人教A版（2019）选修第一册1.1.2空间向量的数量积运算（含解析）

人教A版（2019）选修第一册1.1.2空间向量的数量积运算
（共20题）
一、选择题（共11题）
已知空间向量，，，，则
A． B． C． D．
在长方体中，下列计算结果一定不等于的是
A． B． C． D．
已知向量，，且，则实数
A． B． C． D．
在正方体中，有下列命题：① ；② ；③ 与的夹角为．其中正确命题的个数是
A． B． C． D．
已知四面体的每条棱长都等于，点，，分别是棱，，的中点，则等于
A． B． C． D．
设，，，是空间不共面的四点，且满足，，，则是
A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形
已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为
A． B． C． D．
若四面体的四个面均为等边三角形，则
A． B． C． D．
已知正四面体的棱长是，若是的中点，则
A． B． C． D．
已知棱长为的正方体的上底面的中心为，则的值为
A． B． C． D．
如图，正方体的棱长为，对角线和相交于点，则
A． B．
C． D．
二、填空题（共5题）
已知，，，，则，以，为方向向量的两直线的夹角为．
正四面体的棱长为，，分别为，的中点，则的长为．
已知，，则向量在向量方向上的投影数量为．
如图，在三棱锥中，已知，，设，，，则的最小值为．
已知向量，的夹角为，且，，则与的夹角为．
三、解答题（共4题）
已知点，，．
(1) 若为线段的中点，求线段的长；
(2) 若，且，求的值，并求此时向量与夹角的余弦值．
已知空间四边形中，，且，，分别是，的中点，是的中点，用向量方法证明．
如图所示，已知在一个的二面角的棱上，有两个点，，，分别是在这个二面角的两个面内垂直于的线段，且，，，求的长．
如图所示，在三棱锥中，，，两两垂直，且，为的中点．
(1) 证明：；
(2) 求直线与所成角的余弦值．
答案
一、选择题（共11题）
1. 【答案】D
【解析】因为，
所以，
所以，
所以，
所以．
故选D．
2. 【答案】D
【解析】根据数量积的几何意义知，所求的问题即为两个向量所在的直线一定不垂直．当该长方体各棱长都相等，即为正方体时，，故A不符合；同理，正方体中，易证，从而有，故B不符合；事实上，对任意长方体，都有，从而，故C不符合；对于D项，连接，易证为直角三角形，其中，所以，而，即异面直线与所成的角即为，所以异面直线与不垂直，亦即一定不为．
3. 【答案】A
【解析】因为向量，，且，
所以，解得．
4. 【答案】C
【解析】根据数量积的定义知①②正确，与的夹角为，
所以③不正确．
5. 【答案】A
【解析】取的中点，连接，，，如图所示，
因为四面体的每条棱长都等于，且点，，分别是棱，，的中点，
所以，，，且，
所以．
又，
所以．
又，
所以．
又，
所以，
所以．
6. 【答案】B
【解析】因为，，，
所以
所以，
所以是锐角．
同理，都是锐角，
所以是锐角三角形．
故选B．
7. 【答案】B
【解析】设，，，的中点为，
则，
所以，
设三棱柱的各棱长均为，则，且，
所以，
所以
解得，
所以
所以异面直线与所成角的余弦值为．
8. 【答案】D
【解析】设四面体的棱长为．
因为，
所以，
所以．
9. 【答案】B
【解析】如图所示，
四面体的棱长是，是的中点，
则
10. 【答案】C
【解析】，
，
则
11. 【答案】C
【解析】对于A选项，，故错误；
对于B选项，，故错误；
对于C选项，，故正确；
对于D选项，，故错误．
二、填空题（共5题）
12. 【答案】；
【解析】由题意得，，
即．
因为，所以，
所以，
所以，所以两直线的夹角为．
13. 【答案】
【解析】
所以，所以的长为．
14. 【答案】
【解析】向量在向量方向上的投影数量为．
15. 【答案】
【解析】设，，，则是空间的一个基底，
① ③得
将②代入④得，
化简得，又（当且仅当时取等号），
所以（当且仅当时取等号），
即的最小值为．
16. 【答案】
【解析】根据题意，设与的夹角为，
由向量，的夹角为，且，，
得，
则．
因为，
所以．
故．
又，
所以．
三、解答题（共4题）
17. 【答案】
(1) 由题意得，，
所以，，即线段的长为．
(2) 易知，
所以，解得，
所以，
所以，
即向量与夹角的余弦值为．
18. 【答案】设，，，
由题意得，，
因为，，
所以，
又，
所以
所以．
19. 【答案】因为，
所以
所以．
20. 【答案】
(1) ，，
所以
所以．
(2)
，
所以，
即直线与所成角的余弦值为．

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