卷子答案网-一个不只有答案的网站云南省2022届高三“3 3 3”高考文数备考诊断性联考试卷（二）
一、单选题
1．设集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（ ）
A． B． C． D．
3．如图所示的茎叶图记录了甲 乙两种商品连续10天的销售数据，则下列说法错误的是（ ）
A．乙销售数据的极差为24 B．甲销售数据的众数为93
C．乙销售数据的均值比甲大 D．甲销售数据的中位数为92
4．下列函数中是减函数的为（ ）
A． B． C． D．
5．直线与双曲线在第一、第三象限分别交于P、Q两点，是C的右焦点，有，且，则C的离心率是（ ）
A． B． C． D．
6．甲 乙 丙三位同学中只有一人会跳拉丁舞，甲说：我会；乙说：我不会；丙说：甲不会；如果这三人中有且只有一人说真话，由此可判断会跳拉丁舞的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定
7．如图，在一个正方体中，E，G分别是棱AB，的中点，F为棱CD靠近C的四等分点.平面截正方体后，其中一个多面体的三视图中，相应的正视图是（ ）
A． B．
C． D．
8．在中，已知，，，则的面积为（ ）
A． B．1 C． D．
9．记为等差数列的前项和，已知，，则（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
10．随着北京冬残奥会的开幕，吉祥物“雪容融”火遍国内外.现有3个完全相同的“雪容融”.甲 乙两位运动员要与这3个“雪容融”随机站成一排拍照留念，则3个“雪容融”连在一起的概率为（ ）
A．0.2 B．0.25 C．0.3 D．0.5
11．已如A，B，C是表面积为的球O的球面上的三个点，且，，则三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
12．定义域为R的函数满足：①对任意，都有；②函数的图象关于y轴对称.若实数s，t满足，则当时，的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．曲线在点处的切线方程为 .
14．已知圆锥的母线长为3，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的底面半径为 .
15．已知函数的部分图象如图所示，则时，函数的值域为 .
16．已知点P在圆上，，，则的最小值为 .
三、解答题
17．冰墩墩是2022年北京冬季奥运会的吉祥物，将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，头部外壳造型取自冰雪运动头盔，装饰彩色光环，整体形象酷似航天员，深受广大民众的喜爱，已成为最火爆的商品，“一墩难求”.某调查机构随机抽取100人，对是否有意向购买冰墩墩进行调查，结果如下表：
年龄/岁
抽取人数 10 20 25 15 18 7 5
有意向购买的人数 10 18 22 9 10 4 2
参考数据：，其中.
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（1）若从年龄在的被调查人群中随机选出两人进行调查，求这两人中恰有一人打算购买冰墩墩的概率；
（2）若以年龄40岁为分界线，由以上统计数据完成下面的列联表，并判断是否有99.9%的把握认为购买冰墩墩与人的年龄有关？
年龄低于40岁的人数 年龄不低于40岁的人数 总计
有意向购买冰墩墩的人数
无意向购买冰墩墩的人数
总计
18．已知正项数列的前n项和为，满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
19．如图，已知直三棱柱中，侧面为正方形，，D，E，F分别为，BC，的中点，，为线段DE上一动点.
（1）证明：；
（2）求几何体的体积.
20．已知圆与x轴交于A，B两点，动点P满足直线与直线的斜率之乘积为.
（1）求动点P的轨迹E的方程；
（2）过点的直线l与曲线E交于M，N两点，则在x轴上是否存在定点Q，使得的值为定值？若存在，求出点Q的坐标和该定值；若不存在，请说明理由.
21．已知函数
（1）讨论的单调性；
（2）设，若方程有三个不同的解，求a的取值范围.
22．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.
（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）为解决倍立方体问题，数学家引用了蔓叶线.设M为C上的动点，M关于的对称点为N(M、N不与原点重合)，M在x轴的射影为H，直线与直线MH的交点为P，点P的轨迹就是蔓叶线.请写出P的轨迹的参数方程.
23．已知函数：，.
（1）请在图中画出和的图象；
（2）若恒成立，求t的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】因为
，
，
所以
，
故答案为：B
【分析】由集合的交集运算即可求解。
2．【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：
.
故答案为：A.
【分析】由复数的乘除运算即可求解。
3．【答案】D
【解析】【解答】乙销售数据的极差是112－88＝24，A符合题意；
甲销售数据的众数为93，B符合题意；
甲销售数据的均值为(80×3＋90×5＋100×2＋7＋6＋4＋9＋8＋3＋3＋1＋6＋3)×＝94，
乙销售数据的均值为(80＋90×4＋100×4＋110＋8＋5＋7＋8＋8＋1＋2＋3＋6＋2)×＝100，∴乙销售数据的均值比甲大，C符合题意；
甲销售数据的中位数为93，D不符合题意.
故答案为：D.
【分析】
4．【答案】D
【知识点】函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】A选项为增函数，错误；B选项
，为增函数，错误；C选项
在
为增函数，在
为减函数，错误；D选项
为减函数，正确.
故答案为：D.
【分析】由减函数的概念及基本函数的性质逐项判断即可。
5．【答案】C
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】由对称性可知四边形
为平行四边形，
又由
得四边形
为矩形，
∴，
又
，∴，
，
∴有
，
∴.
故答案为：C.
【分析】由对称性及
可确定四边形
为矩形，即可求
，
，再结合双曲线定义即可求解。
6．【答案】B
【知识点】进行简单的演绎推理
【解析】【解答】解：①若会跳拉丁舞的是甲同学，则这甲、乙说的真话，与题设矛盾，故会跳拉丁舞的不是甲，
②若会跳拉丁舞的是乙三位同学，则这三人中有且只有丙一人说真话，与题设相符，故会跳拉丁舞的是乙，
③若会跳拉丁舞的是丙三位同学，则这三人中乙、丙两人说的是真话，与题设矛盾，故会跳拉丁舞的不是丙，
综上可得：会跳拉丁舞的是乙.
故答案为：B.
【分析】逐个假设会跳拉丁舞的是甲、乙、丙，发现矛盾，即可求解。
7．【答案】D
【知识点】简单空间图形的三视图
【解析】【解答】连接
因为E，G分别是棱
，
的中点，F为棱
靠近C的四等分点
所以
，所以平面
经过点
所以多面体
的正视图为
故答案为：D
【分析】由直观图的结构特点，逐项判断即可。
8．【答案】C
【知识点】同角三角函数间的基本关系；三角形中的几何计算
【解析】【解答】
所以
故答案为：C
【分析】由同角三角函数关系可求sinC，代入面积公式即可求解。
9．【答案】A
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】设公差为
，
，解得
，
.
故答案为：A.
【分析】由求和公式列出方程组，即可求首项和公差，从而解决问题。
10．【答案】C
【知识点】古典概型及其概率计算公式；列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【解答】将两位运动员编号为A、B，将3个“雪容融”编号为X，将运动员和雪容融随机排成一排，可以是：
ABXXX，XABXX，XXABX，XXXAB，
BAXXX，XBAXX，XXBAX，XXXBA，
AXBXX，BXAXX，XAXBX，XBXAX，XXAXB，XXBXA，
AXXBX，BXXAX，XAXXB，XBXXA，
AXXXB，BXXXA，
共20种排法，其中3个“雪容融”连在一起共有6种.
故概率为
.
故答案为：C.
【分析】由列举法列出所有结果，再由古典概型概率计算公式计算即可。
11．【答案】C
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积
【解析】【解答】解：设球的半径为R， 外接圆的半径为 ，
在
中，由
，
，则
得
，所以
，
因为球O的表面积为
，
则
，解得
，
所以球心
到
的距离
，
即三棱锥
的高为
，
，
所以三棱锥
的体积
.
故答案为：C.
【分析】设球的半径为R， 外接圆的半径为 ，由正弦定理即可求r，再结合球的表面积可求R，从而求出球心O到面ABC的距离，即可求解。
12．【答案】A
【知识点】简单线性规划的应用；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】由题，由条件①结合单调性定义可知，函数
在
上单调递增，由条件②可知，函数
向左平移2个单位关于y轴对称则说明
关于
轴对称；
所以
是关于
轴对称，且在
单调递减，在
单调递增的函数；
若实数s，t满足
，结合图像，则说明横坐标距离
越近，函数值就越小；所以可得关于实数s，t的不等式
，两边平方得
所以得：
①或
②
；
令 ，画出不等式组可行域：
联立方程组
得点
；
，令
，由此
的范围可看作点A与B，C两点连线斜率的范围，即
，所以
所以
故答案为：A
【分析】由单调性及对称性可得
，进而得到如图所示的可行域，进而借助
的几何意义即可求解。
13．【答案】2x+y+1=0
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】因为
，所以
，
所以
.
所以曲线
在点
处的切线方程为
，即2x+y+1=0.
故答案为：2x+y+1=0
【分析】由导数的几何意义即可求解。
14．【答案】1
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】因为圆锥的母线长为3，所以侧面展开图扇形的半径为3，设该圆锥的底面半径为
，
所以有
，
故答案为：1
【分析】由扇形的弧长公式及圆的周长公式即可求解。
15．【答案】
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】由
，
，由
，
，又
，解得
或
，又
，
，故
，
，
，
时，
，当
时，取得最小值
，当
时，取得最大值
，故值域为
.
故答案为：
.
【分析】由图形可确定函数解析式，再由x范围，求得
的范围即可求解。
16．【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：由点P在圆
上，可设
，
则
，
所以
，
当
，即
，即
时，
取得最小值
.
故答案为：
.
【分析】设
从而确定
坐标，由向量数量积的坐标表示可得
，进而求解。
17．【答案】（1）解：因为年龄在之间抽取的人数为7，有意向购买的人数为4，
所以这两人中恰有一人打算购买冰墩墩的概率为：；
（2）解：由调查表可得：
年龄低于40岁的人数 年龄不低于40岁的人数 总计
有意向购买冰墩墩的人数 50 25 75
无意向购买冰墩墩的人数 5 20 25
总计 55 45 100
，
所以有99.9%的把握认为购买冰墩墩与人的年龄有关.
【知识点】独立性检验；独立性检验的应用；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）由古典概型概率计算公式即可直接求解。
（2）如图得到列联表，代入
计算公式，即可解决问题。
18．【答案】（1）解：由，
得，
两式相减得：，
则，
即，
因为，
所以，
又，解得或（舍去），
所以数列是以4为首项，以2为公差的等差数列，
所以；
（2）解：由（1）知：，
所以，
则，
当n为偶数时，，
，
；
当n为奇数时，，
，
.
所以.
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】(1)由
作差可得
， 因式分解即可求解。
（2）由（1）可得
， 分n为偶数和奇数两类讨论即可解决问题。
19．【答案】（1）证明：连接，由直三棱柱，为正方形，
，可得为正方形，又E，分别为，的中点，，又，，面，又面，.
（2）解：设交点为，连接，为正方形，
，又，，面，又面，，可得，， .
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【分析】（1） 连接 ，易知
为正方形 ，可证
，从而得
面，即可求证；
（2） 设交点为，连接 ，由
。
20．【答案】（1）解：令得：，不妨设，，则，整理得：，；动点P的轨迹方程E为，；
（2）解：存在点，使得为定值，理由如下：
当直线l斜率为0时，则直线l为，此时与，无交点，故不合题意，舍去，即直线l斜率不为0
设，直线l设为，则与，联立得：，设，则，所以
当即时，为定值，即存在点使得为定值；
综上：存在点使得为定值.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【分析】(1) 设，
由
，即可求解。
（2）先验证 直线l斜率为0 ，易知不满足；
设 直线l设为 ，联立椭圆方程，可得
，进而可求得
，由4m-5=0，即可求解。
21．【答案】（1）解：，
当时，，函数在单调递增，
当时，，得
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
综上可知，当时，函数在单调递增，
当时，函数的单调递增区间是，
函数的单调递减区间是
（2）解：由，化简为，
设，设，则，
，当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，函数的最大值，
画出函数的图象，由图可知与的交点对应的，一正一负，
如图，画出函数的图象，
当，时，对应的值有3个，
在单调递增，当时，
所以
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）求出导函数，由 和 讨论即可求解。
（2） 由 ，参变分离可得： ，构造函数 ，设 ，得 ，求导，确定其单调性画出函数图象，如图所示，借助图像即可求解。
22．【答案】（1）解：由曲线的极坐标方程，可得，
∴，即，
即曲线C的直角坐标方程为.
（2）解：如图，
设，设，，，
其中M、N不与原点重合，即且.
设ON的方程为：，
令，得，
即点P轨迹的参数方程为(θ为参数，，).
【知识点】简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程的概念
【解析】【分析】（1）由直角坐标与极坐标转换公式即可求解；
（2） 设，设，，， 可得 ON的方程为：， 再令
，即可求解。
23．【答案】（1）解：，，
故、的图象如图所示：
（2）解：若恒成立，则的图象不在图象的上方，
而的图象可由的图象平移得到，如图，
当的图象的左侧射线过或在的下方时或的图象的右侧射线过或在的下方时，的图象不在图象的上方，
由（1）可得，
由可得，解得或（舍，因为此时的图象的左侧射线过）.
由可得，解得或（舍，因为此时的图象的右侧射线过）.
结合图象可得或.
云南省2022届高三“3 3 3”高考文数备考诊断性联考试卷（二）
一、单选题
1．设集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】因为
，
，
所以
，
故答案为：B
【分析】由集合的交集运算即可求解。
2．（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：
.
故答案为：A.
【分析】由复数的乘除运算即可求解。
3．如图所示的茎叶图记录了甲 乙两种商品连续10天的销售数据，则下列说法错误的是（ ）
A．乙销售数据的极差为24 B．甲销售数据的众数为93
C．乙销售数据的均值比甲大 D．甲销售数据的中位数为92
【答案】D
【解析】【解答】乙销售数据的极差是112－88＝24，A符合题意；
甲销售数据的众数为93，B符合题意；
甲销售数据的均值为(80×3＋90×5＋100×2＋7＋6＋4＋9＋8＋3＋3＋1＋6＋3)×＝94，
乙销售数据的均值为(80＋90×4＋100×4＋110＋8＋5＋7＋8＋8＋1＋2＋3＋6＋2)×＝100，∴乙销售数据的均值比甲大，C符合题意；
甲销售数据的中位数为93，D不符合题意.
故答案为：D.
【分析】
4．下列函数中是减函数的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】A选项为增函数，错误；B选项
，为增函数，错误；C选项
在
为增函数，在
为减函数，错误；D选项
为减函数，正确.
故答案为：D.
【分析】由减函数的概念及基本函数的性质逐项判断即可。
5．直线与双曲线在第一、第三象限分别交于P、Q两点，是C的右焦点，有，且，则C的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】由对称性可知四边形
为平行四边形，
又由
得四边形
为矩形，
∴，
又
，∴，
，
∴有
，
∴.
故答案为：C.
【分析】由对称性及
可确定四边形
为矩形，即可求
，
，再结合双曲线定义即可求解。
6．甲 乙 丙三位同学中只有一人会跳拉丁舞，甲说：我会；乙说：我不会；丙说：甲不会；如果这三人中有且只有一人说真话，由此可判断会跳拉丁舞的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定
【答案】B
【知识点】进行简单的演绎推理
【解析】【解答】解：①若会跳拉丁舞的是甲同学，则这甲、乙说的真话，与题设矛盾，故会跳拉丁舞的不是甲，
②若会跳拉丁舞的是乙三位同学，则这三人中有且只有丙一人说真话，与题设相符，故会跳拉丁舞的是乙，
③若会跳拉丁舞的是丙三位同学，则这三人中乙、丙两人说的是真话，与题设矛盾，故会跳拉丁舞的不是丙，
综上可得：会跳拉丁舞的是乙.
故答案为：B.
【分析】逐个假设会跳拉丁舞的是甲、乙、丙，发现矛盾，即可求解。
7．如图，在一个正方体中，E，G分别是棱AB，的中点，F为棱CD靠近C的四等分点.平面截正方体后，其中一个多面体的三视图中，相应的正视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】简单空间图形的三视图
【解析】【解答】连接
因为E，G分别是棱
，
的中点，F为棱
靠近C的四等分点
所以
，所以平面
经过点
所以多面体
的正视图为
故答案为：D
【分析】由直观图的结构特点，逐项判断即可。
8．在中，已知，，，则的面积为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【知识点】同角三角函数间的基本关系；三角形中的几何计算
【解析】【解答】
所以
故答案为：C
【分析】由同角三角函数关系可求sinC，代入面积公式即可求解。
9．记为等差数列的前项和，已知，，则（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
【答案】A
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】设公差为
，
，解得
，
.
故答案为：A.
【分析】由求和公式列出方程组，即可求首项和公差，从而解决问题。
10．随着北京冬残奥会的开幕，吉祥物“雪容融”火遍国内外.现有3个完全相同的“雪容融”.甲 乙两位运动员要与这3个“雪容融”随机站成一排拍照留念，则3个“雪容融”连在一起的概率为（ ）
A．0.2 B．0.25 C．0.3 D．0.5
【答案】C
【知识点】古典概型及其概率计算公式；列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【解答】将两位运动员编号为A、B，将3个“雪容融”编号为X，将运动员和雪容融随机排成一排，可以是：
ABXXX，XABXX，XXABX，XXXAB，
BAXXX，XBAXX，XXBAX，XXXBA，
AXBXX，BXAXX，XAXBX，XBXAX，XXAXB，XXBXA，
AXXBX，BXXAX，XAXXB，XBXXA，
AXXXB，BXXXA，
共20种排法，其中3个“雪容融”连在一起共有6种.
故概率为
.
故答案为：C.
【分析】由列举法列出所有结果，再由古典概型概率计算公式计算即可。
11．已如A，B，C是表面积为的球O的球面上的三个点，且，，则三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积
【解析】【解答】解：设球的半径为R， 外接圆的半径为 ，
在
中，由
，
，则
得
，所以
，
因为球O的表面积为
，
则
，解得
，
所以球心
到
的距离
，
即三棱锥
的高为
，
，
所以三棱锥
的体积
.
故答案为：C.
【分析】设球的半径为R， 外接圆的半径为 ，由正弦定理即可求r，再结合球的表面积可求R，从而求出球心O到面ABC的距离，即可求解。
12．定义域为R的函数满足：①对任意，都有；②函数的图象关于y轴对称.若实数s，t满足，则当时，的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】简单线性规划的应用；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】由题，由条件①结合单调性定义可知，函数
在
上单调递增，由条件②可知，函数
向左平移2个单位关于y轴对称则说明
关于
轴对称；
所以
是关于
轴对称，且在
单调递减，在
单调递增的函数；
若实数s，t满足
，结合图像，则说明横坐标距离
越近，函数值就越小；所以可得关于实数s，t的不等式
，两边平方得
所以得：
①或
②
；
令 ，画出不等式组可行域：
联立方程组
得点
；
，令
，由此
的范围可看作点A与B，C两点连线斜率的范围，即
，所以
所以
故答案为：A
【分析】由单调性及对称性可得
，进而得到如图所示的可行域，进而借助
的几何意义即可求解。
二、填空题
13．曲线在点处的切线方程为 .
【答案】2x+y+1=0
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】因为
，所以
，
所以
.
所以曲线
在点
处的切线方程为
，即2x+y+1=0.
故答案为：2x+y+1=0
【分析】由导数的几何意义即可求解。
14．已知圆锥的母线长为3，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的底面半径为 .
【答案】1
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】因为圆锥的母线长为3，所以侧面展开图扇形的半径为3，设该圆锥的底面半径为
，
所以有
，
故答案为：1
【分析】由扇形的弧长公式及圆的周长公式即可求解。
15．已知函数的部分图象如图所示，则时，函数的值域为 .
【答案】
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】由
，
，由
，
，又
，解得
或
，又
，
，故
，
，
，
时，
，当
时，取得最小值
，当
时，取得最大值
，故值域为
.
故答案为：
.
【分析】由图形可确定函数解析式，再由x范围，求得
的范围即可求解。
16．已知点P在圆上，，，则的最小值为 .
【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：由点P在圆
上，可设
，
则
，
所以
，
当
，即
，即
时，
取得最小值
.
故答案为：
.
【分析】设
从而确定
坐标，由向量数量积的坐标表示可得
，进而求解。
三、解答题
17．冰墩墩是2022年北京冬季奥运会的吉祥物，将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，头部外壳造型取自冰雪运动头盔，装饰彩色光环，整体形象酷似航天员，深受广大民众的喜爱，已成为最火爆的商品，“一墩难求”.某调查机构随机抽取100人，对是否有意向购买冰墩墩进行调查，结果如下表：
年龄/岁
抽取人数 10 20 25 15 18 7 5
有意向购买的人数 10 18 22 9 10 4 2
参考数据：，其中.
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（1）若从年龄在的被调查人群中随机选出两人进行调查，求这两人中恰有一人打算购买冰墩墩的概率；
（2）若以年龄40岁为分界线，由以上统计数据完成下面的列联表，并判断是否有99.9%的把握认为购买冰墩墩与人的年龄有关？
年龄低于40岁的人数 年龄不低于40岁的人数 总计
有意向购买冰墩墩的人数
无意向购买冰墩墩的人数
总计
【答案】（1）解：因为年龄在之间抽取的人数为7，有意向购买的人数为4，
所以这两人中恰有一人打算购买冰墩墩的概率为：；
（2）解：由调查表可得：
年龄低于40岁的人数 年龄不低于40岁的人数 总计
有意向购买冰墩墩的人数 50 25 75
无意向购买冰墩墩的人数 5 20 25
总计 55 45 100
，
所以有99.9%的把握认为购买冰墩墩与人的年龄有关.
【知识点】独立性检验；独立性检验的应用；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）由古典概型概率计算公式即可直接求解。
（2）如图得到列联表，代入
计算公式，即可解决问题。
18．已知正项数列的前n项和为，满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
【答案】（1）解：由，
得，
两式相减得：，
则，
即，
因为，
所以，
又，解得或（舍去），
所以数列是以4为首项，以2为公差的等差数列，
所以；
（2）解：由（1）知：，
所以，
则，
当n为偶数时，，
，
；
当n为奇数时，，
，
.
所以.
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】(1)由
作差可得
， 因式分解即可求解。
（2）由（1）可得
， 分n为偶数和奇数两类讨论即可解决问题。
19．如图，已知直三棱柱中，侧面为正方形，，D，E，F分别为，BC，的中点，，为线段DE上一动点.
（1）证明：；
（2）求几何体的体积.
【答案】（1）证明：连接，由直三棱柱，为正方形，
，可得为正方形，又E，分别为，的中点，，又，，面，又面，.
（2）解：设交点为，连接，为正方形，
，又，，面，又面，，可得，， .
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【分析】（1） 连接 ，易知
为正方形 ，可证
，从而得
面，即可求证；
（2） 设交点为，连接 ，由
。
20．已知圆与x轴交于A，B两点，动点P满足直线与直线的斜率之乘积为.
（1）求动点P的轨迹E的方程；
（2）过点的直线l与曲线E交于M，N两点，则在x轴上是否存在定点Q，使得的值为定值？若存在，求出点Q的坐标和该定值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：令得：，不妨设，，则，整理得：，；动点P的轨迹方程E为，；
（2）解：存在点，使得为定值，理由如下：
当直线l斜率为0时，则直线l为，此时与，无交点，故不合题意，舍去，即直线l斜率不为0
设，直线l设为，则与，联立得：，设，则，所以
当即时，为定值，即存在点使得为定值；
综上：存在点使得为定值.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【分析】(1) 设，
由
，即可求解。
（2）先验证 直线l斜率为0 ，易知不满足；
设 直线l设为 ，联立椭圆方程，可得
，进而可求得
，由4m-5=0，即可求解。
21．已知函数
（1）讨论的单调性；
（2）设，若方程有三个不同的解，求a的取值范围.
【答案】（1）解：，
当时，，函数在单调递增，
当时，，得
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
综上可知，当时，函数在单调递增，
当时，函数的单调递增区间是，
函数的单调递减区间是
（2）解：由，化简为，
设，设，则，
，当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，函数的最大值，
画出函数的图象，由图可知与的交点对应的，一正一负，
如图，画出函数的图象，
当，时，对应的值有3个，
在单调递增，当时，
所以
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）求出导函数，由 和 讨论即可求解。
（2） 由 ，参变分离可得： ，构造函数 ，设 ，得 ，求导，确定其单调性画出函数图象，如图所示，借助图像即可求解。
22．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.
（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）为解决倍立方体问题，数学家引用了蔓叶线.设M为C上的动点，M关于的对称点为N(M、N不与原点重合)，M在x轴的射影为H，直线与直线MH的交点为P，点P的轨迹就是蔓叶线.请写出P的轨迹的参数方程.
【答案】（1）解：由曲线的极坐标方程，可得，
∴，即，
即曲线C的直角坐标方程为.
（2）解：如图，
设，设，，，
其中M、N不与原点重合，即且.
设ON的方程为：，
令，得，
即点P轨迹的参数方程为(θ为参数，，).
【知识点】简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程的概念
【解析】【分析】（1）由直角坐标与极坐标转换公式即可求解；
（2） 设，设，，， 可得 ON的方程为：， 再令
，即可求解。
23．已知函数：，.
（1）请在图中画出和的图象；
（2）若恒成立，求t的取值范围.
【答案】（1）解：，，
故、的图象如图所示：
（2）解：若恒成立，则的图象不在图象的上方，
而的图象可由的图象平移得到，如图，
当的图象的左侧射线过或在的下方时或的图象的右侧射线过或在的下方时，的图象不在图象的上方，
由（1）可得，
由可得，解得或（舍，因为此时的图象的左侧射线过）.
由可得，解得或（舍，因为此时的图象的右侧射线过）.
结合图象可得或.