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第04讲 全等三角形的判定
知识点 1 判定全等三角形（边边边）
1．三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）．
在△ABC和中，
∴
知识点2 判定全等三角形（边角边）
1．用直尺和圆规作一个角等于已知角(已知角∠AOB，求作∠AOB=∠A'O'B')
①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C．D．
②画一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'．
③以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点D'；
④过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'=∠AOB．
2．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）．
在△ABC和中，
知识点3 判定全等三角形（角边角）
两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）．
在△ABC和中，
知识点4 判定全等三角形（角角边）
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）．
在△ABC和中，
知识点5 判定全等三角形（直角边．斜边）
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边．直角边”或“HL”）．
在Rt△ABC和中，
注意：用“HL”证明两个直角三角形全等，书写时两个三角形符号前面要加上“Rt”．
【题型1 判定全等角形（SSS）】
【典例1】（2022秋 香洲区期末）
1．如图，与相交于点E，．求证：．
【变式1-1】（2022秋 赣县区期末）
2．如图，点A，B，C，D在同一直线上，，，．求证：．
【变式1-1】（2023八上·杭州期末）
3．已知：如图，点在同一条直线上，．求证：．
【变式1-2】（2022八上·京山期中）
4．如图，点B，E，C，F在一条直线上，，，．求证：．
【题型2 判定全等角形（SAS）】
【典例2】（2022秋 郴州期末）
5．如图，已知，，，求证：．
【变式2-1】（2022秋 鲤城区校级期末）
6．如图，点A、、、在同一直线上，，AF∥DE，.求证：.
【变式2-2】（2022秋 黄埔区期末）
7．如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，，，．求证：．
【变式2-3】（2022秋 朝阳区校级期中）
8．如图，点B，F，C，E在同一条直线上，，，．求证：．
【题型3 判定全等角形（ASA）】
【典例3】（2022秋 泉州期末）
9．如图，，点D在边上，．求证：．
【变式3-1】（2023八上·金东期末）
10．已知：如图，点B，F，C，E在一条直线上，，，且．求证：．
【变式3-2】（2023八上·汉阴期末）
11．如图，在和中，点、、在一条直线上，，，．求证：．
【变式3-3】（2022八上·甘井子期末）
12．如图：点B，E，C，F在一条直线上，．求证：．
【题型4 判定全等角形（AAS）】
【典例4】（2022秋 新昌县期末）
13．已知：如图，与相交于点O，，．
求证：．
【变式4-1】（2023八上·宁波期末）
14．如图，点B、E、C、F是同一直线上顺次四点，，，，求证：．
【变式4-2】（2023八上·临湘期末）
15．已知，如图，，，，求证：．
【变式4-3】（2022八上·西城期末）
16．如图，A，D两点在所在直线同侧，，垂足分别为A，D．的交点为E，．求证：．
【题型5 判定全等角形（HL）】
【典例5】（2022秋 宿豫区期末）
17．如图，，，垂足分别为D、C，，．求证：．
【变式5-1】（2022八上·长春期末）
18．如图，已知平分，于E，于F，且．求证：．
【变式5-2】（2023八上·岳池期末）
19．如图，已知是的边上的高，为上一点，且，．求证：．
【题型6 全等角形判定与性质综合】
【典例6】（2022秋 巫溪县期末）
20．如图，点E，F在上，，，．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】（2022秋 万全区期末）
21．在中，，E是上的一点，且，过E作交于D，如果cm，则等于（ ）
A．4cm B．5cm C．8cm D．10cm
【变式6-2】（2022秋 离石区期末）
22．如图，在和中，，，，，则的长为（ ）．
A． B． C． D．
【变式6-3】（2022秋 平城区校级期末）
23．如图所示，BC，AE是锐角的高，相交于点D，若，，，则BD的长为（ ）．
A．2 B．3 C．4 D．5
【典例7】（2022秋 丰都县期末）
24．如图，点E在的外部，点D在上，交于点F，，，．
(1)求证：．
(2)若，猜想的形状并证明．
【变式7-1】（2023八上·金华期末）
25．如图，在△ABC中，D是AB上一点，CF//AB，DF交AC于点E，．
(1)求证：
(2)若，，求BD的长．
【变式7-2】（2023八上·东方期末）
26．如图，在中，，是的平分线，于E．
(1)求证：；
(2)若，求的周长．
【变式7-3】（2023八上·南宁期末）
27．如图，点，，，在同一直线上，点，在异侧，，，．
(1)求证：．
(2)若，试判断的形状，并说明理由；
(3)在（2）的条件下，若，求的度数．
（2023 天府新区模拟）
28．如图，已知，，添加下列条件，能判定的是（ ）
A． B． C． D．
（2023 双流区模拟）
29．如图，在与中，若，，要使这两个三角形全等，还需具备的条件是（ ）
A． B． C． D．
（2022 金华）
30．如图，与相交于点O，，不添加辅助线，判定的依据是（ ）
A． B． C． D．
（2022 成都）
31．如图，在和中，点，，，在同一直线上，，，只添加一个条件，能判定的是（ ）
A． B． C． D．
（2021 重庆）
32．如图，在和中， ，添加一个条件，不能证明和全等的是（ ）
A． B．
C． D．
（2020 永州）
33．如图，已知．能直接判断的方法是（ ）
A． B． C． D．
（2022 南通）
34．如图，点，，，在一条直线上，，，要使，只需添加一个条件，则这个条件可以是 ．
（2022 牡丹江）
35．如图，，，请添加一个条件 ，使．
（2022 黑龙江）
36．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，，请你添加一个条件 ，使．
（2021 齐齐哈尔）
37．如图，，，要使，应添加的条件是 ．（只需写出一个条件即可）
（2020 齐齐哈尔）
38．如图，已知在△ABD和△ABC中，∠DAB＝∠CAB，点A、B、E在同一条直线上，若使△ABD≌△ABC，则还需添加的一个条件是 ．（只填一个即可）
（2023 雁塔区校级模拟）
39．如图，点A、B、F在同一条直线上，与交于点D，若，，，求证：．
（2023 雁塔区校级模拟）
40．如图，在四边形中，，，连接，点M为线段上一点，连接，若，．求证：．
（2023 增城区一模）
41．如图，点E、F在线段上，．求证：.
（2023 荔湾区一模）
42．如图，在四边形中，，，连接．求证：．
（2023 碑林区校级四模）
43．如图，点E在边上，，，．求证：
（2023 化州市一模）
44．如图，在四边形中，，，，垂足分别为E，F，且．求证：．
（2023 昆明模拟）
45．如图，E是上一点，与相交于点F，F是的中点，．求证：．
（2022秋 常州期末）
46．已知：如图，，，．求证：．
（2023 天河区一模）
47．如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别位于直线的两侧，且．求证：．
（2022秋 香洲区期末）
48．如图，与相交于点E，．求证：．
（2022秋 泉州期末）
49．如图，，点D在边上，．求证：．
（2022秋 金东区期末）
50．已知：如图，点B，F，C，E在一条直线上，，，且．求证：．
（2022秋 广饶县校级期末）
51．如图，和的边、在同一直线上（D点在C点的左边），已知，，．求证：．
（2022秋 城关区校级期末）
52．如图，已知：点B、F、C、E在一条直线上，∠B＝∠E，BF＝CE，AC∥DF．求证：△ABC≌△DEF．
（2023 碑林区校级三模）
53．如图，和中，，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 ，使和全等．
（2022秋 邻水县期末）
54．如图，在△ABC中，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线AE，BF，E，F为垂足．AE＝CF，求证：∠ACB＝90°．
（2022春 泾阳县期中）
55．已知：如图，点E、F在线段上，，，，，求证：．
（2022春 鼓楼区校级期末）
56．如图，已知∠A＝∠D＝90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝CD，BE＝CF．求证：Rt△ABF≌Rt△DCE．
（2022春 景泰县校级期中）
57．如图，∠A=∠D=90°，AC=DB，AC、DB相交于点O．求证：OB=OC．
（2021秋 镇平县期中）
58．如图，AB=AC，∠BAC=90°，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，且BD＞CE，
求证：BD=EC+ED
（2022 益阳）
59．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，CD∥AB，DE⊥AC于点E，且CE＝AB．求证：△CED≌△ABC．
（2022 乐山）
60．如图，B是线段AC的中点，，求证：．
（2021 宜宾）
61．如图，已知OA＝OC，OB＝OD，∠AOC＝∠BOD．求证：△AOB≌△COD．
（2022秋 雄县校级期末）
62．如图，在中，，是过点A的直线，于D，于点E；
(1)若B、C在的同侧（如图1所示）且．求证：；
(2)若B、C在的两侧（如图2所示），且，其他条件不变，与仍垂直吗？若是请给出证明；若不是，请说明理由．
（2022秋 仙居县期末）
63．如图，已知，，点B， E， C， F在同一条直线上．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
（2022秋 新邵县期末）
64．如图，在中，D是边上一点，E是边的中点，过点C作，交的延长线于点F．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
（2022秋 沙坪坝区期末）
65．如图，点B、E、C、F在一条直线上，，．
(1)求证：；
(2)若，求的大小．
（2022秋 越城区校级期末）
66．如图，在四边形中，，O为上的一点，且平分平分．求证：
(1)．
(2)．
（2022秋 乌鲁木齐期末）
67．如图，，相交于点O，，．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
参考答案：
1．见解析
【分析】先证明，再根据“”可得答案．
【详解】证明：∵，
∴．
∵，
∴，
即．
在和中，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，灵活选择判定定理是解题的关键．
2．证明见详解
【分析】根据线段的和差求出，利用即可证明．
【详解】证明：∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴．
【点睛】此题考查了三角形全等的判定方法，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．判定三角形全等的方法有：，，，，(直角三角形)．
3．证明过程见详解
【分析】根据边边边证明三角形全等，再根据全等三角形的性质即可求解．
【详解】证明：∵，
∴，即，
在与中，
，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查三角形全等的判定和性质，掌握三角形全等的判定条件，全等三角形的性质是解题的关键．
4．见解析
【分析】根据得到，然后证明，即可得出结论．
【详解】证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴．
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理以及性质定理是解本题的关键．
5．见解析
【分析】先证得，再利用证明．
【详解】证明：∵，
∴，即，
在和中
∴．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
6．详见解析.
【分析】先根据平行线的性质求出∠A=∠D，再利用线段的加减证得AB=DC，即可用“SAS”证明三角形全等.
【详解】∵AF∥DE
∴∠A=∠D
∵AC=DB
∴AC-DB=DB-BC即AB=DC
在△ABF和△DCE中，
∵
∴△ABF≌△DCE
【点睛】本题考查的是三角形全等的判定，掌握三角形的各个判定定理是关键.
7．见解析
【分析】用边角边定理进行证明即可．
【详解】解：
即：
在和中
【点睛】本题考查全等三角形的判定．本题解题关键在于找到条件用角边角定理进行证明．
8．见解析
【分析】根据，可得，再利用可证得．
【详解】证明：∵，
∴，即，
在和中，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
9．见解析
【分析】由三角形的外角的性质可得，由“”可证．
【详解】证明：，且，
，且，，
在和中，
，
≌．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是本题的关键．
10．见解析
【分析】首先求出，进而利用全等三角形的判定定理ASA证明两个三角形全等．
【详解】解：
，
，
在和中，
(ASA)．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
11．见解析．
【分析】先根据平行线的性质得到，再证明即可．
【详解】证明：
在与中
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，平行线的性质；熟知全等三角形的判定定理是解题的关键．
12．见解析
【分析】先利用平行线的性质得出，然后利用等式的性质可得，再根据证明，最后利用全等三角形的性质即可得证．
【详解】证明：∵，
∴．
∵，
∴，即．
在和中，
，
∴．
∴．
【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
13．见解析
【分析】根据得到，结合对顶角相等即可得到证明；
【详解】证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定及三角形全等判定，解题的关键是找到判定的条件．
14．见解析
【分析】证明，得到，利用，即可得证．
【详解】证明：∵，
∴．
在和中，
，
∴（）．
∴，
∴，即．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等，是解题的关键．
15．见解析
【分析】利用平行线的性质证明，再利用证明即可．
【详解】证明：∵，
∴，
在和中，，
∴．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，关键熟练应用判定来求解．
16．见解析
【分析】根据垂直的定义得出，再由全等三角形的判定和性质证明即可．
【详解】证明：∵，垂足分别为A，D，
∴．
∴．
在和中，
∴．
∴．
【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
17．证明见解析．
【分析】根据得到即，后运用直角三角形全等的判定定理证明即可．
【详解】证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
即，
在与中，
，
∴．
【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定，熟练掌握直角三角形全等的判定定理是解题的关键．
18．证明见解析
【分析】先根据角平分线的性质得到，再利用证明即可．
【详解】证明：∵平分，于E，于F，
∴，
在和中，
，
∴．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定，熟知直角三角形全等的判定条件和角平分线上的点到角两端的距离相等是解题的关键．
19．见解析
【分析】根据三角形高的定义得 ，再利用“”来证明≌，再根据全等三角形的性质即可证明．
【详解】证明：∵是的边上的高，
∴，
∴ ．
在和中，
∴≌
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握三角形的判定定理和性质是解题的关键．
20．B
【分析】根据得，则，利用可证明，根据三角形内角和定理和，，可得，即可得．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∵，，
∴，
∴的度数为，
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形判定，三角形内角和定理，线段之间的关系，解题的关键是掌握这些知识点．
21．B
【分析】证明，得到，进而可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴cm，
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，利用证明是解题的关键．
22．B
【分析】在与中，由证明两三角形全等得出，即可求解．
【详解】解：在与中，
，
∴（），
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
23．B
【分析】根据题意得出，再根据同角的余角相等得出，根据AAS证明，最后根据全等三角形的性质及线段的差与和即可得出答案．
【详解】BC，AE是锐角的高
,
故选B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．
24．(1)证明见解析
(2)是等边三角形，证明见解析
【分析】（1）在和中，根据三角形的内角和定理得到，再根据，，运用即可得证；
（2）根据可得，根据全等三角形的性质得到，，根据等边对等角得到，推出，推出是等边三角形．
【详解】（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴；
（2）是等边三角形．
证明：∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形．
【点睛】此题主要考查了全等三角形，等边三角形等，熟练掌握三角形的内角和定理，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定，是解题关键．
25．(1)见解析
(2)
【分析】（1）由题意易得，然后问题可求证；
（2）由（1）可得，然后问题可求解．
【详解】（1）证明：∵CF//AB，
∴，
在和中，
，
∴（AAS）；
（2）解：∵，CF=3，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质及判定是解题的关键．
26．(1)见解析
(2)的周长为12
【分析】（1）利用判定，利用全等三角形的性质即可得出；
（2）由得出，即可得出的周长.
【详解】（1）证明：∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴△DEC的周长为
．
【点睛】此题主要考查角平分线的定义以及全等三角形的判定和性质，熟练掌握，即可解题．
27．(1)证明见解析
(2)是等腰三角形，理由见解析
(3)
【分析】（1）只需要利用证明即可证明；
（2）根据（1）的结论和已知条件推出，即可证明是等腰三角形；
（3）先求出的度数，再根据等边对等角结合三角形内角和定理求出的度数即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：是等腰三角形，理由如下：
∵，，
∴，
∴是等腰三角形；
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，平行线的性质，三角形内角和定理，灵活运用所学知识是解题的关键．
28．B
【分析】根据等式的性质推出，判定已有两组边分别相等，根据三角形全等的判定，可以添加条件是：一边或一角，这个角必须是已知两条边的夹角，据此判断即可．
【详解】解：∵
∴，与答案A条件相同，故答案A不正确，
答案B符合三角形全等的判定SAS，故答案B正确，
答案C、D是边边角的情况，不能判定两个三角形全等，故答案C、D不正确．
故选B．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确全等三角形的判定方法： SSS 、 SAS 、 ASA 、 AAS．
29．C
【分析】根据所给条件可知，应加已知边的夹角才可证明这两个三角形全等．
【详解】解：A、加上，不能证明这两个三角形全等，故此选项不符合题意；
B、加上，不能证明这两个三角形全等，故此选项不符合题意；
C、加上可得，即，根据能证明这两个三角形全等，故此选项符合题意；
D、加上，不能证明这两个三角形全等，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
30．B
【分析】根据，，正好是两边一夹角，即可得出答案．
【详解】解：∵在△ABO和△DCO中，，
∴，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握两边对应相等，且其夹角也对应相等的两个三角形全等，是解题的关键．
31．B
【分析】根据三角形全等的判定做出选择即可．
【详解】A、，不能判断，选项不符合题意；
B、，利用SAS定理可以判断，选项符合题意；
C、，不能判断，选项不符合题意；
D、，不能判断，选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查三角形全等的判定，根据SSS、SAS、ASA、AAS判断三角形全等，找出三角形全等的条件是解答本题的关键．
32．B
【分析】根据已知条件和添加条件，结合全等三角形的判断方法即可解答．
【详解】选项A，添加，
在和中，
，
∴≌（ASA），
选项B，添加，
在和中，，，，无法证明≌；
选项C，添加，
在和中，
，
∴≌（SAS）；
选项D，添加，
在和中，
，
∴≌（AAS）；
综上，只有选项B符合题意．
故选B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法，熟知全等三角形的判定方法是解决问题的关键．
33．A
【分析】根据三角形全等的判定定理解答.
【详解】在△ABC和△DCB中，
,
∴(SAS),
故选：A.
【点睛】此题考查全等三角形的判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，根据已知条件找到全等所需的对应相等的边或角是解题的关键.
34．（或或或）
【分析】根据平行线的性质可得，，添加条件为：或，根据可证明；添加条件为：或，根据可证明．
【详解】解：∵，，
∴，，
①添加条件为：，
在和中，
，
∴；
②添加条件为：，
在和中，
，
∴；
③添加条件为：，
∴，
在和中，
，
∴；
④添加条件为： ，
在和中，
，
∴；
∴这个条件可以是（或或或）．
故答案为：（或或或）．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，平行线的性质．熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
35．∠A＝∠D（答案不唯一）
【分析】根据角边角可证得，即可．
【详解】解：可添加∠A＝∠D，理由如下：
∵，
∴∠DCE=∠ACB，
∵，∠A＝∠D，
∴．
故答案为：∠A＝∠D（答案不唯一）
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
36．OB=OD（答案不唯一）
【分析】根据SAS添加OB=OD即可
【详解】解：添加OB=OD，
在△AOB和△COD中，
，
∴（SAS）
故答案为OB=OD（答案不唯一）
【点睛】本题考查三角形全等判定添加条件，掌握三角形全等判定方法是解题关键．
37．或或（只需写出一个条件即可，正确即得分）
【分析】根据已知的∠1=∠2，可知∠BAC=∠EAD，两个三角形已经具备一边一角的条件，再根据全等三角形的判定方法，添加一边或一角的条件即可．
【详解】解：如图所所示，
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD．
∴∠BAC=∠EAD．
（1）当∠B=∠E时，
（2）当∠C=∠D时，
（3）当AB=AE时，
故答案为：∠B=∠E或∠C=∠D或AB=AE
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定方法，熟知全等三角形的各种判定方法及适用条件是解题的关键．
38．AD＝AC(∠D＝∠C或∠ABD＝∠ABC等）
【分析】利用全等三角形的判定方法添加条件即可求解．
【详解】解：∵∠DAB＝∠CAB，AB＝AB，
∴当添加AD＝AC时，可根据“SAS”判断△ABD≌△ABC；
当添加∠D＝∠C时，可根据“AAS”判断△ABD≌△ABC；
当添加∠ABD＝∠ABC时，可根据“ASA”判断△ABD≌△ABC．
故答案为AD＝AC(∠D＝∠C或∠ABD＝∠ABC等)．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
39．见解析
【分析】直接由即可证明．
【详解】解：∵，
∴，
在和中，
，
∴．
【点睛】本题考查了证明三角形全等，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定定理．
40．证明见解析
【分析】根据等边对等角的性质，得出，进而得到，再利用平行线的性质，得到，，从而得到，然后利用“”即可证明．
【详解】证明：，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
41．见解析
【分析】根据平行线的性质可得，进而根据证明即可．
【详解】证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的性质和全等三角形的判定，熟练掌握是解题的关键．
42．证明见解析．
【分析】首先根据平行线的性质得到，然后利用证明即可．
【详解】证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定定理，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．
43．证明见解析
【分析】根据平行线的性质，得到，再根据三角形外角的性质，得出，即可利用“”证明．
【详解】证明：，
，
，，，
，
在和中，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．
44．见解析
【分析】先证明，再由平行线的性质得，利用即可证明．
【详解】证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质等知识．熟练证明三角形全等是解题的关键．
45．见解析
【分析】直接利用角边角定理证明即可．
【详解】证明：∵F是的中点，
∴，
在和中，
，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握角边角定理是解题的关键．
46．见解析
【分析】由，可得，再根据即可得证．
【详解】证明：，
，即．
在和中，
，
．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，属于基础题，熟练掌握三角形全等的判定方法是解决本题的关键．
47．见解析
【分析】直接利用证明即可．
【详解】证明：∵，
∴，即．
在和中，
，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有等等．
48．见解析
【分析】先证明，再根据“”可得答案．
【详解】证明：∵，
∴．
∵，
∴，
即．
在和中，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，灵活选择判定定理是解题的关键．
49．见解析
【分析】由三角形的外角的性质可得，由“”可证．
【详解】证明：，且，
，且，，
在和中，
，
≌．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是本题的关键．
50．见解析
【分析】首先求出，进而利用全等三角形的判定定理ASA证明两个三角形全等．
【详解】解：
，
，
在和中，
(ASA)．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
51．见解析
【分析】通过两直线平行，内错角相等，证明和的一组角相等，通过等量代换得到一组边相等，结合已知条件即可通过证得两个三角形全等．
【详解】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定方法，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法：三边对应相等的三角形是全等三角形；两边及其夹角对应相等的三角形是全等三角形；两角及其夹边对应相等的三角形全等；两角及其一角的对边对应相等的三角形全等．
52．见解析
【分析】首先利用平行线的性质得出∠ACB=∠DFE，进而利用全等三角形的判定定理ASA，进而得出答案．
【详解】证明：∵AC∥DF，
∴∠ACB＝∠DFE，
∵BF＝CE，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA）．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
53．（或或等）
【分析】由题意得和中，，故要添加条件需得到一组边相等即可．
【详解】解：∵和均为直角三角形，
∴,
又∵，
故要使得和全等，
只需添加条件（或或等）即可．
故答案为：（或或等）
【点睛】本题考查了全等的判定，根据题意得到两个三角形有两组角分别相等，故只要添加一组对应边相等即可．
54．见解析
【分析】根据题意易得Rt△ACE≌Rt△CBF，则有∠EAC＝∠BCF，然后根据等角的余角相等及领补角可求证．
【详解】证明：如图，在Rt△ACE和Rt△CBF中，
，
∴Rt△ACE≌Rt△CBF（HL），
∴∠EAC＝∠BCF，
∵∠EAC+∠ACE＝90°，
∴∠ACE+∠BCF＝90°，
∴∠ACB＝180°﹣90°＝90°．
【点睛】本题主要考查直角三角形全等的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定条件及性质是解题的关键．
55．证明见解析．
【分析】根据得到，根据，运用证得，得到．
【详解】证明：∵，，
∴，
∵，
∴；
∴；
在和中
，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了直角三角形全等，熟练掌握直角三角形全等的判定及性质是解决问题的关键．
56．证明见解析.
【分析】由于△ABF与△DCE是直角三角形，根据直角三角形全等的判定的方法即可证明．
【详解】∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE，
∵∠A=∠D=90°，
∴△ABF与△DCE都为直角三角形，
在Rt△ABF和Rt△DCE中，
BF=CE，AB=CD，
∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）．
57．证明见解析.
【分析】因为∠A=∠D=90°，AC=BD，BC=BC，知Rt△BAC≌Rt△CDB（HL），所以∠ACB=∠DBC，故OB=OC．
【详解】证明：在Rt△ABC和Rt△DCB中 ，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），
∴∠OBC=∠OCB，
∴BO=CO．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．
58．见解析
【详解】试题分析：根据垂直得出∠ADB=∠AEC=90°，从而根据∠CAE+∠BAD=90° ∠ABD+∠BAD=90°得出∠ABD=∠CAE，从而得到△ABD和△CAE全等，根据全等得到AD=CE，BD=AE，最后根据AE=AD+DE得出答案.
试题解析：∵BD⊥AE，CE⊥AE
∴∠ADB=∠AEC=90°
又∵∠CAE+∠BAD=90° ∠ABD+∠BAD=90°
∴∠ABD=∠CAE
在△ABD和△CAE中
∠ADB=∠AEC，∠ABD=∠CAE，AB=AC
∴△ABD≌△CAE
∴AD=CE BD=AE
又∵AE=AD+DE=CE+DE
BD=EC+ED
考点：三角形全等的证明和应用
59．见解析
【分析】由垂直的定义可知，∠DEC＝∠B＝90°，由平行线的性质可得，∠A＝∠DCE，进而由ASA可得结论．
【详解】证明：∵DE⊥AC，∠B＝90°，
∴∠DEC＝∠B＝90°，
∵CD∥AB，
∴∠A＝∠DCE，
在△CED和△ABC中，
，
∴△CED≌△ABC（ASA）．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定、垂直的定义和平行线的性质，熟知全等三角形的判定定理是解题基础．
60．证明过程见详解
【分析】运行平行线的性质可证∠A=∠EBC，∠DBA=∠C，结论即可得证．
【详解】证明∵B是AC中点，
∴AB=BC，
∵，
∴∠A=∠EBC，
∵，
∴∠DBA=∠C，
在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE(ASA)．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定、平行线的性质，掌握两直线平行同位角相等的知识是解答本题的关键．
61．证明见解析
【分析】先证明∠DOC=∠BOA，再由边角边即可证明△AOB≌△COD．
【详解】解：由图可知：，
，
∵，
∴，
在和中： ，
∴．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，属于基础题，熟练掌握三角形全等的判定方法是解决本题的关键．
62．(1)见解析
(2)，见解析
【分析】（1）通过证明，根据全等三角形对应角相等，即可求证；
（2）用和（1）相同的方法证明，根据全等三角形对应角相等，即可求证．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
在和中，
∵，
∴．
∴
∵，
∴．
∴．
∴．
（2）解：．理由如下：
∵，，
∴，
在和中，
∵，
∴．
∴，
∵，
∴，即，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握用证明全等的方法和步骤，以及全等三角形对应角相等，对应边相等．
63．(1)见解析
(2)3
【分析】（1）根据平行线的性质得出，结合题意，利用证明；
（2）根据全等三角形的性质及线段的和差即可得解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）∵，
∴，
∴，
即，
∵，
∴．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用证明是解题的关键．
64．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）首先根据线段中点的概念和平行线的性质得到，，然后利用证明即可；
（2）首先根据全等三角形的性质得到，然后利用线段中点的概念得到，进而利用线段的和差求解即可．
【详解】（1）证明：∵E是边的中点，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵E是边的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，线段中点的和差计算，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定定理．
65．(1)见解析
(2)
【分析】（1）首先利用平行线的性质得，再利用得出，进而得到结论；
（2）根据全等三角形的性质可得，从而得到，进而得到，即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴．
又∵，
∴
在和中，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴．
【点睛】此题主要考查了平行线的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
66．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）先根据平行线的判定方法证明，根据平行线的性质，结合平分，平分即可证明结论；
（2）过点O作于点E，根据角平分线的性质，得出，，证明，，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：过点O作于点E，如图所示：
∵，
∴，，
∵平分，平分，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，，
∴．
【点睛】本题主要考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，到角的两边距离相等的点在角的平分线上，以及全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
67．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由可知和都是直角三角形，因为，，所以根据“”可以判定；
（2）由证明，再结合三角形的外角的性质可得答案．
【详解】（1）证明：∵，
∴和都是直角三角形，
在和中，
，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的外角的性质等知识．根据“有斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”证明是解题的关键．
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