卷子答案网-一个不只有答案的网站人教A版（2019）选修第二册5.3导数在研究函数中的应用
（共18题）
一、选择题（共11题）
已知定义在 上的函数 的图象关于 轴对称，且当 时，，若 ，，，则 ，， 的大小关系是
A． B． C． D．
已知函数 ，则不等式 的解集为
A． B．
C． D．
已知函数 的导函数为 ，且 对任意的 恒成立，则下列不等式均成立的是
A． ，
B． ，
C． ，
D． ，
已知定义在 上的偶函数 ，其导函数 ．当 时，恒有 ，若 ，则不等式 的解集为
A． B．
C． D．
若点 是曲线 上任意一点，则点 到直线 的最小距离为
A． B． C． D．
已知函数 ，若 是从 ，， 三个数中任取的一个数， 是从 ，， 三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为
A． B． C． D．
已知函数 是定义在 上的奇函数，且当 时，都有不等式 成立，若 ，，，则 ，， 的大小关系是
A． B． C． D．
函数 的定义域为 ．，对任意 ，，则 的解集为
A． B．
C． D．
已知函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是
A． B．
C． D．
若 ，则函数 在区间 上恰有
A． 个零点 B． 个零点 C． 个零点 D． 个零点
已知 ．设函数 ．若关于 的不等式 在 上恒成立，则 的取值范围为
A． B． C． D．
二、填空题（共4题）
函数 的单调递增区间是 ．
已知对任意的 ，不等式 恒成立，则 ．
已知函数 ，若 是函数 的极小值点，则实数 的值为 ．
已知函数 在区间 上是单调函数，则实数 的取值范围是 ．
三、解答题（共3题）
已知函数 ．
(1) 讨论函数 的单调性；
(2) 当 ， 时，证明：．
已知 ，．
(1) 当 时，求证： 在 上是减函数；
(2) 如果对 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
已知函数 ，．
(1) 当 时，直线 与 相切于点 ，
（ⅰ）求 的极值，并写出直线 的方程；
（ⅱ）若对任意的 都有 ，，求 的最大值；
(2) 若函数 有且只有两个不同的零点 ，，求证：．
答案
一、选择题（共11题）
1. 【答案】A
【解析】因为定义在 上的函数 的图象关于 轴对称，
所以 是定义在 上的偶函数，
所以 是定义在 上的奇函数，
又因为 时，，
所以 在 上是增函数，
所以 是定义在 上的增函数，
因为 ，
所以 ．
2. 【答案】D
【解析】
所以 为偶函数，
而 ，
所以原不等式等价于 ，
，
因为 恒成立，
所以 时，， 在 上单调递增，
所以在 上单调递减，
所以由 ，得 ，
所以 ．
3. 【答案】D
【解析】令 ，则 ，故 在 递增，
故 ，，即 ，．
4. 【答案】A
【解析】因为定义在 上的偶函数 ，所以 ，
因为 时，恒有 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 在 上为减函数，
因为 为偶函数，所以 为偶函数，所以 在 上为增函数，
因为 ，所以 ，即 ，解得 ．
5. 【答案】B
6. 【答案】D
【解析】将 记为横坐标，将 记为纵坐标，可知总共有 ，，，，，，，， 个的结果，而函数有两个极值点的条件为其导函数有两个不相等的实根，，满足题中条件为 ，即 ，所以满足条件的基本事件有 ，，，，， 共 个基本事件，所以所求的概率为 ，故选D．
7. 【答案】D
8. 【答案】B
【解析】由 ，得 ．
设 ，则 ．
因为 ，
所以 在 上恒成立，
所以 在 上单调递增，而 ，
故不等式 等价于 ，
所以 ．
9. 【答案】A
10. 【答案】B
11. 【答案】C
【解析】当 时， 恒成立；
当 时， 恒成立，
令
所以 ，所以 ．
当 时， 恒成立，
令 ，则 ，
当 时，， 递增，
当 时，， 递减，
所以 时， 取得最小值 ，
所以 ．
综上 的取值范围是 ．
二、填空题（共4题）
12. 【答案】
13. 【答案】
【解析】当 时， 显然成立，此时 ．
当 时，由 ，得 ，
令 ，所以 ，
令 ，得 ；令 ，得 ，
即 在 上单调递增，在 上单调减，所以 ．
所以由题意，需 ，故 ；
当 时，由 ，得 ，
令 ，所以同上得 ，
当 时，，即 在 上单调递增．
所以 ，由题意，需 ．
综上，．
14. 【答案】
【解析】由已知得函数 的定义域为 ，且 ，
由题意得 ，解得 ，
此时 ．
令 ，得 或 ，当 变化时，， 的变化情况如表所示：所以函数 在 处取得极小值．
故 ．
15. 【答案】
【解析】易知函数 的定义域为 ，．
令 ，得 或 ；令 ，得 ．
所以函数 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ．
因为函数 在 上单调，
所以 为以上三个区间的子集．
①若 ，则 无实数解；
②若 ，则 解得 ；
③若 ，则 ．
因此，实数 的取值范围是 ．
三、解答题（共3题）
16. 【答案】
(1) 函数 的定义域为 ，
，
当 时， 在 上恒成立，
所以函数 在 上单调递增，
当 时，由 ，
解得 ，
由 ，解得 ，
所以函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减．
(2) 令 ，
则 ，
，
再令 ，
则 ，
当 时，，，
所以 ，
即 ，
所以 在 上单调递增，
因为 ，
所以 ，
所以 在 上单调递增，
所以 ，
综上可知，．
17. 【答案】
(1) 当 时，．
因为 ，所以 在 上是减函数．
(2) 因为 ，不等式 恒成立，即 ，不等式 恒成立，
所以 ，不等式 恒成立．
当 时，， 不恒成立；
当 时，，不等式 恒成立，即 ，所以 ；
当 时，，不等式 不恒成立．综上， 的取值范围是 ．
18. 【答案】
(1) （ⅰ）当 时，，，．令 ，解得 ．
当 变化时，， 的变化情况如下表：所以 的极小值为 ，没有极大值．
又因为 ，，
所以，直线 的方程为 ，即 ．
（ⅱ）对任意的 都有 ，即 恒成立，由 ，故 ，
所以 ．
由（ⅰ）知 在 单调递增，因此 ，可得 ，即 ．
当 时， 的最小值为 ，
所以 的最大值为 ．
(2) 要证明 ，只需证明 即可．
依题意，，，是方程 的两个不等实根，
因为 ，
所以
①，②相加得：，
①，②相减得：，
消去 ，整理得 ，
不妨设 ，令 ，则 ，
故只需证明当 时，，即证明 ．
设 ，则 ，
于是 在 单调递增，从而 ，因此 ．
所以，．
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