卷子答案网-一个不只有答案的网站襄阳市重点中学2023-2024学年高一上学期9月月考
数学试题
考试时间：2023年9月26日下午14：40-16：40
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名 准考证号等填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求，选对的得5分，选错或未选得0分
1.设全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.下列表示正确的个数是（ ）
（1）；（2）；（3）；（4）若则
A.0 B.1 C.2 D.3
3.某校为拓展学生在音乐 体育 美术方面的能力，开设了相应的兴趣班.某班共有34名学生参加了兴趣班，有17人参加音乐班，有20人参加体育班，有12人参加美术班，同时参加音乐班与体育班的有6人，同时参加音乐班与美术班的有4人.已知没有人同时参加三个班，则仅参加一个兴趣班的人数为（ ）
A.19 B.20 C.21 D.22
4.集合，将集合分别用如图中的两个圆表示，则圆中阴影部分表示的集合中元素个数恰好为4的是（ ）
A.B.
C.D.
5.已知，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
6.甲乙丙丁四位同学在玩一个猜数字游戏，甲乙丙共同写出三个集合：，然后他们三人各用一句话来正确的描述“”中的数字，让丁同学找出该数字，以下是甲 乙 丙三位同学的描述，甲：此数为小于5的正整数；乙：B是A成立的必要不充分条件；丙：C是A成立的充分不必要条件.则“”中的数字可以是（ ）
A.3或4 B.2或3 C.1或2 D.1或3
7.下列函数中最小值为4的是（ ）
A.
B.当时，
C.当时，
D.
8.函数在数学上称为高斯函数，也叫取整函数，其中表示不大于的最大整数，如.那么不等式成立的充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
二 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得：2分，有选错的得0分.
9.如果，则下列选项不正确的是（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
10.下列命题为假命题的是（ ）
A.命题“”的否定是“”
B.“”是“”的充分必要条件
C.二次函数的零点为和
D.“”是“”的必要不充分条件
11.已知正实数x，y满足，且恒成立，则t的取值可能是（ ）
A. B. C.1 D.
12.对于正整数集合，如果去掉其中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“可分集”，则下列说法正确的是（ ）
A.不是“可分集”
B.集合中元素个数最少为7个
C.若集合是“可分集”，则集合中元素全为奇数
D.若集合是“可分集”，则集合中元素个数为奇数
三 填空题，本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.不等式的解集是__________.
14.若命题“”为假命题，则实数的最小值为__________.
15.已知关于的一元二次不等式在实数集上恒成立，且，则的最小值为________
16.已知集合，对于集合的两个非空子集，若，则称为集合的一组“互斥子集”.记集合的所有“互斥子集”的组数为（当且仅当时，与为同一组“互斥子集”），则__________，__________.
四、解答题，本题共6小题，解答题需写出具体的过程或步骤
17.设集合.
（1）求集合
（2）若，求实数的取值范围.
18.已知：实数满足，：实数满足（其中）.
（1）若，且和至少有一个为真，求实数的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
19.（1）求关于x的方程的实数根中有且只有一个负实数根的充要条件（假定两个相等根按一个算）；
（2）已知a，b，c为正数，且满足.证明：.
20.设.
（1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；
（2）已知解关于的不等式
21.某学校要建造一个长方体形的体育馆，其地面面积为（地面不需要建造），体育馆高，如果甲工程队报价为：馆顶每平方米的造价为100元，体育馆前后两侧墙壁平均造价为每平方米150元，左右两侧墙壁平均造价为每平方米250元，设体育馆前墙长为米.
（1）当前墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？
（2）若每个工程队报价不同，价低者竞标成功，现有乙工程队也参与该校的体育馆建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围.
22.对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“上位点”.同时点是点的“下位点”；
（1）试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；
（2）已知点是点的“上位点”，判断点是否是点的“下位点”，证明你的结论；
（3）设正整数满足以下条件：对集合内的任意元素，总存在正整数，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求满足要求的一个正整数的值，并说明理由.
襄阳市重点中学2023-2024学年高一上学期9月月考
数学参考答案
1-5CDACB 6-8CBB 9.ABD 10.ABC 11.BCD 12.ABD
8.【详解】因为，则，则，
又因为表示不大于的最大整数，所以不等式的解集为：，
因为所求的时不等式成立的充分不必要条件，所以只要求出不等式解集的一个非空真子集即可，选项中只有 .故选：B.
11.【详解】由，得，因为，所以，所以，则，
当且仅当时，等号成立，故，
因为恒成立，所以，解得.故A错.故选：BCD.
12.【详解】根据“可分集”性质可知，当集合为时：去掉元素3，则不可拆分成符合题意的可分集，故A错误.
设集合所有元素之和为M.
由题意可知，均为偶数，因此同为奇数或同为偶数.
（1）当M为奇数时，则也均为奇数，由于，所以n为奇数.
（2）当M为偶数时，则也均为偶数，此时可设，因为为“可分集”，所以也为“可分集”.重复上述有限次操作后，便可得到一个各元素均为奇数的“可分集”，且对应新集合之和也为奇数，由（Ⅰ）可知此时n也为奇数.
综上所述，集合A中元素个数为奇数.
故C错D对.
由上述分析可知集合中元素个数为奇数，不妨假设：
当时，显然任意集合都不是“可分集”；
当时，设集合，其中，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有或；
将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有或
由①，③可得，矛盾；由①，④可得，矛盾；由②，③可得，矛盾；由②，④可得，矛盾.
因此当时，不存在“可分集”；
当时，设集合，
去掉元素1，；去掉元素3，
去掉元素5，；去掉元素7，
去掉元素9，；去掉元素11，
去掉元素13，，所以集合是“可分集”.
因此集合A中元素个数n的最小值是7，故B正确.
故选：ABD
13. 14.2
15.3
【详解】一元二次不等式对一切实数都成立，
当时，不能保证恒成立，不符合题意；
当时，要满足
，由此，，，得：，
则，
即时，取等号，
故答案为：3.
16.50，
【详解】令，如图，全集被划分成三个部分，中的任意一个元素只能在集合之一中，有3种方法，
则这个元素在集合中，共有种，
其中为空集的种数为为空集的种数为，
则均为非空子集的种数为，
因当且仅当时，与为同一组“互斥子集”，
而，满足的与不是同一组“互斥子集”，
于是得集合的所有“互斥子集”的组数为，
故答案为：
17.【详解】（1）集合
（2）由，得.
当，即时，，符合题意；
当，即时，，符合题意；
当，即时，要使，则，
即无解.
综上：实数的取值范围是.
18.【详解】（1）：实数满足，解得，
当时，：，解得，
∵p和q至少有一个为真，∴或，∴，
∴实数的取值范围为；
（2）∵，由，解得，即：，
∵是的充分不必要条件，
∴（等号不同时取），∴，
19.【详解】（1）当时，方程为，解得，符合题意；
当时，方程，若，即时，此时方程的根为，符合题意；
若，方程实数根中有且只有一个负实数根，需满足条件，即
解得
故是方程的实数根中有且只有一个负实数根的充要条件.
（2），
故
20.【详解】（1）解：由对一切实数恒成立，
即对一切实数恒成立，
当时，，不满足题意；
当时，则满足，解得，
综上所述，实数的取值范围为.
（2）解：由不等式，即，
方程的两个根为，
①当时，不等式的解集为
②当时，不等式的解集为
③当时，不等式的解集为.
综上所述，
当时，不等式的解集为；
当时，解集为.
21.【详解】（1）因为体育馆前墙长为米，地面面积为，
所以体育馆的左右两侧墙的长度均为米，
设甲工程队报价为元，
所以，
因为，
当且仅当，即时等号成立，
所以当前墙的长度为20米时，甲工程队报价最低为84000元；
（2）根据题意可知对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
所以对任意的恒成立，
因为，
，
当且仅当，即时等号成立，
所以，
故当时，无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功.
22.【详解】（1）根据题设中的定义可得点的一个上位点“坐标”和一个“下位点”坐标分别为和；
（2）点是点的“下位点”，
证明：点是点的“上位点”，
又均大于，，
，即，
所以点是点的“下位点”.
（3）可证点既是点的“上位点”，又是点的“下位点”，
证明：点是点的“上位点”，
均大于，，
，
即，所以点是点的“上位点”，
同理可得，即，
所以点是点的“下位点”，
所以点既是点的“上位点”，又是点的“下位点”.
根据题意知点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”对时恒成立，
根据上述的结论可知，当，时，满足条件.
故：
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