6.1函数的单调性（含解析）

6.1　函数的单调性
A级 必备知识基础练
1.如图是函数y=f(x)的导函数f'(x)的图象,则下列判断正确的是(　　)
A.在区间(-2,1)内,f(x)单调递增
B.在区间(1,3)内,f(x)单调递减
C.在区间(4,5)内,f(x)单调递增
D.在区间(-3,-2)内,f(x)单调递增
2.[2023山东临沂高二统考期中]若函数f(x)=x2-2x-3ln x,则函数f(x)的单调递减区间为 (　　)
A.(0,1),(3,+∞)
B.(0,2),(3,+∞)
C.(0,3)
D.(1,3)
3.[2023山西校联考模拟预测]设a=,b=,c=,则(　　)
A.b>c>a B.b>a>c
C.a>b>c D.a>c>b
4.若函数f(x)=x3-ax2-x+6在(0,1)内单调递减,则实数a的取值范围是(　　)
A.[1,+∞) B.[0,1]
C.(-∞,1] D.(0,1)
5.定义在R上的函数f(x),若(x-1)·f'(x)<0,则下列各项正确的是(　　)
A.f(0)+f(2)>2f(1)
B.f(0)+f(2)=2f(1)
C.f(0)+f(2)<2f(1)
D.f(0)+f(2)与2f(1)大小不定
6.[2023吉林长春东北师大附中校考期中]函数f(x)=的图象大致为(　　)
7.已知定义在(-3,3)内的函数f(x)的导函数f'(x)>1,且f(2m)8.函数f(x)=ax3-x恰有三个单调区间,则实数a的取值范围是　　　　.
9.已知函数f(x)满足f(x)=x3+f'x2-x+c(c为常数).
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)设函数g(x)=(f(x)-x3)·ex,若函数g(x)在x∈[-3,2]上是单调函数,求实数c的取值范围.
B级 关键能力提升练
10.[2023四川成都新都一中校联考期中]若函数f(x)=x3-3kx+1的单调递减区间为(-1,1),则实数k的值为(　　)
A.1 B.-1
C.3 D.-3
11.若函数f(x)=ax3+3x2+x+b(a>0,b∈R)恰好有三个不同的单调区间,则实数a的取值范围是(　　)
A.(0,3)∪(3,+∞) B.[3,+∞)
C.(0,3] D.(0,3)
12.[2023四川乐山峨眉第二中学校考期中]已知函数f(x)=x3+2x-2sin x,若f(a)+f(1-2a)>0,则实数a的取值范围是(　　)
A.(1,+∞) B.(-∞,1)
C. D.
13.设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,g(x)恒不为0,当x<0时,f'(x)g(x)-f(x)g'(x)>0,且f(3)=0,则不等式f(x)g(x)<0的解集是(　　)
A.(-3,0)∪(3,+∞)
B.(-3,0)∪(0,3)
C.(-∞,-3)∪(3,+∞)
D.(-∞,-3)∪(0,3)
14.[2023陕西西安长安一中校考期末]已知函数f(x)的定义域为,其导函数是f'(x).有f'(x)cos x+f(x)sin x<0,则关于x的不等式f(x)<2fcos x的解集为(　　)
A.
B.
C.
D.
15.已知函数f(x)=2ax-,若f(x)在(0,1]上单调递增,则a的取值范围为　.
16.函数f(x)的定义域是(0,π),其导函数是f'(x),若f'(x)sin x+f(x)cos x<0,则关于x的不等式f(x)sin x>f的解集为　　　　　.
17.已知函数f(x)=ax2+ln(x+1).
(1)当a=-时,求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)在区间[1,+∞)内为减函数,求实数a的取值范围.
C级 学科素养创新练
18.已知函数f(x)=(ax2-x-1)ex(a∈R,且a≠0).
(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)讨论函数f(x)的单调区间.
参考答案
§6　用导数研究函数的性质
6.1　函数的单调性
1.C　由图知当x∈(4,5)时,f'(x)>0,所以在区间(4,5)内,f(x)单调递增.故只有C选项正确,其他选项均错误.
2.C　f(x)=x2-2x-3lnx,函数定义域为(0,+∞),f'(x)=x-2-,令f'(x)<0,解得03.D　易知a=,b=,c=,
令f(x)=(x>0),
则f'(x)=,f'(x)<0,解得x>e,
所以f(x)在(e,+∞)内单调递减,
又因为e<3<π,
所以f(e)>f(3)>f(π),即a>c>b.
故选D.
4.A　f'(x)=3x2-2ax-1,∵f(x)在(0,1)内单调递减,
∴不等式3x2-2ax-1≤0在(0,1)上恒成立,
∴f'(0)≤0,f'(1)≤0,∴a≥1.
5.C　∵(x-1)f'(x)<0,
∴当x>1时,f'(x)<0,当x<1时,f'(x)>0,
则f(x)在(1,+∞)内单调递减,在(-∞,1)内单调递增,
∴f(0)6.C　易知函数f(x)的定义域为{x|x≠0},当x>0时,f(x)>0,故A,B错误;
当x<0时,f(x)=-,所以f'(x)=->0,
所以函数f(x)在(-∞,0)内单调递增,故D错误.
故选C.
7.　因为f'(x)>1>0,
所以函数f(x)在(-3,3)内单调递增,
所以解得-故m的取值范围为.
8.(0,+∞)　∵f(x)=ax3-x,∴f'(x)=3ax2-1,要使函数f(x)=ax3-x恰有三个单调区间,则f'(x)是二次函数,且f'(x)=0有两个不相等实根,∴a>0,即实数a的取值范围是(0,+∞).
9.解 (1)由f(x)=x3+f'x2-x+c,
得f'(x)=3x2+2f'x-1.
取x=,得f'=3×2+2f'×-1,
解得f'=-1.
因为f(x)=x3-x2-x+c,
从而f'(x)=3x2-2x-1=3x+(x-1),
列表得:
x -∞,- - -,1 1 (1, +∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
因此f(x)的单调递增区间是-∞,-和(1,+∞);f(x)的单调递减区间是-,1.
(2)函数g(x)=(f(x)-x3)·ex=(-x2-x+c)·ex,
所以g'(x)=(-2x-1)ex+(-x2-x+c)·ex=(-x2-3x+c-1)·ex,
当函数在区间[-3,2]上单调递增时,
等价于h(x)=-x2-3x+c-1≥0在x∈[-3,2]上恒成立,只要h(2)≥0,解得c≥11.
当函数在区间[-3,2]上单调递减时,
等价于h(x)=-x2-3x+c-1≤0在x∈[-3,2]上恒成立,即Δ=9+4(c-1)≤0,解得c≤-.
所以c的取值范围是-∞,-∪[11,+∞).
10.A　由f'(x)=3x2-3k,已知函数f(x)的单调递减区间是(-1,1),
故-1,1是3x2-3k=0的两根,-1×1=-k,解得k=1,故选A.
11.D　由题意得f'(x)=3ax2+6x+1(a>0),
∵函数f(x)恰好有三个不同的单调区间,
∴f'(x)有两个不同的零点,
∴解得0因此,实数a的取值范围是(0,3).
故选D.
12.B　f(x)的定义域为R,f(-x)=-x3-2x+2sinx=-f(x),所以f(x)是奇函数,
又因为f'(x)=3x2+2-2cosx≥0恒成立(当且仅当x=0时等号成立),
所以f(x)在R上单调递增.
由f(a)+f(1-2a)>0得f(a)>f(2a-1),
所以a>2a-1,解得a<1,故选B.
13.D　令F(x)=(g(x)恒不为0),则F(x)为奇函数,F'(x)=,
∵当x<0时,F'(x)>0,
∴F(x)在(-∞,0)内为增函数.
又F(3)==0,∴F(-3)=0.
∴当x<-3时,F(x)<0;
当-30.
又F(x)为奇函数,∴当0当x>3时,F(x)>0.
而不等式f(x)g(x)<0和<0为同解不等式,
∴不等式f(x)g(x)<0的解集为(-∞,-3)∪(0,3).
14.A　构造函数g(x)=,其中x∈,则g'(x)=<0,
所以函数g(x)在内单调递减,
因为x∈,则cosx>0,由f(x)<2fcosx可得,
即g(x)因此,不等式f(x)<2fcosx的解集为.故选A.
15.　f(x)=2ax-,则f'(x)=2a+.
∵f(x)在(0,1]上单调递增,
∴f'(x)≥0,即a≥-在x∈(0,1]上恒成立,即a≥,
设g(x)=-,g(x)在(0,1]上单调递增,
∴g(x)max=g(1)=-.
∴a≥-.
当a=-时,f'(x)=-1+对x∈(0,1]有f'(x)≥0,当且仅当x=1时,f'(x)=0.
∴当a=-时,f(x)在(0,1]上单调递增.
∴a的取值范围是.
16.0,　令F(x)=f(x)sinx(0则F'(x)=f'(x)sinx+f(x)cosx<0(0所以F(x)=f(x)sinx在(0,π)内单调递减,且F=fsin=f,
所以不等式f(x)sinx>f等价于F(x)>F,
所以017.解 (1)当a=-时,
f(x)=-x2+ln(x+1)(x>-1),
f'(x)=-x+=-(x>-1).
当f'(x)>0时,解得-1当f'(x)<0时,解得x>1.
故函数f(x)的单调递增区间是(-1,1),单调递减区间是(1,+∞).
(2)因为函数f(x)在区间[1,+∞)内为减函数,
所以f'(x)=2ax+≤0对任意x∈[1,+∞)恒成立,
即a≤-对任意x∈[1,+∞)恒成立.
令g(x)=-,则g'(x)=.
因为在区间[1,+∞)内g'(x)>0,
所以g(x)在区间[1,+∞)内单调递增,
故g(x)在区间[1,+∞)内的最小值g(x)min=g(1)=-,故a≤-.
即实数a的取值范围为-∞,-.
18.解(1)∵f(x)=(ax2-x-1)ex,
∴f'(x)=(2ax-1)ex+(ax2-x-1)ex=[ax2+(2a-1)x-2]ex,∴f'(0)=-2.
又f(0)=-1,∴y+1=-2x.
∴所求切线方程为2x+y+1=0.
(2)由题意知,函数f(x)的定义域为R,
由(1)知f'(x)=[ax2+(2a-1)x-2]ex,
∴f'(x)=(ax-1)(x+2)ex,易知ex>0,
①当a>0时,令f'(x)>0,解得x<-2或x>;
令f'(x)<0,解得-2②当-0,解得-2.
③当a=-时,f'(x)≤0.
④当a<-时,>-2,令f'(x)>0,解得-2或x<-2.
综上,当a<-时,函数f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为,(-∞,-2);
当a=-时,函数f(x)在R上单调递减;
当-当a>0时,函数f(x)的单调递增区间为,(-∞,-2),单调递减区间为.

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