卷子答案网-一个不只有答案的网站人教B版（2019）必修第二册《6.3 平面向量线性运算的应用》同步练习
一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）已知是的外心，，，若，且，则的面积为
A. B. C. D.
2.（5分）在中，角，，的对边分别为，，，若，，点是的重心，且，则
A. 或 B. C. 或 D.
3.（5分）在直角三角形中，，，为斜边的中点，则的值为
A. B. C. D.
4.（5分）在中，，，，为线段上的动点，且，则的最小值为
A. B. C. D.
5.（5分）如图所示，已知两座灯塔和与海洋观察站的距离都等于米，灯塔在观察站的北偏东，灯塔在观察站的南偏东，则灯塔与灯塔的距离为
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
6.（5分）如图，、、是直线上的不同的三点，且有，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
7.（5分）平面上有三点，，，设，，若，的长度恰好相等，则
A. ，，三点必在同一直线上 B. 必为等腰三角形且为顶角
C. 必为直角三角形且 D. 必为等腰直角三角形
8.（5分）在中，设，则动点的轨迹必通过的
A. 垂心 B. 内心 C. 重心 D. 外心
二 、多选题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）已知 是边长为 的正三角形，该三角形重心为点 ，点 为 所在平面内任一点，下列等式一定成立的是
A. B.
C. D.
10.（5分） 中， ， 边上的中线 ，则下列说法正确的有
A. 为定值 B.
C. D. 的最大值为
11.（5分）已知，，，，下述四个结论中正确的是
A. B. 四边形为平行四边形
C. D.
12.（5分）判断下列物理量哪些是向量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨动量．其中是向量的有
A. 速度，位移 B. 力，加速度 C. 动量，质量 D. 路程，密度，功
13.（5分）在水流速度的自西向东的河中，如果要使船以的速度从河的南岸垂直到达北岸，则船出发时行驶速度的方向和大小为
A. 北偏西 B. 北偏西 C. D.
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）在平面内，已知，且，，若，则的取值范围是______．
15.（5分）已知半径为的球内切于正四面体，线段是球的一条动直径是直径的两端点，点是正四面体的表面上的一个动点，则的取值范围是 ______ ．
16.（5分）已知平面上不重合的四点，，，满足且，那么实数的值为 ______ ．
17.（5分）如图，边长为的菱形中，交于点，，，分别为对角线，上的点，满足，则______．
18.（5分）如图，在正方形中，为边中点，若，则 ______ ．
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）是边长为的等边三角形，，过点作交边于点，交的延长线于点
当时，设，，用向量，表示；
当为何值时，取得最大值，并求出最大值．
20.（12分）在中，，，与边相交于点，的中线与相交于点，设，，试用，表示．
21.（12分）一辆汽车从出发向西行驶了到达点，然后改变方向向西偏北走了到达点，又改变方向，向东行驶了到达点．
作出向量，，；
求
22.（12分）如图，直角三角形的斜边，，点是以点为圆心为半径的圆上的动点．
Ⅰ当点在三角形外，且时，求；
Ⅱ求的取值范围．
23.（12分）设是边长为的正三角形，点，，，四等分线段如图所示
为边上一动点，求的取值范围？
为线段上一点，若，求实数的值．
答案和解析
1.【答案】D;
【解析】解：取的中点，则，
如图所示，
，
，
，
，
，
当时，
，
，
当时，则，
，
，
点，，共线，
即点为的中点，
三角形以为直角的直角三角形，
，
故选：
取中点为，则，把写为，然后用两种方法写出，由数量积相等结合，需要分类讨论，当求得，进一步得到其正弦值，代入三角形的面积公式求得三角形的面积，当时，得到三角形为直角三角形，求出面积，问题得以解决
本题考查了向量在几何中的应用，考查了平面向量的数量积运算，考查了三角形面积公式的应用，是中档题．
2.【答案】C;
【解析】
此题主要考查二倍角公式，诱导公式，两角和差公式的运用，向量的几何运用，向量的数量积运算，余弦定理解三角形的实际应用考查分析和运用能力，属于中档题.
根据即可得到或再根据点是的重心，得到，即，即可得到，再根据正弦定理即可求解．
解： ，
，
整理得，
解得或舍去，即或
又点是的重心，，
，，
，
整理得
当时，，得，
此时，解得；
当时，，得，
此时，解得
故选
3.【答案】D;
【解析】解：如图，由向量的运算法则可得，
为斜边的中点，，
故选D
由平面向量基本定理和向量的运算法则，用向量，表示所求向量，再由数量积的运算可得．
该题考查平面向量数量积的运算，以及平面向量基本定理，用向量，表示所求向量是解决问题的关键，属中档题．
4.【答案】B;
【解析】
此题主要考查向量的数量积，三角形面积公式，考查正弦定理、余弦定理的应用，考查利用基本不等式求最值，属于难题.
依题意，求得，，，得出，可得，，根据基本不等式求最值即可.
解：由题意，设的内角，，的对边分别为，，，
由，得，
又，得，
可得，
根据同角三角函数的基本关系得，，
由，根据正弦定理得，
又，
解得，，
所以，
因为，
所以，
又，，三点共线，且为线段上的动点，
所以，，
所以
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为，
故选
5.【答案】B;
【解析】
此题主要考查了解三角形中余弦定理的应用，属于基础题.
根据条件作出方位图，根据题意，结合余弦定理可得结果.
解：由图可知，，由余弦定理得，
所以米
故选
6.【答案】A;
【解析】解：由题意可得，再由，，
故选：
由题意可得，再由，由此求得的取值范围．
本题主要考查定比分点分有向线段成的比的定义，把它转化为线段的长度比的相反数，数形结合可得实数的取值范围．
7.【答案】C;
【解析】
此题主要考查平面向量的数量积，以及向量在几何中的应用，属于基础题.
先根据题意得到，再平方即可顺利得解.
解：，
，
，
，
，
故选
8.【答案】D;
【解析】【分析】
本题主要考查向量的几何应用，熟练掌握向量的运算法则、数量积与垂直的关系、三角形的外心定义是解题的关键属于中档题.
用向量的运算法则、数量积与垂直的关系判断出，根据三角形的外心定义即可得出.
【解答】
解：如图所示：
设线段的中点为，则
，
，
，即
，且平分
因此动点的轨迹必通过的外心．
故选
9.【答案】BC;
【解析】 此题主要考查向量的简单运算，考查数形结合的思想方法，是中档题.
根据题意，作出图象，由模的计算方法可得，，向量数量积可判断根据三角形法则和平行四边形法则判断，解：如图，为正三角形重心，则为中点.
则，，，
选项，故错误.
选项，，故正确.
选项，
，故正确.
选项，，
，故错误.
故选
10.【答案】ABC;
【解析】 此题主要考查了向量数量积的运算，正弦定理，考查了计算能力，属于中档题．
可画出图形，根据题意可得出，，两边平方联立即可判断，两个选项，由数量积公式判断选项，由正弦定理即可判断出选项. 解：如图，是边上的中线，
，且，
，①
且
，②
①②得，，即，故正确.
①②得，，故正确.
由得出，则，
当且仅当时等号成立，
则，
所以故正确；
在中，由正弦定理得：，
所以，
故的最大值为 ，故错误.
故选
11.【答案】BD;
【解析】
此题主要考查平面向量垂直的判断、几何应用、概念和模，属于基础题.
由数量积与垂直的关系可判断，由向量的几何应用可判断，由平面向量的概念可判断，由模长公式可判断
解：由题意，得，
则，故与不垂直，故错误
故，且，
故四边形为平行四边形，故正确
因为向量不能比较大小，故错误
因为，故正确，
故选
12.【答案】AB;
【解析】
此题主要考查向量的概念，属于基础题.
确定一个量是不是向量，就是看它是否同时具备大小与方向两个要素，逐个判断即可.
解：由物理知识可知，速度、位移、力、加速度，动量都是由大小和方向确定的，所以是向量，
而质量、路程、密度、功，只有大小而没有方向，不是向量.
故选
13.【答案】AC;
【解析】
此题主要考查了向量在速度，位移的合成中的应用，属于基础题.
利用向量合成画出图可以根据直角三角形的几何性质，求出速度，方向，进而得到正确答案.
解：如图：
船从点出发，沿方向行驶，才能垂直到达河的对岸，
，则
，所以
即船以的速度，向北偏西方向行驶，才能垂直到达对岸.
故选
14.【答案】[2，];
【解析】解：由，，
可得四边形为矩形，
在矩形中，有
则
又，
所以，即，
故答案为：
根据条件有四边形为矩形，根据矩形中的一个特殊性质，平面内任一点，有可得答案．
该题考查向量的几何性质，向量运算，属于难题．
15.【答案】[0，8];
【解析】解：由题意，是直径的两端点，可得，，
则
，
即求正四面体表面上的动点到的距离的范围．
当位于切点时，取得最小值；
当位于处时，即为正四面体外接球半径最大即为．
设正四面体的边长为，由为正四面体的中心，
可得直角三角形中，，，，，
综上可得的最小值为，最大值为．
则的取值范围是．
故答案为：．
运用向量的加减运算和数量积的性质：向量的平方即为模的平方，讨论位于切点和顶点时分别取得最值，即可得到所求取值范围．
此题主要考查向量在几何中的运用，考查向量的加减运算和数量积的性质，考查运算能力，属于中档题．
16.【答案】;
【解析】解：由题意，根据向量的减法有：，，
，
；
，
，
，
．
故答案为
利用向量基本定理结合向量的减法，代入化简，即可得到结论．
本题考查平面向量的基本定理及其意义、向量数乘的运算及其几何意义等基础知识，属于基础题．
17.【答案】;
【解析】解：边长为的菱形中，，
，，
故答案为：
先利用边长为的菱形中，，可得，，，再利用向量的加法与数量积运算，即可得到结论．
该题考查向量的加法与数量积运算，考查学生的计算能力，正确表示向量是关键，属于中档题．
18.【答案】;
【解析】
该题考查了正方形的性质、向量三角形法则、平面向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
利用正方形的性质、向量三角形法则、平面向量基本定理即可得出．
解：，
，
，，
则，
故答案为：．
19.【答案】解：由题意可知：，且，
，故，
由题意，，
，
，
当时，
有最大值;
【解析】
，，通过向量的线性运算，用向量，表示；
用表示与的模，然后求解数量积，利用二次函数的最值求解即可．
本题考查平面向量基本定理，向量共线定理，向量的数量积，二次函数最值等知识，考查运算求解能力，考查数形结合、转化与化归的思想方法．
20.【答案】解：如图，△ABC中，
∵=，DE∥BC，且与边AC相交于点E，
△ABC的中线AM与DE相交于点N，
∴=，==
∵=，=，
∴=-，
∴=（-）．;
【解析】
由平行线等分线段定理及中线的定义知，，由此能求出结果．
该题考查平面向量的加法法则的应用，是基础题，解题时要注意平行线等分线段定理的灵活运用．
21.【答案】解：向量，，，如图所示．
由题意，易知与方向相反，
故与共线．
又，
所以在四边形中，，
所以四边形为平行四边形，
所以;
【解析】【解析】
本题属于向量的物理运算，主要要求掌握向量的基本知识，属于基础题.
在平面直角坐标系中画出向量；
利用共线向量和平行四边形进行计算.
22.【答案】解：当点在三角形外，且时，，
又，，．
在中，由正弦定理得，即，
解得．
以点为原点，以，为坐标轴建立平面直角系如图：
则，，设，
则，，
．
，
．;
【解析】
在中，使用余弦定理求出，再使用正弦定理计算；
以点为原点，以，为坐标轴建立平面直角系，设，求出，的坐标，代入数量积的坐标运算求出的取值范围．
此题主要考查了正余弦定理，向量在几何中的应用，属于中档题．
23.【答案】解：（1）以BC所在直线为x轴，AP2所在直线为y轴，
P2为坐标原点，建立直角坐标系，
则A（0，2），B（-2，0），C（2，0），P1（-1，0），
设P（t，0）（-2≤t≤2），则=（-t，2），=（2-t，0），
可得 =-t（2-t）+2 0=-2t=（t-1）2-1，（-2≤t≤2），
t=1时，取得最小值-1；t=-2时，取得最大值8．
则 的取值范围为[-1，8]；
（2）设Q（x，y），由A，Q，P1共线，
可得=，
即有y=2x+2，
则=（x，2x），=（-2，-2），=（2，-2），
若=m+，
则，
解得m=．;
【解析】
以所在直线为轴，所在直线为轴，为坐标原点，建立直角坐标系，求得，，，，的坐标，求得向量，的坐标，运用数量积的坐标表示，再由二次函数在闭区间上的值域求法可得；
设，由，，共线，运用斜率相等，求得关于的式子，再分别求得向量，，的坐标，得到，的方程组，即可解得的值．
该题考查平面向量数量积和平面向量基本定理的运用，注意运用坐标法是解答该题的关键，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
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