卷子答案网-一个不只有答案的网站第40届全国中学生物理竞赛复赛试题
（2023 年 9 月 16 日上午 9:00-12:00）
考生必读
1、 考生考试前请务必认真阅读本须知。
2、 本试题共 8 道题，5 页，总分为 320 分。
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4、 需要阅卷老师评阅的内容一定要写在答题纸上；写在试题纸和草稿纸上的解答一律不能得分。
一、（40 分）利用智能手机的相机可以进行光学实验。手机的镜头是一个由许多元件组成的系统，这些镜头元件
被封装后只有几毫米厚，因此可以安装在厚度不到一厘米的手机中。相机的图像传感器以像素为单位记录所拍摄
的物体的像，借助软件可以读取像的实际尺寸。在以下问题中，将手机镜头视为结构固定的共轴理想透镜组，可
以证明其物像关系等效于一个凸透镜，可以利用薄透镜成像公式进行有关计算。与薄透镜不同的是，需要在光轴
上确定一对参考点 H、H′（称为主点）作为计算物距、像距、焦距的起点，如图 1a 所示。本题所有成像光路都
满足近轴条件。
物 像 物 像
物距 像距 物距 像距
透镜组 薄透镜
图 1a. 透镜组的物像关系和薄透镜的物像关系
（1）物体通过镜头成像时，由于透镜组封装在手机内部，在镜头结构与参数未知的情况下无法直接确定主点位
置，因而无法直接用尺子测量物距 u 的具体数值。实验中，可以沿光轴前后移动与光轴垂直、长度为 l 的刻度尺，
使其在物距为 u1 和 u2 的两个位置分别成像，测量出刻度尺移动的距离 s u2 u1和对应像的长度大小 l1、l2。求：
（i）该镜头的等效焦距 F（用测得的 l、l1、l2 和 s 表示）；
（ii）物距 u1（用测得的 l、l1、l2 和 s 表示）。
（2）若透镜组由两个焦距分别为 f1 和 f2的共轴薄凸透镜 1 和 2 组成，它们的光心分别为 O1 和 O2，间距为 d。物
（实或虚）的光依次通过透镜 1 和 2 成像时，透镜组存在横向放大率为＋1 的一对物面和像面（称为主平面），
它们与光轴的交点分别称为物方主点 H 和像方主点 H′。
（i）将 H 看作透镜 1 的“物”，求 H 相对于 O1的物距；将 H′看作透镜 2 的“像”，求 H′相对于 O2 的像距。
（ii）透镜组成像时，物距、物方焦距从物方主点 H 算起，像距、像方焦距从像方主点 H′算起，求物方焦距 F
和像方焦距 F′。
二、（40 分）如图 2a，将一个粗细均匀、两端封闭的细玻璃管弯成半径为 r的
半圆环（玻璃管的横截面半径远小于 r），竖直固定于水平地面上，两端面与地
面接触；玻璃管内有一个质量为m的活塞（薄金属片），活塞与管内壁密接，两 r
者之间的摩擦可忽略不计，活塞在半圆环内相对于竖直方向的角位置记为 。
活塞两边管内各有n摩尔的理想气体，且其温度始终与外界温度T （绝对温度）
相同。已知重力加速度大小为 g ，普适气体常量为 R ，所有涉及的气体状态变 图 2a
化的过程均可视为准静态过程。
（1）当温度T 高于某临界温度Tc 时，玻璃管的正中央（ 0）是活塞的稳定平衡位置。求临界温度Tc 的表达式，
1
并计算活塞在该平衡位置附近做微振动的圆频率；
（2）当温度T Tc 时，分析并判断活塞在玻璃管正中央时平衡的稳定性。
解答如下几问时，可将Tc 看作为已知参量，不必代入（1）中的结果。
（3）当T Tc时，求活塞的稳定平衡位置与竖直方向的夹角 0 所满足的方程，并给出温度略小于Tc 时 0 的近似
表达式（保留至非零的最低阶）；
（4）当T Tc时，求活塞在稳定平衡位置附近微振动的圆频率 0对 0 的依赖关系 0( 0)（表达式中可含有上一
问中的 0 参量，但不可包含T 参量），并给出温度T 略大于Tc 和略小于Tc 两种情况下，活塞微振动的圆频率对温
度的依赖关系；
（5）当T Tc时，假设活塞的初始速度近似为零，求活塞从正中央运动到可到达的角位置 处的角速度大小。
三、（40 分）如图 3a，倾角为 、质量为M 的三角形楔块放在光滑的水平地面
上，其斜面上有一个质量为m、半径为 r的匀质圆球，让该球从静止开始自由
向下运动，整个过程中楔块无转动。重力加速度大小为 g ，假设圆球与楔块之
间的静摩擦因数和滑动摩擦因数均为 。
（1）若 足够大，使得球无滑动地滚下，求： 图 3a
（i）楔块相对于地面的加速度的大小a0 ；
（ii）匀质圆球质心相对于楔块的加速度的大小ac ；
（iii）地面对楔块的支持力的大小 N ；
（iv）楔块对圆球的支持力的大小N1；
（v）为了使匀质圆球保持无滑滚动，球与楔块之间摩擦因数 的最小可能值 0 ；
（2）若 小于第（1）（v）问中的 0 ，且楔块斜面足够长, 求圆球从静止开始运动一段时间 t 后，圆球上与楔
块接触的点 P 相对于楔块的速度。
四、（40 分）北宋著名画家张择端所绘的《清明上河图》中有一座用木材制作的“编木拱桥”（图 4a），形成一道
飞虹架设在河上。四百多年后达·芬奇也曾留下类似的设计手稿，至今为世人称奇。图 4b 是五个单元组成的编木
拱桥实物模型，每个单元包含一对与纸面平行的长杆和一根垂直于纸面的短杆，它没有钉也没有卯，整个结构的
所有组件在重力作用下互相挤压而结合在一起，靠支持力和摩擦力互相支撑，互相制约。真实桥梁需要在木材上
开槽，以提升桥的安全性。
图 4b
图 4a
考虑一个简化的编木拱桥模型，即仅有三个单元的左右对称的拱桥，图 4c 是其侧视图。在简化模型下，只
考虑拱桥在竖直平面（纸面）内的平衡，将与纸面平行的每一对长杆等效为一根质量为 M 的杆，则此编木拱桥
可进一步简化为六根杆：三根短杆 A、A′、B 和三根长杆 C、D、D′。所有的杆都是半径为 R 的匀质圆柱体，没
有开槽。短杆的质量均为 m，长杆的长度均为 L，长杆之间互不接触。短杆 B 表面是光滑的，其余杆之间的静摩
2
擦因数均为 μ，杆与地面间的静摩擦因数为 μ′。长杆 D、D′与水平地面的夹角均为 θ。重力加速度大小为 g。
B
C
A A
b
a
D
D
图 4c 三单元编木拱桥侧视图（简化为六根杆）
f1
N
1 f2 N NN 4 4
2 N3
mg
mg
图 4d. A 杆的受力图 图 4e. B 杆的受力图
（1）已知图 4c 中 D 杆下端到与 A 杆的接触点之间的长度为 a，求 D 杆下端到与 B 杆的接触点之间的长度 b 的
表达式。
（2）系统平衡时，考虑到杆 A 与 A′对称，杆 D 与 D′对称，分析图 4c 中 A、B、C、D 四根杆的受力情况。图
4d、4e 分别给出了 A、B 两根杆的受力，请画出图 4c 中 C、D 两根杆的受力图，为简明起见，每一对作用力和
反作用力请用同一符号表示。对 A、B、C、D 四根杆分别列出相应的力平衡方程（必要时包括力矩平衡方程）。
（3）设M 6m， 45 ， L 30 cm， a 16 cm， R 2( 2 1) cm，试求静摩擦因数 μ 和 μ′满足什么数值条
件时，图 4c 所示的结构能保持平衡（数值结果保留三位有效数字）？
五、（40 分）如图 5a，一个质量为m、带电量为 e 的正点电荷在固定于原点O 处的电偶极
子作用下运动，电偶极子的电偶极矩 p 指向 z 轴正方向。设 r t 是点电荷在 t 时刻的位置
矢量，其大小为 r t ，与 p 的夹角为 t 。已知 r t 0 r0 0 ， t 0 0 ，真空
介电常量为 0 ，电偶极子的电场和电势分别为
3 p r r p p r O
E ,
4 0r
3 4 0r
3
其中 r 为 r 的单位方向矢量。
图 5a
（1）假定点电荷在垂直于 z 轴的平面内绕着 z 轴作匀速圆周运动。据此确定 0 以及点电荷
作圆周运动的速度大小 v0 。
（2）假定 t 0 时刻点电荷是静止的，
（i） 求出在此后的运动过程中，点电荷相对原点O 的角动量大小 L 对 的依赖关系 L ；
（ii） 求出在此后的运动过程中，点电荷径向速率 vr 对 r 的依赖关系 vr r ；
3
（iii） 0 满足什么条件时，点电荷的运动范围在空间上是有界的？不考虑点电荷与偶极子碰撞的情形，如果 0
的数值正好取有界运动的边界值时，确定点电荷在竖直平面内的运动轨道；
（iv） 如果 0 的数值可使点电荷的运动是无界的，求点电荷的径向距离随时间的变化关系 r t 。
六、（40 分）处在交变磁场中的块状导体，其内部会出现涡电流。利用涡
电流的热效应可加热和冶炼金属；利用涡电流的机械效应实现对导体的制
动、驱动、悬浮等。为了研究涡电流的这两个效应，考查如图 6a 所示的
装置：半径为b 、载有交变电流 I t I0 cos t 的线圈固定在水平桌面上；
重量为G 、半径为 a 、电导率为 的导体球的球心位于线圈中心正上方高
2
为 h 处。设 a b ，并设导体球的趋肤深度 a ，其中
0
为
0
真空磁导率。忽略电磁辐射。
（1）将原本内部无磁场的、半径同为 a 的理想导体球（ ）置于均
匀、稳恒的外磁场 Be Be z 中。已知此情形下磁化电流在球外产生的磁场
图 6a
B ，与置于球心处的理想磁偶极子（相当于小电流环）产生的磁场相同，即 B 可以表示为
B 0 3 m r r m
4 r3
其中m 是小电流环的磁矩（电流强度与面元矢量的乘积），也是该理想导体球的磁矩。将 Be 看作为已知，求磁
矩m ，并确定导体球表面的面电流密度分布；
（2）求图 6a 中所示的载流线圈在球心处 t 时刻产生的磁感应强度 B；
（3）为了使导体球能够悬浮在所给位置处， I0 应近似为多大？（假设 足够大，以至于导体球在悬浮位置附近
的振动幅度可忽略）。提示：若磁偶极子的磁矩m 与其所在位置处的外磁场 Be 均与 z 轴平行，z 分量分别为m 和
Be Be z ，则磁偶极子所受安培力可以表示为
dB
F m e z
dz
（4）计算涡电流的热效应时，必须考虑在趋肤深度范围内的涡电流分布。为简单起见，设涡电流在趋肤深度内
沿着径向是均匀分布的，而导体球内部其余各处的涡电流则为零。试求涡电流在一个周期内的平均热功率的近似
表达式（要求最终表达式中不含 参量）。
七、（40 分）大气层最底部是对流层，厚度约为10 km 。在对流层中，空气的温度随高度升高而降低。对流层顶
部之上10 km 左右的范围内温度近似不随高度变化，被称为同温层；同温层之上一定
高度范围内大气温度会随高度升高而升高，被称为逆温层，如图 7a 所示。在此基础
上，讨论如下问题：
（1）由于阳光照射，地表附近的空气温度较高。对流层中温度变化可以看成是空气
缓慢地绝热上升的结果。求对流层中空气温度和高度的关系。设地表温度为T0 ，空
气是理想气体，其摩尔质量为 ，等压比热和等容比热的比值为常数 ，普适气体
常量为 R 。对流层中重力加速度近似为常量 g 。
（2）气体中声音的传播速度 v
dp 图 7a
s ，其中 p 是压强， 是气体的密度。不
d 绝热
考虑风的影响，求声速与空气温度T 的关系，并讨论图 7a 所示的大气各层中声速随高度的变化。
（3）声波在声速不同的介质中传播时，也会发生折射和反射，遵循和光传播类似的规律。为简单起见，可以把
上述大气层模型进一步简化，假设大气各层之间的界面为平面，并且对流层的温度和逆温层中的温度都不随高
度变化，均为 10 C，同温层的温度为 55 C。在此模型中，考虑一个位于同温层内的声源，其发射的声波入
4
射到同温层与对流层/逆温层的界面上。请分析对于不同的入射角，这些声波的折射和反射行为，即在什么情形
下，可以发生折射？在什么情形下，可以发生全反射？并定性画出相应情形下声波的传播图示。（ 0 C为
273.15 K ）。
（4）仍简化地认为对流层、同温层和逆温层各自温度不随高度变化，其间分界面为同心球面，对流层与逆温层
温度相同，且均高于同温层温度。现考虑一声源和一探测气球，二者均可处于对流层或同温层。忽略地面的反
射以及在可以发生折射时的反射，不考虑大气对声波能量的吸收，按照声源和探测气球分别处于对流层和同温
层的 4 种不同的情况，请指出在哪些情况下探测气球可以探测到远距离（几千 km 外）发出的声音，哪些情况
下只能探测到短距离（小于 1000 km）发出的声音，并简要通过估算说明理由。已知地球半径 Re 6371 km。
八、（40 分）采用 X 射线光谱与光电子能谱方法，可以获得物质结构的有关信息，相应的实验仪器结构示意图如
图 8a 所示。图中 X 射线管由电子枪阴极和金属阳极构成，由阴极产生的电子被电压加速后与金属阳极碰撞产生
X 射线（不考虑电子与阳极碰撞前的辐射），其光谱包括连续的轫致辐射谱和分立的特征谱。实验上选取特定波
长的特征 X 射线与材料靶相互作用，利用 X 射线光谱仪和光电子能谱仪分别探测出射的 X 射线和光电子。
已知：里德堡常量 R 10973731 m
1； hc 1240 nm eV ，其中 h 和 c 分别为普朗克常量和真空中的光速。
0 1
图 8a. 仪器结构示意图 图 8b. 实验观测的 X 射线散射光谱
（1）玻尔理论可用来解释氢原子及类氢原子或离子体系的能级与光谱，体系电子的能量和状态与量子数 n 有关。
对于多电子原子体系，可以依据 n 的不同，把原子内部电子分为 K 壳层（ n 1）、L 壳层（ n 2 ）和 M 壳层（ n 3）
等。已知 X 射线管中金属阳极原子的 K 壳层电子能量为 20.1 keV ，
（i）阴极发射的电子至少需要被多大的电压加速，才能使金属原子 K 壳层的一个电子电离，从而发生 L 壳层电
子向 K 壳层跃迁，发射出特征 X 射线（称为该金属的K 线）？（结果保留三位有效数字）
（ii）在此加速电压下，X 射线管发出的连续 X 射线光的最短波长是多少？（结果保留三位有效数字）
（ⅲ）若该金属原子发出的 K 特征 X 射线光子能量为17.44 keV ，试计算出该原子的核电荷数。
（2）利用波长为 0 的K 射线与某一材料靶作用，假设材料靶中的电子静止，其静质量为m 。已知散射 X 光与
入射 X 光方向之间的夹角为 ，如图 8a 所示。求与电子散射后光的波长 1和光电子的动能。
（3）实验上在 135 处测量的散射光谱如图 8b 所示，可以看出有两个光谱峰。试说明这两个光谱峰（峰值波
长分别为 1和 0 ）的来源，以及 1光谱峰的宽度大于 0 光谱峰的宽度的原因。
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