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必刷题14 和差、盈亏问题应用题
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【知识储备】和差问题是已知两个数量的和以及它们的差，求这两个数量各是多 少的应用题。
解答和差问题常用的方法是假设法，即在解题的过程中，可以将其中的小数增加到与大数相同的大小，则可以先求出大数，再求出小数；也可以将其中的大数减少到与小数相同的大小，则可以先求出小数，再求出大数；同时还可以结合线段图进行分析，和差问题的基本数量关系式为：
(和+差)÷2=较大数
(和-差)÷2=较小数
把一定数量的物品，平均分给一定数量的人，两次分配的结果有差异，每次结果出现了盈(多)或亏(少),这类问题我们习惯上称为盈亏问题。
解答这类问题的要点是首先找出两个相关的差数，即每份差(分配方案的差)和总量差(分配结果的差),用总量差去除以每份差即可知道份数，进而求得其他问题。
一般情况下，总量差不会直接给出，但可用盈与亏相加、盈与盈相减、亏与亏相减等方法求出，基本数量关系为：
份数=(盈+亏)÷每份差
份数=(大亏-小亏)÷每份差
份数=(大盈-小盈)÷每份差
【例1】甲、乙两人共有存款1646元，甲的存款比乙的存款多106元，甲、乙两人各有存款多少元
【解析】用线段图表示题中的已知条件和问题：
【解答一】
从线段图上可知，假设甲的存款减少106元就和乙的一样多了，这时总数1646元也要减少106元，这样就是两个乙的存款，可知乙的存款。
(1)两个乙的存款是多少元 1646-106=1540(元)
(2)乙的存款多少元 1540÷2=770(元)
(3)甲的存款多少元
770+106=876(元)或1646-770=876(元)
综合算式：
乙：(1646-106)÷2=770(元)
甲：(1646-106)÷2+106=876(元)
或1646-(1646-106)÷2=876(元)
【解答二】
从线段图可以看出，如果乙的存款增加106元，就和甲的一样多了，这时总数1646元增加106元就是两个甲的存款，可知甲的存款。
(1)两个甲的存款是多少元 1646+106=1752(元)
(2)甲的存款是多少元 1752÷2=876(元)
(3)乙的存款是多少元 1646-876=770(元)或876-106=770(元)
综合算式：
甲：(1646+106)÷2=876(元)
乙：1646-(1646+106)÷2=770(元)
或(1646+106)÷2-106=770(元)
答：甲有存款876元，乙有存款770元。
【方法指导】本题为典型的“和差问题”。题中的“和”与“差”已经直接给出，这样根据公式：(和+差)÷2=较大数或(和-差)÷2=较小数 即可。解决和差问题常用的方法是假设法，即在解题过程中，假设较小数和较大数相同即将其中的小数增加到与大数同样大，则可求出较大数；或假设较大数和较小数相同，就是将其中的大数减少到与小数同样大，就可求出较小数，再求出较大数。借助线段图进行分析会更清楚。
【例2】甲、乙两校共有学生864名，为了照顾学生就近入学，教育局规定从甲校调32名学生入乙校，这样甲校学生还比乙校多48名，甲、乙两校原来各有多少名学生
【解析】用线段图表示题中的已知条件和问题：
【解答一】
首先，从线段图上可以看出，甲校比乙校多32×2+48=112(名)学生，如果甲校学牛减少112名，就和乙校学生一样多，这时总人数也要减少，就可知两个乙校的学生人数，可知乙校人数。
(1)甲校比乙校多多少名学生 32×2+48=112(名)
(2)两个乙校学生共多少名 864-112=752(名)
(3)乙校学生有多少人 752÷2=376(名)
(4)甲校学生有多少名 376+112=488(名)或864-376=488(名)
综合算式：
乙校：[864-(32×2+48)]÷2=376(名)
甲校：[864-(32×2+48)]÷2+112=488(名)
或864- [864-(32×2+48)]÷2=488(名)
【解答二】
知道两校人数的差后，可以使乙校学生增加112名使乙校学生和甲校学生一样多，这时总人数也要增加，增加之后就是两个甲校的人数，从而可知甲校人数。
(1)甲校比乙校多多少名学生 32×2+48=112(名)
(2)两个甲校学生共多少名 864+112=976(名)
(3)甲校学生有多少名 976÷2=488(名)
(4)乙校有多少名学生 864-488=376(名)或488-112=376(名)
综合算式：
甲：(864+32×2+48)÷2=488(名)
乙：864-(864+32×2+48)÷2=376(名)
或(864+32×2+48)÷2-(32×2+48)=376(名)
答：甲校原有学生488名，乙校原有学生376名。
【方法指导】这道题没有直接给出两数之差，我们可以想办法通过条件找出两数的差，这是解此题的关键，然后再根据和差问题的公式求出较大数和较小数即可。
【例3】刘叔叔的蔬菜地收茄子和西红柿共50千克，收西红柿和大白菜共70千克，收茄子和大白菜共60千克，这三种蔬菜各重多少千克
【解析一】根据题中的条件“茄子和西红柿共50千克”“西红柿和大白菜共70千克”,可知大白菜比茄子多20千克。又知“茄子和大白菜共 60千克”,利用和差问题求出茄子和大白菜即可。
【解答一】
(1)大白菜比茄子多多少千克 70-50=20(千克)
(2)大白菜有多少千克 (60+20)÷2=40(千克)
(3)茄子有多少千克 60-40=20(千克)或(60-20)÷2=20(千克)
(4)西红柿有多少千克 50-20=30(千克)或70-40=30(千克)
【解析二】根据题中的三个条件可知，每种蔬菜都算两次共多少千克，从而可知每种蔬菜都算一次时共多少千克，再根据“茄子和西红柿共50千克”,可知大白菜多少千克。
【解答二】
(1)三种蔬菜的和是多少千克 (50+70+60)÷2=90(千克)
(2)大白菜多少千克 90-50=40(千克)
(3)西红柿多少千克 90-60=30(千克)或70-40=30(千克)
(4)茄子多少千克 60-40=20(千克)或90-70=20(千克)
【解析三】根据“茄子和西红柿共50千克”加上“西红柿和大白菜共 70千克”减去“茄子和大白菜共60千克”可知西红柿多少千克，再依次求出其他两种蔬菜的千克数。
【解答三】
(1)西红柿有多少千克 (50+70-60)÷2=30(千克)
(2)茄子多少千克 50-30=20(千克)
(3)大白菜多少千克 70-30=40(千克) 或60-20=40(千克)
答：茄子重20千克，西红柿重30千克，大白菜重40千克。
【方法指导】这道题涉及到了三种数量的“和”与“差”,我们可以分别找出两两之间的和差关系，再解答；还可以找出它们整体的“和”与 “差”,再分别求出；也可以分别求出“茄子和西红柿的差”、“西红柿和大白菜的差”、“茄子和大白菜的差”,再按和差问题来求解。
【例4】一个植树小组去栽树，如果每人栽5棵，还剩下14棵树苗，如果每人栽7棵，就缺少4棵树苗，这个小组有多少人 一共有多少棵 树苗
【解析】根据条件“每人栽5棵，剩下14棵，每人栽7棵，就缺4棵树苗”,也就是说，如果按照第二种办法可以比第一种办法多栽14+4=18(棵),这是因为每人多栽了7-5=2(棵)的原因，每人多栽2棵，就可多栽18棵树，便可求出小组的人数，从而求出树苗的稞数。
【解答】
(1)每人栽7棵，就多栽了几棵树苗 14+4=18(棵)
(2)每人比第一次多栽几棵 7-5=2(棵)
(3)这个小组有多少人 18÷2=9(人)
综合算式：(14+4)÷(7-5)=9(人)
(4)一共有多少棵树 5×9+14=59(棵) 或7×9-4=59(棵)
综合算式：(14+4)÷(7-5)×5+14=59(棵) 或(14+4)÷(7-5)×7-4=59(棵)
答：这个小组有9人，一共有59棵树苗。
【方法指导】解答盈亏问题的关键就是要求出总差额和两次分配的数量差，通过比较已知条件，分别找出两个相差的差数，当有余也有亏时，总差额=余+亏，用总差额(余+亏)÷两次分配的差=份数，在这道题里，有余(剩下14棵),也有亏(缺少4棵),求出总差额。为什么会有总差额，是因为两次分配的情况不同，第一次每人栽5棵，第二次每人栽7 棵，第二次比第一次每人多栽2棵，就可多栽18棵，从而求出份数即人数，这是盈亏问题的第一种情况一盈一亏。
【例5】学校将一批图书奖给三好学生，如果每人奖9本，则缺45本，如果每人奖7本，则缺7本，三好学生有多少人 图书有多少本
【解析】三好学生的人数与图书的本数是不变的。比较两种分配方案，“每人奖9本，缺45本”“每人奖7本，缺7本”,两次奖励相差45-7=38(本),这是因为两种奖励方案每人得到的图书相差9-7=2(本), 也就是说，每人少奖2本，就可少缺38本，便可知有多少人。
【解答】
(1)第二次比第一次缺少多少本 45-7=38(本)
(2)第二次比第一次每人少奖多少本 9-7=2(本)
(3)三好学生有多少人 38÷2=19(人)
(4)有多少本图书 19×9-45=126(本)或19×7-7=126(本)
综合算式：
(45-7)÷(9-7)=19(人)
[(45-7)÷(9-7)]×9-45=126(本)
或(45-7)÷(9-7)×7-7=126(本)
答：三好学生有19人，图书有126本。
【方法指导】通过比较已知条件“每人奖9本，则缺45本”“每人奖7本，则缺7本”,可知总差额=45-7,两次分配数的差=9-7,再根据总差额÷两次分配数的差求出人数。此题与上题不同，此题两次分配都是亏，所以要用(大亏-小亏)÷两次分配数的差=份数，求出总人数，这是盈亏问题的第二种情况，两不足。
【例6】有一些水果要分给小朋友们，如果每个儿童分3个水果，则多34个，如果每个儿童分5个水果，则多10个水果，求水果和儿童各多
【解析】根据“每个儿童分3个，则多34个，每个儿童分5个，则多10个”,可知第二次比第一次少余34-10=24(个),这是因为第二次比第一次每人多分5-3=2(个),也就是说，每个儿童多分2个，则少余24个，可知儿童有多少人。
【解答】
(1)第二次比第一次少余多少个水果 34-10=24(个)
(2)第二次比第一次每人多分几个水果 5-3=2(个)
(3)有多少个儿童 24÷2=12(个)
(4)有多少个水果 12×3+34=70(个)或12×5+10=70(个)
综合算式：
儿童：(34-10)÷(5-3)=12(个)
水果：(34-10)÷(5-3)×3+34=70(个) 或(34-10)÷(5-3)×5+10=70(个)
答：水果有70个，儿童有12个。
【方法指导】这是盈亏问题的第三种情况两盈，可根据：(大盈-小盈)÷两次分配数的差=份数求出，通过比较已知条件“每个儿童分3个，则多34个，每个儿童分5个，则多10个”可知，总差额=34-10,两次分配的差=5-3,即可知每个儿童多分2个，就可少剩余24个水果，可知儿童人数。
1.某公司甲班和乙班共有员工94人，因工作需要临时从乙班调46人到甲班，这时，乙班比甲班少12人，原来甲班和乙班各有员工多少人
2. 有两箱苹果共30千克，如果在甲箱放入8千克，从乙箱取出4千克，这时乙箱还比甲箱多2千克，甲、乙两箱原来各有苹果多少千克
3. 三桶油共重65千克，第一桶比第二桶重5千克，第三桶比第二桶轻9千克，三桶油各重多少千克
4. 李飞语文、数学两门功课平均成绩96分，数学比语文多8分，语文、数学各多少分
5. 四(1)班有学生48人，暑假中有5人学会了游泳，这样会游泳的人数比不会游泳的学生多16人，原来会游泳的有几人
6. 小雨粮店运进大米、面粉共460袋，大米卖出60袋，面粉卖出76袋后，所剩的大米与面粉的袋数正好相等，运进的大米、面粉各多少袋
7. 南京长江大桥比美国的纽约大桥长4570米，纽约大桥比武汉长江大桥长530米，这三座桥共长10640米，这三座桥各长多少米
8.茶庄一等茶和二等茶共计有80千克，二等茶和三等茶共有70千克，一等茶和三等茶共50千克，一、二、三等茶各有多少千克
9. 姐姐和妹妹共有糖果39块，如果姐姐给妹妹7块后就比妹妹少3块，姐姐和妹妹原有糖果各多少块
10. 某公司将875元奖金分给三名优秀员工，第一名比第二名多得250元，第二名比第三名多得125元，三名优秀员工各得多少元
11. 今年程刚和胡强的年龄和是21岁，4年前，程刚比胡强小3岁，两人各多少岁
12. 用108厘米长的铁丝围成一个长方形，使长比宽多12厘米，长和宽各是多少厘米
13. 某校安排宿舍，如果每间6人，则16人没有床位；如果每间8人，则多出10个床位，问有多少间宿舍 学生多少人
14. 某校学生要乘汽车参观红旗渠，如果每车坐65人，则有15人不能乘车；如果每车多坐5人，恰好多余一辆车，一共有几辆汽车 有多少学生
15. 大猴子采到一堆桃子分给小猴子吃，每只小猴子分10个桃子，则有2只小猴子没分到；如果每只小猴子分8个桃，刚好分完，有多少个桃 多少只小猴
16. 常老师要将一捆练习本分给第一组同学，每人5本则多23本，每人7本则多7本，第一小组有几个学生 有多少个练习本
17. 侯洁从家到学校，她先用每分钟50米的速度走了2分钟，如果这样走下去，她就会迟到8分钟；后来她改用每分钟60米的速度前进，结果早到5分钟，侯洁家到学校有多少米
18. 用绳子测游泳池水深，绳子两折时，多余60厘米；绳子三折时，还差40厘米，游泳池水深是多少厘米
19.奶奶去菜市场买黄瓜，如果买2千克，还剩下2元5角，如果买4千克，就缺2元5角，黄瓜每千克多少钱 奶奶带了多少钱
20. 工程队计划每天修路72米，实际每天比计划多修8米，这样在规定完成任务的时间的前3天，就剩下120米未修，这条路有多长
参考答案
1.(1)乙班比甲班多多少人 46-12+46=80(人)
(2)甲班有多少人 (94-80)÷2=7(人)
(3)乙班有多少人 94-7=87(人)
综合算式：
甲：[94-(46-12+46)]÷2=7(人)
乙：94-[94-(46-12+46)]÷2=87(人)
2.(1)甲箱比乙箱少多少千克 8+2+4=14(千克)
(2)乙箱有多少千克 (30+14)÷2=22(千克)
(3)甲箱有多少千克 30-22=8(千克)
综合算式：
乙箱：[30+(8+2+4)]÷2=22(千克)
甲箱：30-[30+(8+2+4)]÷2=8(千克)
3.(1)第三桶重多少千克 (65-9×2-5)÷3=14(千克)
(2)第二桶重多少千克 14+9=23(千克)
(3)第一桶重多少千克 23+5=28(千克)
综合算式：
第三桶：(65-9×2-5)÷3=14(千克)
第二桶：(65-9×2-5)÷3+9=23(千克)
第一桶：(65-9×2-5)÷3+9+5=28(千克)
答：第一桶油重28千克，第二桶油重23千克，第三桶油重14千克。
4.(1)数学多少分 (96×2+8)÷2=100(分)
(2)语文成绩多少分 96×2-100=92(分)或100-8=92(分)
综合算式：
数学：(96×2+8)÷2=100(分)
语文：96×2-(96×2+8)÷2=92(分)或(96×2+8)÷2-8=92(分)
5.(1)现在会游泳的人数有多少人 (48+16)÷2=32(人)
(2)原来有多少人 32-5=27(人)
综合算式：(46+16)÷2-5=27(人)
答：原来会游泳的有27人。
6. (1)面粉比大米多多少袋 76-60=16(袋)
(2)大米有多少袋 (460-16)÷2=222(袋)
(3)面粉有多少袋 222+16=238(袋)或460-222=238(袋)
综合算式：
大米：[460-(76-60)]÷2=222(袋)
面粉：[460-(76-60)]÷2+16=238(袋)或460-[460-(76-60)]÷2=238(袋)
7. (1)武汉长江大桥长多少米 : (10640-4570-530×2)÷3=1670(米)
(2)纽约大桥长多少米 1670+530=2200(米)
(3)南京长江大桥长多少米 2200+4570=6770(米)
综合算式：
武汉长江大桥：(10640-4570-530×2)÷3=1670(米)
纽约大桥：(10640-4570-530×2)÷3+530=2200(米)
南京长江大桥：(10640-4570-530×2)÷3+530+4570=6770(米)
8. (1)二等茶有多少千克 (80+70-50)÷2=50(千克)
(2)一等茶有多少千克 80-50=30(千克)
(3)三等茶有多少千克 70-50=20(千克)
综合算式：
一等茶：80- (80+70-50)÷2=30(千克)
二等茶；(80+70-50)÷2=50(千克)
三等茶：70- (80+70-50)÷2=20(千克)
9. (1)姐姐有多少块 [39+(7-3)+7]÷2=25(块)
(2)妹妹有多少块 [39+(7-3)+7]÷2- (7-3+7)=14(块)
10. (1)第三名得多少元 (875=250-125×2)÷3=125(元)
(2)第二名得多少元 (875-250-125×2)÷3+125=250(元)
(3)第一名得多少元 (875-250-125×2)÷3+125+250=500(元)
11. (1)程刚有多少岁 (21-3)÷2=9(岁)
(2)胡强有多少岁 21-(21-3)÷2=12(岁)或(21-3)÷2+3=12(岁)
12. (1)宽多少厘米 (108-12×2)÷4=21(厘米)
(2)长多少厘米 108÷2-21=33(厘米)
13. (1)有多少间宿舍 (16+10)÷(8-6)=13(间)
(2)有多少学生 6×13+16=94(人)
14. (1)有多少辆汽车 (65+5+15)÷5=17(辆)或(65+15)÷5+1=17(辆)
(2)有多少学生 17×65+15=1120(人)
15. (1)有多少只小猴 10×2÷(10-8)=10(只)
(2)有多少个桃 10×2÷(10-8)×8=80(个)
16. (1)有几个学生 (23-7)÷(7-5)=8(个)
(2)有多少个练习本 (23-7)÷(7-5)×5+23=63(本)
或(23-7)÷(7-5)×7+7=63(本)
17. (1)侯洁离学校还有多少米 50×8=400(米)
(2)每分钟走60米，早到5分钟，她还可以走多少米 60×5=300(米)
(3)每分钟相差多少米 60-50=10(米)
(4)路程相差多少米 400+300=700(米)
(5)她走了多少分钟 700÷10+2=72(分钟)
(6)她家离学校有多少米 72×50+50×8=4000(米)
18. (60×2+40×3)÷(3-2)=240(厘米)
19. (1)黄瓜每千克多少钱 (2元5角+2元5角)÷(4- 2)=2元5角
(2)奶奶带了多少钱 2元5角×2+2元5角=7元5角
20. (1)实际每天修多少米 72+8=80(米)
(2)如果按原计划完成任务的天数，实际比原计划要多修多少米
80×3-120=120(米)120÷8=15(天)
(3)这条路有多长 72×15=1080(米)
综合算式： [(72+8)×3-120]÷8×72=1080(米)
答：这条路长1080米。