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2024华东师大版八年级数学上学期单元测试卷
第13章 全等三角形
时间:60分钟 满分:100分
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.下列命题的逆命题不成立的是 ( )
A.等边对等角
B.线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
C.全等三角形的对应角相等
D.三个角都是60°的三角形是等边三角形
2.如图,△ABC≌△DCB,若AC=7,BE=5,则DE的长为 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
3.若等腰三角形的周长为26 cm,一边长为 11 cm,则腰长为 ( )
A.11 cm B.7.5 cm C.4 cm或7.5 cm D.11 cm或7.5 cm
4.如图,DE是△ABC中AC边的垂直平分线,若BC=8,AB=10,则△EBC的周长是 ( )
A.18 B.16 C.14 D.13
5.工人师傅常用角尺平分一个任意角.做法如下:如图,∠AOB是一个任意角,在边OA,OB上分别取点M,N,且使OM=ON,移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与点M,N重合,过角尺顶点C,连接OC.可知△OMC≌△ONC,OC便是∠AOB的平分线.则△OMC≌△ONC的理由是 ( )
A.H.L. B.S.A.S. C.A.A.S. D.S.S.S.
6.如图,已知AB+AC=18,点O为∠ABC与∠ACB的平分线的交点,且OD⊥BC于点D.若OD=3,则四边形ABOC的面积是 ( )
A.36 B.27 C.20 D.18
7.如图,已知AD∥BC,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ABC≌△CDA的是 ( )
A.∠B=∠D B.AB∥DC C.AB=CD D.BC=AD
8.如图,△ABC是边长为1的等边三角形,P为AB上一点,过点P作PE⊥AC于点E,作PF∥BC交AC于点F,Q为BC延长线上一点,若AP=CQ,连接PQ,交AC于点D,则DE的长为 ( )
A. B. C. D.不能确定
9.如图,OA平分∠NOP,OB平分∠MOP,AB⊥OP于点E,BC⊥MN于点C,AD⊥
MN于点D,下列结论错误的是 ( )
A.AD+BC=AB B.∠CBO=∠BAO C.∠AOB=90° D.O是CD的中点
10.如图,在△ABC中,∠B>90°,CD为∠ACB的平分线,在边AC上取点E,使DE
=DB,且∠AED>90°.若∠A=α,∠ACB=β,则∠AED= ( )
A.180°-α -β B.180°-α -β C.90°-α+β D.90°+α+β
二、填空题(每小题3分,共18分)
11.如图,某同学将一块三角形的玻璃打碎成了三块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的办法是带第 块去.(填序号)
12.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,连接BE,则∠CBE的度数为 .
13.如图,在△ABC中,AB=1.8,BC=3.9,∠B=60°,将△ABC绕点A按顺时针方向旋转一定角度得到△ADE,当点B的对应点D恰好落在BC边上时,CD的长为 .
14.在测量一个小口容器的壁厚时,小明用“x型转动钳”按如图方法进行测量,其中OA=OD,OB=OC,测得AB=5厘米,EF=7厘米,则小口容器的壁厚是 .
15.如图,BP,CP分别是△ABC的外角平分线且相交于点P,PE⊥BC于点E,PE=3.若△ABC的周长为14,S△BPC=7.5,则△ABC的面积为 .
16.如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,∠A=20°.点D在AB上,且AD=BC,过点D作DE∥BC,使DE=AB,连接DC,EC,则∠DCE= °.
三、解答题(共52分)
17.(6分)如图,点C,F在线段BE上,∠ABC=∠DEF=90°,BC=EF,请添加一个合适的条件使△ABC≌△DEF.
(1)根据“A.S.A.”进行判定,需添加的条件是 ;根据“H.L.”进行判定,需添加的条件是 ;
(2)请从(1)中选择一种,加以证明.
18.(7分)如图,已知△ABC,过点A作BC的平行线交∠ABC的平分线于点D,连接CD,AD=AC.
(1)判断△ABC的形状,并证明你的结论.
(2)若∠BAC=100°,求∠ACB的度数.
19.(8分)如图,AD是△ABC的角平分线,DE,DF分别是△ABD和△ACD的高.
(1)求证:AD垂直平分EF;
(2)若AB+AC=10,=15,求DE的长.
20.(9分)如图,在△ABC中,∠ABC=45°,CD⊥AB于点D,点E为CD上一点,且DE=AD,连接BE并延长交AC于点F,连接DF.
(1)求证:BE=AC;
(2)若AB=BC,且BE=2 cm,∠CFE=90°,求CF的长.
21.(10分)如图,已知点M是AB的中点,DC是过点M的一条直线,且∠ACM=∠BDM,AE⊥CD,BF⊥CD,垂足分别为点E,F.
(1)试说明△AME≌△BMF;
(2)猜想MF与CD之间的数量关系,并说明理由.
22.(12分)在△ABC中,AB=AC,点D是线段CB上的一动点(不与点B,C重合),以AD为一边在AD的右侧作△ADE,使AD=AE,∠DAE=∠BAC,连接CE.
(1)如图1,当点D在线段CB上,∠BAC=90°时,那么∠DCE= °.
(2)设∠BAC=α,∠DCE=β.
①如图2,当点D在线段CB上,∠BAC≠90°时,请你探究α与β之间的数量关系,并证明你的结论;
②如图3,当点D在线段CB的延长线上,∠BAC≠90°时,请将图3补充完整,并直接写出此时α与β之间的数量关系(不需证明).
图1 图2 图3
参考答案与解析
1.C 等边对等角的逆命题是等角对等边,逆命题成立;线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等的逆命题是到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上,逆命题成立;全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的两个三角形全等,逆命题不成立;三个角都是60°的三角形是等边三角形的逆命题是等边三角形的三个角都是60°,逆命题成立.
2.A
3.D分两种情况:①当底边长为11 cm时,其三边长分别为11 cm,7.5 cm,7.5 cm,能构成三角形;②当腰长为11 cm时,三边长分别为11 cm,11 cm,4 cm,能构成三角形.所以腰长为11 cm或 7.5 cm.
4.A ∵DE是AC的垂直平分线,∴AE=CE,∴△BCE的周=BC+BE+CE=BC+BE
+AE=BC+AB=8+10=18.
5.D 由题意得MC=NC.在△OMC和△ONC中,∴△OMC≌△ONC
(S.S.S.).
6.B 过点O分别作OE⊥AB于点E,OF⊥AC于点F,连接OA.∵点O为∠ABC与∠ACB的平分线的交点,OD⊥BC于点D,OD=3,∴OE=OD=3,OF=OD=3.∵AB
+AC=18,∴四边形ABOC的面积=S△ABO+S△ACO=×AB×OE+×AC×OF=×AB×3+
×AC×3=×(AB+AC)=×18=27.
7.C ∵AD∥BC,∴∠DAC=∠BCA.对于选项A,由得出△ABC≌
△CDA,故选项A不符合题意. 对于选项B,∵AB∥DC,∴∠BAC=∠DCA.由得出△ABC≌△CDA,故选项B不符合题意.对于选项C,由AB=
CD,AC=CA,∠DAC=∠BCA,无法得出△ABC≌△CDA,故选项C符合题意.对于选项D,由得出△ABC≌△CDA,故选项D不符合题意.
8.B ∵△ABC是等边三角形,PF∥BC,∴△APF是等边三角形,∴AP=PF=AF,
∠PFD=∠QCD.∵AP=CQ,∴PF=CQ.在△PFD和△QCD中,∵∠PFD=∠QCD,
∠PDF=∠QDC,PF=QC,∴△PFD≌△QCD,∴FD=CD.∵PE⊥AC,∴AE=EF,∴EF+FD=AE+CD,∴AE+CD=DE=AC.∵AC=1,∴DE=.
证明两条线段相等的方法
一是构建在同一个三角形中,借助等角对等边证明;二是构建在两个三角形中,借助三角形全等证明.
9.B ∵OA平分∠NOP,OB平分∠MOP,∴∠AOD=∠AOP=∠DOE,∠COB=
∠EOB=∠COE,∴∠AOB=(∠COE+∠DOE)=90°,故选项C不合题意.在△AOD和△AOE中,∴△AOD≌△AOE(A.A.S.),∴AE=AD,OE=OD,
∠OAE=∠OAD.同理可得BC=BE,CO=OE,∴AB=AE+BE=AD+BC,CO=OE=OD,
∴O是CD的中点,故选项A,D不合题意,无法根据已知条件证∠CBO=∠BAO.
10.A 如图,在边AC上截取CF=CB,连接DF.∵CD平分∠ACB,∴∠ACD=
∠BCD.∵CD=CD,∴△BDC≌△FDC,∴∠ABC=∠CFD,DB=DF.∵DE=DB,∴DE=DF,∴∠DEF=∠DFE,∴∠AED=∠CFD,∴∠AED=∠DBC=180°-∠A-∠ACB=
180°-α -β.
11.③ 第③块玻璃不仅保留了原来三角形的两个角,还保留了一边,则可以根据“A.S.A.”来配一块完全一样的玻璃,所以最省事的办法是带第③块去.
12.30° ∵AB=AC,∠A=40°,∴∠ABC=∠C==70°.∵线段AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,∴AE=BE,∴∠ABE=∠A=40°,∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=30°.
13.2.1 由旋转可知AD=AB.∵∠B=60°,∴△ABD是等边三角形,∴BD=AB=1.8.
∵BC=3.9,∴CD=BC-BD=3.9-1.8=2.1.
14.1厘米 在△AOB和△DOC中,∴△AOB≌△DOC(S.A.S.),
∴CD=AB=5厘米.∵EF=7厘米,∴小口容器的壁厚是×(7-5)=1(厘米).
15.6 如图,分别过点P作PF⊥AN于点F,作PG⊥AM于点G,连接AP.∵BP,CP分别是∠GBC和∠NCB的平分线,PE⊥BC,∴PF=PE=PG=3.∵S△BPC=7.5,∴BC·
3=7.5,解得BC=5.∵△ABC的周长为14,∴AB+AC+BC=14,∴AB+AC=9,∴S△ABC
=S△ACP+S△ABP -S△BCP=(AB+AC- BC)×3=×(9-5)×3=6.
16.70 如图,连接AE.∵AB=AC,∴∠B=∠ACB.∵DE∥BC,∴∠ADE=∠B. 在△ADE和△CBA中,∴△ADE≌△CBA(S.A.S.),∴AE=AC=AB=DE,
∠AED=∠BAC=20°,∴∠DAE=∠ADE=∠B=∠ACB=(180°-20°)=80°.∵∠CAE=
∠DAE-∠BAC=80°-20°=60°,∴△ACE是等边三角形,∴CE=AC=AE=DE,∠AEC=
∠ACE=60°,∴△DCE是等腰三角形,∴∠CDE=∠DCE.∵∠DEC=∠AEC -∠AED
=40°,∴∠DCE=×(180°-40°)=70°.
17.解：(1)∠ACB=∠DFE AC=DF (4分)
(2)选择添加条件∠ACB=∠DFE.
证明:在△ABC和△DEF中,∴△ABC≌△DEF(A.S.A.). (6分)
另解： (2)选择添加条件AC=DF.
证明:∵∠ABC=∠DEF=90°,∴在Rt△ABC和Rt△DEF中,
∴Rt△ABC≌Rt△DEF(H.L.). (6分)
18.解：(1)△ABC为等腰三角形. (1分)
证明:由题意得,BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD.
∵AD∥BC,∴∠ADB=∠DBC,∴∠ABD=∠ADB,∴AB=AD.
∵AD=AC,∴AB=AC,∴△ABC为等腰三角形. (5分)
(2)∵∠BAC=100°,AB=AC,∴∠ACB=∠ABC=40°. (7分)
19.解：(1)证明:∵AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF. (2分)
在Rt△AED和Rt△AFD中,
∴Rt△AED≌Rt△AFD(H.L.),∴AE=AF. (4分)
∵DE=DF,∴AD垂直平分EF. (5分)
(2)∵DE=DF,∴S△ABC=S△ABD+S△ACD=AB·DE+AC·DF=DE·(AB+AC)=15. (7分)
∵AB+AC=10,∴×10×DE=15,∴DE=3. (8分)
20.解：(1)证明:∵CD⊥AB,∴∠BDC=∠CDA=90°.
∵∠ABC=45°,∴△BDC是等腰直角三角形,∴BD=CD.
在△BDE和△CDA中,∴△BDE≌△CDA(S.A.S.), (5分)
∴BE=AC. (6分)
(2)由(1)得BE=AC.∵AB=BC,∠CFE=90°,∴AC=2CF, (8分)
∴BE=2CF,∴CF=1 cm. (9分)
21.解：(1)如图,因为点M是AB的中点,所以AM=BM.
因为AE⊥CD于点E,BF⊥CD于点F,所以∠AEM=∠BFM=90°.
在△AME和△BMF中,所以△AME≌△BMF. (4分)
(2)2MF=CD. (6分)
理由:由(1)可知△AME≌△BMF,所以EM=FM,AE=BF.
因为AE⊥CD于点E,BF⊥CD于点F,所以∠AEC=∠BFD=90°.
在△ACE和△BDF中,所以△ACE≌△BDF,所以CE=DF. (8分)
因为CE=EF+CF,DF=CD+CF,所以EF=CD.
因为EM=FM,所以2MF=CD. (10分)
判断三角形全等的思路分析
22.解：(1)90 (4分)
∵∠BAD+∠DAC=90°,∠DAC+∠CAE=90°,∴∠BAD=∠CAE.在△BAD△CAE
中,∴△BAD≌△CAE(S.A.S.),∴∠ACE=∠B.∵∠B+∠ACB=90°,∴∠DCE=∠ACE+∠ACB=90°.
(2)①α+β=180°. (5分)
证明:∵∠BAC=∠DAE,
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,∴∠BAD=∠CAE. (6分)
在△BAD和△CAE中,∴△BAD≌△CAE(S.A.S.),
∴∠B=∠ACE. (8分)
∵∠B+∠ACB=180°-α,
∴∠DCE=∠ACE+∠ACB=∠B+∠ACB=180°-α=β,∴α+β=180°. (9分)
②如图所示. (10分)
α=β. (12分)
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