卷子答案网-一个不只有答案的网站河南省焦作市普通高中2022-2023学年高二下学期数学开学诊断考试试卷
一、单选题（共12小题，每小题5分，共60分）
1．已知复数，则z在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．若双曲线的焦距为4，则（ ）
A． B．1 C．2 D．
3．已知在长方体中，，则（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
4．已知变量y与x线性相关，且变量x，y之间有如下对应数据：
x 2 3 4 5 6
y 7 6 9 12 11
若回归方程为，则a的值为（ ）
A．3.4 B．6.2 C．7.5 D．8.6
5．已知函数的图象经过点，，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知点A是抛物线上的点，点，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
7．已知直线，点和到直线l的距离分别为且，则直线l的方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
8．某班学生的一次数学考试成绩（满分：100分）服从正态分布，且，则（ ）
A．0.03 B．0.05 C．0.07 D．0.09
9．已知甲箱中有6个篮球，2个足球，乙箱中有5个篮球，3个足球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件表示由甲箱取出的球是篮球、足球，再从乙箱中随机取出两球，用事件B表示“由乙箱取出的两球都为篮球”，则（ ）
A． B． C． D．
10．某社区组织体检活动，项目有抽血、彩超、胸透、尿检四项，共有5名医护人员执行任务，每个项目至少需要1名医护人员，且每个医护人员只参与一个项目．其中有3名医护人员四个项目都能胜任，有2名医护人员既不会彩超也不会胸透，其他两个项目都能胜任，则这5名医护人员的不同安排方案有（ ）
A．36种 B．48种 C．52种 D．64种
11．把函数图象上所有点的横坐标都伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再把图象向右平移2个单位长度，此时图象对应的函数为，则（ ）
A． B． C．0 D．
12．甲乙两人玩闯关游戏，该游戏一共要闯三关，每个人每一关能否闯关成功是相互独立的，甲第一，第二，第三关闯关成功的概率分别是，乙第一，第二，第三关闯关成功的概率都是.规定每一关闯关成功记1分，未闯关成功记0分，用表示甲在闯关游戏中的得分，用表示乙在闯关游戏中的得分，则在“”的条件下，“”的概率为（ ）.
A． B． C． D．
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知圆锥的侧面展开图对应的扇形的圆心角为，底面圆的半径为6，则圆锥的侧面积为 ．
14．的展开式中的系数为 ．
15．某中学统计了一个班40名学生中每一个学生的英语成绩与语文成绩，并制成了一个不完整的列联表如下：
英语成绩及格 英语成绩不及格 总计
语文成绩及格 20
语文成绩不及格 11
总计 25 40
则 （填“有”或“没有”）的把握认为学生的英语成绩与语文成绩有关．
参考公式：，其中．
参考数据：
0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
16．已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线C右支上位于第一象限的一点，，则双曲线C的离心率为 ．
三、解答题（共70分）
17．（10分）已知直线被圆截得的弦长为．
（1）求圆C的方程；
（2）若直线l的方程为，试确定直线l与圆C的位置关系．
18．（12分）已知的角，，的对边分别为，，，且．
（1）求的值；
（2）若，，求．
19．（12分）某同学买了7个盲盒，每个盲盒中都有一支笔，有4支钢笔和3支圆珠笔．
（1）一次取出2个盲盒，求2个盲盒为同一种笔的概率；
（2）依次不放回地从中取出2个盲盒，求第1次、第2次取到的都是钢笔盲盒的概率；
（3）依次不放回地从中取出2个盲盒，求第2次取到的是圆珠笔盲盒的概率．
20．（12分）已知一个盒子里装有两种颜色的小球，其中有红球6个，黄球3个．
（1）现从中每次随机取出一个球，且每次取球后都放回盒中，求事件“连续取球三次，至少两次取到黄球”发生的概率；
（2）若从盒中一次随机取出3个小球，记取到黄球的个数为X，求随机变量X的数学期望．
21．（12分）在如图所示的几何体中，底面，底面是边长为4的正方形，其中心为P，．
（1）求三棱锥的体积；
（2）求二面角的平面角的余弦值．
22．（12分）已知椭圆的离心率，且椭圆C的右顶点与抛物线的焦点重合．
（1）求椭圆C的方程．
（2）若椭圆C的左、右顶点分别为，直线与椭圆C交于E，D两点，且点E的纵坐标大于0，直线与y轴分别交于两点，问：的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】，
故复数z在复平面内所对应的点位于第二象限，
故答案为：B
【分析】根据复数的运算法则，化简，由复数的几何意义可得答案.
2．【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由题可知，即，
又，所以，，且，
所以双曲线的焦点在轴上，
所以，所以．
故答案为：D.
【分析】由题意双曲线的焦点在轴上，，所以，计算即可得解.
3．【答案】C
【知识点】平面向量的线性运算
【解析】【解答】依题知，，
∴，
∴．
故答案为：C.
【分析】利用空间向量的线性运算求解即可.
4．【答案】A
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】因为，因回归方程过定点，将其代入，得，解得．
故答案为：A
【分析】由已知条件求出，代入，求解即可.
5．【答案】C
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】∵的图象经过点，
∴，则，，，
∴．
故答案为：C
【分析】根据对数的运算性质求出，然后分别对与0，1比较，即可得解.
6．【答案】A
【知识点】二次函数的性质；平面内两点间的距离公式；抛物线的简单性质
【解析】【解答】设，则，则，
所以当时，取得最小值．
故答案为：A
【分析】设，利用抛物线方程以及两点间的距离法，结合二次函数的性质求解最大值即可.
7．【答案】C
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】∵点到直线l的距离为，
点到直线l的距离为，而，
∴，可得，解得或，
故直线l的方程为或．
故答案为：C
【分析】根据点到直线的距离公式点到直线l的距离为，点到直线l的距离为，，计算求解即可.
8．【答案】D
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】∵，∴，
∴．
故答案为：D.
【分析】服从正态分布 ，由正态分布的对称性可知，计算即可得解.
9．【答案】B
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】由题意知，，
所以
.
故答案为：B.
【分析】由题意知，，根据条件概率公式计算即可得解.
10．【答案】B
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】分两种情况：第一种，先从四个项目都能胜任的3人中选2人安排1人做彩超，1人做胸透，有种方案，再将余下的3人安排到剩下的2个岗位上，有种方案，故共有种方案；
第二种，安排四个项目都能胜任的3人中的2人做彩超、胸透，有种方案，再安排既不会彩超也不会胸透的2名医护人员做抽血、尿检，有种方案，故共有种方案．
则这5名医护人员的不同安排方案有种．
故答案为：B
【分析】根据题意3名医护人员四个项目都能胜任比较特殊，所以分两种情况：第一种，先从四个项目都能胜任的3人中选2人安排1人做彩超，1人做胸透，再将余下的3人安排到剩下的2个岗位上；第二种，安排四个项目都能胜任的3人中的2人做彩超、胸透，再安排既不会彩超也不会胸透的2名医护人员做抽血、尿检，再根据分类加法原理即可求解.
11．【答案】C
【知识点】正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：由题知，函数图象上所有点的横坐标都伸长为原来的2倍，
可得的图象，再把图象向右平移2个单位长度，
可得，
即的图象，故最小正周期，
，
则
，
.
故答案为：C
【分析】根据三角函数的图象变换得平移后函数解析式，最小正周期，所以，则，计算即可得解.
12．【答案】D
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；条件概率与独立事件；二项分布
【解析】【解答】设事件为“”，事件为“”，
所以，
又，，
，
所以，
所以.
故答案为：D.
【分析】设事件为“”，事件为“”，所以，由 每一关能否闯关成功是相互独立的，根据独立事件的概率计算甲得1，2，3分的概率；乙得分服从二项分布再求乙得分的概率，最后根据条件概率公式求解即可.
13．【答案】
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；扇形的弧长与面积
【解析】【解答】设圆锥的母线长为l，底面圆的周长为C，则，
∴，
于是圆锥的侧面积为．
故答案为：.
【分析】设圆锥的母线长为l，底面圆的周长为C，先求出，然后代入侧面积公式，计算即可得解.
14．【答案】24
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】展开式中项为，
∴的系数为24．
故答案为：24
【分析】根据二项式定理展开式中项，即可得解.
15．【答案】有
【知识点】独立性检验
【解析】【解答】由题意可得列联表如下：
英语成绩及格 英语成绩不及格 总计
语文成绩及格 20 4 24
语文成绩不及格 5 11 16
总计 25 15 40
则，
因此有的把握认为学生的英语成绩与语文成绩有关．
故答案为：有.
【分析】根据题意补充列联表，计算，即可得到结论.
16．【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】设双曲线的半焦距为，
∵，∴为等腰三角形．
设的中点为E，连接，则．
由双曲线定义可得，
∴，∴．
又，∴，解得．
故答案为：.
【分析】设双曲线的半焦距为，由题意得为等腰三角形，设的中点为E，连接，则，由双曲线定义可得，∴，，在中，计算求解即可．
17．【答案】（1）解：由题可得圆的圆心C的坐标为，半径为．
∵圆心C到直线的距离为，
直线被圆C截得的弦长为，
∴，解得或1．
∵，∴，
故圆C的方程为；
（2）解：∵l的方程可化为，
∴
解得即l恒过定点．
∵圆心为，
∴点A在圆C内，从而直线l与圆C恒相交．
【知识点】圆的标准方程；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）根据圆弦长公式，结合点到直线的距离公式进行求解即可；
（2）根据直线方程的特征求出直线 恒过定点，结合该点到圆心的距离与圆半径大小关系进行求解即可.
18．【答案】（1）解：∵，
∴，
即，
由正弦定理可得，
∵，则，所以，
∴，
∴．
∵，∴．
（2）解：由（1）可知，
而，∴．
∵，，
∴由余弦定理可得，
整理得，解得或（舍去），
∴．
【知识点】解三角形；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用余弦二倍角公式化简可得，再利用正弦定理以及三角形内角和化简即可求得；
（2） 由（1）可知，而，可得，再由，代入余弦定理化简可得.
19．【答案】（1）解：设事件“2个盲盒都是钢笔盲盒”，事件“2个盲盒都是圆珠笔盲盒”，则与为互斥事件，
∵，
∴2个盲盒为同一种笔的概率．
（2）解：设事件“第次取到的是钢笔盲盒”，．
∵，，
∴，
即第次、第次取到的都是钢笔盲盒的概率为．
（3）解：设事件“第次取到的是圆珠笔盲盒”，．
∵，，，
∴由全概率公式，可知第次取到的是圆珠笔盲盒的概率为
．
【知识点】互斥事件的概率加法公式；条件概率与独立事件；全概率公式
【解析】【分析】（1） 设事件“2个盲盒都是钢笔盲盒”，事件“2个盲盒都是圆珠笔盲盒”，则与为互斥事件， 先计算，，再根据互斥事件概率公式计算即可；
（2） 设事件“第次取到的是钢笔盲盒”，，根据条件概率先求以及，在计算第1次、第2次取到的都是钢笔盲盒的概率；
（3）设事件“第次取到的是圆珠笔盲盒”，，先根据条件概率求，代入全概率公式计算即可.
20．【答案】（1）解：由题可知，从盒子中随机取出1个球，取到黄球的概率为．
设连续从盒中取球三次，取到黄球的次数为，则，
∴．
（2）解：由题可知X的所有可能取值为0，1，2，3，
，
，
∴X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
∴．
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）先计算出取到黄球的概率为，再计算连续从盒中取球三次，至少两次取得黄球的概率；
（2）由题可知X的所有可能取值为0，1，2，3， 分别求出对应的概率，再写出X的分布列及数学期望.
21．【答案】（1）解：∵底面是边长为4的正方形，∴，
∵底面底面，∴，
又平面，∴平面，
又平面，∴，
以D为坐标原点，分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
∴，
设平面的法向量为，
则，可取．
设点F到平面的距离为，
则，
∵，∴，
∴，
∴三棱锥的体积；
（2）解：设平面的法向量为，
则，可取，
∴．
∵二面角的平面角为锐角，
∴二面角的平面角的余弦值为．
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）根据已知条件易证，平面， 从而证明，以D为坐标原点 ，分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 平面的法向量，利用空间向量计算点 F到平面的距离为， 根据，计算，求其三角形ACE面积，代入体积公式即可求解；
（2）设 平面的法向量为， 结合（1）利用空间向量求解即可.
22．【答案】（1）解：由题知，椭圆，
设椭圆的焦距为，
因为椭圆C的离心率，所以，
又椭圆C的右顶点与抛物线的焦点重合，
而抛物线的焦点为，
所以，则，
故椭圆C的方程为；
（2）解：由题意可知直线l的斜率不为0，
故直线l的方程可化为，
与椭圆方程联立得，
消去x，整理可得，
设，
则，
所以，
因为所以，
由题可知，且直线的斜率存在，
所以直线的方程为，
令，可得，
即，同理可得，
于是
，
故的值是定值，定值为.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）设椭圆的焦距为，根据即得，再根据椭圆C的右顶点与抛物线的焦点重合，即得，从而求得椭圆方程；
（2） 由题意可知直线l的斜率不为0，故设直线l的方程化为，联立直线与椭圆方程消元可得，根据韦达定理可得，由题可知，且直线的斜率存在，所以直线的方程为，令，可得，即，同理可得，代入计算即可.
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