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2023-2024学年广西南宁外国语学校九年级（上）月考数学试卷（9月份）
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．-2的相反数是（ ）
A.2 B.-2 C. D.
2．下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列运算正确的是（ ）
A．a10÷a2=a5 B．a3 a2=a5
C．a2+a2=2a4 D．（a+3）2=a2+9
4．下列问题中应采用全面调查的是（ ）
A．检测某城市的空气质量
B．了解全国中学生的视力和用眼卫生情况
C．企业招聘，对应聘人员进行面试
D．调查某池塘中现有鱼的数量
5．已知⊙O的半径是5，点A到圆心O的距离是7，则点A与⊙O的位置关系是（ ）
A．点A在⊙O上 B．点A在⊙O内 C．点A在⊙O外 D．无法确定
6．不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A．B．
C．D．
7．将抛物线y=2x2向上平移3个单位得到的抛物线的解析式是（ ）
A．y=2x2+3
B．y=2x2-3
C．y=2（x+3）2
D．y=2（x-3）2
8．如图，一只蚂蚁从O点出发，沿着扇形OAB的边缘匀速爬行一周，设蚂蚁的运动时间为t，蚂蚁到的距离为S，则S关于t的函数图象大致为（ ）
A．B．C．D．
9．往水平放置的半径为13cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面图如图所示．若水面AB=24cm，则水的最大深度为（ ）
A．5cm B．8cm C．10cm D．12cm
10．如图，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551水2，则修建的路宽应为（ ）
A．1米 B．1.5米 C．2米 D．2.5米
11．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（-1，0）和点B，与y轴交于点C．下列结论正确的是（ ）
A．abc＜0 B．2a+b＞0 C．4a+2b+c＞0 D．3a+c＜0
12．如图，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB=90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBG，延长AE交CG于点F，连接DE．下列结论：
①AF⊥CG；
②四边形BEFG是正方形；
③若DA=DE，则CF=FG．
其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①② C．②③ D．①③
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共计12分）
13．若二次根式有意义，则x的取值范围是 .
14．分解因式：a2+5a= .
15．如图，将线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A'B'，那么A（-2，5）的对应点A′的坐标是 .
16．二次函数y=-x2+bx+c的部分图象如图所示，由图象可知，方程-x2+bx+c=0的解为 .
17．古代一歌谣：栖树一群鸦，鸦树不知数：三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树．请你动脑筋，鸦树各几何？若设乌鸦有x只，树有y棵，由题意可列方程组 .
18．如图，⊙O的半径为1，弦AB=1，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC面积的最大值是 .
三、解答题：（本大题共8小题，共计72分）
19．计算：4+（-2）3×5-（-28）÷4.
20．解分式方程：.
21．在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示．（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）
（1）画出△ABC关于原点对称的△A'B'C'；
（2）将△A'B'C'绕点C′顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△A'B'C' ．
22．为声援南宁东盟博览会，某校举办了一次东盟知识竞赛，满分10分，学生得分均为整数，成绩达到6分以上为合格，达到9分以上为优秀．这次竞赛中甲、乙两组学生成绩分布的条形统计图如图所示．
（1）补充完成下面的成绩统计分析表：
组别 平均分 中位数 方差 合格率 优秀率
甲组 6.7 b 3.41 90% 20%
乙组 a 7.5 1.69 80% 10%
a= ；b= ．
（2）小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中排名属中游偏上!”观察上表可知，小明是 组的学生（填“甲”或“乙”）．
（3）甲组同学说他们组的合格率、优秀率均高于乙组，所以他们组的成绩好于乙组．但乙组同学不同意甲组同学的说法，认为他们组的成绩要好于甲组，请你给出两条支持乙组同学观点的理由.
23．如图，AB是⊙O的直径，AC和BD是它的两条切线，CO平分∠ACD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AC=2，BD=3，求AB的长.
24．打油茶是广西少数民族特有的一种民俗．某特产公司近期销售一种盒装油茶，每盒的成本价为50元，经市场调研发现，该种油茶的月销售量y（盒）与销售单价x（元）之间的函数图象如图所示．
（1）求y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当销售单价定为多少元时，该种油茶的月销售利润最大？求出最大利润.
25．如图，抛物线y=ax2+2x+c的对称轴是直线x=1，与x轴交于点A，B（3，0），与y轴交于点C，连接AC．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）已知点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作DM⊥x轴，垂足为点M，DM交直线BC于点N，是否存在这样的点N，使得以A，C，N为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由.
26．【问题提出】如图1，AB为⊙O的一条弦，点C在弦AB所对的优弧上运动时，根据圆周角性质，我们知道∠ACB的度数不变．爱动脑筋的小芳猜想，如果平面内线段AB的长度已知，∠ACB的大小确定，那么点C是不是在某一个确定的圆上运动呢？
【问题探究】为了解决这个问题，小芳先从一个特殊的例子开始研究．如图2，若AB=4，线段AB上方一点C满足∠ACB=45°，为了画出点C所在的圆，小芳以AB为底边构造了一个等腰Rt△AOB，再以点O为圆心，OA为半径画圆，则点C在⊙O上．后来，小芳通过逆向思维及合情推理，得出一个一般性的结论，即：若线段AB的长度已知，∠ACB的大小确定，则点C一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型．
【模型应用】
（1）若AB＝6，平面内一点C满足∠ACB=60°，若点C所在圆的圆心为O，则∠AOB= °，半径OA的长为 ．
（2）如图3，已知正方形ABCD，以AB为腰向正方形内部作等腰△ABE，其中AB=AE，过点E作EF⊥AB于点F，若点P是△AEF的内心．
①求∠BPA的度数；
②连接CP，若正方形ABCD的边长为6，求CP的最小值.
参考答案
一、选择题
1.A 【解析】2与-2只有符号不同，它们互为相反数，所以-2的相反数是2.
2.D【解析】A图既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不符合；
B图是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合；
C图是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合；
D图既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合.
故答案为：D.
3.B 【解析】A.a10÷a2=a8，故错误；
B.a3 a2=a3+2=a5，故正确；
C. a2+a2=2a2，故错误；
D.（a+3）2=a2+6a +9，故错误．
故选：B．
4. D【解析】A．检测某城市的空气质量，适合抽样调查，故不符合；
B．了解全国中学生的视力和用眼卫生情况，适合抽样调查，故不符合；
C．调查某池塘中现有鱼的数量，适合抽样调查，不符合；
D．企业招聘，对应聘人员进行面试，适合采用全面调查方式，故符合；
故选：D．
5.C 【解析】∵⊙O的半径是5，点A到圆心O的距离是7，
∴点A到圆心O的距离大于圆的半径，
∴点A在⊙O外．
故选：C．
6. D 【解析】解不等式2x+2＞0，得.
解不等式 x≥ 1，得.
不等式组的解集是-1＜x≤1，
故选：D．
7.A【解析】按照“左加右减，上加下减”的规律求解．y=2x2向上平移3个单位得y=2x2+3．
故选：A．
8.C【解析】一只蚂蚁从O点出发，沿着扇形OAB的边缘匀速爬行，在开始时经过OA这一段，蚂蚁到O点的距离随运动时间t的增大而增大；到弧AB这一段，蚂蚁到O点的距离S不变，走另一条半径时，S随t的增大而减小．
故选：C．
9.B【解析】连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：
∵AB=24cm，
∴BD=AB=12（cm），
∵OB=OC=13cm，
在Rt△OBD中，OD= ==5（cm），
∴CD=OC-OD=13-5=8（cm），
即水的最大深度为8cm，
故选：B．
10.A【解析】设修建的路宽应为x米
根据等量关系列方程得：20×30-（20x+30x-x2）=551，
解得：x=49或1，
49不合题意，舍去，
故选：A．
11.BD【解析】 A.∵由抛物线的开口向上知a＞0，
∵对称轴位于y轴的右侧，
∴b＜0．
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0；
故错误；
B.∵对称轴为x=- ＜1，得2a＞-b，即2a+b＞0，
故正确；
C.∵对称轴的位置不一定，
∴当x=2时，y可能大于0也可能小于0，
∴4a+2b+c＞0不能确定，
故错误；
D.∵当x=-1时，y=0，
∴0=a-b+c＜a+2a+c=3a+c，即3a+c＞0．
故正确．
故选：BD．
12.A 【解析】 ①设AF交BC于K，如图：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABK=90°，
∴∠KAB+∠AKB=90°，
∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBG，
∴∠KAB=∠BCG，
∵∠AKB=∠CKF，
∴∠BCG+∠CKF=90°，
∴∠KFC=90°，
∴AF⊥CG，
故正确；
②∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，
∴∠AEB=∠CGB=90°，BE=BG，∠EBG=90°，
又∵∠BEF=90°，
∴四边形BEFG是矩形，
又∵BE=BG，
∴四边形BEFG是正方形，故正确；
③如图，过点D作DH⊥AE于H，
∵DA=DE，DH⊥AE，
∴AH=AE，
∴∠ADH+∠DAH=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAB=90°，
∴∠DAH+∠EAB=90°，
∴∠ADH=∠EAB，
又∵AD=AB，∠AHD=∠AEB=90°，
∴△ADH≌△BAE（AAS），
∴AH=BE=AE，
∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，
∴AE=CG，
∵四边形BEFG是正方形，
∴BE=GF，
∴GF=CG，
∴CF=FG，故正确；
∴正确的有：①②③，
故选：A．
二、填空题
13. x≥3 【解析】由题意得：x-3≥0，
解得x≥3．
14. a(a+5) 【解析】a2+5a=a(a+5).
15. （5，2）【解析】如图，作AC⊥y轴于C，A′C′⊥x轴于C′，
∴∠ACO=∠A′C′O=90°．
∵线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′，
∴△ABO≌△A′B′O′，∠AOA′=90°，
∴AO=A′O．∵∠COC′=90°，
∴∠AOA′-∠COA′=∠COC′-∠COA′，
∴∠AOC=∠A′OC′．
在△ACO和△A′C′O中，，
∴△ACO≌△A′C′O（AAS），
∴AC=A′C′，CO=C′O．
∵A（-2，5），
∴AC=2，CO=5，
∴A′C′=2，OC′=5，
∴A′（5，2）．
16. x1=-1，x2=5 【解析】由图可知，抛物线的对称轴为直线x=2，
而抛物线与x轴的一个交点坐标为（5，0），
所以抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-1，0），
所以方程-x2+bx+c=0的解为x1=-1，x2=5，
故答案为：x1=-1，x2=5．
17. 【解析】 根据“三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树”，可得出关于x，y的二元一次方程组．
18. 【解析】连接OA、OB，作△ABC的外接圆D，如图，
∵OA=OB=1，AB=1，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴∠APB=∠AOB=30°，
∵AC⊥AP，
∴∠C=60°，
∵AB=1，要使△ABC的最大面积，则点C到AB的距离最大，
∵∠ACB=60°，点C在⊙D上，
∴∠ADB=120°，
如图，
当点C优弧AB的中点时，点C到AB的距离最大，此时△ABC为等边三角形，且面积为AB2=，
∴△ABC的最大面积为．
故答案为：．
三、解答题
19. 原式=4+（-8）×5-（-28）÷4
=4-40+7
=-29．
20. 去分母得：2x+2=3x，
解得：x=2，
经检验x=2是分式方程的解.
21. （1）如图，△A′B′C′即为所求；
（2）如图，△A″B″C″即为所求.
22. （1）由条形统计图可得，
甲组的中位数是6，
乙组的平均分：=7.1，
故答案为：6、7.1；
（2）∵甲的中位数是6，6＜7，
∴小明是甲组同学，
故答案为：甲；
（3）支持乙组同学观点的理由：①乙组的平均分大于甲组；②乙组的中位数大于甲组；③乙组的方差小于甲组，更加稳定．
23. （1）证明：过O点作OE⊥CD，垂足为E，
∵AC是⊙O的切线，
∴OA⊥AC，
∵CO平分∠ACD，OE⊥CD，
∴OA=OE，
∴CD是⊙O的切线．
（2）过C点作CF⊥BD，垂足为F，
∵AC，CD，BD都是⊙O的切线，
∴AC=CE=2，BD=DE=3，
∴CD=CE+DE=5，
∵∠CAB=∠ABD=∠CFB=90°，
∴四边形ABFC是矩形，
∴BF=AC=2，DF=BD-BF=1，
在Rt△CDF中，CF2=CD2-DF2=52-12=24，
∴AB=CF=2．
24. （1）设函数解析式为y=kx+b，由题意得：，
解得：，
∴y=-5x+500，
当y=0时，-5x+500=0，
∴x=100，
∴y与x之间的函数关系式为y=-5x+500（50＜x＜100）；
（2）设销售利润为w元，
w=（x-50）（-5x+500）=-5x2+750x-25000=-5（x-75）2+3125，
∵抛物线开口向下，
∴50＜x＜100，
∴当x=75时，w有最大值，是3125，
∴当销售单价定为75元时，该种油茶的月销售利润最大，最大利润是3125元．
25. （1）抛物线y=ax2+2x+c的对称轴是直线x=1，与x轴交于点A，B（3，0），
∴A（-1，0），
∴，解得，
∴抛物线的解析式y=-x2+2x+3；
（2）∵y=-x2+2x+3，
∴C（0，3），
设直线BC的解析式为y=kx+3，
将点B（3，0）代入得：0=3k+3，
解得：k=-1，
∴直线BC的解析式为y=-x+3；
设点D坐标为（t，-t2+2t+3），则点N（t，-t+3），
∵A（-1，0），C（0，3），
∴AC2=12+32=10，
AN2=（t+1）2+（-t+3）2=2t2-4t+10，
CN2=t2+（3+t-3）2=2t2，
①当AC=AN时，AC2=AN2，
∴10=2t2-4t+10，
解得t1=2，t2=0（不合题意，舍去），
∴点N的坐标为（2，1）；
②当AC=CN时，AC2=CN2，
∴10=2t2，
解得t1=，t2=-（不合题意，舍去），
∴点N的坐标为（，3- ）；
③当AN=CN时，AN2=CN2，
∴2t2-4t+10=2t2，
解得t=，
∴点N的坐标为（，）；
综上，存在，点N的坐标为（2，1）或（，3- ）或（，）.
26．（1）过点O作OD⊥AB于点D，如图，
∵∠ACB=60°，
∴∠AOB=2∠ACB=120°．
∵OD⊥AB，
∴AD=BD=AB=3．
∵OA=OB，OD⊥AB，
∴∠AOD=∠AOB=60°．
在Rt△AOD中，
∵sin∠AOD=，
∴OA==6．
故答案为：120°；6；
（2）①∵点P是△AEF的内心，
∴AP平分∠EAF，EP平分∠AEF，
∴∠PAE=∠PAB=∠EAF，∠PEA=∠PEF=∠AEF．
∵EF⊥AB，
∴∠EFA=90°，
∴∠FAE+∠FEA=90°，
∴∠PAE+∠PEA=（∠EAF+∠FEA）=45°．
∴∠APE=180°-（∠PAE+∠PEA）=135°．
在△PAE和△PAB中，，
∴△PAE≌△PAB（SAS），
∴∠APE=∠APB=135°，
∴∠BPE=360°-∠APE=∠APB=90°；
②作△APB的外接圆⊙Q，连接AQ，BQ，CQ，过点作QN⊥BC，交CB的延长线于点N，如图，
设⊙Q的半径为r，则CP的最小值为CQ-r.
由“定弦定角”模型可知：AB=6，∠APB=135°，
∴优弧的度数为270°，
∴优弧所对的大圆心角为270°，
∴∠AQB=90°．
∵QA=QB，
∴△QAB为等腰直角三角形，
∴QA=QB=AB sin45°=3．
∴r=3．
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC=AB=6，AB⊥BC，
∵QN⊥BC，
∴AB∥QN，
∴∠NQB=∠ABQ=45°，
∴△QNB为等腰直角三角形，
∴QN=BN=OB sin45°=3．
∴CN=NB+BC=9．
∴CQ===3，
∴CP的最小值为：3-3．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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