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【北师大版八年级数学（上）单元测试卷】
第一章 勾股定理
一.选择题：（每小题3分共30分）
1．如图，在中，，分别以的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用，，表示．若，，则的值是（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
2．如图，点在正方形的内部，连接，，若，，，则正方形的面积是（ ）
A． B． C． D．
3．在下列由线段，，组成的三角形中，是直角三角形的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
4．如图，某小区有一块长方形花圃，为了方便居民不用再走拐角，打算用瓷砖铺上一条新路，居民走新路比走拐角近（ ）
A． B． C． D．
5．小强家因装修准备用电梯搬运一些木条上楼，如图，已知电梯的长、宽、高分别是1m，1m，，那么电梯内能放入这些木条的最大长度是（ ）
A．2.6m B．2.4m C．2.2m D．2m
6．我国明代有一位杰出的数学家提出一道“荡秋千”的数学问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉，良工高士素好奇，算出索长有几？”其意思为：如图所示，当秋千静止在地面上时，秋千的踏板离地的距离为一尺（尺），将秋千的踏板往前推两步（每一步合五尺，即尺），秋千的踏板与人一样高，这个人的身高为五尺（尺），求这个秋千的绳索有多长？（ ）
A．12尺 B．尺 C．尺 D．尺
7．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼接成的大正方形，若直角三角形的两条直角边长分别为a，b（），直角三角形的面积为，小正方形的面积为，则用含，的代数式表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题的最重要工具也是数形结合的组带之一，如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度m，将它往前推6m至C处时（即水平距离m），踏板离地的垂直高度m，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（ ）
A．m B．m C．6m D．m
9．如图，在四边形中，，，点C是边上一点，，．．下列结论；①；②；③四边形的面积是；④；⑤该图可以验证勾股定理．其中正确的结论个数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
10．如图，五个正方形放在直线MN上，正方形A、C、E的面积依次为3、5、4，则正方形B、D的面积之和为（ ）
A．11 B．14 C．17 D．20
二.填空题:（每小题3分共15分)
11．如图，在中，，以、和为直径分别作半圆，已知，，则
12．周髀算经是中国最古老的天文学和数学著作，约成书于公元前世纪．周髀算经中记载：“勾广三，股修四，经隅五”，意为：当直角三角形的两条直角边分别为3（勾）和4（股）时，径隅（弦）则为，后人简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”．观察下列勾股数：，，；，，；，，；，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为的一类勾股数，如：，，；，，；，若某个此类勾股数的勾为，则其弦是 ．
13．某校八年级学生小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；
③牵线放风筝的小明的身高为1.7米．
则风筝的垂直高度 米．
14．如图，是一块等腰三角形空地示意图量得，，若从点B向铺设一条输水管道，则管道的最小长度是 m．
15．如图，在中，，和的平分线相交于点O，交于D，交于E，，，则周长为 ．
三.解答题：（共55分）
16．（6分）如图，有一个水池，水面是一边长为6尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，求这根芦苇的长度．
17．（8分）一架云梯长，如图所示斜靠在一面墙上，梯子底端C离墙．
(1)这个梯子的顶端A距地面有多高？
(2)如果梯子的顶端下滑了，那么梯子的底部在水平方向滑动了多少米？
18．（7分）请选择一个图形来证明勾股定理．（可以自己选用其他图形进行证明）
19．（7分）为了绿化校园．学校计划在如图所示的一块四边形的空地（图中阴影部分）上种植草皮，经测量，请求出空地的面积．
20．（9分）如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，将秋千往前推送，到达的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态．
(1)根据题意，_________，_________，_________；
(2)根据（1）中求得的数据，求秋千的长度．
(3)如果想要踏板离地的垂直高度为时，需要将秋千往前推送_________．
21．（9分）著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为），也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则．
(1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．
(2)如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？
(3)在第（2）问中若时，，，，，设，求x的值．
22．（9分）如图，已知是等腰直角三角形，点P以的速度从点B出发沿着射线运动，连接．以为直角边向右作等腰直角，其中，连接，设运动时间为t秒．
(1)当时，则 cm， °；
(2)在点P的运动过程中，能否使为等腰三角形？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由；
(3)请用含t的代数式直接写出的面积．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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【北师大版八年级数学（上）单元测试卷】
第一章 勾股定理
一.选择题：（每小题3分共30分）
1．如图，在中，，分别以的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用，，表示．若，，则的值是（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
解：∵，，
∴，，
∵，
在中，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选B
2．如图，点在正方形的内部，连接，，若，，，则正方形的面积是（ ）
A． B． C． D．
解：，
，
正方形的面积．
故选：．
3．在下列由线段，，组成的三角形中，是直角三角形的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
解：、，故线段、、组成的三角形不是直角三角形，本选项不符合题意；
B、，故线段、、组成的三角形不是直角三角形，本选项不符合题意；
C、，故线段、、组成的三角形不是直角三角形，本选项不符合题意；
D、，故线段、、组成的三角形是直角三角形，本选项符合题意．
故选：D．
4．如图，某小区有一块长方形花圃，为了方便居民不用再走拐角，打算用瓷砖铺上一条新路，居民走新路比走拐角近（ ）
A． B． C． D．
解：根据勾股定理求得，
∴，故选D．
5．小强家因装修准备用电梯搬运一些木条上楼，如图，已知电梯的长、宽、高分别是1m，1m，，那么电梯内能放入这些木条的最大长度是（ ）
A．2.6m B．2.4m C．2.2m D．2m
解：如图：
根据勾股定理：
故
故选：B．
6．我国明代有一位杰出的数学家提出一道“荡秋千”的数学问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉，良工高士素好奇，算出索长有几？”其意思为：如图所示，当秋千静止在地面上时，秋千的踏板离地的距离为一尺（尺），将秋千的踏板往前推两步（每一步合五尺，即尺），秋千的踏板与人一样高，这个人的身高为五尺（尺），求这个秋千的绳索有多长？（ ）
A．12尺 B．尺 C．尺 D．尺
解：设绳索有x尺长，
则，
解得：．
故选：C．
7．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼接成的大正方形，若直角三角形的两条直角边长分别为a，b（），直角三角形的面积为，小正方形的面积为，则用含，的代数式表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
解：∵直角三角形的面积为，小正方形的面积为，
∴，，
∴，，
∴，
∴
故选：D．
8．勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题的最重要工具也是数形结合的组带之一，如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度m，将它往前推6m至C处时（即水平距离m），踏板离地的垂直高度m，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（ ）
A．m B．m C．6m D．m
解：设，则，，
在直角三角形中，根据勾股定理可得：，
即，解得：，
即绳索的长是m；
故选：A.
9．如图，在四边形中，，，点C是边上一点，，．．下列结论；①；②；③四边形的面积是；④；⑤该图可以验证勾股定理．其中正确的结论个数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
解：，，
，
．
在和中，
，
，
∠BAC=∠DCE,∠ACB=∠CED．
．
，
，
故①②正确；
，，
四边形的面积是；
故③错误；
梯形的面积直角三角形的面积两个直角三角形的面积，
，
，，
故④错误，故⑤正确
故①②⑤共3个正确，③④错误．
故选：C．
10．如图，五个正方形放在直线MN上，正方形A、C、E的面积依次为3、5、4，则正方形B、D的面积之和为（ ）
A．11 B．14 C．17 D．20
解：如图：
由题意可得：,,
∴
∴，
∴,
∴,
∵，
∴，
∴,即,
同理：;
∴．
故选C．
二.填空题:（每小题3分共15分)
11．如图，在中，，以、和为直径分别作半圆，已知，，则
解：在中，，
，
，，
，
故答案为：7．
12．周髀算经是中国最古老的天文学和数学著作，约成书于公元前世纪．周髀算经中记载：“勾广三，股修四，经隅五”，意为：当直角三角形的两条直角边分别为3（勾）和4（股）时，径隅（弦）则为，后人简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”．观察下列勾股数：，，；，，；，，；，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为的一类勾股数，如：，，；，，；，若某个此类勾股数的勾为，则其弦是 ．
解：根据题意可得，勾为为偶数且，则另一条直角边，弦．
则弦为．，
故答案为：．
13．某校八年级学生小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：
①测得水平距离的长为15米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；
③牵线放风筝的小明的身高为1.7米．
则风筝的垂直高度 米．
解：在中，
由勾股定理得，，
所以，（负值舍去），
所以，米，
故答案为21.7
14．如图，是一块等腰三角形空地示意图量得，，若从点B向铺设一条输水管道，则管道的最小长度是 m．
解过点D作，
从点B向铺设一条输水管道，则管道的最小长度是的长，
∵
∴在中，，
在中，，
∴，
设，则，
∴，
解得：，
∴，∴
故答案为：
15．如图，在中，，和的平分线相交于点O，交于D，交于E，，，则周长为 ．
解：∵，，，
∴，
如图，延长，交于，延长交于，
∵和的平分线相交于点O，交于E，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
．
∴的周长为．
故答案为：4．
三.解答题：（共55分）
16．（6分）如图，有一个水池，水面是一边长为6尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，求这根芦苇的长度．
解：设水深为尺，则芦苇长为尺，
根据勾股定理得：，解得：，
芦苇的长度（尺），
答：这根芦苇的长度为5尺．
17．（8分）一架云梯长，如图所示斜靠在一面墙上，梯子底端C离墙．
(1)这个梯子的顶端A距地面有多高？
(2)如果梯子的顶端下滑了，那么梯子的底部在水平方向滑动了多少米？
解（1）在中，，，
∴．答：这个梯子的顶端A距地面 ．
（2）在中，，，
∴，∴．
答：如果梯子的顶端下滑了，那么梯子的底部在水平方向滑动了．
18．（7分）请选择一个图形来证明勾股定理．（可以自己选用其他图形进行证明）
解选用第一个图形求证
证明：∵外部是四个全等的直角三角形，
∴中间的四边形为正方形，正方形的面积，
另，正方形的面积
∴；
第二个图形求证
证明：图中由两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形组成一个直角梯形，
等腰直角三角形面积，
另，等腰直角三角形面积
∴
∴
第三个图形求证
证明：图中由四个全等的直角三角形、一个小正方形组成一个大正方形，
中间的小正方形面积
另，小正方形面积
∴
化简，得
19．（7分）为了绿化校园．学校计划在如图所示的一块四边形的空地（图中阴影部分）上种植草皮，经测量，请求出空地的面积．
解：，
在中，有．
在中，，
．
是，且．
20．（9分）如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，将秋千往前推送，到达的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态．
(1)根据题意，_________，_________，_________；
(2)根据（1）中求得的数据，求秋千的长度．
(3)如果想要踏板离地的垂直高度为时，需要将秋千往前推送_________．
（1）解：由题意得：，，，
，，，
四边形是矩形，
，
，
故答案为：，3，1；
（2）解：，
，
设秋千的长度为，
则，，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
即秋千的长度是；
（3）解：当时，，
，
，
由（2）可知，，
，
在中，由勾股定理得：，
即需要将秋千往前推送，
故答案为：4．
21．（9分）著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为），也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则．
(1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．
(2)如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？
(3)在第（2）问中若时，，，，，设，求x的值．
（1）解：梯形的面积为，
也可以表示为，
∴，
即；
（2）∵，
∴，
在中，，
即，
解得，
即，
（千米），
答：新路比原路少0.05千米；
（3）设，则，
在中，，
在中，，
∴，
即，
解得：．
22．（9分）如图，已知是等腰直角三角形，点P以的速度从点B出发沿着射线运动，连接．以为直角边向右作等腰直角，其中，连接，设运动时间为t秒．
(1)当时，则 cm， °；
(2)在点P的运动过程中，能否使为等腰三角形？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由；
(3)请用含t的代数式直接写出的面积．
解（1）是等腰三角形，
，
是等腰三角形，
，
又
在和中，
，
故答案为：2；45；
（2）由（1）得
，
当时，即，此时是等腰三角形，
（秒）；
（3）根据题意得，
在中，
；
在等腰直角三角形中，，
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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