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期末专项训练
平行四边形
考点1 平行四边形的性质
1如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠,使点A 落在 E 处.若∠1=56°,∠2=42°,则∠A的度数为 ( )
A.108° B.109° C.110° D.111°
2 ABCD中,∠ABC的平分线交线段 AD于点 E,DE=1,点 F 是 BE中点,连接 CF,过点 F作 FG⊥BC,垂足为G,设AB=x,若 ABCD的面积为 8,FG的长为整数,则整数x的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.1或3
第2题图 第3题图
3如图,设M 是 ABCD一边上任意一点,设△AMD的面积为 S ,△BMC的面积为S ,△CDM的面积为S，则( )
A. S=S +S B. S＞S +S C. S＜S +S D.不能确定
4 如图,在 ABCD中,点 E,F分别在 BC,AD上,且∠BAE=∠DCF.求证:△ABE≌△CDF.
考点2 平行四边形的判定
5如图,在 ABCD中,点E,F分别在边 AB 和CD上，下列条件不能判定四边形 DEBF
是平行四边形的是( )
A. AE=CF B. DE=BF C.∠ADE=∠CBF D.∠AED=∠CFB
6 如图,点 D 是△ABC的边AB 的延长线上一点，点 F 是边 BC 上的一个动点(不与点 B重合).以 BD，BF为邻边作平行四边形 BDEF,且 (点P,E在直线AB的同侧)，如果 那么△PBC的面积与△ABC 面积之比为________.
7 如图,△ABC中,D是 AB 边上任意一点,F是 AC 中点,过点 C作CE∥AB交 DF的延长线于点 E,连接AE,CD.
(1)求证:四边形 ADCE 是平行四边形;
(2)若 BD,求AD 的长.
8 【模型建立】
(1)如图(1),已知在△ABC中,点 D是 AB边的中点,将△BDC沿CD翻折得到△FDC,连接FA,FB.
①求证：△AFB是直角三角形；
②延长 FA,BC 交于点 E,判断 CF与BE 的数量关系，并证明你的结论.
(2)【拓展应用】如图(2),已知在△ABC中,点D是 AB边的中点,点 E 是 BC 边上一点,将△BDE 沿DE 翻折得到△FDE,连接 FA,FB.
①判断AF 与DE 的位置关系，并证明你的结论；
②若AC∥EF,用等式表示线段 BE,CE,AC之间的数量关系，并证明你的结论.
9 如图，在平面直角坐标系中,已知直线 PA 是一次函数y=x+m(m>0)的图象,直线 PB 是一次函数y=-3x+n(n>m)的图象，点P是两直线的交点，点A，B，C，Q分别是两条直线与坐标轴的交点.
(1)用m,n分别表示点A,B,P的坐标;
(2)若四边形 PQOB 的面积是 且 试求点 P的坐标，并求出直线 PA 与PB的函数表达式；
(3)在(2)的条件下，是否存在一点D，使以A，B，P，D为顶点的四边形是平行四边形 若存在，请直接写出点 D的坐标；若不存在，请说明理由.
考点3 三角形的中位线
10 如图,AB∥CD,E,F分别为AC,BD的中点,若AB=5,CD=3,则 EF的长是( )
A.4 B.3 C.2 D.1
第10题图 第11题图
11 如图,C,D是线段AB 上两点，P是线段CD上的动点，分别以 AP，BP为边在 AB 同侧作两个等边△APE,△BPF,连接EF,M是 EF的中点,已知AB=20,AC=BD=2,当P从C运动到D时(无重复运动)，M点的运动路径长为( )
A.8 B.9 C.10 D.11
12 几何证明.
(1)如图(1),BD,CE 是△ABC 的外角平分线,过点 A 作AF⊥BD,AG⊥CE,垂足分别是F,G,连接 FG,延长AF,AG 与直线 BC 相交.求证：
(2)若 BD,CE 是△ABC 的内角平分线,过点A作AF⊥BD,AG⊥CE,垂足分别是F,G,连接 FG(如图(2)),线段 FG 与△ABC的三边又有怎样的数量关系 写出你的猜想，并给予证明.
考点4 多边形的内角和与外角和
13若一个多边形的每个内角都等于 150°，则这个多边形的边数是( )
A.10 B.11 C.12 D.13
14 如图,在五边形ABCDE中,∠A+∠B+∠E=360°,DP,CP分别平分∠EDC,∠BCD,则∠P=( )
A.50° B.55° C.60° D.65°
第14题图 第15题图
15 如图，一只蚂蚁从点A出发沿直线前进5m，到达点 B后，向左转α角度，再沿直线前进5m，到达点C后，又向左转α角度， ，照这样爬下去，第一次回到出发点，蚂蚁共爬了 50 m，则每次向左转的度数为( )
A.30° B.36° C.40° D.60°
16 若从一个多边形的一个顶点出发，最多可引10条对角线，则这个多边形的内角和是 ( )
A.1980° B.1800° C.1620° D.1440°
17 如图,∠1,∠2,∠3,∠4是五边形 ABCDE的外角,且∠1=∠2=∠3=∠4=75°,则∠AED的度数是( )
A.120° B.115° C.105° D.100°
18 已知一个正多边形的内角和为 1 440°，则它的一个外角的度数为________度.
参考答案
1. C【解析】∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∴∠1=∠ABE=∠EBD+ ∠ABD=56°.由折叠的性质得∠EBD=∠ABD,∴∠ABD= 28°,∴ ∠A=180°-∠2- ∠ABD=180°-42°-28°=110°.故选C.
2. C【解析】延长GF 交AD于点 H,如图所示.
∵四边形 ABCD是平行四边形,FG⊥BC,∴ AD∥BC,∴∠FHE=∠FGB=90°,∠AEB= ∠EBC.∵点F为BE的中点,∴ EF= BF.
在△HFE 和△GFB 中,∴△HFE≌△GFB（AAS）.
GF,∴ HG=2GF.
∵BE 平分∠ABC,∴∠ABE=∠EBC,∴∠ABE=∠AEB,∴ AB = AE.
∵AB=x,∴AE=x.∵DE=1,∴AD=x+1.∵平行四边形ABCD的面积为8,FG的长为整数,
∴(x+1)·2GF=8,∴整数x的值为1或3.
∵当x=1时,AB=1,AD=2,此时平行四边形的面积不可能是8，故舍去，∴x=3，故选C.
3. A【解析】∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=DC.∵△CMD的面积为 高,△ADM 的面积为 高,△CBM 的面积为 高，而它们的高都等于平行四边形的高，∴S +S = 则S=S +S .故选 A.
4.【证明】∵四边形 ABCD是平行四边形,∴∠B=∠D,AB=CD.
在△ABE与△CDF中 ∴△ABE≌△CDF(ASA).
5. B 【解析】A 选项,由AE=CF 可以推出DF=EB.∵DF∥EB,∴四边形DEBF是平行四边形. B选项,由DE=BF不能推出四边形 DEBF是平行四边形，有可能是等腰梯形. C 选项,由∠ADE=∠CBF可以推出△ADE≌△CBF,进而推出DF=EB.∵DF∥EB,∴ 四边形 DEBF 是平行四边形. D选项,由∠AED=∠CFB 可以推出△ADE≌△CBF,进而推出DF=EB.∵DF∥EB,∴四边形 DEBF 是平行四边形. 故选 B.
6.2:3 【解析】如图,过点 P作PH∥BC交AB于H,连接CH,PE.
∵AP平行且相等BE,∴四边形 APEB 是平行四边形,∴PE∥AB,PE=AB.
∵四边形 BDEF是平行四边形,∴ EF∥BD,EF=BD,即EF∥AB,∴P,E,F共线.
设 ∴PE=AB=3a,则 PF=PE-EF=2a.
∵PH∥BC,∥四边形 BFPH 是平行四边形，
∴
故答案为2:3.
7.(1)【证明】∵AB∥CE,∴∠CAD=∠ACE,∠ADE=∠CED.∵F是 AC 中点,∴ AF= CF.在△AFD与△CFE中
∴DF=EF,∴四边形 ADCE 是平行四边形.
(2)【解】过点 C 作 CG⊥AB于点 G,如图.
∵CD=BD,∠B = 30°,∴∠DCB=∠B =30°,∴∠CDA=60°.
在△ACG中,
在△CGD中
∴∠GCD=30°,∴CD=2GD,∴GD +CG =(2GD) ,
8.(1)①【证明】∵将△BDC 沿 CD 翻折得到△FDC,∴BD=FD,∴∠DFB=∠DBF.
∵点D是AB边的中点,∴AD=BD,∴DF=AD,∴∠DAF=∠DFA.
∵∠DAF+∠DFA+∠DFB+∠DBF=180°,∴∠AFB=90°,∴△AFB是直角三角形.
②【解】
证明:如图(1)∵将△BDC沿 CD翻折得到△FDC,∴CF=BC,∴∠CBF=∠CFB.
由①知∠AFB=90°,∴∠CBF+∠E =∠CFB+∠CFA = 90°,∴∠E=
(2)【解】①AF∥DE.证明:由(1)知,∠AFB=90°,∴∠AFE+∠EFB=90°.
∵将△BDE 沿 DE 翻折得到△FDE,∴ EF=EB,∠FED=∠BED,∴∠EFB=∠EBF.
∵∠FED+∠BED+∠EFB+∠EBF=180°,∴∠FED+∠EFB=90°,∴∠AFE=∠FED,∴AF∥DE.
②AC+CE=BE.证明:如图(2),延长AC,DE 交于G,∴∠CEG=∠BED.
∵将△BDE 沿 DE 翻折得到△FDE,∴∠BED=∠FED,EF=BE.
∵AC∥EF,∴∠G=∠FED,∴∠G=∠CEG,∴CG=CE.
∵AF∥DG,∴四边形 AFEG 是平行四边形,∴ AG= EF,∴AG=BE.
∵AG=AC+CG=AC+CE,∴AC+CE=BE.
9.【解】(1)在直线y=x+m中,令y=0,得x=-m,∴点A(-m,0).
在直线y=-3x+n中,令y=0,得 点
由 得 ∴点
(2)易得 C(0,n),Q(0,m).
得
解得 m=±4.
直线PA的表达式为y=x+4,直线 PB的表达式为 y=-3x+6.
(3)存在，点 D的坐标为 或 或
如图，过点 P作直线 PM平行于 x轴，过点 B作AP的平行线交直线 PM于点 D ，过点 A 作 BP 的平行线交直线 PM 于点 D ,交直线 D B于点 D .
①∵PD ∥AB,BD ∥AP,∴四边形 PABD 是平行四边形，此时PD =AB,易得
②∵PD ∥AB,AD ∥BP,∴四边形 PBAD 是平行四边形，此时PD =AB,易得
③∵BD ∥AP,AD ∥BP,∴四边形 BPAD 是平行四边形.
∵BD ∥AP 且B(2,0),∴ 同理可得
联立得 解得
综上，点 D的坐标为 或 或
10. D【解析】如图,连接 DE 并延长交 AB于H.
∵CD∥AB,∴∠C=∠A,∠CDE=∠AHE.
∵E是 AC的中点,∴AE=CE,∴△DCE≌△HAE (AAS ), ∴ DE = HE,DC=AH.
∵F是BD的中点,∴EF 是△DHB 的中位线,∴ ∴EF=1.故选D.
11. A 【解析】如图,延长AE,BF 交于点G,连接GC,GD,PG.
∵△APE,△BPF 是等边三角形,∴∠A=∠FPB=60°,∴AE ∥FP.
∵∠B =∠EPA = 60°, ∴PE∥BG,∴四边形 PEGF 为平行四边形,∴GP与EF互相平分.∵M是EF的中点,∴M为PG的中点，即在P运动过程中，点M始终为GP的中点，∴点M运动的轨迹为△GCD的中位线.∵CD=AB-AC-BD=20-2-2=16,∴△GCD的中位线的长为 ∴ M点的运动路径长为8.故选A.
12.(1)【证明】如图(1),设AF,AG 的延长线分别交直线 BC于点 M,N.
∵AF⊥BD,∴∠AFB=∠MFB=90°.∵BD平分∠ABM,∴∠ABF=∠MBF.
在△ABF和△MBF中 ∴△ABF≌△MBF(ASA),∴MB=AB,AF=MF,同理可得 CN=AC,AG=NG,∴F,G分别是 AM,AN的中点,∴FG是△AMN的中位线,∴
(2)【解】猜想: 证明如下：
如图(2),分别延长 AG,AF,与直线 BC 相交于点M,N.
∵AF⊥BD,∴∠AFB=∠NFB=90°.∵BD平分∠ABC,∴∠ABF=∠NBF.
在△ABF和△NBF中, ∴NB=AB,AF=NF,同理可得 CM=AC,AG=MG,∴F,G分别是 AN,AM的中点,∴ FG 是△AMN的中位线，∴
13. C【解析】设多边形的边数为 n，由题意可得180°·(n-2)= 150°·n,解得 n=12.故选C.
14. C【解析】∵在五边形ABCDE中,∠A+∠B+∠E=300°,∴∠EDC+∠BCD=240°.又∵DP,CP 分别平分 ∠BCD) = 120°,∴在△CDP 中,∠P = 180°-(∠PDC+∠PCD)= 180°-120°=60°.故选C.
15. B【解析】由题意知，蚂蚁前进的轨迹所形成的图形是正多边形，其边数为 50÷5=10，则左转的角度是360°÷10=36°.故选 B.
16. A【解析】∵从一个多边形的一个顶点出发，最多可引10 条对角线，∴多边形的边数为 10+3=13，∴这个多边形是十三边形，∴这个多边形的内角和为(13-2)×180°=1 980°.故选A.
17. A【解析】如图,
∵∠1=∠2=∠3=∠4=75°,∴∠5=360°-75°×4=360°-300°=60°,
∴∠AED=180°-∠5= 180°-60°= 120°.故选 A.
18.36 【解析】设该正多边形的边数为 n.根据题意，得180(n-2)= 1 440,解得 n=10,∴这个正多边形的一个外角的度数等于360°÷10=36°.故答案 36.
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