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二次函数解析式的确定【六大题型】
TOC \o "1-3" \h \u
HYPERLINK \l "_Toc1441" 【题型1 利用一般式确定二次函数解析式】 1
HYPERLINK \l "_Toc10308" 【题型2 利用顶点式确定二次函数解析式】 2
HYPERLINK \l "_Toc30807" 【题型3 利用两根式确定二次函数解析式】 3
HYPERLINK \l "_Toc5145" 【题型4 利用平移变换确定二次函数解析式】 4
HYPERLINK \l "_Toc16659" 【题型5 利用对称变换确定二次函数解析式】 6
HYPERLINK \l "_Toc3290" 【题型6 二次函数解析式的确定（条件开放性）】 7
【知识点1】
当题目给出函数图像上的三个点时，设为一般式（，，为常数，），转化成一个三元一次方程组，以求得a，b，c的值.
【题型1 利用一般式确定二次函数解析式】
【例1】（2022秋 闽侯县期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c中的x，y满足下表：
x … ﹣1 0 1 2 3 4 5 …
y … 3.5 1 ﹣0.5 ﹣1 ﹣0.5 1 3.5 …
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）利用上表，在平面直角坐标系画出这条抛物线；
（3）直接写出，当x取什么值时，y＞0？
【变式1-1】（2022秋 淮安区期末）已知一个二次函数的图象过（﹣1，10）、（1，4）、（0，3），求这个二次函数的解析式．
【变式1-2】（2022秋 大连期末）二次函数y＝x2+bx+c的图象经过（2，0），（4，2）两点．求这个二次函数的解析式并写出图象的对称轴和顶点．
【变式1-3】（2022秋 上城区期中）已知二次函数y1＝ax2+bx+c，过（1，﹣32），在x＝﹣2时取到最大值，且二次函数的图象与直线y2＝x+1交于点P（m，0）．
（1）求m的值；
（2）求这个二次函数解析式；
（3）求y1大于y2时，x的取值范围．
【知识点2】
若已知抛物线的顶点或对称轴、最值，则设为顶点式．这顶点坐标为（ h，k ），对称轴直线x = h，最值为当x = h时，y最值=k来求出相应的系数.
【题型2 利用顶点式确定二次函数解析式】
【例2】（2022秋 长汀县校级月考）二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣1．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求该图象的顶点坐标；
（3）观察图象，当y＞0时，求自变量x的取值范围．
【变式2-1】（2022秋 西城区校级期中）抛物线顶点坐标是（﹣1，9），与x轴两交点间的距离是6．求抛物线解析式．
【变式2-2】（2022秋 凉州区校级月考）已知某二次函数的图象如图所示．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）观察图象，当﹣2＜x≤1时，y的取值范围为 .（直接写出答案）
【变式2-3】（2022秋 汉滨区校级月考）已知抛物线顶点为C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点B．
（1）求抛物线的解析式．
（2）求△ABC的面积．
【知识点3】
已知图像与 x轴交于不同的两点，设二次函数的解析式为，根据题目条件求出a的值．
【题型3 利用两根式确定二次函数解析式】
【例3】（2022 包头）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，且图象经过点C（0，﹣3），求这个二次函数的解析式．
【变式3-1】（2022秋 温州校级月考）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，顶点为D．
（1）求此二次函数的解析式．
（2）求点D的坐标及△ABD的面积．
【变式3-2】（2022春 岳麓区校级期末）已知二次函数如图所示，M为抛物线的顶点，其中A（1，0），B（3，0），C（0，3）．
（1）求这个二次函数的解析式及顶点坐标M的坐标．
（2）求直线CM的解析式．
【变式3-3】（2022秋 庐阳区校级期中）二次函数图象经过（﹣1，0），（3，0），（1，﹣8）三点，求此函数的解析式．
【知识点4】
将一个二次函数的图像经过上下左右的平移得到一个新的抛物线．要借此类题目，应先将已知函数的解析是写成顶点式y = a( x – h)2 + k，当图像向左（右）平移n个单位时，就在x – h上加上（减去）n；当图像向上（下）平移m个单位时，就在k上加上（减去）m．其平移的规律是：h值正、负，右、左移；k值正负，上下移．由于经过平移的图像形状、大小和开口方向都没有改变，所以a得值不变．
【题型4 利用平移变换确定二次函数解析式】
【例4】（2022秋 宜春期末）在平面直角坐标系中，抛物线N过A（﹣1，3），B（4，8），O（0，0）三点
（1）求该抛物线和直线AB的解析式；
（2）平移抛物线N，求同时满足以下两个条件的平移后的抛物线解析式：
①平移后抛物线的顶点在直线AB上；
②设平移后抛物线与y轴交于点C，如果S△ABC＝3S△ABO．
【变式4-1】（（2022秋 河东区校级期中）已知抛物线y＝﹣2x2+4x+3．
（1）求抛物线的顶点坐标，对称轴；
（2）当x＝ 时，y随x的增大而减小；
（3）若将抛物线进行平移，使它经过原点，并且在x轴上截取的线段长为4，求平移后的抛物线解析式．
【变式4-2】（2022秋 长葛市校级月考）已知直线y＝x+1与x轴交于点A，抛物线y＝﹣2x2的顶点平移后与点A重合．
（1）求平移后的抛物线C的解析式；
（2）若点B（x1，y1），C（x2，y2）在抛物线C上，且x1＜x2，试比较y1，y2的大小．
【变式4-3】（2022秋 萧山区月考）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（1，0），B（3，0），且过点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）请写出两种一次平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y＝﹣2x上，并写出平移后相应的抛物线解析式．
【知识点5】
根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此|a|永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．
【题型5 利用对称变换确定二次函数解析式】
【例5】（2022 莲湖区二模）已知抛物线W1：y＝ax2﹣bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点与y轴交于点C，顶点为D．
（1）求抛物线W1的表达式；
（2）将抛物线W1绕原点O旋转180°后得到抛物线W2，W2的顶点为D'，点M为W2上的一点，当△D'DM的面积等于△ABC的面积时，求点M的坐标．
【变式5-1】（2022秋 淮南月考）已知抛物线y＝x2+2x﹣1，求与这条抛物线关于原点成中心对称的抛物线的解析式．
【变式5-2】（2022秋 南京期末）已知二次函数的图象如图所示：
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）观察图象，当﹣3＜x＜0时，y的取值范围为 ；
（3）将该二次函数图象沿x轴翻折后得到新图象，新图象的函数表达式为 ．
【变式5-3】（2022 雁塔区校级模拟）已知抛物线L：y＝ax2﹣2x﹣3a与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴相交于点C，点D为抛物线L的顶点，抛物线L′与L关于y轴对称．
（1）求抛物线L的表达式；
（2）在抛物线L′上是否存在点P，使得△PBC的面积等于四边形OCDB的面积？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【知识点6】
此类题目只给出一些条件，只需写出满足此条件的解析式，所以他的答案并不唯一．
【题型6 二次函数解析式的确定（条件开放性）】
【例6】（2022 林州市一模）已知二次函数的图象开口向下，对称轴是y轴，且图象不经过原点，请写出一个符合条件的二次函数解析式 ．
【变式6-1】（2022 虹口区二模）请写出一个图象的对称轴为y轴，开口向下，且经过点（1，﹣2）的二次函数解析式，这个二次函数的解析式可以是 ．
【变式6-2】（2022秋 二道江区校级月考）老师给出一个二次函数，甲，乙，丙三位同学各指出这个函数的一个性质：
甲：函数的图象经过第一、二、四象限；
乙：当x＜2时，y随x的增大而减小，当x＞2时，y随x的增大而增大；
丙：函数的图象与坐标轴只有两个交点；
已知这三位同学叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数 ．
【变式6-3】（2022 徐汇区模拟）定义：将两个不相交的函数图象在竖直方向上的最短距离称为这两个函数的“和谐值”．如果抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与抛物线y＝（x﹣1）2+1的“和谐值”为2，试写出一个符合条件的函数解析式： ．
二次函数解析式的确定【六大题型】
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HYPERLINK \l "_Toc16659" 【题型5 利用对称变换确定二次函数解析式】 14
HYPERLINK \l "_Toc3290" 【题型6 二次函数解析式的确定（条件开放性）】 18
【知识点1】
当题目给出函数图像上的三个点时，设为一般式（，，为常数，），转化成一个三元一次方程组，以求得a，b，c的值.
【题型1 利用一般式确定二次函数解析式】
【例1】（2022秋 闽侯县期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c中的x，y满足下表：
x … ﹣1 0 1 2 3 4 5 …
y … 3.5 1 ﹣0.5 ﹣1 ﹣0.5 1 3.5 …
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）利用上表，在平面直角坐标系画出这条抛物线；
（3）直接写出，当x取什么值时，y＞0？
【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式．
（2）描点、连线画出图象即可；
（3）令y＝0，解方程求得抛物线与x轴交点的横坐标，根据图象即可求得．
【解答】解：（1）由已知可得，
二次函数y＝ax2+bx+c经过点（2，﹣1），（0，1），（4，1）则
，
解得：，
∴二次函数解析式为yx2﹣2x+1；
（2）用描点法画出函数图象，如图所示：
（3）令y＝0，则x2﹣2x+1＝0，
解得：x1＝2，x2＝2，
由图象知，当x＞2或x＜2时，y＞0，
【变式1-1】（2022秋 淮安区期末）已知一个二次函数的图象过（﹣1，10）、（1，4）、（0，3），求这个二次函数的解析式．
【分析】先设所求二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），再把（﹣1，10）、（1，4）、（0，3）代入函数解析式，得到关于a、b、c的三元一次方程组，解即可求a、b、c，进而可得函数解析式．
【解答】解：设所求二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），
根据题意，得，
解得，
∴所求二次函数解析式为y＝4x2﹣3x+3．
【变式1-2】（2022秋 大连期末）二次函数y＝x2+bx+c的图象经过（2，0），（4，2）两点．求这个二次函数的解析式并写出图象的对称轴和顶点．
【分析】把（2，0），（4，2）代入y＝x2+bx+c中，可得二元一次方程组，解二元一次方程组可得，即可求出二次函数解析式，再根据二次函数对称轴的公式x，顶点坐标公式，把a，b，c的值代入计算即可得出答案．
【解答】解：把（2，0），（4，2）代入y＝x2+bx+c中，
得，
②﹣①，
得2b＝﹣10，
解得：b＝﹣5，
把b＝5代入①中，
得4+2×（﹣5）+c＝0，
解得：c＝6，
∴，
∴这个二次函数的解析式y＝x2﹣5x+6，
∴二次函数y＝x2﹣5x+6对称轴是直线x，
由二次函数的顶点坐标公式（，）可得，
二次函数y＝x2﹣5x+6顶点坐标：x，y，
即（）．
【变式1-3】（2022秋 上城区期中）已知二次函数y1＝ax2+bx+c，过（1，﹣32），在x＝﹣2时取到最大值，且二次函数的图象与直线y2＝x+1交于点P（m，0）．
（1）求m的值；
（2）求这个二次函数解析式；
（3）求y1大于y2时，x的取值范围．
【分析】（1）将（m，0）代入直线解析式求解．
（2）根据抛物线对称轴为直线x＝﹣2可得a与b的关系，再将（﹣1，0），（1，﹣32）代入抛物线解析式求解．
（3）联立两方程，根据图象交点横坐标求解．
【解答】解：（1）将（m，0）代入y2＝x+1得0＝m+1，
解得m＝﹣1．
（2）由题意可得抛物线对称轴为直线x2，
∴b＝4a，y＝ax2+4ax+c，
把（1，﹣32），（﹣1，0）代入y＝ax2+4ax+c得，
解得，
∴y＝﹣4x2﹣16x﹣12．
（3）令﹣4x2﹣16x﹣12＝x+1，
解得x＝﹣1或x，
∴抛物线与直线交点横纵标为﹣1和，
如图，
∴x＜﹣1时，y1大于y2．
【知识点2】
若已知抛物线的顶点或对称轴、最值，则设为顶点式．这顶点坐标为（ h，k ），对称轴直线x = h，最值为当x = h时，y最值=k来求出相应的系数.
【题型2 利用顶点式确定二次函数解析式】
【例2】（2022秋 长汀县校级月考）二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣1．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求该图象的顶点坐标；
（3）观察图象，当y＞0时，求自变量x的取值范围．
【分析】（1）由对称轴为直线x＝﹣1，可设抛物线解析式为y＝a（x+1）2+k，再通过待定系数法求解．
（2）由抛物线顶点式求解．
（3）根据抛物线的对称性求出抛物线与x轴的另一交点坐标，进而求解．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+1）2+k，
将（﹣3，0），（0，3）代入y＝a（x+1）2+k得，
解得，
∴y＝﹣（x+1）2+4．
（2）∵y＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线顶点坐标为（﹣1，4）．
（3）∵抛物线经过（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，
∴抛物线经过（1，0），
∴﹣3＜x＜1时，y＞0．
【变式2-1】（2022秋 西城区校级期中）抛物线顶点坐标是（﹣1，9），与x轴两交点间的距离是6．求抛物线解析式．
【分析】由题意设抛物线解析式为y＝a（x+1）2+9，抛物线与x轴的交点坐标分别为（﹣4，0）或（2，0），利用待定系数法即可解决问题．
【解答】解：由抛物线顶点知，抛物线对称轴为直线x＝﹣1，
又与x轴交点间的距离为6，
∴交点横坐标为﹣4与2，
∴两个交点坐标分别为（﹣4，0）、（2，0），
设抛物线解析式为y＝a（x+1）2+9，
把点（2，0）代入0＝9a+9，解得a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）2+9．
【变式2-2】（2022秋 凉州区校级月考）已知某二次函数的图象如图所示．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）观察图象，当﹣2＜x≤1时，y的取值范围为 ﹣4≤y≤0 .（直接写出答案）
【分析】（1）根据顶点坐标设y＝a（x+1）2﹣4，直接把点（1，0）代入即可得到二次函数的解析式；
（2）把x＝﹣2和x＝1分别代入解析式，再根据顶点可得y的取值范围．
【解答】解：（1）∵顶点为（﹣1，﹣4），
∴设二次函数解析式为y＝a（x+1）2﹣4，
把（1，0）代入可得0＝a（1+1）2﹣4，
解得a＝1，
∴y＝（x+1）2﹣4；
（2）当x＝﹣2时，y＝﹣3，当x＝1时，y＝0，
∵y的最小值是﹣4，
∴y的取值范围是﹣4≤y≤0．
故答案为：﹣4≤y≤0．
【变式2-3】（2022秋 汉滨区校级月考）已知抛物线顶点为C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点B．
（1）求抛物线的解析式．
（2）求△ABC的面积．
【分析】（1）已知了顶点C坐标，可用顶点式的二次函数通式设出这个二次函数，然后根据A点的坐标可求出二次函数的解析式；
（2）先根据（1）中求出的二次函数的解析式，求出B点的坐标，然后可用待定系数法用B、A的坐标求出AB所在直线的解析式，求出对称轴与直线AB的交点D的坐标，求三角形CAB的面积转化为三角形BCD和三角形ACD面积之和即可．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+4，
把A（3，0）代入解析式求得a＝﹣1，
所以y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）由（1）知，y＝﹣x2+2x+3，
令x＝0，则y＝3，
∴B点的坐标为（0，3），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
把A（3，0），B（0，3）代入y＝kx+b中，得
，
解得：，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3，
设对称轴直线x＝1与直线AB相交与点D，
∴当x＝1时，y＝2，
∴D点坐标（1，2），
所以CD＝4﹣2＝2，
S△CAB＝S△BCD+S△ACD（1+2）×2＝3，
∴△ABC的面积为3．
【知识点3】
已知图像与 x轴交于不同的两点，设二次函数的解析式为，根据题目条件求出a的值．
【题型3 利用两根式确定二次函数解析式】
【例3】（2022 包头）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，且图象经过点C（0，﹣3），求这个二次函数的解析式．
【分析】设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），将（0，﹣3）代入解析式求解．
【解答】解：∵抛物线经过点A（﹣1，0），B（3，0），
∴设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
将（0，﹣3）代入y＝a（x+1）（x﹣3）得﹣3a＝﹣3，
解得a＝1．
∴抛物线解析式为y＝（x+1）（x﹣3），即y＝x2﹣2x﹣3．
【变式3-1】（2022秋 温州校级月考）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，顶点为D．
（1）求此二次函数的解析式．
（2）求点D的坐标及△ABD的面积．
【分析】（1）先设函数的交点式，然后将点A和点B代入函数解析式得到二次函数的一般式；
（2）将二次函数的一般式化为顶点式，得到顶点D的坐标，然后求得△ABD的面积．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3，
∴此二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．
（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴点D的坐标为（1，﹣4），
∴点D到AB的距离为4，
∵A（﹣1，0），B（3，0），
∴AB＝4，
∴S△ABD4×4＝8．
【变式3-2】（2022春 岳麓区校级期末）已知二次函数如图所示，M为抛物线的顶点，其中A（1，0），B（3，0），C（0，3）．
（1）求这个二次函数的解析式及顶点坐标M的坐标．
（2）求直线CM的解析式．
【分析】根据待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式．
【解答】解：（1）设二次函数解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣3），
将C（0，3）代入得：3＝a（0﹣1）（0﹣3），
∴a＝1，
∴y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3，
∴顶点坐标M（2，﹣1），
（2）设直线CM的解析式为y＝kx+b，
将C（0，3）、M（2，﹣1）代入得：
，
∴．
∴y＝﹣2x+3．
【变式3-3】（2022秋 庐阳区校级期中）二次函数图象经过（﹣1，0），（3，0），（1，﹣8）三点，求此函数的解析式．
【分析】根据抛物线与x轴的交点（﹣1，0），（3，0）可设解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），将点（1，﹣8）代入求得a即可．
【解答】解：根据题意可设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
将点（1，﹣8）代入，得：﹣4a＝﹣8，
解得：a＝2，
∴该二次函数解析式为y＝2（x+1）（x﹣3），
即y＝2x2﹣4x﹣6．
25．
二次函数的解析式y＝x2﹣5x+6，对称轴是直线x，顶点坐标是（）．
【知识点4】
将一个二次函数的图像经过上下左右的平移得到一个新的抛物线．要借此类题目，应先将已知函数的解析是写成顶点式y = a( x – h)2 + k，当图像向左（右）平移n个单位时，就在x – h上加上（减去）n；当图像向上（下）平移m个单位时，就在k上加上（减去）m．其平移的规律是：h值正、负，右、左移；k值正负，上下移．由于经过平移的图像形状、大小和开口方向都没有改变，所以a得值不变．
【题型4 利用平移变换确定二次函数解析式】
【例4】（2022秋 宜春期末）在平面直角坐标系中，抛物线N过A（﹣1，3），B（4，8），O（0，0）三点
（1）求该抛物线和直线AB的解析式；
（2）平移抛物线N，求同时满足以下两个条件的平移后的抛物线解析式：
①平移后抛物线的顶点在直线AB上；
②设平移后抛物线与y轴交于点C，如果S△ABC＝3S△ABO．
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线M和直线AB的解析式；
（2）先求出直线AB与y轴的交点坐标为（0，4），设平移后抛物线的顶点坐标为（t，t+4），则平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣t）2+t+4，接着表示出N（0，t2+t+4），利用三角形面积公式得到 |t2+t+4﹣4| （4+1）＝44×（4+1），然后解绝对值方程求出得到平移后的抛物线解析式．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，
把A（﹣1，3），B（4，8），O（0，0）代入得，解得，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x；
设直线AB的解析式为y＝mx+n，
把A（﹣1，3），B（4，8）代入得，解得m＝1，n＝4，
∴直线AB的解析式为y＝x+4；
（2）当x＝0时，y＝x+4＝4，则直线AB与y轴的交点坐标为（0，4），
设平移后抛物线的顶点坐标为（t，t+4），则平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣t）2+t+4，
当x＝0时，y＝（0﹣t）2+t+4＝t2+t+4，则C（0，t2+t+4），
∵S△ABC＝3S△ABO，
∴ |t2+t+4﹣4| （4+1）＝34×（4+1），
即|t2+t|＝12，
方程t2+t＝﹣12没有实数解，
解方程t2+t＝12得t1＝﹣4，t2＝3，
∴平移后的抛物线解析式为y＝（x+4）2或y＝（x﹣3）2+7．
【变式4-1】（（2022秋 河东区校级期中）已知抛物线y＝﹣2x2+4x+3．
（1）求抛物线的顶点坐标，对称轴；
（2）当x＝ ＞1 时，y随x的增大而减小；
（3）若将抛物线进行平移，使它经过原点，并且在x轴上截取的线段长为4，求平移后的抛物线解析式．
【分析】（1）先把解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质即可得到物线的顶点坐标，对称轴；
（2）根据二次函数的性质求解；
（3）先设平移后的抛物线解析式为y＝﹣2x2+bx，再根据抛物线与x轴的交点问题求出平移后的抛物线与x轴的交点坐标为（0，0）、（，0），利用两交点间的距离可计算出b的值，从而得到平移后的抛物线解析式．
【解答】解：（1）y＝﹣2x2+4x+3＝﹣2（x﹣1）2+5，
所以抛物线的顶点坐标为（1，5），对称轴为直线x＝1；
（2）当x＞1时，y随x的增大而减小；
故答案为＞1；
（3）因为平移后的抛物线过原点，
所以设平移后的抛物线解析式为y＝﹣2x2+bx，
解方程﹣2x2+bx＝0得x1＝0，x2
所以平移后的抛物线与x轴的交点坐标为（0，0）、（，0），
所以||＝4，解得b＝8或﹣8，
所以平移后的抛物线解析式为y＝﹣2x2+8x或y＝﹣2x2﹣8x．
【变式4-2】（2022秋 长葛市校级月考）已知直线y＝x+1与x轴交于点A，抛物线y＝﹣2x2的顶点平移后与点A重合．
（1）求平移后的抛物线C的解析式；
（2）若点B（x1，y1），C（x2，y2）在抛物线C上，且x1＜x2，试比较y1，y2的大小．
【分析】（1）求得A的坐标，然后根据平移的规律即可求得；
（2）根据二次函数的性质即可求解．
【解答】解：（1）∵直线y＝x+1与x轴交于点A，
∴A（﹣1，0），
∵抛物线y＝﹣2x2的顶点平移后与点A重合，
∴平移后的抛物线C的解析式是y＝﹣2（x+1）2；
（2）抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线开口向下，
故当x1＜x2，y1＞y2．
【变式4-3】（2022秋 萧山区月考）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（1，0），B（3，0），且过点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）请写出两种一次平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y＝﹣2x上，并写出平移后相应的抛物线解析式．
【分析】（1）利用交点式得出y＝a（x﹣1）（x﹣3），进而得出a的值，再利用配方法求出顶点坐标即可；
（2）把x＝2代入y＝﹣2x得出y＝﹣4，把y＝1代入y＝﹣2x得出y，进而得出答案．
【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（1，0），B（3，0），可设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣3），
把C（0，﹣3）代入得：3a＝﹣3，
解得：a＝﹣1，
故抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）（x﹣3），
即y＝﹣x2+4x﹣3，
∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，
∴顶点坐标（2，1）；
（2）平移方法有：
①向下平移5个单位，得到：y＝﹣x2+4x﹣8，
把x＝2代入y＝﹣2x得出y＝﹣4，
∵顶点坐标（2，1）；
∴向下平移5个单位，抛物线的顶点为（2，﹣4）；
②向左平移2.5个单位，得到：y＝﹣（x+0.5）2+1，
把y＝1代入y＝﹣2x得出y，
∴向左平移2.5个单位，抛物线的顶点为（，1）．
【知识点5】
根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此|a|永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．
【题型5 利用对称变换确定二次函数解析式】
【例5】（2022 莲湖区二模）已知抛物线W1：y＝ax2﹣bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点与y轴交于点C，顶点为D．
（1）求抛物线W1的表达式；
（2）将抛物线W1绕原点O旋转180°后得到抛物线W2，W2的顶点为D'，点M为W2上的一点，当△D'DM的面积等于△ABC的面积时，求点M的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法解得即可；
（2）由题意求得抛物线W2的顶点坐标和解析式，在坐标系中画出抛物线W2的图象，利用待定系数法求得直线DD′的解析式，过点M作MN∥x轴，交DD′于N，利用S△DD′M＝S△MND′+S△MND，用m的代数式表示出S△DD′M，利用已知条件列出m的方程，解方程即可求得结论．
【解答】解：（1）∵抛物线W1：y＝ax2﹣bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，
∴，
解得：．
∴抛物线W1的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴D（1，﹣4），
∵将抛物线W1绕原点O旋转180°后得到抛物线W2，W2的顶点为D'，
∴D′（﹣1，4），
∴抛物线W2的解析式为y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3．
如图，在坐标系中画出抛物线W2的图象，
当x＝0时，y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
∵A（﹣1，0）、B（3，0），
∴AB＝4，
∴S△ABC6，
过点M作MN∥x轴，交DD′于N，
∵D（1，﹣4），D′（﹣1，4），
∴直线DD′为y＝﹣4x，
设点M（m，﹣m2﹣2m+3），则N（，﹣m2﹣2m+3），
∴MNm，
∴S△DD′M（4+4）＝m2﹣2m﹣3，
∵△D'DM的面积等于△ABC的面积，
∴m2﹣2m﹣3＝6．
解得：m＝1±．
当m＝1时，﹣m2﹣2m+3＝﹣410，
当m＝1时，﹣m2﹣2m+3＝410，
∴M（1，﹣410）或（1，410）．
【变式5-1】（2022秋 淮南月考）已知抛物线y＝x2+2x﹣1，求与这条抛物线关于原点成中心对称的抛物线的解析式．
【分析】求出顶点坐标关于原点对称的坐标，然后利用顶点式解析式写出，再整理成一般形式即可．
【解答】解：抛物线y＝x2+2x﹣1＝（x+1）2﹣2．
所以其顶点（﹣1，﹣2）关于原点对称的点的坐标为（1，2），
所以，抛物线为y＝﹣（x﹣1）2+2＝﹣x2+2x﹣+2，即y＝﹣x2+2x﹣+2．
【变式5-2】（2022秋 南京期末）已知二次函数的图象如图所示：
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）观察图象，当﹣3＜x＜0时，y的取值范围为 ﹣4≤y＜0 ；
（3）将该二次函数图象沿x轴翻折后得到新图象，新图象的函数表达式为 y＝﹣（x+1）2+4 ．
【分析】（1）设顶点式y＝a（x+1）2﹣4，然后把（1，0）代入得求出a即可；
（2）计算自变量为﹣3、0对应的函数值，然后利用函数图象写出对应的函数值的范围；
（3）利用关于x轴对称点的性质进而得出答案．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+1）2﹣4，
把（1，0）代入得4a﹣4＝0，解得a＝1，
所以抛物线的解析式为y＝（x+1）2﹣4；
（2）当x＝﹣3时，y＝（﹣3+1）2﹣4＝0；
当x＝0时，y＝﹣3；
所以当﹣3＜x＜0时，y的取值范围为﹣4≤y＜0，
故答案为﹣4≤y＜0；
（3）∵函数y＝（x+1）2﹣4图象的顶点为（﹣1，﹣4），a＝1
∴该函数的图象沿x轴翻折后得到的函数图象顶点为（﹣1，4），a＝﹣1
∴翻折后得到的函数表达式为y＝﹣（x+1）2+4，
故答案为y＝﹣（x+1）2+4．
【变式5-3】（2022 雁塔区校级模拟）已知抛物线L：y＝ax2﹣2x﹣3a与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴相交于点C，点D为抛物线L的顶点，抛物线L′与L关于y轴对称．
（1）求抛物线L的表达式；
（2）在抛物线L′上是否存在点P，使得△PBC的面积等于四边形OCDB的面积？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把A点坐标代入y＝ax2﹣2a﹣3中求a的值，从而得到抛物线L的表达式；
（2）连接OD，过P点作PQ∥y轴交直线BC于Q点，如图，解方程x2﹣2x﹣3＝0得B（3，0），再配方得y＝（x﹣1）2﹣4，则D（1，﹣4），利用关于y轴对称的点的坐标特征和顶点式得到抛物线L′的解析式为y＝（x+1）2﹣4，即y＝x2+2x﹣3，设P（t，t2+2t﹣3），易得直线BC的解析式为y＝x﹣3，接着计算出四边形OCDB的面积为，所以3×|t2+t|，然后解关于t的方程，从而得到P点坐标．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0）代入y＝ax2﹣2a﹣3得a+2﹣3＝0，
解得a＝1，
∴抛物线L的表达式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）连接OD，过P点作PQ∥y轴交直线BC于Q点，如图，
y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴B（3，0），
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴D（1，﹣4），
∴点D关于y轴的对称点的坐标为（﹣1，﹣4），
∴抛物线L关于y轴对称的抛物线L′的解析式为y＝（x+1）2﹣4，即y＝x2+2x﹣3，
设P（t，t2+2t﹣3），
∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
∵四边形OCDB的面积＝S△OCD+S△ODB3×13×4，
而PQ＝|t2+2t﹣3﹣（t﹣3）|＝|t2+t|，
∴S△PBC3×|t2+t|，
∴t2+t＝5或t2+t＝﹣5，
解方程t2+t＝5得t1，t2，
方程t2+t＝5无实数解，
∴P（，）或（，）．
【知识点6】
此类题目只给出一些条件，只需写出满足此条件的解析式，所以他的答案并不唯一．
【题型6 二次函数解析式的确定（条件开放性）】
【例6】（2022 林州市一模）已知二次函数的图象开口向下，对称轴是y轴，且图象不经过原点，请写出一个符合条件的二次函数解析式 y＝﹣x2+1 ．
【分析】根据二次项系数小于零，图象开口向下，一次项系数等于零，图象的对称轴为y轴，常数项不等于零，图象不过原点，可得答案．
【解答】解：二次函数的图象开口向下，对称轴是y轴，且图象不经过原点，请写出一个符合条件的二次函数解析式y＝﹣x2+1，
故答案为：y＝﹣x2+1．
【变式6-1】（2022 虹口区二模）请写出一个图象的对称轴为y轴，开口向下，且经过点（1，﹣2）的二次函数解析式，这个二次函数的解析式可以是 y＝﹣x2﹣1等（答案不唯一） ．
【分析】设二次函数解析式为y＝ax2+c，将（1，﹣2）代入解析式，得到关于a、c的关系式，从而推知a、c的值．
【解答】解：∵对称轴为y轴，
∴设二次函数解析式为y＝ax2+c，
将（1，﹣2）代入解析式，得a+c＝﹣2，
不防取a＝﹣1，c＝﹣1，得解析式为y＝﹣x2﹣1，答案不唯一．
故答案为：y＝﹣x2﹣1等（答案不唯一）．
【变式6-2】（2022秋 二道江区校级月考）老师给出一个二次函数，甲，乙，丙三位同学各指出这个函数的一个性质：
甲：函数的图象经过第一、二、四象限；
乙：当x＜2时，y随x的增大而减小，当x＞2时，y随x的增大而增大；
丙：函数的图象与坐标轴只有两个交点；
已知这三位同学叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数 y＝（x﹣2）2﹣3 ．
【分析】利用二次函数的性质可判断抛物线开口向上，抛物线与y轴的交点在x轴上方，于是可设a＝1，c＝1，再利用二次函数的确定抛物线的对称轴为直线x＝2，然后利用函数的图象与坐标轴只有两个交点得到抛物线的顶点坐标为（2，0），再设顶点式求抛物线解析式．
【解答】解：由函数的图象经过第一、二、四象限可判断抛物线开口向上，抛物线与y轴的交点在x轴上方，可设a＝1，c＝1，
因为当x＜2时，y随x的增大而减小，当x＞2时，y随x的增大而减大，则抛物线的对称轴为直线x＝2，
由函数的图象与坐标轴只有两个交点，则抛物线的顶点坐标为（2，0），
所以抛物线解析式为y＝（x﹣2）2+m，
把（0，1）代入得1＝4+m，解得m＝﹣3，
即抛物线解析式为y＝（x﹣2）2﹣3．
故答案为y＝（x﹣2）2﹣3．
【变式6-3】（2022 徐汇区模拟）定义：将两个不相交的函数图象在竖直方向上的最短距离称为这两个函数的“和谐值”．如果抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与抛物线y＝（x﹣1）2+1的“和谐值”为2，试写出一个符合条件的函数解析式： y＝x2﹣2x+4 ．
【分析】抛物线y＝（x﹣1）2+1向上或向下平移2个单位求解．
【解答】解：将抛物线y＝（x﹣1）2+1向上平移2个单位可得抛物线y＝（x﹣1）2+1y＝（x﹣1）2+3＝x2﹣2x+4，
故答案为：y＝x2﹣2x+4．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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