卷子答案网-一个不只有答案的网站高三年级 9月数学模拟考试
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知命题 p： x∈N，ex< 0(e为自然对数的底数)，则命题 p的否定是 ( )
A. x∈N，ex< 0 B. x∈N，ex> 0 C. x∈N，ex≥ 0 D. x∈N，ex≥ 0
2.若 z+ 2z= 3+ i，则 z= ( )
A. 1+ i B. 1- i C.- 1+ i D.- 1- i
3.已知集合 A={x|log0.2(x- 2)> 0}，B={x|x2≤ 4}，则 A∪ B= ( )
A. [-2，2] B. [-2，3) C. (-2，1] D. [2，3)
4.曲线 y= x3+ 1在点 (a，2)处的切线方程为 ( )
A. y= 3x+ 3 B. y= 3x- 1 C. y=-3x- 1 D. y=-3x- 3
5. 2022年北京冬季奥运会期间，从 3名男志愿者和 2名女志愿者中选 4名去支援“冰壶”“花样滑冰”“短道速滑”三
项比赛志愿者工作，其中冰壶项目需要一男一女两名，花样滑冰和短道速滑各需要一名，男女不限．则不同的
支援方法的种数是 ( )
A. 36 B. 24 C. 18 D. 42
6.设m,n是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面，则下列说法正确的是 ( )
A.若m α，n α，则m n B.若m α，m β，则 α β
C.若m n，m α，n α，则 n α D.若m α，α β，则m β
7.已知函数 f (x) = cosx，g(x) = 14 x+ f ′ (x)，则 g(x)的图象大致是 ( )
A. B. C. D.
8.已知 f (x)是定义在 [-5,5]上的偶函数，当-5≤ x≤ 0时，f (x)的图象如图所示，则不等式
f (x)
sinx > 0的解集为 ( )
A. (-π，-2) ∪ (0,2) ∪ (π，5] B. (-π，-2) ∪ (π，5]
C. [-5，-π) ∪ (-2,0) ∪ 2,π D. [-5，-2) ∪ (π，5]
二、多项选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的
得 5分，有选错的得 0分，部分选对的得 2分.
9.若“-1< x≤ 3”是“-3< x
10.蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率 x(每分钟鸣叫的次数)与气温 y(单
位：℃)存在着较强的线性相关关系．某地观测人员根据下表的观测数据，建立了 y关于 x的经验回归方程 y
= 0.25x+ k，则下列说法正确的是 ( )
x(单位：次数 /分钟) 20 30 40 50 60
y(单位：℃) 25 27.5 29 32.5 36
A. k的值是 20
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B.变量 x，y呈正相关关系
C.若 x的值增加 1，则 y的值约增加 0.25
D.当蟋蟀 52次 /分鸣叫时，该地当时的气温预测值为 33.5℃
11.若对于任意实数 x，不等式 (a- 1)x2- 2(a- 1)x- 4< 0恒成立，则实数 a可能是 ( )
A.- 2 B. 0 C.- 4 D. 1
f (x) = |2
x- 1|，x≤ 2，
12.已知函数 若关于 x的方程 f (x) -m= 0恰有两个不同的实数解，则下列选项中可以作-x+ 5，x> 2，
为实数m取值范围的有 ( )
A. (0,3) B. (1,2) C. (2,3) D.{0}
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分.
n
13.已知 1+ 12 x (n∈N
*)的展开式中 x2的系数是 7，则 n= .
f (x) = ax+ 1，x≥ 014.已知函数 x 为R上的单调递增函数，则实数 a的取值范围为 ．(a- 1)e ，x< 0
15.某学校组织 1200名学生进行“防疫知识测试”．测试后统计分析如下：学生的平均成绩为 x= 80，方差为 s2=
25．学校要对成绩不低于 90分的学生进行表彰．假设学生的测试成绩 X近似服从正态分布 N μ,σ2 (其中 μ
近似为平均数 x，σ2近似为方差 s2，则估计获表彰的学生人数为 ． (四舍五入，保留整数)
参考数据：随机变量 X服从正态分布 N μ,σ2 ，则 P μ- σ< X< μ+ σ = 0.6827，P μ- 2σ< X< μ+ 2σ =
0.9545，P μ- 3σ< X< μ+ 3σ = 0.9973．
16. 2ax+ by- 2= 0(a> 0 b> 0) y= x+ 1 1 + 1直线 ， 过函数 x- 1 图象的对称中心，则 a b 的最小值为 ．
四、解答题：本题共 6小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. (10分)计算：
- 2
( ) 7 0.51 2 9 + 0.1
-2+ 2 10
3
- 3π027 +
37
48；
(2)log23·log34+ (lg5)2+ lg5·lg20+
1
2 lg16- 2
log23.
18. 12分 已知函数 f (x) = x3+ x- 16.
(1)求曲线 y= f (x)在点 (2，-6)处的切线方程；
(2)若直线 l为曲线 y= f (x)的切线，且经过原点，求直线 l的方程及切点坐标．
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19. (12分)2022年我国举办了第 24届冬季奥林匹克运动会，为调查某城市居民对冰雪运动的了解情况，随机抽取
了该市 120名市民进行统计，得到如下 2× 2列联表：
男 女 合计
了解冰雪运动 m p 70
不了解冰雪运动 n q 50
合计 60 60 120
已知从参与调查的男性中随机选取 1 2名，抽到“了解冰雪运动”的概率为 3 .
(1)直接写出m，n，p，q的值；
(2)能否在犯错误概率不超过 0.1的前提下认为该市居民了解冰雪运动与性别有关？请说明理由．
2
附：χ2= n(ad- bc)(a+ b) (c+ d) (a+ ) ( + )，其中 n= a+ b+ c+ d.c b d
α 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
xα 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
20. (12分)某活动现场设置了抽奖环节，在盒中装有 9张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“敬业”或“爱国”图
案，抽奖规则：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张分别是“爱国”和“敬业”卡即可获奖；否则，均为不获奖．
卡片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行．活动开始后，一位参加者问：“盒中有几张“爱国”卡？”主持人
答：“ 1我只知道，从盒中抽取两张都是“敬业”卡的概率是 6 .”
(1)求抽奖者获奖的概率；
(2)为了增加抽奖的趣味性，规定每个抽奖者先从装有 9张卡片的盒中随机抽出 1张不放回，再用剩下 8张卡片
按照之前的抽奖规则进行抽奖，现有甲、乙、丙三人依次抽奖，用 X表示获奖的人数，求 X的分布列和均值．
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21. (12分)如图，四棱锥 P- ABCD，底面 ABCD为矩形，PA⊥平面 ABCD，E为 PD的中点.
(1)证明：PB 平面 AEC；
(2)设二面角D- AE-C为 60°，AP= 1，AD= 3，求直线 AC与平面 ECD所成
角的正弦值.
22.已知函数 f x = ax- ex2,a> 0且 a≠ 1.
f
(1) g x =
x
设 x + ex，讨论 g x 的单调性；
(2)若 a> 1且 f x 存在三个零点 x1,x2,x3.
1)求实数 a的取值范围；
2)设 x1< x 2e+ 12< x3，求证：x1+ 3x2+ x3> .e
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一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知命题 p： x∈N，ex< 0(e为自然对数的底数)，则命题 p的否定是 ( D )
A. x∈N，ex< 0 B. x∈N，ex> 0 C. x∈N，ex≥ 0 D. x∈N，ex≥ 0
[解析]存在量词命题的否定是全称量词命题．命题 p的否定是： x∈N，ex≥ 0.故选D.
2.若 z+ 2z= 3+ i，则 z= ( A )
A. 1+ i B. 1- i C.- 1+ i D.- 1- i
[解析]设 z= a+ bi a,b∈R ，则 z= a- bi，∴ z+ 2z= a- bi+ 2 a+ bi = 3a+ bi= 3+ i，
∴ 3a= 3
a= 1
b= 1 ，即 b= 1，∴ z= 1+ i.故选：A.
3.已知集合 A={x|log 20.2(x- 2)> 0}，B={x|x ≤ 4}，则 A∪ B= ( B )
A. [-2，2] B. [-2，3) C. (-2，1] D. [2，3)
[解析]由 log0.2(x- 2)> 0，即 0< x- 2< 1，解得 2< x< 3，所以 A={x|log0.2(x- 2)> 0}= {x|2< x< 3}，由 x2
≤ 4，即 (x- 2) (x+ 2) ≤ 0，解得-2≤ x≤ 2，所以 B={x|x2≤ 4}= {x| -2≤ x≤ 2}，所以 A∪ B={x| -2≤ x<
3}．故选 B.
4.曲线 y= x3+ 1在点 (a，2)处的切线方程为 ( B )
A. y= 3x+ 3 B. y= 3x- 1 C. y=-3x- 1 D. y=-3x- 3
[解析]因为 a3+ 1= 2,所以 a= 1,即切点坐标为 1,2 ,由 f ′ (x) = 3x2，所以 f ′ (1) = 3，所以 y= x3+ 1在点 (1，
2)处的切线方程为 y- 2= 3(x- 1)，即 y= 3x- 1.
5. 2022年北京冬季奥运会期间，从 3名男志愿者和 2名女志愿者中选 4名去支援“冰壶”“花样滑冰”“短道速滑”三
项比赛志愿者工作，其中冰壶项目需要一男一女两名，花样滑冰和短道速滑各需要一名，男女不限．则不同的
支援方法的种数是 ( A )
A. 36 B. 24 C. 18 D. 42
[解析]第一步从 3名男志愿者和 2名女志愿者各选一名志愿者去支援冰壶项目，选法共有C1 13C2= 6种；第二步
从剩余的 3人中选一人去支援花样滑冰，选法共有C13= 3种；第三步从剩余的 2人中选一人去支援短道速滑，
选法共有C12= 2种；依据分步乘法计数原理可知，不同的支援方法的种数是 6× 3× 2= 36，故选：A.
6.设m,n是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面，则下列说法正确的是 ( C )
A.若m α，n α，则m n B.若m α，m β，则 α β
C.若m n，m α，n α，则 n α D.若m α，α β，则m β
[解析]由题意，作长方体 ABCD- A1B1C1D1，如下图所示：
对于 A，当平面 α=平面 ABCD，m= A1B1，n= B1C1时，显然m α，n α，但m∩ n= B1，故 A错误；对于 B，当平
面 α=平面 ABCD，平面 β=平面 A1ADD1，m= B1C1时，显然m α，m β，但 α∩ β= AD，故 B错误；对于C，因
为m α，所以 a α，m a，因为m n，所以 a n，因为 a α，n α，所以 n α，故C正确；对于D，当平面 α
=平面 ABCD，平面 β=平面 A1B1C1D1，m= B1C1时，显然m α，α β，但m β，故D错误；故选：C.
7.已知函数 f (x) = cosx，g(x) = 14 x+ f ′ (x)，则 g(x)的图象大致是 ( C )
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A. B. C. D.
[解析] g(x) = 14 x+ f ′ (x) =
1
4 x- sinx，函数 g(x)为奇函数，排除 B、D；g
π = π2 8 - 1< 0，排除 A；C符合题
意．故选C.
8.已知 f (x)是定义在 [-5,5]上的偶函数，当-5≤ x≤ 0时，f (x)的图象如图所示，则不等式
f (x)
sinx > 0的解集为 ( C )
A. (-π，-2) ∪ (0,2) ∪ (π，5] B. (-π，-2) ∪ (π，5]
C. [-5，-π) ∪ (-2,0) ∪ 2,π D. [-5，-2) ∪ (π，5]
[解析]因为 f (x)是定义在 [-5,5]上的偶函数，观察图象结合偶函数性质得不等式解集为 [-5，-π) ∪ (-2,0)
∪ 2,π ．
二、多项选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的
得 5分，有选错的得 0分，部分选对的得 2分.
9.若“-1< x≤ 3”是“-3< x
10.蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率 x(每分钟鸣叫的次数)与气温 y(单
位：℃)存在着较强的线性相关关系．某地观测人员根据下表的观测数据，建立了 y关于 x的经验回归方程 y
= 0.25x+ k，则下列说法正确的是 ( ABC )
x(单位：次数 /分钟) 20 30 40 50 60
y(单位：℃) 25 27.5 29 32.5 36
A. k的值是 20
B.变量 x，y呈正相关关系
C.若 x的值增加 1，则 y的值约增加 0.25
D.当蟋蟀 52次 /分鸣叫时，该地当时的气温预测值为 33.5℃
[解析]由题意 x= 15 × (20+ 30+ 40+ 50+ 60) = 40，y=
1
5 × (25+ 27.5+ 29+ 32.5+ 36) = 30，则 k= y-
0.25x= 30- 0.25× 40= 20，故 A正确；由经验回归方程可知 b= 0.25> 0，变量 x，y呈正相关关系，故 B正确；
若 x的值增加 1，则 y的值约增加 0.25，故C正确；当 x= 52时，y= 0.25× 52+ 20= 33，故D不正确．
11.若对于任意实数 x，不等式 (a- 1)x2- 2(a- 1)x- 4< 0恒成立，则实数 a可能是 ( ABD )
A.- 2 B. 0 C.- 4 D. 1
a- 1< 0，
[解析]当 a= 1时，不等式为-4< 0恒成立，故满足题意；当 a≠ 1时，要满足 Δ< 0， 解得-3< a< 1.综
上，实数 a的取值范围是 (-3,1]．
|2x- 1|，x≤ 2，
12.已知函数 f (x) = 若关于 x的方程 f (x) -m= 0恰有两个不同的实数解，则下列选项中可以作-x+ 5，x> 2，
为实数m取值范围的有 ( BCD )
A. (0,3) B. (1,2) C. (2,3) D.{0}
[解析]因为关于 x的方程 f (x) -m= 0恰有两个不同的实数解，所以函数 y= f (x)与 y=m的图象有两个交点，
作出函数图象，如图所示，所以当m∈ [1,3) ∪ {0}时，函数 y= f (x)与 y=m的图象有两个交点，所以实数m的
·2·
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取值范围是 [1,3) ∪ {0}．
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分.
n
13.已知 1+ 12 x (n∈N
*)的展开式中 x2的系数是 7，则 n= 8 .
2
[解析]由题意C2n· 12 = 7，则 n(n- 1) = 56，解得 n= 8.
ax+ 1，x≥ 0
14.已知函数 f (x) = x 为R上的单调递增函数，则实数 a的取值范围为 (1，2] ．(a- 1)e ，x< 0
a> 0[解析]∵函数 f (x)为R上的单调递增函数，∴ a- 1> 0 ，解得 1< a≤ 2.a× 0+ 1≥(a- 1)e0
15.某学校组织 1200名学生进行“防疫知识测试”．测试后统计分析如下：学生的平均成绩为 x= 80，方差为 s2=
25．学校要对成绩不低于 90分的学生进行表彰．假设学生的测试成绩 X近似服从正态分布 N μ,σ2 (其中 μ
近似为平均数 x，σ2近似为方差 s2，则估计获表彰的学生人数为 27 ． (四舍五入，保留整数)
参考数据：随机变量 X服从正态分布 N μ,σ2 ，则 P μ- σ< X< μ+ σ = 0.6827，P μ- 2σ< X< μ+ 2σ =
0.9545，P μ- 3σ< X< μ+ 3σ = 0.9973．
[解析]由题意得：μ= 80,σ= 5,μ+ 2σ= 90，故 P(X> 90) = P(X> μ+ 2σ) = 1 12 - 2 × 0.9545= 0.02275，
所以 1200× 0.02275≈ 27．故答案为：27.
3
16.直线 2ax+ by- 2= 0(a> 0 b> 0) y= x+ 1 1 1 + 2， 过函数 x- 1 图象的对称中心，则 a + b 的最小值为 2 ．
[解析]∵ y= x+ 1 = x- 1+ 2 = 1+ 2 ，所以，函数 y= x+ 1 的图象可由函数 y= 2x- 1 x- 1 x- 1 x- 1 x 的图象先向右平移 1
个单位，再向上平移 1个单位得到，因为函数 y= 2 图象的对称中心为原点，所以函数 y= x+ 1x x- 1 图象的对称中
心为 (1，1)，由题意可得 2a+ b= 2，即 12 (2a+ b) = 1，因为 a、b均为正数，则
1
a +
1
b =
1
2 (2a+ b)
1
a +
1
b =
1 3+ 2a + b ≥ 1 3+ 2 2a · b2 b a 2 b a =
3+ 2 2
2 ，当且仅当 b= 2 a时，等号成立，故
1 1
a + b 的最小值为
3
2
+ 2 .
四、解答题：本题共 6小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. (10分)计算：
( ) 7 0.5 10
- 23
1 2 9 + 0.1
-2+ 2 27 - 3π
0+ 3748；
(2)log23·log34+ (lg5)2+ lg5·lg20+
1
2 lg16- 2
log23.
1 2
2 - 3
[解析] (1)原式= 25 + 1 649 2 + 27 - 3+
37 5
48 = 3 + 100+
9 37
16 - 3+ 48 = 100.0.1
(2) log 3·log 4+ (lg5)2+ lg5·lg20+ 1 log23 lg3 lg4 1 42 3 2 lg16- 2 = + lg5 lg5+ lg20 + 2 lg2 - 3.lg2 lg3
= 2lg2 + lg5 lg 5× 20 + 2lg2- 3= 2+ 2lg5+ 2lg2- 3= 2lg10- 1= 1.lg2
18. 12分 已知函数 f (x) = x3+ x- 16.
(1)求曲线 y= f (x)在点 (2，-6)处的切线方程；
(2)若直线 l为曲线 y= f (x)的切线，且经过原点，求直线 l的方程及切点坐标．
·3·
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[解析] (1)根据题意，得 f ′ (x) = 3x2+ 1，所以曲线 y= f (x)在点 (2，-6)处的切线的斜率 k= f ′ (2) = 13，
所以所求的切线方程为 y= 13x- 32.
(2)设切点为 (x0，y0)，则直线 l的斜率为 f ′ (x0) = 3x20+ 1，
所以直线 l的方程为 y= (3x20+ 1) (x- x0) + x30+ x0- 16.
又直线 l过点 (0,0)，则 (3x20+ 1) (0- x ) + x30 0+ x0- 16= 0，整理得 x30=-8，解得 x0=-2，
所以 y0= (-2)3+ (-2) - 16=-26，l的斜率 k= 13，
所以直线 l的方程为 y= 13x，切点坐标为 (-2，-26)．
19. (12分)2022年我国举办了第 24届冬季奥林匹克运动会，为调查某城市居民对冰雪运动的了解情况，随机抽取
了该市 120名市民进行统计，得到如下 2× 2列联表：
男 女 合计
了解冰雪运动 m p 70
不了解冰雪运动 n q 50
合计 60 60 120
2
已知从参与调查的男性中随机选取 1名，抽到“了解冰雪运动”的概率为 3 .
(1)直接写出m，n，p，q的值；
(2)能否在犯错误概率不超过 0.1的前提下认为该市居民了解冰雪运动与性别有关？请说明理由．
2= n(ad- bc)
2
附：χ (a+ ) ( + ) ( + ) ( + )，其中 n= a+ b+ c+ d.b c d a c b d
α 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
xα 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
[解析] (1)因为从参与调查的男性中随机选取 1名，抽到“了解冰雪运动”的概率为 23，
所以m= 60× 23 = 40，所以 n= 20，p= 30，q= 30.
(2)能；理由如下：
2= 120× (40× 30- 20× 30)
2
由题意知，χ 2460× 60× 70× 50 = 7 ≈ 3.429> 2.706，所以能在犯错误概率不超过 0.1的前提下认
为该市居民了解冰雪运动与性别有关．
20. (12分)某活动现场设置了抽奖环节，在盒中装有 9张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“敬业”或“爱国”图
案，抽奖规则：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张分别是“爱国”和“敬业”卡即可获奖；否则，均为不获奖．
卡片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行．活动开始后，一位参加者问：“盒中有几张“爱国”卡？”主持人
1
答：“我只知道，从盒中抽取两张都是“敬业”卡的概率是 6 .”
(1)求抽奖者获奖的概率；
(2)为了增加抽奖的趣味性，规定每个抽奖者先从装有 9张卡片的盒中随机抽出 1张不放回，再用剩下 8张卡片
按照之前的抽奖规则进行抽奖，现有甲、乙、丙三人依次抽奖，用 X表示获奖的人数，求 X的分布列和均值．
C2 1 1[解析] (1)设“敬业”卡有 n张，由 n2 =
1
6，得 n= 4，故“
C C
爱国”卡有 5张，抽奖者获奖的概率为 5 4 = 5 .
C 29 C9 9
1
(2) 4 × C5C
1 C1C1
在新规则下，每个抽奖者获奖的概率为 3 5 4 4 59 C2
+
8 9
× 2 = 9，C8
k 3-k
所以 X~B 3，5 ，P(X= k) =Ck 59 3 9 ·
4
9 (k= 0,1,2,3)，则 X的分布列为
X 0 1 2 3
P 64 80 100 125729 243 243 729
·4·
{#{QQABbQYAggigAgAAAQhCUwFCCkKQkAGCAIoGQBAAIAAAwANABAA=}#}
所以 E(X ) = 3× 5 = 59 3 .
21. (12分)如图，四棱锥 P- ABCD，底面 ABCD为矩形，PA⊥平面 ABCD，E为 PD的中点.
(1)证明：PB 平面 AEC；
(2)设二面角D- AE-C为 60°，AP= 1，AD= 3，求直线 AC与平面 ECD所成
角的正弦值.
[解析] (1)如图，连接 BD，且 BD∩ AC=O，则在矩形 ABCD中O为 BD中点，且
在△PBD中，E为 PD的中点，
∴OE PB,且OE 平面 AEC，PB 平面 AEC，
∴ PB 平面 AEC；
(2)如图以 A为原点，以 AB为 x轴，以 AD为 y轴，以 AP为 z轴建立空间直角坐标系，
AP= 1，AD= BC= 3，
设 AB=CD= a，A 0,0,0 ，C a, 3 ,0 ，D 0, 3 ,0 ，E 0, 3 , 12 2
∴ AC= a, 3 ,0 ，AE= 0, 32 ,
1
2 ，AD= 0, 3 ,0
设平面 AEC、平面 AED和平面 ECD的法向量分别为 n1= x1,y1,z1 ，n2= x2,y2,z2 ，n1= x3,y3,z3
n1 AE= 0
3 1
则有 ，∴ 2 y1+ 2 z1= 0 ，令 x1= 3，则有 n1= 3 , -a, 3a ，n1 AC= 0 ax1+ 3 y1= 0
同理可得 n2= 1,0,0 ，n3= 0, 3 ,3 ，
∵二面角D- AE-C为 60°,
n1 n2 1 3 1 ∴ cos60° = = 2，∴ = 2，解得 a=
3
2，∴ AC=
3
2 , 3 ,0 ，nn n 2 3= 0, 3 ,3 ， 1 2 4a + 3
n AC
设 AC与 n 所成角为 θ，∴ cosθ= 3 = 33 = 7 ，
n3 AC 12 × 21 74
即直线 AC与平面 ECD所成角的正弦值为 77 .
22.已知函数 f x = ax- ex2,a> 0且 a≠ 1.
f
(1) g x =
x
设 x + ex，讨论 g x 的单调性；
(2)若 a> 1且 f x 存在三个零点 x1,x2,x3.
1)求实数 a的取值范围；
2)设 x1< x < x 2e+ 12 3，求证：x1+ 3x2+ x3> .e
f x x 2 x x x ax lna x- 1
[ 解析] (1)g x = + ex= a - ex + ex= a ,g x = a lna x- a = x x x 2 2 ,x x
因为 ax> 0,x2> 0,g x 定义域为 -∞,0 ∪ 0, +∞
当 a> 1时,lna> 0,解 g x > 0,得 x> 1 lna ,解 g x < 0,得 0< x<
1
lna ,x< 0
当 0< a< 1时,lna< 0,解 g x > 0,得 x< 1 lna ,解 g x < 0,得 0> x>
1
lna ,x> 0
·5·
{#{QQABbQYAggigAgAAAQhCUwFCCkKQkAGCAIoGQBAAIAAAwANABAA=}#}
综上,当 a> 1时, g x 1 增区间为 lna , +∞ ,g x 减区间为 -∞,0 , 0,
1
lna ,
当 0< a< 1时, g x 增区间为 -∞, 1lna ,g x 减区间为 0，+∞
1
, lna，0 ,
(2)1)因为 f x = ax- ex2,a> 1且 f x 存在三个零点 x1,x2,x3.所以 ax- ex2= 0有 3个根
当 x< 0时, f -1 = a-1- e< 0, f 0 = a0> 0, f x = axlna- 2ex> 0,
f x 在 -∞,0 上是单调递增的,由零点存在定理,方程必有一个负根.
当 x> 0,xlna= 1+ 2lnx,即 lna= 1+ 2lnxx 有两个根,
令 t x = 1+ 2lnx x ,可转化为 y= lna与 t x =
1+ 2lnx
x 有两个交点
2- 1+ 2lnxt x = = 1- 2lnx
x2 x2
,
可得 x∈ 0, e ,t x > 0,t x 是单调递增的,可得 x∈ e , +∞ ,t x < 0,t x 是单调递减的,
其中 t 1 = 0,当 x> e ,t x > 0,t x = t e = 2e max ,e
2
所以可得 0< lna< 2 ,即得 1< a< e e .
e
2)因为 f x = ax- ex2,a> 1且 f x 存在三个零点 x1,x2,x3.
设 x1< x2< x3，a
x1= ex2,ax2= ex21 2,a
x3= ex23,易知其中 x1< 0,0< x2< x3,
因为 x1< x2,a
x1< ax2,所以 ex21< ex22,x21< x22, -x1< x2,故可知 x1+ x2> 0;①
由 1)可知 y= lna,与 t x = 1+ 2lnx x 有两个交点 x2< x3,
x∈ 0, e ,t x 是单调递增的, x2∈ 0, e ,t x2 = lna> 0,t 1 = 0,所以 x 1e 2> ;②e
e> x2> 1 ,x3> e ,e
若 x3≥ 2 e ,则 x2+ x3> 2 e ,若 e< x3< 2 e ,构造函数 h x = t x - t 2 e- x , e< x< 2 e
1- 2ln 2 e- x 1- 2lnx 2 e- x
2+ x2 1- 2ln 2 e- x
h x 1- 2lnx
= + =
x2 2 e- x 2 x2 2 e- x 2
设m x = 1- 2lnx 2 e- x 2 + x2 1- 2ln 2 e- x ,
-2 2 e- x
2 2x2m x = x + - 2 1- 2lnx 2 e- x + 2x 1- 2ln 2 e- x2 e- x
-2 2 e- x 2 2x2 2x3- 2 2 e- x 3 2 x3- 2 e- x 3+ = =
因为 x 2 e- x x 2 e- x x 2 e- x
又因为 2 e> x> e ,2x> 2 e ,x> 2 e- x,x3> 2 e- x 3 ,
-2 2 e- x 2 2
所以 + 2xx > 0③2 e- x
因为-2 1- 2lnx 2 e- x + 2x 1- 2ln 2 e- x = 2 2lnx- 1 2 e- x + 2x 1- 2ln 2 e- x
又因为 x> e ,lnx> 12 ,2 e- x< e ,ln
1
2 e- x < 2
所以 2lnx- 1> 0,2 e- x> 0;1- 2ln 2 e- x > 0,x> e> 0
即得 2 2lnx- 1 2 e- x + 2x 1- 2ln 2 e- x > 0④
由③④可知m x > 0,,m x 在 e ,2 e 上单调递增, x> e可得m x >m e = 0
h
m xx = 2 ,可知m x 与 h x 同号,所以 h x > 0,x 2 e- x 2
h x 在 e ,2 e 上单调递增. h x > h e = t e - t e = 0
t x - t 2 e- x > 0,t x3 > t 2 e- x3 ,又由 1)可知 t x2 = t x3
所以 t x2 > t 2 e- x3 ,x2∈ 0, e ,2 e- x3∈ 0, e
x∈ 0, e ,t x > 0,t x 是单调递增的,所以 x2> 2 e- x3,x2+ x3> 2 e⑤
由①②⑤可知 x1+ 3x 2e+ 12+ x3> .e
·6·
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