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2024人教版八年级上学期单元测试卷
第十二章 全等三角形
时间:60分钟 满分:100分
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,满分30分.每小题有四个选项,其中只有一个选项符合题意)
1.(2022·浙江杭州余杭区期末)下列各组图形中,是全等三角形的是 ( )
A B
C D
2.(2022·山西运城盐湖区期中)如图,△ABC≌△DEC,点B,C,D在同一直线上.若CE=4,AC=7,则BD= ( )
A.3 B.8 C.11 D.10
(第2题) (第3题)
3.如图是由边长为1的小正方形组成的网格,若△MNP≌△MEQ,则点Q(与点P不重合)可能是图中的 ( )
A.点A B.点B C.点C D.点D
4.已知∠AOB,用尺规作∠A'O'B'等于∠AOB的作图痕迹如图所示,则判断∠AOB=∠A'O'B'所用到的三角形全等的判断方法是 ( )
A.SSS B.SAS C.ASA D.AAS
5.(2022·北京东城区期末)下列已知条件,不能唯一确定△ABC的是 ( )
A.∠A=60°,∠B=45°,AB=4
B.∠A=30°,AB=5,BC=3
C.∠B=60°,AB=6,BC=10
D.∠C=90°,AB=5,BC=3
6.(2022·河南许昌期中)已知△ABC的三边长分别为3,5,7,△DEF的三边长分别为3,3x-2,2x-1,若这两个三角形全等,则x的值为( )
A. B.4 C.3 D.无法确定
7.(2022·甘肃武威凉州区期末改编)如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB交BC于点D,DE⊥AB于点E,且AB=5 cm,AC=3 cm,BC=4 cm,则△DEB的周长为 ( )
A.5 cm B.6 cm C.7 cm D.8 cm
(第7题) (第8题)
8.如图,在△ABC中,∠B=∠C,BF=CD,BD=CE,∠FDE=65°,则∠A= ( )
A.50° B.55° C.60° D.65°
9.(2022·湖南衡阳期末改编)如图,OA平分∠NOP,OB平分∠MOP,AB⊥OP于点E,BC⊥MN于点C,AD⊥MN于点D,下列结论错误的是( )
A.AD+BC=AB
B.点O是CD的中点
C.∠AOB=90°
D.∠CBO=∠BAO
10.如图,在△ACD和△BCE中,AC=BC,AD=BE,CD=CE,∠ACE=55°,∠BCD=155°,AD与BE相交于点P,则∠BPD= ( )
A.110° B.125° C.130° D.155°
二、填空题(共6小题,每小题3分,共18分)
11.(2022·广东广州越秀区期中)如图为打碎的一块三角形玻璃,现在要去玻璃店配一块完全相同的玻璃,如果带了两块玻璃,其中有一块是②,那么另一块是 .
(第11题) (第12题)
(2022·北京东城区期末)如图,点B,D,E,C在同一直线上,若△ABD≌△ACE,BC=12,
BD=3,则DE的长为 .
13.(2022·安徽合肥蜀山区期末)如图,在△ABC中,点D,E分别为边AC,BC上的点,若AD=DE,AB=BE,∠A=70°,则∠CED= .
(第13题) (第14题)
14.(2022·广东珠海香洲区期末)如图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.若S△ABC=21,DE=3,AB=9,则AC的长为 .
15.(2022·湖北黄冈期中改编)已知在△ABC中,AB=4,中线AD=4,则AC的取值范围是 .
16.(2022·江苏盐城段考改编)如图,已知四边形ABCD中,AB=12 cm,BC=8 cm,CD=14 cm,∠B=∠C,点E为线段AB的中点.如果点P在线段BC上以3 cm/s的速度由点B向点C运动,同时,点Q在线段CD上由点C向点D运动.当点Q的运动速度为 cm/s时,能够使△BPE与△CPQ全等.
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题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
填空 11. 12. 13.
14. 15. 16.
三、解答题(共6小题,共52分)
17.(6分)(2021·江苏扬州邗江区期末)如图,点C,F在线段BE上,∠ABC=∠DEF=
90°,BC=EF,请添加一个合适的条件使△ABC≌△DEF.
(1)根据“ASA”进行判定,需添加的条件是 ;根据“HL”进行判定,需添加的条件是 ;
(2)请从(1)中选择一种,加以证明.
18.(7分)(2021·重庆綦江区期末)如图,AD=CB,AB=CD,BE⊥AC于点E,DF⊥AC于点F.
求证:(1)△ABC≌△CDA;
(2)BE=DF.
(9分)(2022·天津红桥区期末)如图,在△ABC中,AD是△ABC的中线,DE⊥AB,
DF⊥AC,垂足分别为E,F.
(1)若BE=CF,求证:AD是△ABC的角平分线.
(2)若AD是△ABC的角平分线,求证:BE=CF.
(9分)(2022·山东聊城期末)课间,小明拿着老师的等腰直角三角板(AC=CB,
AC⊥BC)玩,不小心掉到两墙之间(墙与地面垂直),三角板的直角顶点恰好着地,且D,C,E三点在同一直线上,如图所示.(A,B,C,D,E五点在同一平面内)
(1)求证:△ADC≌△CEB.
(2)已知DE=35 cm,且图中每块砖的厚度为a cm,请你帮小明求出每块砌墙砖块的厚度.
(10分)(2022·重庆巴南区期中)(1)教材回顾:在人教版八年级上册数学教材P53的数学活动2中有这样一段描述:我们把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”.如图(1),四边形ABCD是一个筝形,其中AD=CD,AB=CB,猜想筝形的对角线有什么性质(写出一条即可).并用全等三角形的知识证明你的猜想.
知识拓展:如图(2),如果D为△ABC内一点,BD平分∠ABC,AD=CD,证明:
∠BAD=∠BCD.
图(1) 图(2)
22.(11分)(2022·湖北天门期中)在△ABC中,AB=AC,点D是线段CB上的一动点(不与点B,C重合),以AD为一边在AD的右侧作△ADE,使AD=AE,∠DAE=∠BAC,连接CE.
(1)如图(1),当点D在线段CB上,∠BAC=90°时,∠DCE= °;
(2)设∠BAC=α,∠DCE=β.
①如图(2),当点D在线段CB上,∠BAC≠90°时,请你探究α与β之间的数量关系,并证明你的结论;
②如图(3),当点D在线段CB的延长线上,∠BAC≠90°时,请将图(3)补充完整,并直接写出此时α与β之间的数量关系(不需要证明).
图(1) 图(2) 图(3)
第十二章 全等三角形
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B C D A B C B A D C
11.① 12.6 13.110°
14.5 15.4
2.C ∵△ABC≌△DEC,CE=4,AC=7,∴BC=CE=4,CD=AC=7,∴BD=BC+CD=4+7=11.
3.D 图示速解
4.A 如图,连接CD,C'D',因为在△COD和△C'O'D'中,CO=C'O',DO=D'O',CD=C'D',所以△COD≌△C'O'D'(SSS),所以∠AOB=∠A'O'B'.故选A.
5.B 逐项分析如下.
选项 已知条件 判定方法 正误
A ∠A,∠B,AB 两角及其夹边“ASA” √
B ∠A,AB,BC 两边及其一边的对角
C ∠B,AB,BC 两边及其夹角“SAS” √
D ∠C=90°,AB,BC 斜边和直角边“HL” √
6.C ∵△ABC与△DEF全等,∴3+5+7=3+3x-2+2x-1,解得x=3.
一题多解
(分类讨论思想)△ABC与△DEF全等,可分以下两种情况讨论.(1)当边长为5的边的对应边长为3x-2时,则无解,不符合题意舍去.(2)当边长为5的边的对应边长为2x-1时,则解得x=3,符合题意.综上所述,x的值为3.
B ∵AD平分∠CAB交BC于点D,DE⊥AB,DC⊥AC,∴DC=DE.在Rt△ADC和Rt△ADE中,∴Rt△ADC≌Rt△ADE(HL),∴AE=AC=3 cm,∴BE=AB-AE=5-3=2(cm),
∴△DEB的周长=BE+BD+DE=BE+BD+CD=BE+BC=2+4=6(cm).
8.A 在△BDF和△CED中,∴△BDF≌△CED(SAS),∴∠BFD=∠CDE.∵∠FDE+∠EDC=∠B+∠BFD,∴∠B=∠FDE=65°,∴∠A=180°-∠B-∠C=180°-65°-65°=50°.
9.D (排除法)∵OA平分∠NOP,OB平分∠MOP,
∴∠AOD=∠AOP=∠DOE,∠COB=∠EOB=∠COE,∴∠AOB=(∠COE+∠DOE)=90°,
故选项C不合题意.在△AOD和△AOE中,∴△AOD≌△AOE(AAS),∴AE=AD,OE=OD,∠OAE=∠OAD.同理可得BC=BE,CO=OE,∴AB=AE+BE=AD+BC,CO=OE=OD,∴点O是CD的中点,故选项A,B不合题意.故选D.
C 在△ACD和△BCE中,∴△ACD≌△BCE(SSS),∴∠ACD=∠BCE,∠A=∠B,∴∠BCA+∠ACE=
∠ACE+∠ECD,∴∠ACB=∠ECD=(∠BCD-∠ACE)=×(155°-55°)=50°.
∵∠B+∠ACB=∠A+∠APB,∴∠APB=∠ACB=50°,∴∠BPD=180°-50°=130°.
11.① 带①②去,符合全等三角形的“ASA”判定方法.带②③去,仅保留了原三角形的一个角和部分边,带②④去,仅保留了原三角形的两个角和部分边,均不符合全等三角形的判定方法.故另一块是①.
12.6 ∵△ABD≌△ACE,BD=3,∴CE=BD=3.∵BC=12,∴DE=BC-BD-CE=6.
13.110° 在△ADB与△EDB中,∴△ADB≌△EDB(SSS),∴∠DEB=∠A=70°,∴∠CED=180°-∠DEB=
110°.
14.5 ∵AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,∴DF=DE=3.∵S△ABD+S△ACD=S△ABC,
∴·AB·DE+·AC·DF=21,即×9×3+×AC×3=21,∴AC=5.
15.4
(“倍长中线”模型)如图,延长AD到点E,使DE=AD=4,连接CE.∵AD是BC边上的中线,∴BD=CD.在△ABD和△ECD中,∴△ABD≌△ECD(SAS),
∴CE=AB=4.在△AEC中,AE-CE
17.【参考答案】(1)∠ACB=∠DFE AC=DF (4分)
(2)选择添加条件AC=DF.
证明:∵∠ABC=∠DEF=90°,
∴在Rt△ABC和Rt△DEF中,
∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL). (6分)
一题多解
(2)选择添加条件∠ACB=∠DFE.
证明:在△ABC和△DEF中,
∴△ABC≌△DEF(ASA). (6分)
18.【参考答案】证明:(1)在△ABC和△CDA中,
∴△ABC≌△CDA(SSS). (3分)
(2)∵△ABC≌△CDA,
∴∠ACB=∠DAC.
∵BE⊥AC,DF⊥AC,
∴∠BEC=∠DFA=90°. (4分)
在△AFD和△CEB中,
∴△AFD≌△CEB(AAS),
∴BE=DF. (7分)
19.(1)BD=CD,
BE=CFRt△BDE≌Rt△CDF→DE=DF→证得结论
(2) Rt△BDE≌ Rt△CDF→BE= CF
【参考答案】证明:(1)∵AD是△ABC的中线,∴BD=CD.
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴△BDE,△CDF都是直角三角形.
在Rt△BDE与Rt△CDF中,
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL),
∴DE=DF. (2分)
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴AD是△ABC的角平分线.(4分)
(2)∵AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE=DF.
∵AD是△ABC的中线,
∴BD=CD. (6分)
在Rt△BDE和Rt△CDF中,
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL),
∴BE=CF. (9分)
20.【参考答案】(1)证明:由题意得AC=BC,∠ACB=90°,∠ADC=∠CEB=90°,
∴∠ACD+∠BCE=90°,∠ACD+∠DAC=90°,∴∠BCE=∠DAC.
在△ADC和△CEB中,
∴△ADC≌△CEB(AAS). (5分)
(2)由题意知,一块砌墙砖块的厚度为a cm,
∴AD=4a,BE=3a.
由(1)得△ADC≌△CEB,
∴DC=BE=3a,CE=AD=4a,
∴DC+CE=7a=35,
解得a=5.
答:每块砌墙砖块的厚度为5 cm. (9分)
21.思路导图
(1) △ADB≌△CDB(SSS)→∠ADO=∠CDO
(2)过点D作DE⊥AB,DF⊥BCDE=DFRt△ADE≌Rt△CDF→∠BAD=∠BCD
【参考答案】(1)猜想:BD⊥AC,AO=OC.(写出一个即可) (2分)
证明:在△ADB和△CDB中,
∴△ADB≌△CDB(SSS),
∴∠ADO=∠CDO. (3分)
在△AOD和△COD中,
∴△AOD≌△COD(SAS), (4分)
∴∠AOD=∠COD,OA=OC,
∴∠COD=90°,
∴BD⊥AC. (5分)
(2)证明:如图,分别过点D作DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别为E,F. (6分)
∵BD平分∠ABC,
∴DE=DF. (7分)
在Rt△ADE和Rt△CDF中,
∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL),
∴∠BAD=∠BCD. (10分)
22.思路导图
【参考答案】(1)90 (2分)
解法提示:∵∠BAD+∠DAC=90°,∠DAC+∠CAE=90°,
∴∠BAD=∠CAE,
在△BAD和△CAE中,
∴△BAD≌△CAE(SAS),
∴∠ACE=∠B.
∵∠B+∠ACB=90°,
∴∠DCE=∠ACE+∠ACB=90°.
(2)①α+β=180°.
证明:∵∠BAC=∠DAE,
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,
∴∠BAD=∠CAE, (3分)
在△BAD和△CAE中,
∴△BAD≌△CAE(SAS), (5分)
∴∠B=∠ACE.
∵∠B+∠ACB=180°-α,
∴∠DCE=∠ACE+∠ACB=∠B+∠ACB=180°-α=β,
∴α+β=180°. (7分)
②如图所示. (9分)
α=β. (11分)
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