卷子答案网-一个不只有答案的网站13.2.3直线与平面位置关系（3）直线与平面所成角
一、单选题
1．点是平面外一点，且，则点在平面上的射影一定是的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】A
【解析】
【分析】
过点作平面，因为，得到，即可求解.
【详解】
如图所示，过点作平面，
可得
因为，可得，
所以为的外心.
故选：A.
2．设直线平面，过平面外一点与，都成30°角的直线有（ ）
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
【答案】B
【解析】
【分析】
根据线面角的定义，结合题意，画出示意图，即可求得结果.
【详解】
和成30°角的直线一定是以为顶点的圆锥的母线所在直线，如下所示：
当＝＝30°且∥时，直线，都满足条件．
故选：B.
3．直线l与平面α所成的角为70°，直线l∥m，则m与α所成的角等于（ ）
A．20° B．70°
C．90° D．110°
【答案】B
【解析】
【分析】
由直线与平面所成角的概念求解
【详解】
∵l∥m，
∴直线l与平面α所成的角等于m与α所成的角，
又直线l与平面α所成的角为70°，
∴m与α所成的角为70°
故选：B
4．空间中两条直线，和平面，下列条件中能得到的是（ ）
A．，与平面所成角相等 B．，在平面内的射影分别平行
C．， D．，
【答案】D
【解析】
【分析】
ABC举出反例即可说明不能推出，排除法即可得出结果.
【详解】
A：如图满足，与平面所成角相等，但，不平行，故A错误；
B：如图，分别是，在平面内的射影，满足，在平面内的射影分别平行，但，不平行，故B错误；
C：如图满足，，但，相交，故C错误；
故有排除法可知选D，
故选：D.
5．在边长为1的正方体中，点，分别为，的中点，则直线与平面所成角的大小为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由正方体性质可得平面，可得为直线与平面所成角，即求.
【详解】
如图，连接AC，交于O ，连接OC，
∵点，分别为，的中点，
∴MN∥AC，
由正方体的性质可知CD⊥平面，
∴又，，
∴平面，
∴为直线AC与平面所成角，也即为直线与平面所成角，
在直角三角形ACO中，
∴.
故选：A
6．日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬30°，则晷针与点A处的水平面所成角为（ ）
A．15° B．30° C．60° D．90°
【答案】B
【解析】
【分析】
由纬度的定义和线面角的定义，结合直角三角形的性质，即可求得晷针与点A处的水平面所成角.
【详解】
画出截面图如下图所示，其中是赤道所在平面的截线，是点处的水平面的截线，是晷针所在直线，是晷面的截线.
依题意可知，，，且晷针与点A处的水平面所成角为.
由于，所以.
由于，所以，也即晷针与点处的水平面所成角为.
故选：B
7．在正三棱柱中，若，则与平面所成角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
取的中点，设，连接、，证明出平面，可得知与平面所成角为，计算出、的长，可计算出，即可求得的值，即为所求.
【详解】
取的中点，连接、，设，则，
因为为等边三角形，为的中点，则，
在正三棱柱中，平面，平面，，
，平面，所以，与平面所成角为，
平面，，
易知，，所以，，
故.
故选：A.
8．如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练，已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面上的射线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小，若，则的最大值是（ ）.（仰角为直线与平面所成的角）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由题可得，，过作，交于，连接，则，设，分类讨论，若在线段上，则，可求出和，从而可得出，利用函数的单调性，可得出时，取得最大值；若在的延长线上，同理求出和，可得出，可得当时，函数取得最大值；结合两种情况的结果，即可得出结论．
【详解】
解：，，
由勾股定理知，，
过点作交于，连结，则，
设，
若在线段上，则，
由，得，
在直角中，，
，
令，则函数在，单调递减，
时，取得最大值为；
若在的延长线上，，
在直角中，，
，
令，则可得时，函数取得最大值.
故答案为：．
二、多选题
9．在正方体中，点是线段上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．当与相交时，交点为的中点
B．当点在上移动时，平面始终成立
C．当点在上移动时，始终成立
D．当最短时，直线与正方体所有面所成角都相等
【答案】BC
【解析】
【分析】
当为中点时，与相交，设交点为，可判断交点不是的中点，即可判断A；证明平面平面，平面可判断B；证明平面，由平面，可判断C；为的中点，分别求直线与面和面所成的角的正弦值，可判断D，进而可得正确选项.
【详解】
对于A，当为中点时，与相交，设交点为，由，，
故，此时交点不是的中点，故选项错误；
对于B，当点在上移动时，平面，
因为，面，面，可得面，
同理可证面，因为，所以平面平面，
因为平面，所以平面始终成立，故选项B正确；
对于C：因为，，，所以面，因为
面，所以，同理可证：，因为，所以
平面，因为平面，所以始终成立，故选项C正确；
对于D：设正方体棱长为，
当最短时，为的中点，因为面，所以即为直线和平面所成的角，，，，此时，
取的中点，连接，则面，所以即为直线和平面所成的角，且，，，所以
而和平面所成角的正弦值为.直线与正方体所有面所成角都相等不正确，故选项D不正确；
故选：BC.
10．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，底面，则（ ）
A．
B．平面．
C．异面直线与所成角的余弦值为
D．与平面所成角为
【答案】AB
【解析】
【分析】
利用勾股定理得到，再由平面，得到，结合线面垂直判定定理，证得平面，即可判定A正确；由，得到，结合，即可证得平面，可判定B正确；把异面直线与所成角转化为与所成角，在直角，可判定C不正确；根据线面角的定义，得到为与平面所成角，在直角中可判定D不正确.
【详解】
根据题意，设，则，
对于A中，由余弦定理可得，
所以，所以，
因为平面，且平面，可得，
又由且平面，所以平面，
因为平面，所以，所以A正确；
对于B中，由，因为，可得，
又由平面，且平面，可得，
又由且平面，所以平面，所以B正确；
对于C中，由底面为平行四边形，可得，
所以异面直线与所成角，即为与所成角，设，
在直角，可得，所以.
所以C不正确；
对于D中，因为底面，所以为与平面所成角，
可得，所以，
即直线与平面所成角为，所以D不正确.
故选：AB.
三、填空题
11．如图，在正方体中，分别为棱的中点，则与平面所成角的余弦值为______.
【答案】
【解析】
【分析】
连结，过作于，即为与平面所成的角，在中利用余弦定理求出
【详解】
解：连结，则平面即为平面，
过作于，则平面，
即为与平面所成的角，
设正方体棱长为2，则，
.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了直线与平面所成角的求解，关键是找到线面角的平面角，属于中档题.
12．如图，∠ACB=90°，平面ABC外有一点P，PC=4 cm，点P到角的两边AC，BC的距离都等于2 cm，则PC与平面ABC所成角的大小为___.
【答案】45°
【解析】
【分析】
过P作PO⊥平面ABC于点O，连接CO，由线面角的定义可得∠PCO为PC与平面ABC所成的角，解三角形可求得答案.
【详解】
解：过P作PO⊥平面ABC于点O，连接CO，则CO为∠ABC的平分线，且∠PCO为PC与平面ABC所成的角，设其为θ，
连接OF，则为直角三角形.
又PC=4，PF=2，∴CF=2，∴CO=2，在中，cos θ=，
∴θ=45°.
故答案为：45°.
四、解答题
13．如图所示，三棱台中，，底面，.
（1）证明：；
（2）若，，问为何值时，直线与平面所成的角为？
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）证明，，由线面垂直得判定定理即可证得平面，再利用线面垂直得性质即可证得；
（2）由（1）可得平面，过点E作交AG于H，则平面，连接FH，则即为直线与平面所成的角或补角，然后设，根据条件即可得出答案.
【详解】
（1）证明：∵底面，面，
又，，
∴平面，
又∵平面，
∴；
（2）解：由在三棱台中，，
由第一问有，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面，
又平面平面，
连接，过点E作交AG于H，则平面，连接FH，
则即为直线与平面所成的角或补角，
设，由，则，由，则，， ，
所以，
所以，
解得.
14．如图，是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于，的一动点．
（1）证明：是直角三角形；
（2）若，且当直线与平面所成角的正切值为时，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由题意，可得，，即平面，即得证；
（2）可证明是直线与平面所成的角，即是与平面所成的角，结合题干的长度数值，即得解
【详解】
（1）证明：∵是的直径，是圆周上不同于，的一动点．
∴，
∵平面，∴，
又，，平面，
∴平面，
∴，
∴是直角三角形．
（2）如图，过作于，
∵平面，∴，
又，，平面，
∴平面，
∴是直线与平面所成的角，
∵平面，
∴即是与平面所成的角，
∵，
又，∴，
∴在中，，
∴在中，，
即直线与平面所成角的正弦值为．13.2.3直线与平面位置关系（3）直线与平面所成角
一、单选题
1．点是平面外一点，且，则点在平面上的射影一定是的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
2．设直线平面，过平面外一点与，都成30°角的直线有（ ）
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
3．直线l与平面α所成的角为70°，直线l∥m，则m与α所成的角等于（ ）
A．20° B．70°
C．90° D．110°
4．空间中两条直线，和平面，下列条件中能得到的是（ ）
A．，与平面所成角相等 B．，在平面内的射影分别平行
C．， D．，
5．在边长为1的正方体中，点，分别为，的中点，则直线与平面所成角的大小为（ ）
A． B．
C． D．
6．日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬30°，则晷针与点A处的水平面所成角为（ ）
A．15° B．30° C．60° D．90°
7．在正三棱柱中，若，则与平面所成角为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练，已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面上的射线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小，若，则的最大值是（ ）.（仰角为直线与平面所成的角）
A． B． C． D．
二、多选题
9．在正方体中，点是线段上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．当与相交时，交点为的中点
B．当点在上移动时，平面始终成立
C．当点在上移动时，始终成立
D．当最短时，直线与正方体所有面所成角都相等
10．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，底面，则（ ）
A．
B．平面．
C．异面直线与所成角的余弦值为
D．与平面所成角为
三、填空题
11．如图，在正方体中，分别为棱的中点，则与平面所成角的余弦值为______.
12．如图，∠ACB=90°，平面ABC外有一点P，PC=4 cm，点P到角的两边AC，BC的距离都等于2 cm，则PC与平面ABC所成角的大小为___.
四、解答题
13．如图所示，三棱台中，，底面，.
（1）证明：；
（2）若，，问为何值时，直线与平面所成的角为？
14．如图，是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于，的一动点．
（1）证明：是直角三角形；
（2）若，且当直线与平面所成角的正切值为时，求直线与平面所成角的正弦值．
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