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专题21 解特殊不等式组
1．阅读理解题：
（1）原理：对于任意两个实数、，
若，则和同号，即：或
若，则和异号，即：或
（2）分析：对不等式来说，把和看成两个数和，所以按照上述原理可知：（Ⅰ）或（Ⅱ），所以不等式的求解就转化求解不等式组（Ⅰ）和（Ⅱ）．
（3）应用：解不等式
①
②
2．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
例题：解一元二次不等式．
解：∵，∴可化为．
由有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，得
①②
解不等式组①，得；解不等式组②，得，
∴的解集为或，
即一元二次不等式的解集为或．
(1)一元二次不等式的解集为_______；
(2)试解一元二次不等式；
(3)试解不等式．
3．（1）【阅读理解】“”的几何意义是：数在数轴上对应的点到原点的距离，所以“”可理解为：数在数轴上对应的点到原点的距离不小于，则：
①“”可理解为 ；
②请列举两个符号不同的整数，使不等式“”成立，列举的的值为 和 ．
我们定义：形如“，，，”（为非负数）的不等式叫做绝对值不等式，能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为绝对值不等式的解集．
（2）【理解应用】根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式．
由上图可以得出：绝对值不等式的解集是或，
绝对值不等式的解集是．则：
①不等式的解集是 ．
②不等式的解集是 ．
（3）【拓展应用】解不等式，并画图说明．
4．阅读以下例题：解不等式：
解：①当，则
即可以写成：
解不等式组得：
②当若，则
即可以写成：
解不等式组得：
综合以上两种情况：不等式解集：或．
（以上解法依据：若，则a，b同号）请你模仿例题的解法，解不等式：
(1)；
(2)．
5．阅读下列材料：我们知道表示的是在数轴上数对应的点与原点的距离，即，也就是说，对表示在数轴上数与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为表示在数轴上数，对应点之间的距离．
例1解方程．
解：∵，
∴在数轴上与原点距离为6的点对应的数为，即该方程的解为．
例2解不等式．
解：如图，首先在数轴上找出的解，即到1的距离为2的点对应的数为，3，则的解集为到1的距离大于2的点对应的所有数，所以原不等式的解集为或．
参考阅读材料，解答下列问题：
（1）方程的解为______；
（2）解不等式；
（3）若，则的取值范围是_______；
（4）若，则的取值范围是_______．
6．定义：给定两个不等式组P和Q，若不等式组P的任意一个解，都是不等式组Q的一个解，则称不等式组P为不等式组Q的“子集”．例如：不等式组：M：是N：的“子集”．
（1）若不等式组：A：，B：，则其中不等式组 是不等式组M：的“子集”（填A或B）；
（2）若关于x的不等式组是不等式组的“子集”，则a的取值范围是 ；
（3）已知a，b，c，d为互不相等的整数，其中a＜b，c＜d，下列三个不等式组：A：a≤x≤b，B：c≤x≤d，C：1＜x＜6满足：A是B的“子集”且B是C的“子集”，则a﹣b+c﹣d的值为 ；
（4）已知不等式组M：有解，且N：1＜x≤3是不等式组M的“子集”，请写出m，n满足的条件： ．
7．解不等式：．
解：根据“有理数的乘法法则”，即两数相乘，同号得正，可得①或②．由①，得，所以．由②，得，所以．
所以不等式的解集为或．
请你根据上面的解法解不等式：．
8．自学下面材料后，解答问题．
分母中含有未知数的不等式叫分式不等式．如：；等．那么如何求出它们的解集呢？
根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负．其字母表达式为：若，，则；若，，则；若，，则；若，，则．
（1）反之：若，则或；若，则______或_______．
（2）根据上述规律，求不等式的解集．
（3）直接写出分式不等式的解集___________．
9．阅读下面材料：分子、分母都是整式，并且分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式．
小亮在解分式不等式时，是这样思考的：根据两数相除，同号得正，异号得负．原分式不等式可转化为下面两个不等式组：
①或②
解不等式组①得，
解不等式组②得．
所以原不等式的解集为或．
请你参考小亮思考问题的方法，解分式不等式．
10．先阅读，再解答:写出关于的不等式的解集，
解:利用不等式的性质，不等式两边都除以，
因不知的符号，所以应分情况讨论:
当即时，
当即时，；
当，即时，此不等式为无解．
请根据以上解不等式的思想方法，解关于的不等式．
11．先阅读，再解题．：
阅读材料：解分式不等式．
解：根据实数的除法法则，同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，因此，原不等式可转化为：
①，②．
解不等式组①，得：x＞3．
解不等式组②，得：x＜﹣2．
所以原分式不等式的解集是x＞3或x＜﹣2．
请仿照上述方法解分式不等式：＜0．
12．阅读：
我们知道，于是要解不等式，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法：
解:（1）当，即时：
解这个不等式，得：
由条件，有：
（2）当，即 时，
解这个不等式，得：
由条件，有：
∴ 如图，
综合（1）、（2）原不等式的解为：
根据以上思想，请探究完成下列个小题：
；
13．阅读材料：解分式不等式
解：根据实数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，
∴原不等式可转化为：①或②
解①得：无解，解②得：
∴原不等式的解集是
请仿照上述方法解分式不等式：
14．求不等式（2x﹣1）（x+3）＞0的解集．
解：根据“同号两数相乘，积为正”可得：①或 ②．
解①得x＞；解②得x＜﹣3．
∴不等式的解集为x＞或x＜﹣3．
请你仿照上述方法解决下列问题：
（1）求不等式（2x﹣3）（x+1）＜0的解集．
（2）求不等式≥0的解集．
参考答案：
1．（3）①或；②
【分析】（3）①根据题中所给方法进行分类求解不等式即可；
②先提取公因式，然后再根据题中所给方法进行求解即可．
【详解】解：（3）①，
∴当时，解得：；
当时，解得：；
∴原不等式的解集为或；
②
∴当时，解得：；
当时，不等式组无解；
∴原不等式的解集为．
【点睛】本题主要考查不等式组的求解，解题的关键是根据题中所给方法进行求解．
2．(1)或
(2)一元二次不等式的解集为0＜x＜5
(3)的解集为1＜x＜4
【分析】（1）利用平方差公式进行因式分解；
（2）利用提公因式法对不等式的左边进行因式分解，再求解可得；
（3）需要分类讨论：① ②据此求解可得．
【详解】（1）解：由原不等式得：（x+3）（x-3）＞0
∴ 或
解得：x＞3或x＜-3．
故答案为：或 ；
（2）∵，
∴可化为．
由有理数的乘法法则：两数相乘，异号得负，得
① ②
解不等式组①，得0＜x＜5；
解不等式组②，无解，
∴的解集为0＜x＜5，
即一元二次不等式的解集为：0＜x＜5．
（3）由有理数的除法法则：两数相除，异号得负，得
① ②
解不等式组①，得1＜x＜4；
解不等式组②，无解，
∴的解集为1＜x＜4．
【点睛】本题考查不等式组的解法，一元一次不等式组的应用．利用了转化的思想，这种转化思想的依据为：两数相乘（除），同号得正，异号得负的符号法则．
3．（1）①数在数轴上对应的点到原点的距离小于；②-3；3；（2）①或；②；（3）或，见解析
【分析】（1）①类比题目所给的信息即可解答；②写出符合题意的两个整数即可（答案不唯一）；
（2）①类比题目中的解题方法即可解答；②类比题目中的解题方法即可解答；
（3）根据绝对值的几何意义可知，不等式的解集，就是数轴上表示数的点到表示与的点的距离之大于的所有的值，由此即可确定不等式的解集．
【详解】①由题意可得，“”可理解为数在数轴上对应的点到原点的距离小于．
故答案为：数在数轴上对应的点到原点的距离小于．
②使不等式“”成立的整数为，（答案不唯一，合理即可）．
故答案为：，．
①不等式的解集是或．
故答案为：或．
②不等式的解集是．
故答案为：．
根据绝对值的几何意义可知，不等式的解集就是数轴上表示数的点，到表示与的点的距离之和大于的所有的值，
如下图所示，
可知不等式的解集是或．
【点睛】本题考查了绝对值的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．
4．(1)或
(2)
【分析】（1）根据例题可得：此题分两个不等式组和，分别解出两个不等式组即可；
（2）根据两数相乘，异号得负可得此题也分两种情况）①，②，解出不等式组即可．
【详解】（1）当时，，
可以写成,
解得：；
当时，，
可以写成,
解得：，
综上：不等式解集：或；
（2）当时，，
可以写成，
解得；
当时，，
可以写成，
解得：无解，
综上：不等式解集：．
【点睛】此题主要考查了不等式的解法，关键是正确理解例题的解题根据，然后再进行计算．
5．（1）（2）（3）（4）
【分析】（1）利用绝对值的性质，直接化简进而求出即可；
（2）将原式化解为，首先在数轴上找出的解，即或，则的解集为到-2的距离小于4的点对应的所有数，写出解集即可；
（3）表示到1的点与到-2的点距离和为3，-2与1之间的距离为3，据此可得出答案；
（4）表示数x到1的距离，表示数x到-2的距离，表示数到1的距离减去数x到-2的距离，然后分三者情况讨论y的取值即可．
【详解】解：（1），
，
解得：，
故答案为：；
（2）
，
首先找的解，
即到-2距离为4的点对应的数为-6和2，
表示到-2的距离小于4的点对应的所有数，
不等式解集为；
（3），
表示到1的点与到-2的点距离和为3，
-2与1之间的距离为3，
；
故答案为：；
（4），
表示数x到1的距离，
表示数x到-2的距离，
表示数x到1的距离减去数x到-2的距离，
当x在点1右边时，，
当x在点-2左边时，，
当x在-2到1之间时，，
；
故答案为：．
【点睛】本条考查含有绝对值的方程和不等式的解法，正确对x的范围进行讨论，转化为一般的不等式是关键．
6．（1）A；（2）a≥2；（3）-4；（4）m≤2，n＞9
【分析】（1）根据题意求出不等式组A与B的解集，进而利用题中的新定义判断即可
（2）由题意根据“子集”的定义确定出a的范围即可；
（3）由题意根据“子集”的定义确定出各自的值，代入原式计算即可求出值；
（4）由题意根据“子集”的定义确定出所求即可．
【详解】解：（1）A：的解集为3＜x＜6，B：的解集为x＞1，M：的解集为x＞2，
则不等式组A是不等式组M的子集，
故答案为：A；
（2）∵关于x的不等式组是不等式组的“子集”，
∴a≥2，
故答案为：a≥2；
（3）∵a，b，c，d为互不相等的整数，其中a＜b，c＜d，
A：a≤x≤b，B：c≤x≤d，C：1＜x＜6满足：A是B的“子集”且B是C的“子集”，
∴a＝3，b＝4，c＝2，d＝5，
则a﹣b+c﹣d＝3﹣4+2﹣5＝﹣4，
故答案为：﹣4；
（4）不等式组M：整理得：，
由不等式组有解得到＜，即≤x＜，
∵N：1＜x≤3是不等式组的“子集”，
∴≤1，＞3，即m≤2，n＞9，
故答案为：m≤2，n＞9．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组以及定义运算，读懂题干“子集”的定义以及能求出不等式组的解集是解答此题的关键．
7．或
【分析】根据题意列出一元一次不等式组进行求解即可；
【详解】由题意得：①或②．由①得，
∴．由②得，，
∴．所以不等式的解集为或．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，准确分析是解题的关键．
8．（1）或；（2）或；（3）或
【分析】（1）根据有理数的运算法则，两数相除，同号得正，异号得负即可解答.
（2）根据不等式大于0得到分子分母同号，再分类讨论即可.
（3）观察不等式后，发现分子相同且为正数，故只需要比较分母，再对分母的正负性进行分类讨论即可.
【详解】解：(1)若，则分子分母异号，故 或
故答案为： 或 .
(2)∵不等式大于0，∴分子分母同号，故有：
或
解不等式组得到：或.
故答案为：或.
(3)由题意知，不等式的分子为是个正数，故比较两个分母大小即可.
情况①：时，即时，，解得：.
情况②：时，即时，，解得：.
情况③：时，此时无解.
故答案为：或.
【点睛】本题借助有理数的除法法则考查了不等式的解法，题目比较新颖，需要进行分类讨论，将分式型不等式化成不等式组的形式处理是解决此题的关键；第3问中分子相同且为正数，故对分母的大小及正负性分类讨论.
9．
【分析】根据题意，由材料中的解不等式的方法进行解不等式，即可求出答案.
【详解】解：根据题意，
∵，则；
∵，
分式不等式可转化为下面两个不等式组：
①或②
解不等式组①，得：，
解不等式组②，得：无解，
∴原不等式的解集为：.
【点睛】本题考查了解不等式组，以及解分式不等式，解题的关键是熟练掌握材料，利用材料的方法进行解题.
10．或或无解．
【分析】按照题中的思路解不等式即可．
【详解】解:利用不等式的性质，不等式两边都除以，
因不知的符号，所以应分情况讨论:
当即时，
当即时，
当即时，此不等式为无解．
【点睛】本题考查了解不等式的问题，掌握解不等式的思想方法是解题的关键．
11．-＜x＜．
【分析】根据题中给出的例子列出关于x的不等式组，再求出不等式中x的取值范围即可．
【详解】＜0
可得不等式组①，②
解不等式组①，无解．
解不等式组②，得：-＜x＜
所以原分式不等式的解集是-＜x＜．
【点睛】本题了解一元一次不等式组，解题关键是利用了同号两数相除得正数，异号两数相除得负数列出关于x的不等式组．
12．（1）；（2）
【分析】（1）分①x+1≥0，即x≥-1，②x+1<0，即x<-1，两种情况分别求解可得；
（2）分①x-2≥0，即x≥2，②x-2<0，即x<2，两种情况分别求解可得．
【详解】，
①当，即时：，
解这个不等式，得：
由条件，有：；
②当，即 时：
解这个不等式，得：
由条件，有：,
∴ 综合①、②，原不等式的解为：．
（2）
①当，即时：
解这个不等式，得：
由条件，不符合，舍去；
②当，即时：，
解这个不等式，得：
符合条件
综合①、②，原不等式的解为：
【点睛】考查解一元一次不等式，读懂题目中含绝对值的不等式的解题的方法是解题的关键.
13．或
【分析】先把不等式转化为不等式组，然后通过解不等式组来求分式不等式．
【详解】根据实数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，因此，原不等式可转化为：
① 或②
解①得：
解②得：
所以原不等式的解集是： 或
【点睛】考查一元一次不等式组的应用，把分式方程转化为一元一次不等式组是解题的关键.
14．（1）﹣1＜x＜；（2）x≥3或x＜﹣2．
【分析】（1）、（2）根据题意得出关于x的不等式组，求出x的取值范围即可．
【详解】解：（1）根据“异号两数相乘，积为负”可得①或②，
解①得不等式组无解；解②得，﹣1＜x＜；
（2）根据“同号两数相除，积为正”可得①，②，
解①得，x≥3，解②得，x＜﹣2，
故不等式组的解集为：x≥3或x＜﹣2．
故答案为（1）﹣1＜x＜；（2）x≥3或x＜﹣2．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
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