．
解：根据题意得，
∴，
∴
．
故答案为：．
【点拨】此题考查了整式的加减运算，涉及的知识有：绝对值的代数意义，数轴，去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握法则是解本题的关键．
17．7
【分析】首先根据a的取值范围确定和的符号，然后去绝对值计算即可．
解：，
，，
，
故答案为：7．
【点拨】本题考查了绝对值的知识，解题关键是确定绝对值里面的代数式的符号．
18．①③④
【分析】首先根据点A，B，C在数轴上的位置，可得，据此即可判定①②，再根据求数轴上两点间的距离，即可判定③④
解：根据点A，B，C在数轴上的位置，可得，
，，
故①正确，②错误；
点A与点到原点0的距离相等，，
，，故③正确；
点A，B间的距离可以表示为，故④正确，
故正确的有①③④，
故答案为：①③④．
【点拨】本题考查了利用数轴判定式子是否成立，熟练掌握和运用数轴是解决本题的关键．
19．{-9，-301，…}；{3.14，…}；{ 7,3.14，+2004,0，…}；{ 7,3.14，+2004,0，…}
【分析】根据负数、分数、非负整数、正有理数的定义把有关的数据填入相应的集合即可．
解：负数集合：{-9，-301，…}；
分数集合：{3.14，…}；
非负整数集合：{ 7，0…}；
正有理数集合：{ 7,3.14，+2004,…}．
【点拨】本题考查了有理数、负数、分数、非负整数的定义，熟练掌握有关定义是解题的关键．
20．（1）见分析；（2）或
【分析】（1）先写出的相反数，再在数轴上表示出来即可；
（2）根据题意，进行分类讨论：当点B在点A左边时，当点B在点A右边时．
（1）解：的相反数是，
如图所示，点A即为所求；
（2）解：当点B在点A左边时，点B表示的数为：；
当点B在点A右边时，点B表示的数为：；
故答案为：或．
【点拨】本题主要考查了用数轴上的点表示数，解题的关键是掌握用数轴上点表示数的方法，以及数轴上两点之间的距离计算方法．
21．（1）；；（2）/
【分析】（1）根据，可知，即最小值为，此时，解出即可；
（2）根据，互为相反数，可知，再去绝对值计算即可．
（1）解：∵，
∴当时，有最小值，
∴，
故答案为：；．
（2）解：∵，互为相反数，
∴，
又∵，，
∴
．
【点拨】本题考查了绝对值的非负性，整式的绝对值的求解，对绝对值性质的理解和掌握是解答本题的关键．
22．（1）小芳周三的积分为分；（2）星期天的积分最少为分，星期一的积分最多为分；（3）小芳一周的积分为分
【分析】（1）根据正负数的计算得出结论即可；
（2）根据正负数的计算得出结论即可；
（3）根据正负数的计算得出结论即可．
（1）解：（分），
答：小芳周三的积分为分；
（2）解：星期天的积分最少为（分），
星期一的积分最多为（分），；
（3）解：（分），
（分），
答：小芳一周的积分为分．
【点拨】本题主要考查正负数的概念及计算，熟练掌握正负数的概念及计算是解题的关键
23．（1），；（2）；（3）不会随着的变化而改变，该值是
【分析】（1），点向左移动个单位长度到达点，向右移动个单位长度到达点，根据点的移动即可求解；
（2）根据（1）可知点与点对应的有理数，根据折叠的性质即可求解；
（3）根据各点运动的情况可以用含的式子表示出，，对应的有理数，根据两点之间的距离，分别表示出，，由此即可求解．
（1）解：，点向左移动个单位长度到达点，向右移动个单位长度到达点，
∴，，
故答案为：，．
（2）解：点对应的有理数是，点对应的有理数是，若将数轴折叠，使得点与点重合，
∴折叠点对应的有理数为，且点对应的有理数是，
∴点到折叠点的距离为，
∴与点重合的点表示的数为．
（3）解：的值不会随着的变化而改变．
∵点从点开始以每秒个单位长度的速度向左运动，
∴运动后对应的点为，
∵点从点开始以个单位长度/秒的速度向右运动，
∴运动后对应的点为，
∵点从点开始以个单位长度/秒的速度向右运动，
∴运动后对应的点为，
∴，，
∴，
∴的值不会随着的变化而改变，该值是．
【点拨】本题主要考查数轴上动点的问题，掌握数轴上两点之间的距离的计算方法，点与点之间的有理数表示方法是解题的关键．
24．（1）或；（2）不唯一；；（3）或
【分析】（1）将方程的解看作在数轴上找一点P与的距离为2，进而可得方程的解；
（2）类比题干中的求解方法，进行求解即可；
（3）由题意知，设P点表示的数为x，分类讨论：①若P点在A，B之间，表示出的值，然后列方程求解；②若P点在A点的左边，表示出的值，然后列方程求解；③若点P在B点的右边，表示出的值，然后列方程求解．
（1）解：方程的解，可以看作在数轴上找一点P与的距离为2
∴或
故答案为：或．
（2）解：由题意知，设A表示数，B表示数6，P表示数x，
∴该方程可以看作在数轴上找一点P使得，
∵，
∴P在线段AB上都可，
∴该方程有无数解，x的取值范围是
故答案为：不唯一；．
（3）解：由题意知，设P点表示的数为x，分类讨论：
①若P点在A，B之间
则（不合题意，舍去）
②若P点在A点的左边
则
∴
③若点P在B点的右边
∴
综上所述：原方程的解为或．
【点拨】本题考查了绝对值的意义，数轴上点的距离．解题的关键在于明确绝对值的意义．
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