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第2章《特殊三角形》全章提升复习训练卷
【4个概念】
1.轴对称图形的概念
一个图形沿着某直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，该直线就是它的对称轴.
要点：
轴对称图形是指一个图形，图形被对称轴分成的两部分能够互相重合．一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条，也可能有两条或多条，因图形而定.
【例1】（2022秋 襄州区期末）下列常见的微信表情包中，属于轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，B、C、D选项中的图形都不是轴对称图形．
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.成轴对称的概念
两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等.
要点：
若两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；
【例2】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点在网格的格点上．
（1）写出点A，B的坐标：A ，B． ．
（2）在图中作△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1．
（3）求△ABC的面积．
【解答】解：（1）由图知A（﹣1，1）、B（﹣3，3），
故答案为：（﹣1，1）、（﹣3，3）；
（2）如图所示，△A1B1C1即为所求．
（3）△ABC的面积为3×5﹣×1×5﹣×2×2﹣×3×3＝6．
3.逆命题的概念
在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题。
【例3】下列命题的逆命题成立的是（ ）
A．如果，，那么
B．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等
C．两条直线平行，同位角相等
D．对顶角相等
【答案】C
【详解】解：A.、“如果，，那么”的逆命题为“如果，那么，”，此逆命题为假命题，所以A选项错误；
B、“如果两个数相等，那么它们的绝对值相等”的逆命题为“如果两个数的绝对值相等，那么它们相等”，此逆命题为假命题，所以B选项错误；
C、“两条直线平行，同位角相等”的逆命题为“同位角相等，两直线平行”，此逆命题为真命题，所以C选项正确；
D、“对顶角相等”的逆命题为“若两个角相等，那么这两个角是对顶角”，此逆命题为假命题，所以D选项错误．
4.逆定理的概念
如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫做互逆定理.
【例4】下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，写出它的逆定理．
(1)同旁内角互补，两直线平行．
(2)三角形的两边之和大于第三边．
【答案】(1)有，逆定理是：两直线平行，同旁内角互补
(2)有，逆定理是：如果三条线段中，任意两条线段长度之和大于第三条线段的长度，那么这三条线段能围成三角形
【分析】（1）先写出逆命题，再根据平行线的性质判断逆命题的真假，进而可得出结论；
（2）先写出逆命题，再根据三角形的三边关系判断逆命题的真假，进而可得出结论．
【详解】（1）解：逆命题是：两直线平行，同旁内角互补，是真命题，
故原定理有逆定理：两直线平行，同旁内角互补；
（2）解：逆命题为：如果三条线段中，任意两条线段长度之和大于第三条线段的长度，那么这三条线段能围成三角形，是真命题，
故原定理有逆定理：如果三条线段中，任意两条线段长度之和大于第三条线段的长度，那么这三条线段能围成三角形．
【3个性质】
1.等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．
证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．
等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．
用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．
【例5】在等腰三角形中，角平分线、中线、高的条数最多有（重合的算一条）（ ）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
【答案】B．
【解析】两腰上的角平分线、中线、高的条数最多有6条，底边上三线合一，所以共7条．
【例6】如图，已知△ABC中，AB=BD=DC，∠ABC=105°，求∠A，∠C度数．
【答案与解析】
解：∵AB=BD，
∴∠BDA=∠A，
∵BD=DC，
∴∠C=∠CBD，
设∠C=∠CBD=x，
则∠BDA=∠A=2x，
∴∠ABD=180°﹣4x，
∴∠ABC=∠ABD+∠CDB=180°﹣4x+x=105°，
解得：x=25°，所以2x=50°，
即∠A=50°，∠C=25°．
【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；解题中运用了等腰三角形“等边对等角”的性质，并联系三角形的内角定理求解有关角的度数问题．
2.等边三角形的性质
等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
【例7】如图所示，△ABC为等边三角形，AD⊥BC，AE=AD，则∠ADE=（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：为等边三角形，，
，
，
，
故选：A．
3.直角三角形性质
直角三角形的两个锐角互余.
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
要点：直角三角形的特征是两锐角互余，反过来就是直角三角形的一个判定：两个角互余的三角形是直角三角形.
含有30°的直角三角形中，同样有斜边上的中线等于斜边的一半，并且30°的角所对的直角边同样等于斜边的一半.
【例8】（2021秋 江油市期末）△ABC中，∠A＝30°，∠B＝90°，则∠C为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【分析】根据三角形的面积和定理即可得到结论．
【解答】解：∵∠A＝30°，∠B＝90°，
∴∠C＝90°﹣30°＝60°，
故选：D．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，直角三角形的两锐角互余，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键．
【例9】如图，在中，，，点D为斜边上的中点，则为（ ）
A．10 B．3 C．5 D．4
【答案】C
【分析】根据斜边上的中线等于斜边的一半即可得出结果．
【详解】解：∵，，点D为斜边上的中点，
∴；
故选C．
【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线．熟练掌握斜边上的中线等于斜边的一半，是解题的关键．
【3个判定】
1.等腰三角形的判定
判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】
说明：
①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．
②等腰三角形的判定和性质互逆；
③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；
④判定定理在同一个三角形中才能适用．
【例10】下列能判定三角形是等腰三角形的是（ ）
A．有两个角为30°、60° B．有两个角为40°、80°
C．有两个角为50°、80° D．有两个角为100°、120°
【解答】解：A，因为有两个角为30°、60°，则第三个角为90°，所以此选项不正确；
B，因为有两个角为40°、80°，则第三个角为60°，所以此选项不正确；
C，因为有两个角为50°、80°，则第三个角为50°，有两个角相等，所以此选项正确；
D，因为100°+120°＞180°，所以此选项不正确；
故选：C．
2.等边三角形的判定
（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．
（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明．
【例11】如图，在△ABC中，，，点D、E在BC上，AD⊥AC，AE⊥AB．求证：为等边三角形．
【详解】证明：∵，，
∴，
∵，，
∴，即，
∴，
∴为等边三角形．
3.直角三角形的全等判定
在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.
要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.
（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.
（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.
【例12】如图，在和中，于，于，，相交于点，求证：．
【详解】证明：∵，，
∴，
在和中，
，
∴．
【4个定理】
1.线段垂直平分线性质定理的逆定理
线段的垂直平分线逆定理
和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
要点诠释：
到线段两个端点距离相等的所有点组成了线段的垂直平分线，也就是线段的垂直平分线可以看做是和这条线段两个端点的距离相等的点的集合．
三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心．
【例13】如图，已知AB=AC,∠ABD=∠ACD，求证AD是线段BC的垂直平分线．
【答案与解析】
证明：∵ AB=AC（已知）
∴∠ABC=∠ACB (等边对等角)
又∵∠ABD=∠ACD (已知)
∴∠ABD-∠ABC =∠ACD-∠ACB (等式性质)
即 ∠DBC=∠DCB
∴DB=DC （等角对等边）
∵AB=AC（已知）
DB=DC（已证）
∴点A和点D都在线段BC的垂直平分线上（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）
∴AD是线段BC的垂直平分线。
【总结升华】本题需要注意的是对于线段垂直平分线性质定理的逆定理的应用，部分学生可能错误地认为“因为到线段两端距离相等的点在线段垂直平分线上，所以已知AB=AC就可以说明AD是线段BC的垂直平分线了”，但却忽略了两点才确定一条直线，所以只有当AB=AC，DB=DC时，才能说明AD是线段BC的垂直平分线．
2.角平分线性质定理的逆定理
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
要点诠释：
用符号语言表示角的平分线的判定：
若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB
【例14】已知，如图，CE⊥AB,BD⊥AC,∠B＝∠C，BF＝CF.求证：AF为∠BAC的平分线.
【答案与解析】
证明： ∵CE⊥AB,BD⊥AC（已知）
∴∠CDF＝∠BEF＝90°
∵∠DFC＝∠BFE(对顶角相等)
∵ BF＝CF(已知)
∴△DFC≌△EFB(AAS)
∴DF＝EF(全等三角形对应边相等)
∵FE⊥AB，FD⊥AC（已知）
∴点F在∠BAC的平分线上(到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)
即AF为∠BAC的平分线
【总结升华】应用角平分线性质及判定时不要遗漏了“垂直”的条件.如果遗漏了说明没有认识到“垂直”
条件在证明结论的必要性.
3.勾股定理
1.勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么.
要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.
（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.
（3）理解勾股定理的一些变式：，， .
2.勾股定理的证明
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.
图（1）中，所以.
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.
图（2）中，所以.
方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.
，所以.
【例15】在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为、、．
（1）若＝5，＝12，求；
（2）若＝26，＝24，求．
【答案与解析】
解：（1）因为△ABC中，∠C＝90°，，＝5，＝12，
所以．所以＝13．
（2）因为△ABC中，∠C＝90°，，＝26，＝24，
所以．所以＝10．
4.勾股定理逆定理
如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.
要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.
（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.
【例16】判断由线段组成的三角形是不是直角三角形．
（1）＝7，＝24，＝25；
（2）＝，＝1，＝；
（3），，()；
【答案与解析】
解：（1）∵ ，，
∴ ．
∴ 由线段组成的三角形是直角三角形．
（2）∵ ，，，
∴ ．
∴ 由线段组成的三角形不是直角三角形．
（3）∵ ，
∴ ，．
∵，
，
∴ ．
∴ 由线段组成的三角形是直角三角形．
【1个应用】
最短与最长路径问题的应用
最短路线问题
在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．
凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
【例17】一牧童在 A 处牧马，牧童的家在 B 处，A，B 处距河岸的距离分别是 AC＝500 m，BD＝700 m，且 C，D 两地间的距离也为 500 m，天黑前牧童从点 A 将马牵到河边 去饮水，再赶回家，为了使所走的路程最短．
（1）牧童应将马赶到河边的什么地点？请你在图中画出来．
（2）问：他至少要走多少路？
【答案】（1）见解析；（2）1300m.
【分析】（1）将此题转化为轴对称问题，作出A点关于河岸的对称点A′，根据两点之间线段最短得出BA′的长即为牧童要走的最短路程；
（2）根据（1）中所化图象，利用勾股定理解答即可.
【详解】解:（1）如图①，作点 A 关于河岸的对称点 A′，连结 BA′交河岸于点 P，此时
PB＋PA＝PB＋PA′＝BA′，所走的路程最短，故牧童应将马赶到河边的点 P 处．
（2）如图②，过点 A′作 A′B′⊥BD 交 BD 的延长线于点B′.
易知四边形 A′B′DC 是长方形，
∴B′A′＝CD＝500，B′D＝A′C＝AC＝500.
在 Rt△BB′A′中，BB′＝BD＋DB′＝1200，A′B′＝500，
∴BA′＝ ＝1300(m)．
答：他至少要走 1300 m.
【点睛】此题考查了轴对称--最短路径问题在生活中的应用，要将轴对称的性质和勾股定理灵活应用，体现了数学在解决简单生活问题时的作用.
【1个技巧】
添加辅助线的技巧
【例18】（2022 鄂尔多斯）如图，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点A，点E是CD中点，若BC＝5，AD＝10，BE＝，则AB的长是 ．
【分析】延长BE交AD于点F，由“ASA”可证△BCE≌△FDE，可得DF＝BC＝5，BE＝EF，由勾股定理可求AB的长．
【解答】解：如图，延长BE交AD于点F，
∵点E是DC的中点，
∴DE＝CE，
∵AB⊥BC，AB⊥AD，
∴AD∥BC，
∴∠D＝∠BCE，
∵∠FED＝∠BEC，
∴△BCE≌△FDE（ASA），
∴DF＝BC＝5，BE＝EF，
∴BF＝2BE＝13，
在Rt△ABF中，由勾股定理可得AB＝12．
故答案为：12．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
【变式1】如图，小明爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算这块土地的面积，以便估算产量．小明测得，又已知．求这块土地的面积．
【答案】这块土地的面积为
【分析】连接，勾股定理求得，然后勾股定理的逆定理得出是直角三角形，且，进而根据四边形的面积=，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴四边形的面积为
．
答：这块土地的面积为．
【点睛】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，掌握勾股定理是解题的关键．
【变式2】（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）我们把一组共用顶点，且顶角相等的两个等腰三角形称为头顶头对三角．
【探索一】如图1，布丁在作业中遇到这样一道思考题：在四边形中，，，连接、，若，，求的长．
（1）布丁思考后，如图2，以为边向外作等腰直角，并连接，他认为：．你同意他的观点吗？请说明理由．
（2）请你帮布丁求出的长．
【探索二】如图3，在四边形中，，，，，，若，求的长．
【答案】【探索一】（1）见解析；（2）；【探索二】．
【分析】【探索—】（1）根据可证明；
（2）由全等三角形的性质得出，由勾股定理可求出答案；
【探索二】作，且使，证明，由全等三角形的性质得出，，求出，过点作于点，则，得出，由勾股定理可得出答案．
【详解】解∶探索—（1）同意．
理由∶∵以为边向外作等腰直角三角形，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2） ∵，
∴，
∵以为边向外作等腰直角三角形，，，
∴，,
∵，
∴，
∴，
∴；
探索二 作，且使，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
过点作于点，则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
【3种思想】
1.数形结合思想
【例19】已知：如图，和都是等边三角形，且点A、C、E在一条直线上，与相交于点P，与相交于点M，与相交于点N．求证：
（1）；
（2）．
【分析】（1）根据等边三角形的性质和题意，可以得到△ACD≌△BCE的条件，从而证明△ACD≌△BCE，故可求解；
（2）证得△ACM≌△BCN，就可以证得结论．
【详解】证明：（1）∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB＋∠BCD＝∠DCE＋∠BCD，
即∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴
（2）∵△ACD≌△BCE
∴∠CAD＝∠CBE．
又∵∠AMC＝∠BMP，
∴∠APB＝∠ACB＝60°；
在△ACM和△BCN中
∴△ACM≌△BCN（ASA），
∴CM＝CN．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
【变式】（2023春·浙江宁波·八年级校联考阶段练习）仅利用已有的格点与无刻度直尺作图，符合条件的点画出一个即可．
(1)在图1中，标出格点P，连结，使平分．
(2)在图2中，标出格点Q，连结，使．
【分析】（1）构造腰为5的等腰三角形，利用三线合一的性质解决问题；
（2）找一点F，连接交于点Q即可．
【详解】（1）解：点P如图所示，
；
（2）解：点Q如图所示，
．
【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题．
2.分类讨论思想
【例20】（2022秋·浙江杭州·八年级校考期中）如图，将一张三角形纸片的一角折叠，使得点A落在四边形的外部的位置，且与点C在直线的异侧，折痕为，已知，若，当时，则的度数 ；当时，则的度数为 （用表示）．
【答案】 /30度
【分析】根据直角三角形两锐角互余可得，再根据折叠的性质可得，，，连接，则，可证得是等边三角形，从而得到 ，即可解决问题；当时，可得，再根据折叠的性质可得，从而得到，进而得到，进而得到，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
由折叠的性质得：，，，
当时，如图，连接，则，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴；
当时，
∴，
∵沿折叠到，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：；
【点睛】本题主要考查了翻折的性质，平行线的性质等知识，能根据题意，运用分类讨论思想分别画出图形是解题的关键．
【变式1】（1）如图，在中，AB=AC，，BD平分交AC于D，请说明是等腰三角形；
（2）在（1）的条件下请设计四个不同的方案，将分割成三个等腰三角形，请直接画出示意图并标出每个等腰三角形顶角度数；
（3）若有一个内角为的三角形被分割成两个等腰三角形，则原三角形中最大内角的所有可能值为 .
【分析】（1）由已知条件，利用三角形的内角和定理及角平分线的性质得到各角的度数，根据等腰三角形的定义及等角对等边得出答案；
（2）根据角平分线的定义和等腰三角形的性质即可得到结论；
（3）分为以下情况：①原三角形是锐角三角形，最大角是72°的情况；②原三角形是直角三角形，最大角是90°的情况；③原三角形是钝角三角形，最大角是108°的情况；④原三角形是钝角三角形，最大角是126°的情况；⑤原三角形是钝角三角形，最大角是132°的情况．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，
∵∠A＝36°，
∴∠C＝∠ABC＝72°．
∵BD平分∠ABC交AC于D，
∴∠ABD＝∠DBC＝36°，
∵∠A＝∠ABD＝36°，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝36°+36°＝72°＝∠C，
∴△BDC是等腰三角形；
（2）如图方案1，做∠B的角平分线BD交AC于点D，作∠BDC得角平分线DE交BC于点E，
∵∠A＝36°，
∴∠C＝∠ABC＝72°，
∴∠DBC＝36°，∠BDC＝72°，
∴∠EDG＝∠BDE＝36°，
∴△ABD，△BDE，△DEC为等腰三角形；
如图方案2，做∠B的角平分线BF交AC于点F，作∠C得角平分线CM交BF于点M，
∵∠A＝36°，
∴∠ACB＝∠ABC＝72°，
∴∠FBC＝∠ABF＝36°，∠FCM＝∠MCB＝72°，
∴∠CFM＝∠CMF＝72°，
∴△ABF，△BMC，△CMF为等腰三角形；
如图方案3，做∠C的角平分线CN交AB于点N，作∠BNC得角平分线NP交BC于点P，
∵∠A＝36°，
∴∠ACB＝∠ABC＝72°，
∴∠BCN＝∠ACN＝36°，∠BNC＝∠B＝72°，
∴∠BNP＝∠PNC＝36°，∠NPB＝72°，
∴△ANC，△NPC，△BNP为等腰三角形；
如图方案4，作∠B的角平分线BD交AC于点D，作∠BDE＝∠BDC交AB于点E，
∵∠A＝36°，
∴∠ACB＝∠ABC＝72°，
∴∠BCD＝∠BDE＝∠BED＝72°，∠AED＝108°，
∴∠A＝∠ADE＝36°，
∴△AED，△BDE，△BCD为等腰三角形；
（3）①原三角形是锐角三角形，最大角是72°的情况如图所示：
∠ABC＝∠ACB＝72°，∠A＝36°，AD＝BD＝BC；
②原三角形是直角三角形，最大角是90°的情况如图所示：
∠ABC＝90°，∠A＝36°，AD＝CD＝BD；
③原三角形是钝角三角形，最大角是108°的情况如图所示：
④原三角形是钝角三角形，最大角是126°的情况如图所示：
∠ABC＝126°，∠C＝36°，AD＝BD＝BC；
⑤原三角形是钝角三角形，最大角是132°的情况如图所示：
∠C＝132°，∠ABC＝36°，AD＝BD，CD＝CB．
综上，原三角形最大内角的所有可能值为72°，90°，108°，132°，126°．
故答案为：72°，90°，108°，132°，126°．
【变式2】（2020·黑龙江牡丹江·中考真题）在等腰中，，点D，E在射线上，，过点E作，交射线于点F．请解答下列问题：
（1）当点E在线段上，是的角平分线时，如图①，求证：；（提示：延长，交于点M．）
（2）当点E在线段的延长线上，是的角平分线时，如图②；当点E在线段的延长线上，是的外角平分线时，如图③，请直接写出线段，，之间的数量关系，不需要证明；
（3）在（1）、（2）的条件下，若，则___________．
【答案】（1）见解析；（2）BC=AE+CF或AE=CF+BC；（3）18或6．
【分析】（1）延长，交于点M．利用AAS证明，得到ME=BC，并利用角平分线加平行的模型证明CF=MF，AE=EF，从而得证；
（2）延长，EF交于点M．类似于（1）的方法可证明当点E在线段的延长线上，是的角平分线时，BC=AE+CF，当点E在线段的延长线上，是的外角平分线时，AE=CF+BC；
（3）先求出AE，AB，即可利用线段的和差求出答案．
【详解】（1）如图①，延长，交于点M．
∵，
∴∠A=∠BCA=∠EFA，
∴AE=EF
∴
∴∠MED=∠B， ∠M=∠BCD
又∵∠FCM=∠BCM，
∴∠M=∠FCM
∴CF=MF
又∵BD=DE
∴
∴ME=BC
∴CF=MF=ME+EF=BC+AE
即AE+BC=CF；
（2）当点E在线段的延长线上，是的角平分线时，BC=AE+CF，
如图②，延长，EF交于点M．
由①同理可证，
∴ME=BC
由①证明过程同理可得出MF=CF，AE=EF，
∴BC=ME=EF+MF=AE+CF；
当点E在线段的延长线上，是的外角平分线时，AE=CF+BC.
如图③，延长交EF于点M，
由上述证明过程易得，BC=EM，
CF=FM，
又∵AB=BC，
∴∠ACB=∠CAB=∠FAE
∵
∴∠F=∠FCB，
∴EF=AE，
∴AE=FE=FM+ME=CF+BC
（3）CF=18或6
当DE=2AE=6时，图①中，由（1）得：AE=3，BC=AB=BD+DE+AE=15，
∴CF=AE+BC=3+15=18；
图②中，由（2）得：AE=AD=3，BC=AB=BD+AD=9，
∴CF=BC-AE=9-3=6；
图③中，DE小于AE，故不存在．
故答案为18或6．
【点睛】本题是考查了角平分线、平行线和等腰三角形及全等三角形的综合题，关键是添加恰当的辅助线，构建角平分线加平行的模型，是一道较好的中考真题
第2章《特殊三角形》全章提升复习训练卷
【4个概念】
1.轴对称图形的概念
一个图形沿着某直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，该直线就是它的对称轴.
要点：
轴对称图形是指一个图形，图形被对称轴分成的两部分能够互相重合．一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条，也可能有两条或多条，因图形而定.
【例1】（2022秋 襄州区期末）下列常见的微信表情包中，属于轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2.成轴对称的概念
两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等.
要点：
若两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；
【例2】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点在网格的格点上．
（1）写出点A，B的坐标：A ，B． ．
（2）在图中作△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1．
（3）求△ABC的面积．
3.逆命题的概念
在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题。
【例3】下列命题的逆命题成立的是（ ）
A．如果，，那么
B．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等
C．两条直线平行，同位角相等
D．对顶角相等
4.逆定理的概念
如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫做互逆定理.
【例4】下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，写出它的逆定理．
(1)同旁内角互补，两直线平行．
(2)三角形的两边之和大于第三边．
【3个性质】
1.等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．
证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．
等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．
用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．
【例5】在等腰三角形中，角平分线、中线、高的条数最多有（重合的算一条）（ ）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
【例6】如图，已知△ABC中，AB=BD=DC，∠ABC=105°，求∠A，∠C度数．
2.等边三角形的性质
等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
【例7】如图所示，△ABC为等边三角形，AD⊥BC，AE=AD，则∠ADE=（ ）
A． B． C． D．
3.直角三角形性质
直角三角形的两个锐角互余.
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
要点：直角三角形的特征是两锐角互余，反过来就是直角三角形的一个判定：两个角互余的三角形是直角三角形.
含有30°的直角三角形中，同样有斜边上的中线等于斜边的一半，并且30°的角所对的直角边同样等于斜边的一半.
【例8】（2021秋 江油市期末）△ABC中，∠A＝30°，∠B＝90°，则∠C为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【例9】如图，在中，，，点D为斜边上的中点，则为（ ）
A．10 B．3 C．5 D．4
【3个判定】
1.等腰三角形的判定
判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】
说明：
①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．
②等腰三角形的判定和性质互逆；
③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；
④判定定理在同一个三角形中才能适用．
【例10】下列能判定三角形是等腰三角形的是（ ）
A．有两个角为30°、60° B．有两个角为40°、80°
C．有两个角为50°、80° D．有两个角为100°、120°
2.等边三角形的判定
（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．
（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明．
【例11】如图，在△ABC中，，，点D、E在BC上，AD⊥AC，AE⊥AB．求证：为等边三角形．
3.直角三角形的全等判定
在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.
要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.
（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.
（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.
【例12】如图，在和中，于，于，，相交于点，求证：．
【4个定理】
1.线段垂直平分线性质定理的逆定理
线段的垂直平分线逆定理
和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
要点诠释：
到线段两个端点距离相等的所有点组成了线段的垂直平分线，也就是线段的垂直平分线可以看做是和这条线段两个端点的距离相等的点的集合．
三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心．
【例13】如图，已知AB=AC,∠ABD=∠ACD，求证AD是线段BC的垂直平分线．
2.角平分线性质定理的逆定理
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
要点诠释：
用符号语言表示角的平分线的判定：
若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB
【例14】已知，如图，CE⊥AB,BD⊥AC,∠B＝∠C，BF＝CF.求证：AF为∠BAC的平分线.
3.勾股定理
1.勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么.
要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.
（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.
（3）理解勾股定理的一些变式：，， .
2.勾股定理的证明
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.
图（1）中，所以.
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.
图（2）中，所以.
方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.
，所以.
【例15】在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为、、．
（1）若＝5，＝12，求；
（2）若＝26，＝24，求．
4.勾股定理逆定理
如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.
要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.
（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.
【例16】判断由线段组成的三角形是不是直角三角形．
（1）＝7，＝24，＝25；
（2）＝，＝1，＝；
（3），，()；
【1个应用】
最短与最长路径问题的应用
最短路线问题
在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．
凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
【例17】一牧童在 A 处牧马，牧童的家在 B 处，A，B 处距河岸的距离分别是 AC＝500 m，BD＝700 m，且 C，D 两地间的距离也为 500 m，天黑前牧童从点 A 将马牵到河边 去饮水，再赶回家，为了使所走的路程最短．
（1）牧童应将马赶到河边的什么地点？请你在图中画出来．
（2）问：他至少要走多少路？
【1个技巧】
添加辅助线的技巧
【例18】（2022 鄂尔多斯）如图，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点A，点E是CD中点，若BC＝5，AD＝10，BE＝，则AB的长是 ．
【变式1】如图，小明爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算这块土地的面积，以便估算产量．小明测得，又已知．求这块土地的面积．
【变式2】（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）我们把一组共用顶点，且顶角相等的两个等腰三角形称为头顶头对三角．
【探索一】如图1，布丁在作业中遇到这样一道思考题：在四边形中，，，连接、，若，，求的长．
（1）布丁思考后，如图2，以为边向外作等腰直角，并连接，他认为：．你同意他的观点吗？请说明理由．
（2）请你帮布丁求出的长．
【探索二】如图3，在四边形中，，，，，，若，求的长．
【3种思想】
1.数形结合思想
【例19】已知：如图，和都是等边三角形，且点A、C、E在一条直线上，与相交于点P，与相交于点M，与相交于点N．求证：
（1）；
（2）．
【变式】（2023春·浙江宁波·八年级校联考阶段练习）仅利用已有的格点与无刻度直尺作图，符合条件的点画出一个即可．
(1)在图1中，标出格点P，连结，使平分．
(2)在图2中，标出格点Q，连结，使．
2.分类讨论思想
【例20】（2022秋·浙江杭州·八年级校考期中）如图，将一张三角形纸片的一角折叠，使得点A落在四边形的外部的位置，且与点C在直线的异侧，折痕为，已知，若，当时，则的度数 ；当时，则的度数为 （用表示）．
【变式1】（1）如图，在中，AB=AC，，BD平分交AC于D，请说明是等腰三角形；
（2）在（1）的条件下请设计四个不同的方案，将分割成三个等腰三角形，请直接画出示意图并标出每个等腰三角形顶角度数；
（3）若有一个内角为的三角形被分割成两个等腰三角形，则原三角形中最大内角的所有可能值为 .
【变式2】（2020·黑龙江牡丹江·中考真题）在等腰中，，点D，E在射线上，，过点E作，交射线于点F．请解答下列问题：
（1）当点E在线段上，是的角平分线时，如图①，求证：；（提示：延长，交于点M．）
（2）当点E在线段的延长线上，是的角平分线时，如图②；当点E在线段的延长线上，是的外角平分线时，如图③，请直接写出线段，，之间的数量关系，不需要证明；
（3）在（1）、（2）的条件下，若，则___________．