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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．B 2．A 3．C 4．B 5．C 6．D 7．A 8．B
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．ABC 10．AC 11．BD 12．ABD
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)
13． ；14． ； 15． ； 16． ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．第17题10分，其他每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)
【解析】（1）由两点式得边所在直线的方程为，即；
由题意，得点的坐标为（－4，2），
由两点式，得所在直线的方程为，即．
(本小题满分12分)
【解析】（1）由题设，，令，则，
∴，可得，故；
（2）由（1），，，则，
又，则，
∴平行四边形的面积．
19．(本小题满分12分)
【解析】（1）如图，以为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，依题意得，，，．，∴
∴．所以的距离为；
（2）依题意得，，，，
∴，，，
，，∴．
20．(本小题满分12分)
【解析】（1）因为平面平面，所以.又因为为中点，所以，又，且平面，所以平面；
（2）以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，
所以，
设平面的一个法向量为，
则.所以，
可取，则，设直线和平面所成角为，
则，故直线和平面所成角的正弦值为．
21．(本小题满分12分)
【解析】（1）方程可化为，
要使直线不经过第四象限，则，解得，所以k的取值范围为；
（2）由题意可得，由取得，
取得，所以
当且仅当时，即时取等号，此时，直线的方程为．
22．(本小题满分12分)
【解析】（1）因为平面,平面，所以．
又，所以.以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系．
则,.,．
设平面SCD的一个法向量为．
则，即，令,得．
所以平面SCD的一个法向量为．
又平面ESD的一个法向量为，
所以所以平面SCD与平面ESD夹角的余弦值为．
（2）假设存在点H,设,则．
由（2）知,平面的一个法向量为.则，
即,所以．故存在满足题意的点H,此时．普集镇高级中学2023-2024学年高二上学期10月月考
（数学）试题（卷）
第一卷 选择题（共48分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．直线的倾斜角是( )
A． B． C． D．
2．过点且平行于直线的直线方程为( )
A． B． C． D．
3．直线和互相垂直，则的值是( )
A． B．0 C．1或 D．0或1
4．如图，设为平行四边形所在平面外任意一点，为的中点，
若，则的值是( )
B．0 C． D．
5．已知向量，，且，那么等于( )
A． B． C． D．5
6．如图，在正方体中，分别为的中点，则直线与直线所成角的余弦值为( )
A． B． C． D．
7．如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截得到的，其中，，，，则点到平面的距离为( )
A． B．
C． D．
8．在正方体中，M是线段（不含端点）上的动点，N为BC的中点，则( )
A． B．平面平面
C．平面 D．平面
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的有( )
A．若直线经过第一、二、四象限，则在第二象限
B．直线过定点
C．过点斜率为的点斜式方程为
D．斜率为，在y轴截距为3的直线方程为．
10．已知空间中三点，，，则下列结论错误的是( )
A．与是共线向量 B．与同向的单位向量是
C．与夹角的余弦值是 D．平面的一个法向量是
11．已知直线，则( )
A．若，则 B．若，则
C．若与坐标轴围成的三角形面积为1，则 D．当时，不经过第一象限
12．如图，已知，分别是正方体的棱和的中点，则( )
A．与是异面直线
B．与所成角的大小为
C．与平面所成角的余弦值为
D．二面角的余弦值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知三点共线，则的值为_______．
14．已知直线，且l的方向向量为，平面的法向量为，则_______．
15．已知两点、点，直线与线段AB相交，则m的取值范围是_______．
16．如图，平行六面体的底面是矩形，，，，且，则线段的长为_______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．第17题10分，其他每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)
已知的三个顶点分别为，，．
（1）求边所在直线的方程； （2）求边上的中线所在直线的方程．
18．(本小题满分12分)
已知四边形是空间直角坐标系中的一个平行四边形，且，，．
求点的坐标； （2）求平行四边形的面积．
19．(本小题满分12分)
如图，在直三棱柱中，，，，分别是，的中点．
求的距离；
（2）求的值．
20．(本小题满分12分)
如图，在三棱台中，，平面，且为中点．
（1）证明：平面；
（2）若，求此时直线和平面所成角的正弦值．
21．(本小题满分12分)
已知直线．
（1）若直线不经过第四象限，求的取值范围；
（2）若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于，的面积为（O为坐标原点），求的最小值和此时直线的方程．
22．(本小题满分12分)
如图，已知垂直于梯形所在的平面，矩形的对角线交于点F，G为的中点，，．
（1）求平面与平面夹角的余弦值；
（2）在线段上是否存在一点H，使得与平面所成角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，说明理由．
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