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高中数学 高三模拟练习卷
一、单选题
1．已知复数z满足，则（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
2．已知集合，集合，则有（ ）
A． B． C． D．
3．设命题，；命题，，则下列命题为真的是
A． B． C． D．
4．函数的图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，正方体中，为中点，则与所成角的余弦值为（ ）
A． B．
C． D．
6．由于全球新冠肺炎疫情呈高发态势，我国零星散发病例和局部地区聚集性疫情明显增加，为了全面抗击，做到网格化管理，要求在2021年1月28日至3月8日春运期间必须持新冠病毒核酸检测阴性证明才能出行．若甲、乙两人去，，，四个医院中的一个做检测，则他们不在同一个医院做检测的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．把函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，则的极大值点为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
8．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是
A． B． C． D．
9．如图，测量河对岸的塔的高度AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C与D，测得，，米，并在C测得塔顶A的仰角为，则塔AB的高度为（ ）
A． B． C． D．
10．若点与曲线上点的距离的最小值为，则实数的值为
A． B． C． D．
11．若m是1和4的等比中项，则圆锥曲线的离心率为
A． B．或3 C．或3 D．或
12．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．是的极大值点
B．函数有两个零点
C．，，且，若，则
D．存在正整数，使得恒成立
二、填空题
13．已双曲线过点，其渐近线方程为，则双曲线的焦距是_________；
14．已知向量，，，若，则__________．
15．在中，的对边分别是、、，若，，，则的面积是 ______
16．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线与粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为__________．
三、解答题
17．从甲、乙两名学生中选拔一人参加射箭比赛，为此需要对他们的射箭水平进行测试.现要求这两名学生在相同条件下各射箭5次，命中的环数如下：
甲 8 9 7 9 7
乙 10 9 8 6 7
(1)计算甲、乙两人射箭命中环数的平均数和标准差；
(2)比较两个人的成绩，然后决定选择哪名学生参加射箭比赛.
18．如图，等腰梯形中，，，，为中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置（平面）.
（1）证明：；
（2）若，求二面角的余弦值.
19．设正数列的前n项和为，其满足：
（1）试求的值；
（2）利用：当时，证明：数列为等差数列；
（3）求数列的通项公式．
20．已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）若，证明：．
21．已知函数，.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若，，求证：.
22．命题p：直线l：与圆C：有公共点，命题q：双曲线的离心率．
(1)若p，q均为真命题，求实数m的取值范围；
(2)若为真，为假，求实数m的取值范围．
23．设，解不等式．
答案解析
1．A
【分析】假设，根据复数相等的性质与模的运算公式即可求解.
【详解】设复数，.因为，所以，即,解得,，.
故选：A.
2．C
【分析】首先根据二次函数的定义域和值域，分别求得集合A，B，判断两集合的关系，最后分析选项得出结果.
【详解】解：因为， ，
所以，
故，
故选：C.
【注意】该题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有二次函数的定义域和值域，两集合的关系，属于基础题目.
3．C
【分析】对赋值为4时，可判断命题为真命题，
当赋值为4时，可判断命题为假命题．由此可以判断C答案正确．
【详解】当时，，故命题为真命题，
当时，，故命题为假命题．
由复合命题的真假判断可知，故选C．
【注意】本题主要考查了逻辑联结词联结的两个命题的真假判断．
（1）中，有一个是假命题，则是假命题，
（2）中，有一个是真命题，则是真命题，
（3）若为真命题，则为假命题，反之若为假命题，则为真命题．
4．B
【分析】求出函数的奇偶性，排除D，根据定义域排除A，根据特殊点的函数值排除C，选出正确答案.
【详解】的定义域为，
且，故函数为偶函数，排除D，
在0处无意义，排除A，
当时，接近于1，
且x趋向于正无穷时，y值趋向于0，但是永远大于0，故排除C，B正确.
故选：B.
5．D
【解析】取中点为，连接，，根据题中条件，得到（或其补角）即为异面直线与所成的角，求出，即可得出结果.
【详解】
取中点为，连接，，
因为正方体中，为中点，
则，
所以（或其补角）即为异面直线与所成的角，
不妨设，则，，
∴，同理.
∴中，由余弦定理得.
因为异面直线所成的角的取值范围是，
所以与所成角的余弦值为.
故选：D.
【注意】思路：
平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：
（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；
（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．
6．C
【分析】先求出总的基本事件数，再求出符合条件的基本事件数，利用古典概型的概率公式求解即可．
【详解】解：由题意可知，甲、乙两人去，，，四个医院做检测的所有情况数为，
而不在同一医院做检测的所有种数为，
所以所求概率为．
故选：C．
7．D
【分析】先通过平移变换和周期变换得，再根据余弦曲线的性质得答案.
【详解】由已知
向左平移个单位长度得，即，
再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得，
根据余弦曲线的性质得的极大值点为，
故选：D.
8．A
【分析】设，根据余弦定理表示出BC，分别求得，根据几何概型中概率计算公式即可求解．
【详解】设
因为是由3个全等的三角形与中间的等边三角形构成
所以，
由余弦定理可知
代入可得
化简得
由三角形面积公式可得
同理
所以由几何概型面积类型的概率可得
所以选A
【注意】本题考查了面积型的几何概率求法，求两个三角形面积比即可，属于基础题．
9．D
【分析】在△BCD中，由正弦定理得BC，在Rt△ABC中，求出AB．
【详解】解：在△BCD中，由正弦定理得，
在Rt△ABC中，，
故选：D．
【注意】本题主要考查利用三角函数以及解三角形的知识解决实际问题，考查学生数形结合思想的应用，属于基础题．
10．D
【解析】先设切点B，再根据导数几何意义以及最值列式解得实数的值.
【详解】因为,所以由题意得以A为圆心，为半径的圆与曲线相切于点B,设,则在B点处切线的斜率为，所以
，选D.
【注意】本题考查利用导数求函数最值，考查综合分析求解能力，属难题.
11．D
【详解】试题分析：由m是1和4的等比中项得．当m=2时，该圆锥曲线为椭圆，其方程为
，故；当m=-2时，该圆锥曲线为双曲线，其方程为，故．
12．C
【分析】对求导求出单调性即可判断A；令，对求导可得函数在上单调递减，即可判断B；，要证明，即证明，令，，对求导可证得，即可判断C；不等式化为：，，对求导可得在上单调递减，无最小值，即可判断D.
【详解】A．函数，，，可得是函数的极小值点，因此不正确；
B．，，因此函数在上单调递减，因此函数不可能有两个零点，因此不正确；
C．正确，下面给出证明：由可知：，要证明，即证明，即证明，令，，
，函数在上单调递减，（3），
，即成立，因此正确；
D.不等式化为：，，，
令，，可得：函数在时取得极大值，（2），因此，在上单调递减，时，，因此不可能存在正整数，使得恒成立，因此不正确．
故选：C．
13．
【分析】由渐近线方程设出双曲线方程为，代入已知点的坐标求出，化双曲线方程为标准方程后可得，从而求得。
【详解】由题意设双曲线方程为，又双曲线过点，∴，
∴双曲线方程为，即，，，
∴焦距为。
故答案为：。
【注意】本题考查双曲线的焦距，求双曲线的标准方程。已知双曲线的渐近线方程为，则可设双曲线方程为，代入已知条件求得，即得双曲线方程。而不需考虑焦点所在的轴。
14．
【分析】利用向量的线性运算的坐标表示求得的坐标，利用向量垂直的坐标表示列式计算求解.
【详解】，
若，则，
所以,
故答案为：.
15．
【分析】利用面积公式计算即可.
【详解】 .
【注意】本题考查三角形面积的计算，属于基础题.
16．
【详解】解：根据三视图得出：该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥O ABCD，正方体的棱长为2，A，D为棱的中点
根据几何体可以判断：球心应该在过A，D的平行于底面的中截面上，
设球心到截面BCO的距离为x，则到AD的距离为：2 x，
∴,R2=12+(2 x)2，
解得出： ，
该多面体外接球的表面积为：.
注意：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.
17．(1)甲的平均数为8，标准差为；乙的平均数为8，标准差为；
(2)甲，理由见解析.
【分析】（1）利用平均数和标准差公式进行求解；（2）平均数相同，比较标准差，标准差越小，越稳定，故可判断出选择哪名学生参加比赛.
(1)
，，所以甲的平均数为8，标准差为；
，，所以乙的平均数为8，标准差为.
(2)
由(1)可知，甲、乙两名学生射箭命中环数的平均数相等，但甲的标准差小于乙的标准差，这表明甲的成绩比乙更稳定一些. 故选择甲参赛更合适.
18．（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）连接，设的中点为，可证，，由线面垂直的判定定理可知平面，于是即可证明；
（2）由勾股定理可证，建立空间坐标系，求出两半平面的法向量，计算法向量的夹角，由此即可求出二面角的大小．
【详解】（1）连接，
设的中点为，
∵，，
∴四边形为平行四边形，∴，
∴，为等边三角形，
∴，，折叠后，，
又，∴平面，
又平面，∴.
（2）由已知得，
又，∴，，
又，，则平面，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，
∴，，
设平面的一个法向量为，
则，即，
令得，
又平面，∴为平面的一个法向量，
设二面角为，则，
由图可知二面角为钝角，所以.
【注意】本题主要考查了线面垂直的判定与性质，考查空间向量与二面角的计算，属于中档题．
19．（1）1；（2）证明见解析；（3）
【分析】（1）利用当时,来求解；
（2）将用表示,整理即可得证；
（3）由（2）得到的表达式,再利用当时,,检验当时,符合即可.
【详解】（1）由题,当时,,,即或
正数列,,,
（2）当时,,
,
,
则,
,即
是以1为首项,1为公差的等差数列
（3）由（2）得: ,,又当时,
检验,当时,,符合,
故
【注意】本题考查等差数列的证明,构造数列求通项公式,使用公式法求通项公式时需注意检验,考查运算能力及逻辑推理能力.
20．（1）单调递增区间是，单调减区间是；（2）见解析.
【分析】（1）既可以对函数直接求导，根据导函数的正负得到函数的单调区间，也可以通过换元法进行解；（2）根据的取值范围，将不等式进行转化，然后利用函数的单调性进行求解．
【详解】（1） ，
令，，则，所以在上单调递增．
因为，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减．
所以函数的单调递增区间是，单调减区间是．
（2）由题意知，，则证，即证，
即证．
令，，
则，所以当时，单调递增．又，所以当时，，当时，，则当时，，当时，，
所以，不等式得证．
【注意】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查分类讨论思想，意在考查考生的化归与转化能力，运算求解能力．试题以考生熟悉的初等函数为出发点，分步设问，逐步推进，有一定难度，对考生运用所学知识寻找合理的解题途径以及推理论证能力有较高要求，体现对数学运算、逻辑推理核心素养的考查．
21．（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）求得的导数，可得切线的斜率和切点，由直线的点斜式方程可得切线的方程；
（2）求得的导数，判断不成立，设，，求得导数，判断的单调性，得到，的不等式，再运用分析法，结合构造函数法，求得导数，判断单调性，即可得证．
【详解】（1）当时，，导数为，
可得切线的斜率为，且，
所以切线的方程为，
即为；
（2）证明：由题意可得，
若，则，所以在递增，
因此不存在，使得，所以；
设，，则，
令，，
所以在递减，又，所以在恒成立，
从而在递减，从而.①
又由，可得，
所以.②
由①②可得.
又因为，所以，
因此要证，
只需证明，
即证，③
设，，则，
所以在上为增函数，
又因为，所以，即③式成立.
所以获证.
【注意】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
22．(1)，；
(2).
【分析】(1)求出，成立的等价条件，即可求实数的取值范围；
(2)若“”为假命题，“”为真命题，则、一真一假，当真假时，求出的取值范围，当假真时，求出的取值范围，然后取并集即可得答案．
(1)
若命题为真命题，则，解得：，
若命题为真命题，则且，，解得，
∴，均为真命题，实数的取值范围是，；
(2)
若为真，为假，则、一真一假；
①当真假时，即“”且“或”，则此时的取值范围是；
当假真时，即“或”且“”，则此时的取值范围是；
综上,的取值范围是．
23．
【分析】根据绝对值定义化为三个方程组，解得结果
【详解】或或
或或
所以解集为：
【注意】本题考查分类讨论解含绝对值不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.