卷子答案网-一个不只有答案的网站2022-2023学年上海四中七年级（下）期中数学试卷
一、选择题（每题2分，共12分）
1．（2分）以下计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2分）下列说法正确的是（ ）
A．无限小数是无理数
B．1的任何次方根都是1
C．任何数都有平方根
D．实数可分为有理数和无理数
3．（2分）若a、b是不相等的无理数，则（ ）
A．a+b一定是无理数 B．a﹣b一定是无理数
C．a b一定是无理数 D．不一定是无理数
4．（2分）下列图形中，由AB∥CD，能得到∠1＝∠2的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2分）如图，下列说法中错误的是（ ）
A．∠1与∠4是同位角 B．∠3与∠4是内错角
C．∠B与∠3是同位角 D．∠1与∠3是同旁内角
6．（2分）下列说法：
①平面内，垂直于同一直线的两条直线平行；
②两条直线被第三条直线所截，内错角相等；
③如果直线a∥b，b∥c，那么a∥c；
④直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；
⑤两平行线被第三条直线所截，同旁内角的角平分线互相垂直．
其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题（每题2分，共32分）
7．（2分）的平方根等于
8．（2分）比较大小：﹣2 ﹣3．（用符号“＞，＝，＜”填空）
9．（2分）把写成底数是整数的幂的形式是 ．
10．（2分）月球沿着一定的轨道围绕地球运动，某一时刻它与地球相距405 500千米，用科学记数法表示这个数并保留三个有效数字 ．
11．（2分）数轴上A，B两点之间的距离是，点A在数轴上表示的数为 ．
12．（2分），则ab+1＝ ．
13．（2分）三角形三边长分别为1，1﹣a，9，则a的取值范围是 ．
14．（2分）若a3＝b，，则m＝ ．
15．（2分）如图，直线AB和CD相交于点O，∠BOE＝90°，则∠AOC＝ ．
16．（2分）如图，已知DE∥BC，∠EDB比∠B的两倍小15° ．
17．（2分）如图，m∥n，则∠1、∠2、∠3、∠4间的数量关系是 ．
18．（2分）已知两个角的两边分别平行，且其中一个角比另一个角的3倍少40°，那么这两个角的度数分别是 ．
19．（2分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，则线段CD＝ ．
20．（2分）如图，已知，AB∥CD，∠C＝70°，则∠AEC＝ ．
21．（2分）如图，AD∥BC，AC、BD交于点E，三角形CBE的面积等于3，那么三角形DBC的面积等于 ．
22．（2分）图（1）是长方形纸带，将纸带沿EF折叠成图（2）（3），在图（1）中∠DEF＝α，图（3） ．
三、计算题（每题5分，共25分）
23．（5分）计算：5﹣3．
24．（5分）计算：．
25．（5分）计算：（）．
26．（5分）计算：（3×2）6．
27．（5分）计算（结果表示为含幂的形式）：（）×（）×．
四、证明题（第28题8分，29题8分，30题8分，31题7分，共31分）
28．（8分）填空：如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B
解：因为∠1+∠2＝180°（已知）
又因为∠1+∠ ＝180°（邻补角意义）
所以∠2＝∠DFE（ ）
所以AB∥EF（ ）
所以∠3＝∠ （ ）
因为∠3＝∠B（已知）
所以∠ADE＝∠ （ ）
所以DE∥BC（ ）
29．（8分）如图，已知AC平分∠BAD，且∠1＝∠2．
（1）求证：AB∥CD．
（2）若AC⊥CB，∠D＝120°，求∠B的度数．
30．（8分）如图，已知∠ADC＝∠ABC，DE、BF分别平分∠ADC和∠ABC，那么AB与DC平行吗？为什么？
31．（7分）阅读下列材料：一般地，n个相同的因数a相乘a a…，记为an．如2×2×2＝23＝8，此时，3叫做以2为底8的对数28（即log28＝3）．
一般地，若an＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为logab（即logab＝n）．如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381＝4）．
（1）计算以下各对数的值：log24＝ ，log216＝ ，log264＝ ．
（2）写出（1）log24、log216、log264之间满足的关系式 ．
（3）由（2）的结果，请你能归纳出一个一般性的结论：logaM+logaN＝ （a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）．
（4）设an＝N，am＝M，请根据幂的运算法则以及对数的定义说明上述结论的正确性．
2022-2023学年上海四中七年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题2分，共12分）
1．（2分）以下计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】可以先求出．（﹣5）2的值，再求它的算术平方根；一个数的立方根只有一个；先算出的值，再添加±号；负数的偶数次方等于正数．
【解答】解：A．（﹣5）2＝25，＝＝5；
B．一个数的立方根只有一个，，不符合题意；
C.＝5，±，符合题意；
D.＝（﹣）＝，不符合题意．
故选：C．
2．（2分）下列说法正确的是（ ）
A．无限小数是无理数
B．1的任何次方根都是1
C．任何数都有平方根
D．实数可分为有理数和无理数
【答案】D
【分析】根据无理数的定义，平方根的性质，实数的分类，逐项判断即可求解．
【解答】解：A、无限不循环小数是无理数，不符合题意；
B、1的平方根是±1，不符合题意；
C、6和正数有平方根，不符合题意；
D、实数可分为有理数和无理数，符合题意；
故选：D．
3．（2分）若a、b是不相等的无理数，则（ ）
A．a+b一定是无理数 B．a﹣b一定是无理数
C．a b一定是无理数 D．不一定是无理数
【答案】D
【分析】根据有理数和无理数的定义和性质分析即可判定选择项．
【解答】解：A、当a＝2﹣，a+b＝4，原说法错误；
B、当a＝1+，a﹣b＝﹣1，原说法错误；
C、当a＝，ab＝8ab是有理数，故此选项不符合题意；
D、若a，则不一定是无理数，故此选项符合题意．
故选：D．
4．（2分）下列图形中，由AB∥CD，能得到∠1＝∠2的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据平行线的性质求解即可求得答案．
【解答】解：A、∵AB∥CD，
∴∠1+∠2＝180°，
故A错误；
B、∵AB∥CD，
∴∠4＝∠3，
∵∠2＝∠2，
∴∠1＝∠2，
故B正确；
C、∵AB∥CD，
∴∠BAD＝∠CDA，
若AC∥BD，可得∠5＝∠2；
故C错误；
D、若梯形ABCD是等腰梯形，
故D错误．
故选：B．
5．（2分）如图，下列说法中错误的是（ ）
A．∠1与∠4是同位角 B．∠3与∠4是内错角
C．∠B与∠3是同位角 D．∠1与∠3是同旁内角
【答案】C
【分析】根据同位角、内错角、同旁内角定义分别进行判断即可．
【解答】解：A、∠1与∠4是同位角；
B、∠4与∠4是内错角；
C、∠B与∠3是同位角；
D、∠5与∠3是同旁内角；
故选：C．
6．（2分）下列说法：
①平面内，垂直于同一直线的两条直线平行；
②两条直线被第三条直线所截，内错角相等；
③如果直线a∥b，b∥c，那么a∥c；
④直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；
⑤两平行线被第三条直线所截，同旁内角的角平分线互相垂直．
其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】依据平行公理，垂线段最短以及平行线的性质，即可得出结论．
【解答】解：①平面内，垂直于同一直线的两条直线平行；
②两条平行线被第三条直线所截，内错角相等；
③如果直线a∥b，b∥c，原说法正确；
④直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；
⑤两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的角平分线互相垂直．
其中正确的是①③④⑤，共4个．
故选：C．
二、填空题（每题2分，共32分）
7．（2分）的平方根等于 ±3
【答案】见试题解答内容
【分析】利用平方根及算术平方根定义计算即可求出值．
【解答】解：＝9，
故答案为：±3．
8．（2分）比较大小：﹣2 ＞ ﹣3．（用符号“＞，＝，＜”填空）
【答案】见试题解答内容
【分析】首先比较出每个数的平方的大小关系；然后根据实数大小比较的方法判断即可．
【解答】解：＝44，，
∵44＜45，
∴﹣3＞﹣3．
故答案为：＞．
9．（2分）把写成底数是整数的幂的形式是 ．
【答案】．
【分析】利用分数指数幂的法则，进行计算即可解答．
【解答】解：＝＝＝，
∴把写成底数是整数的幂的形式是，
故答案为：．
10．（2分）月球沿着一定的轨道围绕地球运动，某一时刻它与地球相距405 500千米，用科学记数法表示这个数并保留三个有效数字 4.06×105 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式．其中1≤|a|＜10，n为整数．用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a有关，与10的多少次方无关．
【解答】解：405 500千米＝4.055×105千米≈4.06×105千米．
故答案为4.06×102．
11．（2分）数轴上A，B两点之间的距离是，点A在数轴上表示的数为 或2 ．
【答案】或2．
【分析】分点B在点A的两侧，分别列式计算即可．
【解答】解：∵A，B两点之间的距离是，
∴，或，
∴点B在数轴上表示的数为或3，
故答案为：或5．
12．（2分），则ab+1＝ 9 ．
【答案】9．
【分析】根据算术平方根的非负性，求出b的值，代入代数式求出a，再代入计算即可．
【解答】解：由题意得，1﹣b≥0，
解得，b＝8，
则a＝3，
ab+1＝81+1＝4
故答案为：9．
13．（2分）三角形三边长分别为1，1﹣a，9，则a的取值范围是 ﹣9＜a＜﹣7 ．
【答案】﹣9＜a＜﹣7．
【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，可得9﹣1＜1﹣a＜9+1，再解不等式即可．
【解答】解：根据三角形的三边关系可得：9﹣1＜3﹣a＜9+1，
解得﹣3＜a＜﹣7．
故答案为：﹣9＜a＜﹣3．
14．（2分）若a3＝b，，则m＝ ．
【答案】．
【分析】根据分数指数幂的性质求出，代入中，即可得解．
【解答】解：∵a3＝b，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
15．（2分）如图，直线AB和CD相交于点O，∠BOE＝90°，则∠AOC＝ 40° ．
【答案】见试题解答内容
【分析】先根据角的和差关系可求∠BOD，再根据对顶角相等可求∠AOC．
【解答】解：∵∠BOE＝90°，∠DOE＝130°，
∴∠BOD＝130°﹣90°＝40°，
∴∠AOC＝40°．
故答案为：40°．
16．（2分）如图，已知DE∥BC，∠EDB比∠B的两倍小15° 65° ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据方程组解决问题即可．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠B+∠EDB＝180°，
∵2∠B﹣∠EDB＝15°，
∴3∠B＝195°，
∴∠B＝65°．
17．（2分）如图，m∥n，则∠1、∠2、∠3、∠4间的数量关系是 ∠2+∠4＝∠1+∠3 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】分别过点P1、P2作P1C∥m，P2D∥m，由平行线的性质可知，∠1＝∠AP1C，CP1P2＝∠P1P2D，∠DP2B＝∠4，所以∠1+∠P1P2D+∠DP2B＝∠AP1C+∠CP1P2+∠4，即∠2+∠4＝∠1+∠3．
【解答】解：分别过点P1、P2作P2C∥m，P2D∥m，
∵m∥n，
∴P1C∥P7D∥m∥n，
∴∠1＝∠AP1C，CP5P2＝∠P1P5D，∠DP2B＝∠4，
∴∠8+∠P1P2D+∠DP7B＝∠AP1C+∠CP1P6+∠4，即∠2+∠3＝∠1+∠3．
故答案为：∠2+∠4＝∠1+∠3．
18．（2分）已知两个角的两边分别平行，且其中一个角比另一个角的3倍少40°，那么这两个角的度数分别是 20°，20°或55°、125° ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据条件可知这两个角相等或互补，利用方程思想可求得其大小．
【解答】解：∵两个角的两边互相平行，
∴这两个角相等或互补，
设一个角为x°，则另一个角为（3x﹣40）°，
当这两个角相等时，则有x＝3x﹣40，此时这两个角分别为20°；
当这两个角互补时，则有x+7x﹣40＝180，此时这两个角为55°；
故答案为：20°、20°或55°．
19．（2分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，则线段CD＝ ．
【答案】．
【分析】根据即可求出CD的值．
【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，
∴，
∴3×3＝5CD，
∴，
故答案为：．
20．（2分）如图，已知，AB∥CD，∠C＝70°，则∠AEC＝ 55° ．
【答案】55°．
【分析】根据平行线性质求出∠CAB，根据角平分线求出∠EAB，根据平行线性质求出∠AEC即可．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠C+∠CAB＝180°，∠BAE＝∠AEC，
∵∠C＝70°，
∴∠CAB＝110°，
∵AE平分∠CAB，
∴∠BAE＝∠CAB＝55°，
∴∠AEC＝55°．
故答案为：55°．
21．（2分）如图，AD∥BC，AC、BD交于点E，三角形CBE的面积等于3，那么三角形DBC的面积等于 5 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】由于AD∥BC，则点B、点C到直线AD的距离相等，利用三角形面积公式得到S△ABD＝S△ACD，两三角形的面积都减去三角形AED的面积，则S△ABE＝S△ECD，＝2，然后利用S△DBC＝S△ECD+S△BCE进行计算即可．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴S△ABD＝S△ACD，
∴S△ABE＝S△ECD，＝2，
∴S△DBC＝S△ECD+S△BCE＝2+5＝5．
故答案为5．
22．（2分）图（1）是长方形纸带，将纸带沿EF折叠成图（2）（3），在图（1）中∠DEF＝α，图（3） 180﹣3α ．
【答案】180°﹣3α．
【分析】根据平行线的性质和翻折的性质判断即可．
【解答】解：在图①中，
∵AD∥BC，
∴∠DEF＝∠BFE＝α，
∴∠CFE＝180°﹣α，
在图②中，∠BFC＝180°﹣α﹣α＝180°﹣2α，
在图③中，由折叠的性质得：∠BFC＝180°﹣2α，
∠CFE＝∠BFC﹣∠BFE＝180°﹣7α．
故答案为：180°﹣3α．
三、计算题（每题5分，共25分）
23．（5分）计算：5﹣3．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用二次根式的混合运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝﹣3
＝﹣2．
24．（5分）计算：．
【答案】8．
【分析】根据完全平方公式将题目中的式子展开，然后去括号，再合并同类项即可．
【解答】解：
＝3+4+4﹣（3﹣8
＝3+7+4﹣5+4
＝3．
25．（5分）计算：（）．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用立方根的性质以及二次根式的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝6﹣2﹣8
＝﹣1．
26．（5分）计算：（3×2）6．
【答案】见试题解答内容
【分析】观察式子的结构利用积的乘方和负整数指数幂的运算法则即可得到答案．
【解答】解：（3×2）6
＝35×2﹣3
＝6×
＝．
27．（5分）计算（结果表示为含幂的形式）：（）×（）×．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据分数指数幂的运算法则、积的乘方法则、同底数幂的乘法法则计算即可．
【解答】解：原式＝××
＝×××
＝×××
＝×
＝．
四、证明题（第28题8分，29题8分，30题8分，31题7分，共31分）
28．（8分）填空：如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B
解：因为∠1+∠2＝180°（已知）
又因为∠1+∠ DFE ＝180°（邻补角意义）
所以∠2＝∠DFE（ 同角的补角相等 ）
所以AB∥EF（ 内错角相等，两直线平行 ）
所以∠3＝∠ ADE （ 两直线平行，内错角相等 ）
因为∠3＝∠B（已知）
所以∠ADE＝∠ B （ 等量代换 ）
所以DE∥BC（ 同位角相等，两直线平行 ）
【答案】DFE；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；ADE；两直线平行，内错角相等；B；等量代换；同位角相等，两直线平行．
【分析】根据平行线的判定方法和平行线的性质解答即可．
【解答】解：因为∠1+∠2＝180°（已知），
又因为∠4+∠DFE＝180°（邻补角的意义），
所以∠2＝∠DFE（同角的补角相等），
所以AB∥EF（内错角相等，两直线平行），
所以∠3＝∠ADE（两直线平行，内错角相等），
因为∠8＝∠B（已知），
所以∠ADE＝∠B（等量代换），
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：DFE；同角的补角相等，两直线平行；两直线平行；B；等量代换，两直线平行．
29．（8分）如图，已知AC平分∠BAD，且∠1＝∠2．
（1）求证：AB∥CD．
（2）若AC⊥CB，∠D＝120°，求∠B的度数．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）60°．
【分析】（1）结合题意、根据角平分线的定义推出∠2＝∠3，即可判定AB∥CD；
（2）根据三角形内角和定理得出∠2＝30°，结合垂直的定义得出∠DCB＝120°，根据平行线的性质即可得解．
【解答】（1）证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠1＝∠3，
又∵∠4＝∠2，
∴∠2＝∠5，
∴AB∥CD；
（2）解：∵∠D＝120°，∠1＝∠2，
∴∠5＝∠2＝30°，
∵AC⊥CB，
∴∠ACB＝90°，
∴∠DCB＝120°，
∵AB∥CD，
∴∠DCB+∠B＝180°，
∴∠B＝60°．
30．（8分）如图，已知∠ADC＝∠ABC，DE、BF分别平分∠ADC和∠ABC，那么AB与DC平行吗？为什么？
【答案】见试题解答内容
【分析】根据平行线的性质推出∠DEA＝∠FBA，再根据角平分线性质推出∠CDE＝∠FBA，等量代换得到∠CDE＝∠DEA，根据平行线的判定推出即可．
【解答】解：∵DE∥BF，
∴∠DEA＝∠FBA，
∵∠ADC＝∠ABC，DE，
∴∠CDE＝∠CDA＝，
∴AB∥DC．
31．（7分）阅读下列材料：一般地，n个相同的因数a相乘a a…，记为an．如2×2×2＝23＝8，此时，3叫做以2为底8的对数28（即log28＝3）．
一般地，若an＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为logab（即logab＝n）．如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381＝4）．
（1）计算以下各对数的值：log24＝ 2 ，log216＝ 4 ，log264＝ 6 ．
（2）写出（1）log24、log216、log264之间满足的关系式 log24+log216＝log264 ．
（3）由（2）的结果，请你能归纳出一个一般性的结论：logaM+logaN＝ loga（MN） （a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）．
（4）设an＝N，am＝M，请根据幂的运算法则以及对数的定义说明上述结论的正确性．
【答案】（1）2，4，6；
（2）log24+log216＝log264；
（3）loga（MN）；
（4）证明过程详见解析．
【分析】（1）根据对数的定义求解；
（2）认真观察，即可找到规律：4×16＝64，log24+log216＝log264；
（3）由特殊到一般，得出结论：logaM+logaN＝loga（MN）；
（4）设logaM＝b1，logaN＝b2，根据幂的运算法则：am an＝am+n和给出的材料证明结论．
【解答】解：（1）log24＝2，log216＝4，log264＝6，
故答案为：2，8，6；
（2）∵4×16＝64，log34＝2，log716＝4，log264＝5，
∴log24+log216＝log264，
故答案为：log23+log216＝log264；
（3）logaM+logaN＝loga（MN），
故答案为：loga（MN）；
（4）证明：设logaM＝b7，logaN＝b2，
则＝M，，
∴MN＝
＝，
∴b1+b8＝loga（MN），
∴logaM+logaN＝loga（MN）．