卷子答案网-一个不只有答案的网站2023-2024学年湖南省名校联考联合体高三第二次联考数学试题
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.若复数为虚数单位，则复数的模为( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，则( )
A. B.
C. D.
3.年数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系：当，时，等价于若是自然对数的底数，，，则的值约为
( )
A. B. C. D.
4.若函数在处有极小值，则实数的值为
( )
A. B. C. D.
5.将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则“”是“函数为偶函数”的
( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.在“最强大脑”的双英对抗赛中，甲、乙两人同时挑战秒记忆力项目，根据以往甲、乙两人同场对抗挑战该项目的记录统计分析，在对抗挑战中甲挑战成功的概率是，乙挑战成功的概率是，甲、乙均未挑战成功的概率是，则在甲挑战成功的条件下，乙挑战成功的概率为
( )
A. B. C. D.
7.如图，已知正方体的棱长为，点为底面的中心，侧棱的中点为，则三棱锥的体积为
( )
A. B. C. D.
8.已知函数是定义在上不恒为零的函数，对任意的，均满足：，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.如图所示是世界人口变化情况的三幅统计图：
则下列结论五确的是
( )
A. 从折线图能看出世界人口的总量随着年份的增加而增加
B. 年亚洲人口将比其他各洲人口的总和还要多
C. 年南美洲及大洋洲人口之和将与欧洲人口基本持平
D. 年到年各洲中北美洲人口增长速度最慢
10.若圆和有且仅有一条公划线，则下列结论正确的是
( )
A. 圆与圆内切
B.
C. 公切线的方程为
D. 公切线的方程为
11.设抛物线的焦点为，准线与轴交于点，过点的直线与抛物线依次交于，两点点在，两点之间，交轴于点，交准线于点则下列结论正确的是
( )
A. 点坐标为 B. 直线，关于轴对称
C. D.
12.已知，，且，，则下列结论正确的是
( )
A. B. C. D.
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知，，，，则 ．
14.已知向量，的夹角为，且，，则向量在向量上的投影向量为 ．
15.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线在第二象限的交点为，在中，，，则双曲线的离心率是 ．
16.如图，平面平面，正方形的边长为，矩形的边的长为，若是上的动点，则三棱锥的外接球体积的最小值为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
在锐角中，角，，的对边分别为，，，．
求角的大小
若，，求的面积．
18.本小题分
已知递增等差数列满足：，，
求数列的通项公式
若数列满足，求数列的前项和．
19.本小题分
已知椭圆的左、右顶点分别为，，上下顶点分别为，，者四边形面积为椭圆离心率为．
求椭圆的标准方程
设点是椭圆上异于，的一动点，过定点与动点的直线与椭圆交于另一点，记直线，的斜率分别为，，若直线的斜率存在，求的值．
20.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，．
若点在线段上，，平面，求的值
若平面平面，求平面与平面的夹角的余弦值．
21.本小题分
甲、乙两名运动员进行乒乓球训练赛，规定每同比赛胜者得分，负者得分，比赛一直进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛已知每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛结果相互独立．
若比赛最多进行局，求比赛结束时比赛局数的分布列及期望的最大值
甲、乙两人为达到最佳训练效果，俩人约定不限制比赛局数，记“甲运动员赢得比赛”为事件，证明：．
22.本小题分
已知函数，．
求证：当时，
若函数在区间上有唯一零点，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【解析】，所以，故选A．
另解：因为，所以，故选A．
2.【答案】
【解析】【解析】由已知故选D．
3.【答案】
【解析】【解析】因为，，，所以，故选B．
4.【答案】
【解析】【解析】函数，，
函数在处有极小值，可得，解得．
当时，，时，时，在上单
调递减，在上单调递增，在处有极小值，符合题意所以故选C．
5.【答案】
【解析】【解析】因为函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，
所以，因为为偶函数，所以一，即，
当时，，则可以推导出函数为偶函数，
而函数为偶函数，不能推导出所以“”是“函数为偶函数”的充分不必要条件故选A．
6.【答案】
【解析】【解析】记甲挑战成功为事件，乙挑战成功为事件，则，，，
由概率加法公式知，
可得，
则在甲挑战成功的条件下，乙挑战成功的概率为故选B．
7.【答案】
【解析】【解析】由已知平面，，所以，同理，
又，，，
所以，所以，所以平面，
所以三棱锥的体积为故选A．
8.【答案】
【解析】【解析】令，得，代入，得，
当为正整数时，，
所以，
所以，代入，得，
所以且，又当时，也符合题意，所以
所以，
令，则，
所以，所以，
所以故选D．
9.【答案】
【解析】【解析】对于选项A，从折线图能看出世界人口的总量随着年份的增加而增加，故A正确
对于选项B，从扇形图中能够明显地看出年亚洲人口将比其他各洲人口的总和还要多，故B正确
对于选项C，从条形图中能够明显地看出年南美洲及大洋洲人口之和将与欧洲人口基本持平，故C正确
对于选项D，由题中三幅统计图并不能得出从年到年中哪个洲人口增长速度最慢，故D错误．
故选ABC．
10.【答案】
【解析】【解析】如图，由题意得与相内切，故A正确
又，由圆与内切，
所以，即，解得，故B正确
由，，得．
联立
解得所以切点的坐标为，
故所求公切线的方程为，即故C错误，D正确．
故选ABD．
11.【答案】
【解析】【解析】因为抛物线为，可得准线，所以，故A正确
由已知，设，，直线，由得，，解得或，
，，
，所以直线，关于轴对称，故B正确
设，则，
直线，直线，
，，
故C错误，D正确．
故选ABD．
12.【答案】
【解析】【解析】由，得，，则，
令且，则，即在上递增，所以
由，则，而，则，
令且，则，即在上递增，所以，即，
综上可知是与交点横坐标，是与交点横坐标，
由于与互为反函数，其图象关于直线对称，图象也关于对称，
所以，且，故故选项AC正确故选AC．
13.【答案】
【解析】【解析】．
14.【答案】
【解析】【解析】因为，夹角为，，，
所以，
所以向量在向量方向上的投影向量为．
15.【答案】
【解析】【解析】因为，所以，
由双曲线的定义知，所以．
如图，取为的中点，所以，
又，得，所以在直角中，，
即，得，所以，解得，
因为，所以双曲线的离心率是．
16.【答案】
【解析】【解析】由题意可知，设的外接圆半径为，
由正弦定理得，
当时，取得最小值为，此时外接球半径满足，解得．
所以三棱锥的外接球的半径的最小值为所以外接球体积的最小值为．
17.【答案】【解析】因为
，
得，
又，得，所以．
由正弦定理及，得，
又，，所以，
所以，
由正弦定理，又，
所以，
所以．
【解析】略
18.【答案】【解析】设递增等差数列的公差为，则，
因为，所以，
即，
因为，，所以，所以，所以，
故数列的通项公式为．
解法一：
．
解法二：
．
【解析】略
19.【答案】【解析】由题意得，且，又，
解得，，
所以椭圆的标准方程为．
设，，由得，，
当直线的斜率存在时，
设直线的方程为，其中，
将直线方程代入得，，
其判别式为，
或，且，
，，
．
【解析】略
20.【答案】【解析】如图，在上取点，使得，连接，，
又，所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面．
又平面，，，平面，
所以平面平面，
又平面平面，平面平面，
所以，
所以在中，，所以，所以．
如图，取的中点，连接，，由底面为直角梯形，
，，，，
可知为等腰直角三角形，且，所以．
因为平面平面，所以平面，
又，所以，
所以平面．
以为原点，，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，，，，
所以，，，
所以，，
设平面的法向量为，
则
不妨取，则，
因为平面，所以平面的一个法向量为，
所以，，
所以平面与平面的夹角的余弦值为．
【解析】略
21.【答案】【解析】因为每局比赛结果仅有“甲获胜”和“乙获胜”，所以，
由题意得的所有可能取值为，，，则
，
，
．
所以的分布列为
所以的期望
，
因为，所以，当且仅当时，等号成立，
所以，所以，
故E的最大值为．
设事件，分别表示每局比赛“甲获胜”，“乙获胜”．
由题设可知前两局比赛结果可能是，，，，其中事件表示“甲运动员赢得比赛”，事件表示“乙运动员赢得比赛”，事件，表示“甲、乙两名运动员各得分”，当甲、乙两名运动员得分总数相同时，甲运动员赢得比赛的概率与比赛一开始甲运动员赢得比赛的概率相同．
所以
，
所以，即，
因为，
所以．
【解析】略
22.【答案】【解析】由于等价于．
令，，则，
令，则，
因为，所以，即在区间上为增函数，
所以，故为增函数，
所以，即成立．
由已知，
当时，因为，所以，
由知当时，，
此时当时，函数没有零点，不合题意，故舍去
当时，因为，所以，
设，所以．
当时，恒成立，所以即单调递增
当时，设，
所以．
因为，，所以，所以即单调递增．
又，，
因此在上存在唯一的零点，且
当时，，所以即单调递减
当时，，所以即单调递增．
又，，，
因此在上存在唯一的零点，且
当时，，所以单调递减
当时，，所以单调递增．
又，，，
所以在上没有零点，在上存在唯一零点，因此在上有唯一零点．
综上，实数的取值范围是
【解析】略
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