卷子答案网-一个不只有答案的网站17 长方体和正方体的认识的应用题
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【知识储备】1. 本单元的主要内容是长方体和正方体的认识、长方体和正方体的表面积、长方体和正方体的体积。重点是长方体和正方体的基本特征及表面积、体积的计算，难点是通过这一系列学习，真正地建立起空间观念，能运用所学知识解决实际问题。
2. 长方体和正方体是最基本的立体几何图形，认识它们是进一步学习其他立体几何图形的基础，形成初步的空间观念是解决长方体和正方体表面积、体积等问题的关键。第一，要区分清楚什么时候是求物体的表面积，什么时候是求物体的体积；第二，在求物体表面积时要根据实际情况弄清求哪几个面的面积和，哪些面不需要求，哪些面需要求，怎么求。
3. 本单元应用题的练习从两个方面进行：第一，抓住基本知识的练习，使学生对长方体、正方体的特征有进一步的、全面的、深刻的认识；第二，进一步建立学生的空间观念，使应用题的内容、解法、结论更具有开放性，能根据实际情况选用合理的算法，寻找最优的解法。
【例1】把5个棱长是2厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的棱长和是多少厘米
【解析】把5个棱长是2厘米的正方体拼成一个长方体，只会出现下列一种情况(如右图)。长方体有12条棱，并分成了三组，每组4条棱都一样长，这三组的名称分别是长、宽、高，因此我们只要确定出这个拼成的长方体的长、宽、高各是多少厘米；就可求出这个长方体的棱长和。
【解答】
从图中可以得出：拼成的长方体的长是2×5=10(厘米),宽是2厘米，高
10×4+2×4+2×4
=40+8+8
=56(厘米)
答：这个长方体的棱长和是56厘米。
【例2】用一根长72分米的铁丝焊成一个正方体的框架，这个正方体框架的棱 长是多少分米 如果用两个这样的正方体框架拼成一个长方体，要直接焊成这样一个长方体框架需要的铁丝比焊接两个上面的正方体框架少用多少 分米铁丝
【解析】(1)正方体有12条棱，每条棱的长度都相等，因此我们知 道12条棱的总长度，就可求出一条棱的长度72÷12=6(分米)。
(2)回答第二个问题，我们首先要分析一下两个正方体框架与直 接焊成的一个长方体框架相比，哪些地方多用了铁丝(如图),从图中可以看出两个正方体框架比一个长方体框架多了8根正方体的棱，所以做这样一个长方体框架比两个正方体框架少用铁丝6×8=48(分米),当然还可以用传统的方法去求，即用两个正方体的棱长和减去一个长方体的棱长和得出。
【解答】
(1)72÷12=6(分米)
(2)解法一：6×8=48(分米)
解法二：两个正方体的棱长和：72×2=144(分米)
一个长方体的棱长和：
6×2×4+6×4+6×4
=48+24+24
=96(分米)
一个长方体框架比两个正方体框架少用铁丝的长度：144-96=48(分米)
答：这个正方体框架的棱长是6分米。要直接焊接成这样一个长方体框架需 要的铁丝比焊接两个上面的正方体框架少用48分米铁丝。
【例3】现在有18个棱长都是1厘米的小正方体，每次都用上，你能摆出几种不同形状的长方体 如果把这些长方体放在一起，改变它们的位置和观察角度，你会发现什么情况
【解析】(1)用18个小正方体摆成一个长方体，我们需要考虑这个长方形的长、 宽、高各摆几个小正方体。例如把18个小正方体摆成2排一层，这时的长是9厘 米，宽2厘米，高是1厘米。要用18个小正方体摆成一个长方体；就要使这个长方 体的长、宽、高的乘积是18,因此，我们在摆的时候，就要看18可以分成哪3个整数 的连乘，注意要有规律地排列。
(2)如果我们把上面摆出的所有长方体都变成一个个整体的长方体放在一起 进行分类，发现很多长方体是完全一样的，只是我们对它们观察的角度不一样，就 得出了不同的长、宽、高的顺序。这些长方体的长、宽、高的长度是可互换的。
【解答】
(1)可摆出如下18种不同形状的长方体。
①长18个，宽1个，高1个(长18厘米，宽1厘米，高1厘米)
②长9个，宽2个，高1个(长9厘米，宽2厘米，高1厘米)
③长9个，宽1个，高2个(长9厘米，宽1厘米，高2厘米)
④长6个，宽3个，高1个(长6厘米，宽3厘米，高1厘米)
⑤长6个，宽1个，高3个(长6厘米，宽1厘米，高3厘米)
⑥长3个，宽6个，高1个(长3厘米，宽6厘米，高1厘米)
⑦长3个，宽3个，高2个(长3厘米，宽3厘米，高2厘米)
⑧长3个，宽2个，高3个(长3厘米，宽2厘米，高3厘米)
⑨ 长3个，宽1个，高6个(长3厘米，宽1厘米，高6厘米)
⑩长2个，宽9个，高1个(长2厘米，宽9厘米，高1厘米)
长2个，宽3个，高3个(长2厘米，宽3厘米，高3厘米)
长2个，宽1个，高9个(长2厘米，宽1厘米，高9厘米)
长1个，宽18个，高1个(长1厘米，宽18厘米，高1厘米)
长1个，宽9个，高2个(长1厘米，宽9厘米，高2厘米)
长1个，宽6个，高3个(长1厘米，宽6厘米，高3厘米)
长1个，宽3个，高6个(长1厘米，宽3厘米，高6厘米)
长1个，宽2个，高9个(长1厘米，宽2厘米，高9厘米)
长1个，宽1个，高18个(长1厘米，宽1厘米，高18厘米)
(2)18=18×1×1 18=9×2×1 18=6×3×1 18=3×3×2
把18分成三个整数相乘，只有上述4种情况，每一种情况中，只要我们观察的位置或摆放的位置不同，就会出现长、宽、高顺序不同，但确实是一种形状。因此，实际上我们只能摆放出4种不同形状的长方体。
【例4】有一个棱长为4分米的正方体木块(如右下图),要把这个正方体木块 截成棱长为1分米的小正方体，需要截几次 一共可以截成多少个棱长为1分米 的小正方体木块
【解析】(1)这是一个棱长是4分米的正方体，要截成棱长是1分米的小正方体，就是要把它的“长”“宽”“高”分别平均分成4段，这样在“长”“宽”“高”上分别截3次就可把这个正方体木块截成棱长为1分米的小正方体。
(2)把正方体木块截成小正方体以后，我们可以看出，每层有4行，每行有4 个，这样一层就有4×4=16(个),共有4层，这样共有16×4=64(个)。
【解答】
(1)需要截的次数：3×3=9(次)
(2)截出小正方体的个数：4×4×4=64(个)
答：需要截9次，一共可以截成64个棱长是1分米的小正方体木块。
【例5】接例4,如果在截之前在大正方体的六个面上都涂上红漆，那么在截成 的64个小正方体中，任何一面都没有红漆的小正方体木块有多少块 只有一面涂 有红漆的小正方体木块有多少块 两面涂有红漆的小正方体木块有多少块 三面 涂有红漆的有多少块
【解析】为了便于分析，我们先从三面涂有红漆的小正方体木块开始(如上图), 三面涂了红漆的小正方体木块在大正方体的8个顶点处，共有8块；两面涂有红漆 的小正方体木块都在每条棱的中间，共有2×12=24(块);只有一面涂有红漆的小 正方体木块在每个面的中间，每个面上有4块，共有4×6=24(块),任何一面都没 有红漆的小正方体木块在大正方体内，只要从总块数中去掉以上各块数就可求出。
【解答】
(1)三面涂有红漆的小正方体木块有8(块)。
(2)两面涂有红漆的小正方体木块有2×14=24(块)。
(3)一面涂有红漆的小正方体木块有4×6=24(块)。
(4)任何一面都没有红漆的小正方体木块有64-8-24-24=8(块)。
1. 焊一个棱长是7厘米的正方体框架，需要多长的粗铁丝
2. 把一根长108厘米的铁丝焊接成一个正方体框架，这个框架的棱长是多少厘米
3. 一个长方体的棱长总和是120厘米，相交于一个顶点的三条棱的长度之和是多少分米
4. 至少用几个完全一样的正方体，可以摆出一个稍大的正方体
5. 现在有100个完全一样的小正方体，你可以摆出几种不同大小的正方体
6. 一段铁丝，正好做一个长8厘米、宽6厘米、高4厘米的长方体框架，如果用这段铁丝做一个正方体框架，这个正方体的棱长是多少厘米
7. 用一根72厘米长的木条搭成一个长方体木架子，这个架子的长是9厘米， 宽是5厘米，那么它的高是多少厘米
8. 数一数，在下面的长方体中有多少个小正方体
9. 张晓云用若干个棱长2厘米的小正方体摆成一个大长方体，已知大长方体的长是24厘米，宽是4厘米，高是2厘米，你能计算出这个长方体是由多少个小正方体摆成的吗
10. 用6个棱长为2厘米的正方体摆成形状不同的长方体可能有几种摆法 每种摆法的长、宽、高各是多少厘米
11. 有一个棱长为3分米的正方体木块(如下图),在木块的每一面都涂上 红漆。
(1)要把这个正方体木块截成棱长为1分米的小正方体，需要截几次
(2)一共可以截成多少个棱长为1分米的小正方体木块
(3)两面涂有红漆的小正方体木块有多少个
12. 用36厘米长的铁丝焊成一个长方体框架，可以焊成几种不同形状的长方体 (长、宽、高是整厘米，长、宽、高互换的只算一种，正方体也可以)
13.用7个完全一样的正方体拼成一个长方体，这个长方体的棱长之和是108 分米，原来一个正方体的棱长是多少分米
14. 王叔叔给希望小学邮寄一包书(如图),这包书的长、宽、高分别是8分米、 6分米和4分米，如果用绳子像图中那样捆住，打结处需用3分米长的绳子，请帮助王叔叔计算一下，共需要多长的绳子
参考答案
1. 7×12=84(厘米)
2. 108÷12=9(厘米)
3. 120÷4=30(厘米) 30厘米=3分米
4.如图，至少用8个完全一样的正方体才能摆出一个稍大的正方体。
5. 2×2×2=8(块) 3×3×3=27(块)
4×4×4=64(块) 5×5×5=125(块)
6. 8×4+6×4+4×4=72(厘米)或(8+6+4)×4=72(厘米)
72÷12=6(厘米)
7. (72-9×4-5×4)÷4=4(属米)或72÷4-9-5=4(厘米)
8. 4×5×4=80(个)
9. 24÷2=12(个) 4÷2=2(个) 2÷2=1(个)
小正方体有：12×2=24(个)
10.我们可以把6个棱长是2厘米的正方体摆出下列9种形状
(1)长6个，宽1个，高1个。长12厘米，宽2厘米，高2厘米
(2)长3个，宽2个，高1个。长6厘米，宽4厘米，高2厘米
(3)长3个，宽1个，高2个。长6厘米，宽2厘米，高4厘米
(4)长2个，宽3个，高1个。长4厘米，宽6厘米，高2厘米
(5)长2个，宽1个，高3个。长4厘米，宽2厘米；高6厘米
(6)长1个，宽6个，高1个。长2厘米，宽12厘米，高2.厘米
(7)长1个，宽3个，高2个。长2厘米，宽6厘米，高4厘米
(8)长1个，宽2个，高3个。长2厘米，宽4厘米，高6厘米
(9)长1个，宽1个，高6个。长2厘米，宽2厘米，高12厘米
如果改变一下摆放的位置或转换一下观察的角度，长、宽、高互换的只算一种，那么此题中只有2种不同形状的长方体。
11.(1)需要截2×3=6(次)。
(2)一共可以截成棱长为1分米的小正方体木块3×3×3=27(个)。
(3)两面涂有红漆的小正方体木块有1×12=12(个)。
12.长、宽、高之和：36÷4=9(厘米)
9=1+1+7 9=1+2+6 9=1+3+5 9=1+4+4 9=2+2+5 9=2+3+4 9=3+3+3
13. 108÷12=9(分米) 9=7+1+1 7÷7=1(分米)
14. 8×2+6×4+4×6+3=16+24+24+3=67(分米)
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