卷子答案网-一个不只有答案的网站【优加学】初中数学鲁教版七年级上册 期中自我测评卷
一、选择题(本大题共12个小题，每小题3分，共36分．)
1．如图所示，自行车的车身为三角结构，这是因为三角形具有（ ）
A．对称性 B．稳定性 C．全等性 D．以上都是
2．下列各组数是勾股数的一组是（ ）
A．7，8，9 B．5，12，13 C．1.5，2，2.5 D．3，4，4
3．尺规作图要求：Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线；Ⅱ、作线段的垂直平分线；Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线；Ⅳ、作角的平分线．
如图所示是按上述要求排乱顺序的尺规作图：
则正确的配对是（ ）
A．①-Ⅳ，②-Ⅱ，③-Ⅰ，④-Ⅲ B．①-Ⅳ，②-Ⅲ，③-Ⅱ，④-Ⅰ
C．①-Ⅱ，②-Ⅳ，③-Ⅲ，④-Ⅰ D．①-Ⅳ，②-Ⅰ，③-Ⅱ，④-Ⅲ
4．如图所示，直线l外有两点A，B，在直线l上求作一点P，使得AP+ BP的长度最短，作法为：①作点B关于直线l的对称点B' ；②连接AB'与直线l相交于点P，则点P为所求作的点.在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是（ ）
A．转化思想
B．三角形的两边之和大于第三边
C．两点之间，线段最短
D．三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角
5．将一张正方形纸片按如图①，图②所示的方式对折，然后沿图③中的虚线剪裁得到图④，将图④的纸片展开铺平，再得到的图案是（ ）
A． B． C． D．
6．如图所示，已知∠ABC=∠DCB，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DCB的是（ ）
A．∠A=∠D B．∠ACB=∠DBC C．AC=DB D．AB=DC
7．如图所示，将△ABC沿直线DE折叠后，点B与点A重合．已知AC=4cm，△ADC的周长为15 cm，则BC的长（ ）
A．8cm B．11cm C．13cm D．19cm
8．等腰三角形一腰上的高与底边所夹的角为a，则这个等腰三角形的顶角为（ ）
A． B．a C．2a D．
9．如图所示，在△ABC中，∠C=90°，∠A= 30° ，BD为△ABC的角平分线，若AC=12，则在△ABD中，AB边上的高为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，点D从点A出发以每秒1 cm的速度向点C运动，当点D运动到线段AB的垂直平分线与线段AC的交点处时，运动时间是（ ）
A． 秒 B． 秒 C． 秒 D． 秒
11．如图所示，在四边形ABCD中，AB=AD，AC=5，∠DAB=∠DCB=90°，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．15 B．12.5 C．14.5 D．17
12．如图所示，小方格都是边长为1的正方形，则在△ABC中，BC边上的高是（ ）
A．1.6 B．1.4 C．1.5 D．2
二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)
13．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC+AB=10，BC=3，求AC的长，如果设AC=x，则可列方程为
14．如图所示，在△ABC中，∠ABC= 90°，∠A=48°，DB∥AC，则∠CBD=
15．如图所示，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形B，C，D的面积依次为4，3，9，则正方形A的面积为
16．已知△ABC的三边a，b，c满足|a-8|+(b-6)2=0，则当c2= 时，△ABC是直角三角形．
17．如图所示，在△ABC中，AB=AC，边AB的垂直平分线DE交BC于点E，连接AE，若∠BAC=100°，则∠AEC的大小为
18．如图所示，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN经过点O，与AB，AC相交于点M，N，且MN∥BC，AB=7，AC=9，则△ANM的周长是
三、解答题(本大题共6个小题，共66分。)
19．如图所示，点E，C，D，A在同一条直线上，AB∥DF，ED=AB，∠E=∠CPD．试说明：△ABC≌△DEF．
20．如图所示，AB∥CD，EF= EH，EH平分∠AEG，且∠EHF=15° ，求∠CFH的度数．
21．如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，点F在边AC上，BE=FC．试说明：BD=DF．
22．如图所示，圆柱形玻璃容器高19 cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1.5cm的点A处有一只蜘蛛，距蜘蛛正对面的圆柱形容器的上底1.5 cm处的点B处有一只苍蝇，蜘蛛急于捕捉苍蝇充饥，请你帮蜘蛛计算它沿容器侧面爬行的最短长度．
23．如图所示，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90° ，分别过点B，C向过点A的直线作垂线，垂足分别为点E，F．
（1）如图①所示，过点A的直线与斜边BC不相交时，试说明：EF=BE+CF．
（2）如图②所示，过点A的直线与斜边BC相交时，其他条件不变，若BE=10，CF=3，求FE的长．
24．数学课上，张老师举了下面的例题：
例1：在等腰三角形ABC中，∠A=110°，求∠B的度数． (答案：35°)
例2：在等腰三角形ABC中，∠A=40°，求∠B的度数． (答案：40°或70°或100°)
张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：
变式：在等腰三角形ABC中，∠A=80°，求∠B的度数．
（1）请你解答以上的变式题．
（2）解(1)后，小敏发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数
也可能不同，如果在等腰三角形ABC中，设∠A=x°，当∠B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围．
25．如图所示，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由点A向点C运动(与A，C不重合)，Q是CB延长线上的一点，与点P同时以相同的速度由点B向CB延长线方向运动(Q不与B重合)，过点P作PE⊥AB于点E，连接PQ交AB于点D．
（1）当∠BQD=30°时，求AP的长．
（2）试说明：在运动过程中，点D是线段PQ的中点．
（3）在运动过程中，线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：A、不是对称图形，A不符合题意；
B、三角形具有稳定性，B符合题意；
C、不具全等性，C不符合题意；
D、AC不符合题意，D不符合题意
故答案为：B
【分析】根据三角形具有稳定性回答即可。
2．【答案】B
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：A、7 +8 ≠9 ，A不符合题意；
B、5 +12 =13 ，B符合题意；
C、1.5和2.5不是整数，C不符合题意
D、3 +4 ≠4 ，D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】满足a2+b2=c2的三个正整数，即为勾股数.
3．【答案】D
【知识点】作图-垂线；作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：①是角分线的作法；②是过直线外一点作这条直线的垂线作法；③是垂直平分线的作法；④是过直线上一点作这条直线的垂线；
则正确配对是 ①-Ⅳ，②-Ⅰ，③-Ⅱ，④-Ⅲ
故答案为：D
【分析】分别利用角平分线，过直线上和直线外一点作这条直线的垂线及线段垂直平分线的作法选出符合题意的答案.
4．【答案】D
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：∵点B和B'关于直线l对称，且P在直线l上，
∴PB=PB'
∴AP+PB=AP+PB'
又∵AB'与l交于点P，
∴AP+PB'最短即AP+PB最短，
将轴对称最短路径问题利用线段的性质定理两点之间，线段最短，体现了转化的思想，验证时利用三角形的两边之和大于第三边。
故答案为：D
【分析】利用两点之间线段最短分析并验证即可。
5．【答案】B
【知识点】剪纸问题
【解析】【解答】对此类题目，学生只要动手操作即可得出答案。
故答案为：B
【分析】本题是剪纸问题，主要考查动手能力和空间想象能力.
6．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：在△ABC和△DCB中，
A、∵∠A=∠D ∠ABC=∠DCB，BC=CB ∴△ABC≌△DCB(AAS），A能判定三角形全等；
B、∵∠ABC=∠DCB，BC=CB ， ∠ACB=∠DBC， ∴△ABC≌△DCB(ASA) ， B能判定三角形全等；
C、∠ABC=∠DCB，BC=BC，AC=DB，C不能判定三角形全等
D、∵BC=BC，∠ABC=∠DCB， AB=DC，∴△ABC≌△DCB(SAS)，D能判定三角形全等；
故答案为：C
【分析】本题主要考查全等三角形的判定定理，需熟练掌握全等三角形判定定理，根据定理逐个判断.
7．【答案】B
【知识点】翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵将△ABC沿DE折叠，点B与点A重合，
∴ BD=AD
又∵△ADC的周长为15cm， AC=4cm
∴AD+CD=15-4=11cm
故答案为：B
【分析】由翻折的性质得出AD=BD，再利用AD+CD=BC得出即可.
8．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵等腰三角形一腰上的高与底边所夹的角为a，
∴等腰三角形的底角=90-a，
∴等腰三角形的顶角=180-2×（90-a）=2a
故答案为：C
【分析】根据等腰三角形两底角相等，直角三角形两个锐角互余即可得出.
9．【答案】B
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：过D点作DE垂直AB与E，
∵BD为△ABC的角平分线，CD⊥BC， DE⊥AB，
∴DE=DC，
又∵∠A=30°，AC=12
∴AD=2DE
∴DE+2DE=12
即DE=4
故答案为：B
【分析】运用角平分线的性质，以及含30°角的直角三角形斜边是较短直角边的两倍即可得出。
10．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，作AB的垂直平分线交AB与E，交AC于D，连接BD，
∵AC=8，BC=6
∴AB===10
又∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=5， BD=AD
在Rt△BCD中，
∵BC +CD =BD
∴6 +（8-BD） =BD .
解得：BD=
∴当点D运动到AB的垂直平分线与线段AC的交点时，运动时间为秒.
故正确答案为：B
【分析】画出图形，根据垂直平分线的性质和勾股定理进行解答。
11．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：过点A作AE⊥AC，交CB的延长线于点E，如图所示，
∵∠DAB=∠DCB= 90°，
∴∠D+∠ABC= 180°=∠ABE+∠ABC，所以∠D=∠ABE．
又∵∠DAB=∠CAE=90°．
∴∠CAD=∠EAB．
又∵AD= AB，
∴△ACD≌△AEB( ASA)，
∴AC=AE，即△ACE是等腰直角三角形，
∴四边形ABCD的面积与△ACE的面积相等，
∵S△ACE= ×5×5=12.5，
∴四边形ABCD的面积为12.5．
故正确答案为 B
【分析】根据对角互补模型作△ACD≌△AEB，从而得到四边形ABCD的面积与△ACE的面积相等，运用三角形面积公式解出即可。
12．【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：由勾股定理可得：BC==5
∵S△ABC=4×4-×1×1-×3×4-×3×4=
∴△ABC中BC边上的高=2×÷5=1.4
故答案为： B
【分析】由勾股定理求出BC的值为5，再由组合图形的面积求出三角形面积，从而求出高。
13．【答案】x2+32=(10-x)2
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°
∴AC +BC =AB
又∵AC+AB=10，BC=3，设AC=x
∴x +3 =（10-x）
解得：x=1
故答案为： x +3 =（10-x）
【分析】设AC=x，则AB=10-x，且BC=3，根据勾股定理可求解.
14．【答案】42°
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵∠ABC= 90°，∠A=48°，
∴∠C=180°-∠ABC-∠A=180°-90°-48°=42°.
又∵DB∥AC，
∴∠CBD=∠C=42°，
故答案为 42°.
【分析】先由三角形的内角和为180°求出∠C，再根据两直线平行，内错角相等可知∠CBD等于∠C，从而可求解.
15．【答案】2
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由题意可得：
∵S正方形E=S正方形D-S正方形C=9-3=6
∴S正方形A=S正方形E-S正方形B=6-4=2
故答案为：2
【分析】根据勾股定理的几何意义可知S正方形A+S正方形B=S正方形E，S正方形E=S正方形D-S正方形C，运算求解即可.
16．【答案】100或28
【知识点】勾股定理；绝对值的非负性；非负数之和为0
【解析】【解答】解：由题意可得：a-8=0，b-6=0
∴a=8，b=6
又∵△ABC是直角三角形
①当a为斜边时，c =a -b =8 -6 =28，
②当a为直角边时，c =a +b =8 +6 =100
故答案为：100或28
【分析】本题要把a分为斜边和直角边进行分类讨论，根据勾股定理即可解得.。
17．【答案】80°
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵∠BAC=100°，AB=AC
∴∠B=∠C=
∵DE时AB的垂直平分线，
∴AE=BE，∠B=∠BAE=40°
∴∠AEC=∠B+∠BAE=40°+40°=80°
故答案为：80°
【分析】由等腰三角形的性质求出∠B的度数，根据垂直平分线的性质得出∠B=∠BAE，再由三角形外角的性质解得∠AEC的度数。
18．【答案】16
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠ABO=∠CBO，∠ACO=∠BCO，
又∵MN∥BC，
∴∠CBO=∠MOB，∠OCB=∠NOC
∴∠ABO=∠MOB，∠ACO=∠NOC
∴BM=OM，OC=ON
∴C△ANM=AM+MO+NO+AN=AM+BM+CN+AN=AB+AC=7+9=16.
故答案为：16.
【分析】由平行线的性质和等边对等角把三角形的周长通过等量代换转化为AB+AC的长度.
19．【答案】解：∵AB∥DF，
∴∠B=∠CPD，∠A=∠FDE，
∵∠E=∠CPD，
∴∠E=∠B．
在△ABC和△DEF中，∠E=∠B，ED= AB，∠A=∠FDE，
∴△A BC≌△DEF(ASA)．
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】根据平行线的性质和等量代换先求出∠B=∠E，∠A=∠FDE，再根据ASA证明三角形全等。
20．【答案】解：∵EF= EH，∠EHF=15°，
∴∠EFH=∠EHF=15°，
∴∠GEH=180°-∠HEF=∠EFH+∠EHF= 30°.
∵EH平分∠AEG，
∴∠AEG=2∠GEH= 60°．
∵AB∥CD，
∴∠CFG=∠AEG= 60°，
∴∠CFH=∠CFG-∠EFH=60°-15°= 45°．
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】根据等边对等角得出∠EFH=∠EHF，由角平分线的定义求出∠AEG=2∠GEH= 60°，再根据平行线的性质求出∠CFG的度数.
21．【答案】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C= 90°，
∴∠DEB=∠C，DC= DE，
在△DCF和△DEB中，
∵DC= DE，∠C=∠BED，CF= BE，
∴△DCF≌△DEB(SAS)，
∴BD= DF．
【知识点】角平分线的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】由角平分线的性质得C= DE，再由SAS证明三角形全等.
22．【答案】解：如图所示，将圆柱侧面展开成长方形MNQP，过点B作BC⊥MN于点C，连接AB，
则线段AB的长度即为最短距离．
在Rt△ACB中，AC=MN- AN-CM= 16 cm，
BC是上底面的半圆周的长，即BC= 30 cm．
由勾股定理，得AB2=AC2+ BC2=162+302=1156=342，
所以AB=34 cm．
所以蜘蛛所走的最短路线的长度为34 cm．
【知识点】勾股定理的应用；平面展开﹣最短路径问题
【解析】【分析】将圆柱侧面展开成矩形，将最短路线转化到平面图形中，根据勾股定理即可解得。
23．【答案】（1）解：∵BE⊥EA，CF⊥AF，
∴∠BAC=∠BEA=∠CFE= 90°，
∴∠EAB+∠CAF=90°，∠EBA+∠EAB= 90°，
∴∠CAF=∠EBA．
在△BEA和△AFC中，
∵∠BEA=∠AFC= 90°，∠EBA=∠CAF，AB=AC，
∴△BEA≌△AFC(AAS)，
∴EA= FC，BE=AF，
∴EF= EA+AF= BE+ CF．
（2）解：∵BE⊥EA，CF⊥AF，
∴∠BAC=∠BEA=∠CFE= 90°，
∴∠EAB+∠CAF=90°，∠ABE+∠EAB= 90°，
∴∠CAF=∠A BE．
在△BEA和△AFC中，
∵∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA=∠FAC，AB= AC，
∴△BEA≌OAFC(AAS)，
∴EA= FC=3，BE=AF=10，
∴EF=AF- EA=10-3=7．
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）此题根据已知条件容易证明△BEA≌△AFC，再利用全等三角形对应边相等就可以证明。
（2）根据（1）可得△BEA≌△AFC，仍然成立，再利用全等三角形对应边相等就可以证明。
24．【答案】（1）解：若∠A为顶角，则∠B=(180°-∠A) ÷2=50°；
若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B=180°-2×80°=20°；
若∠A为底角，∠B也为底角，则∠B= 80°．
故∠B的度数是50°或20°或80°．
（2）解：分两种情况：
①当90≤x<180时，∠A只能为顶角，
所以∠B的度数只有一个；
②当0
若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B=(180-2x)°；
若∠A为底角，∠B也为底角，则∠B=x°
当 ≠180-2x且180-2x≠x且 ≠x，
即当x≠60时，∠B有三个不同的度数．
综上，可知当0
【解析】【分析】（1）此题要把∠A和∠B分别为底角或顶角时进行讨论。
（2）分两种情况：
①当90≤x<180时，∠A只能为顶角；
②当0
∵∠BQD=30°，∠C= 60°，
∴∠QPC= 90°，
∴QC=2PC，即x+6=2(6- x)
解得x=2，
即AP=2．
（2）解： 如图，过点P作PF∥BC，交AB于点F，
∵PF∥BC，
∴∠PFA=∠FPA=∠A= 60°，
∴PF=AP=AF，所以PF= BQ．
又∠BDQ=∠PDF，∠DBQ=∠DFP，
∴△DQB≌△DPF(AAS)，
∴DQ= DP，
∴在运动过程中，点D是线段PQ的中点．
（3）解：在运动过程中，线段ED的长不发生变化．
∵PF=AP=AF，PE⊥AF，
∴EF= AF．
又△DQB≌△DPF，
∴DF=DB，即DF= BF，
∴ED= EF+ DF= (AF+ BF)= AB=3．
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】（1）由△ABC是边长为6的等边三角形，可知∠ACB=60°，再由∠BQP=30°可知∠QPC=90°，设AP=x，再Rt△QCP中，∠BQD=30°，PC=QC，即6-x=(6+x)，求出x即可。
（2）作PF∥BC，由QP速度相等可得AP=BQ，再根据平行线的性质可证明△DQB≌△DPF。
（3）由（2）可得△DQB≌△DPF，所以DF=DB，即DF= BF，再由EF= AF可证ED的长度不会发生变化。
【优加学】初中数学鲁教版七年级上册 期中自我测评卷
一、选择题(本大题共12个小题，每小题3分，共36分．)
1．如图所示，自行车的车身为三角结构，这是因为三角形具有（ ）
A．对称性 B．稳定性 C．全等性 D．以上都是
【答案】B
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：A、不是对称图形，A不符合题意；
B、三角形具有稳定性，B符合题意；
C、不具全等性，C不符合题意；
D、AC不符合题意，D不符合题意
故答案为：B
【分析】根据三角形具有稳定性回答即可。
2．下列各组数是勾股数的一组是（ ）
A．7，8，9 B．5，12，13 C．1.5，2，2.5 D．3，4，4
【答案】B
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：A、7 +8 ≠9 ，A不符合题意；
B、5 +12 =13 ，B符合题意；
C、1.5和2.5不是整数，C不符合题意
D、3 +4 ≠4 ，D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】满足a2+b2=c2的三个正整数，即为勾股数.
3．尺规作图要求：Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线；Ⅱ、作线段的垂直平分线；Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线；Ⅳ、作角的平分线．
如图所示是按上述要求排乱顺序的尺规作图：
则正确的配对是（ ）
A．①-Ⅳ，②-Ⅱ，③-Ⅰ，④-Ⅲ B．①-Ⅳ，②-Ⅲ，③-Ⅱ，④-Ⅰ
C．①-Ⅱ，②-Ⅳ，③-Ⅲ，④-Ⅰ D．①-Ⅳ，②-Ⅰ，③-Ⅱ，④-Ⅲ
【答案】D
【知识点】作图-垂线；作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：①是角分线的作法；②是过直线外一点作这条直线的垂线作法；③是垂直平分线的作法；④是过直线上一点作这条直线的垂线；
则正确配对是 ①-Ⅳ，②-Ⅰ，③-Ⅱ，④-Ⅲ
故答案为：D
【分析】分别利用角平分线，过直线上和直线外一点作这条直线的垂线及线段垂直平分线的作法选出符合题意的答案.
4．如图所示，直线l外有两点A，B，在直线l上求作一点P，使得AP+ BP的长度最短，作法为：①作点B关于直线l的对称点B' ；②连接AB'与直线l相交于点P，则点P为所求作的点.在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是（ ）
A．转化思想
B．三角形的两边之和大于第三边
C．两点之间，线段最短
D．三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角
【答案】D
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：∵点B和B'关于直线l对称，且P在直线l上，
∴PB=PB'
∴AP+PB=AP+PB'
又∵AB'与l交于点P，
∴AP+PB'最短即AP+PB最短，
将轴对称最短路径问题利用线段的性质定理两点之间，线段最短，体现了转化的思想，验证时利用三角形的两边之和大于第三边。
故答案为：D
【分析】利用两点之间线段最短分析并验证即可。
5．将一张正方形纸片按如图①，图②所示的方式对折，然后沿图③中的虚线剪裁得到图④，将图④的纸片展开铺平，再得到的图案是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】剪纸问题
【解析】【解答】对此类题目，学生只要动手操作即可得出答案。
故答案为：B
【分析】本题是剪纸问题，主要考查动手能力和空间想象能力.
6．如图所示，已知∠ABC=∠DCB，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DCB的是（ ）
A．∠A=∠D B．∠ACB=∠DBC C．AC=DB D．AB=DC
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：在△ABC和△DCB中，
A、∵∠A=∠D ∠ABC=∠DCB，BC=CB ∴△ABC≌△DCB(AAS），A能判定三角形全等；
B、∵∠ABC=∠DCB，BC=CB ， ∠ACB=∠DBC， ∴△ABC≌△DCB(ASA) ， B能判定三角形全等；
C、∠ABC=∠DCB，BC=BC，AC=DB，C不能判定三角形全等
D、∵BC=BC，∠ABC=∠DCB， AB=DC，∴△ABC≌△DCB(SAS)，D能判定三角形全等；
故答案为：C
【分析】本题主要考查全等三角形的判定定理，需熟练掌握全等三角形判定定理，根据定理逐个判断.
7．如图所示，将△ABC沿直线DE折叠后，点B与点A重合．已知AC=4cm，△ADC的周长为15 cm，则BC的长（ ）
A．8cm B．11cm C．13cm D．19cm
【答案】B
【知识点】翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵将△ABC沿DE折叠，点B与点A重合，
∴ BD=AD
又∵△ADC的周长为15cm， AC=4cm
∴AD+CD=15-4=11cm
故答案为：B
【分析】由翻折的性质得出AD=BD，再利用AD+CD=BC得出即可.
8．等腰三角形一腰上的高与底边所夹的角为a，则这个等腰三角形的顶角为（ ）
A． B．a C．2a D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵等腰三角形一腰上的高与底边所夹的角为a，
∴等腰三角形的底角=90-a，
∴等腰三角形的顶角=180-2×（90-a）=2a
故答案为：C
【分析】根据等腰三角形两底角相等，直角三角形两个锐角互余即可得出.
9．如图所示，在△ABC中，∠C=90°，∠A= 30° ，BD为△ABC的角平分线，若AC=12，则在△ABD中，AB边上的高为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：过D点作DE垂直AB与E，
∵BD为△ABC的角平分线，CD⊥BC， DE⊥AB，
∴DE=DC，
又∵∠A=30°，AC=12
∴AD=2DE
∴DE+2DE=12
即DE=4
故答案为：B
【分析】运用角平分线的性质，以及含30°角的直角三角形斜边是较短直角边的两倍即可得出。
10．如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，点D从点A出发以每秒1 cm的速度向点C运动，当点D运动到线段AB的垂直平分线与线段AC的交点处时，运动时间是（ ）
A． 秒 B． 秒 C． 秒 D． 秒
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，作AB的垂直平分线交AB与E，交AC于D，连接BD，
∵AC=8，BC=6
∴AB===10
又∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=5， BD=AD
在Rt△BCD中，
∵BC +CD =BD
∴6 +（8-BD） =BD .
解得：BD=
∴当点D运动到AB的垂直平分线与线段AC的交点时，运动时间为秒.
故正确答案为：B
【分析】画出图形，根据垂直平分线的性质和勾股定理进行解答。
11．如图所示，在四边形ABCD中，AB=AD，AC=5，∠DAB=∠DCB=90°，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．15 B．12.5 C．14.5 D．17
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：过点A作AE⊥AC，交CB的延长线于点E，如图所示，
∵∠DAB=∠DCB= 90°，
∴∠D+∠ABC= 180°=∠ABE+∠ABC，所以∠D=∠ABE．
又∵∠DAB=∠CAE=90°．
∴∠CAD=∠EAB．
又∵AD= AB，
∴△ACD≌△AEB( ASA)，
∴AC=AE，即△ACE是等腰直角三角形，
∴四边形ABCD的面积与△ACE的面积相等，
∵S△ACE= ×5×5=12.5，
∴四边形ABCD的面积为12.5．
故正确答案为 B
【分析】根据对角互补模型作△ACD≌△AEB，从而得到四边形ABCD的面积与△ACE的面积相等，运用三角形面积公式解出即可。
12．如图所示，小方格都是边长为1的正方形，则在△ABC中，BC边上的高是（ ）
A．1.6 B．1.4 C．1.5 D．2
【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：由勾股定理可得：BC==5
∵S△ABC=4×4-×1×1-×3×4-×3×4=
∴△ABC中BC边上的高=2×÷5=1.4
故答案为： B
【分析】由勾股定理求出BC的值为5，再由组合图形的面积求出三角形面积，从而求出高。
二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)
13．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC+AB=10，BC=3，求AC的长，如果设AC=x，则可列方程为
【答案】x2+32=(10-x)2
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°
∴AC +BC =AB
又∵AC+AB=10，BC=3，设AC=x
∴x +3 =（10-x）
解得：x=1
故答案为： x +3 =（10-x）
【分析】设AC=x，则AB=10-x，且BC=3，根据勾股定理可求解.
14．如图所示，在△ABC中，∠ABC= 90°，∠A=48°，DB∥AC，则∠CBD=
【答案】42°
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵∠ABC= 90°，∠A=48°，
∴∠C=180°-∠ABC-∠A=180°-90°-48°=42°.
又∵DB∥AC，
∴∠CBD=∠C=42°，
故答案为 42°.
【分析】先由三角形的内角和为180°求出∠C，再根据两直线平行，内错角相等可知∠CBD等于∠C，从而可求解.
15．如图所示，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形B，C，D的面积依次为4，3，9，则正方形A的面积为
【答案】2
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由题意可得：
∵S正方形E=S正方形D-S正方形C=9-3=6
∴S正方形A=S正方形E-S正方形B=6-4=2
故答案为：2
【分析】根据勾股定理的几何意义可知S正方形A+S正方形B=S正方形E，S正方形E=S正方形D-S正方形C，运算求解即可.
16．已知△ABC的三边a，b，c满足|a-8|+(b-6)2=0，则当c2= 时，△ABC是直角三角形．
【答案】100或28
【知识点】勾股定理；绝对值的非负性；非负数之和为0
【解析】【解答】解：由题意可得：a-8=0，b-6=0
∴a=8，b=6
又∵△ABC是直角三角形
①当a为斜边时，c =a -b =8 -6 =28，
②当a为直角边时，c =a +b =8 +6 =100
故答案为：100或28
【分析】本题要把a分为斜边和直角边进行分类讨论，根据勾股定理即可解得.。
17．如图所示，在△ABC中，AB=AC，边AB的垂直平分线DE交BC于点E，连接AE，若∠BAC=100°，则∠AEC的大小为
【答案】80°
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵∠BAC=100°，AB=AC
∴∠B=∠C=
∵DE时AB的垂直平分线，
∴AE=BE，∠B=∠BAE=40°
∴∠AEC=∠B+∠BAE=40°+40°=80°
故答案为：80°
【分析】由等腰三角形的性质求出∠B的度数，根据垂直平分线的性质得出∠B=∠BAE，再由三角形外角的性质解得∠AEC的度数。
18．如图所示，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN经过点O，与AB，AC相交于点M，N，且MN∥BC，AB=7，AC=9，则△ANM的周长是
【答案】16
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠ABO=∠CBO，∠ACO=∠BCO，
又∵MN∥BC，
∴∠CBO=∠MOB，∠OCB=∠NOC
∴∠ABO=∠MOB，∠ACO=∠NOC
∴BM=OM，OC=ON
∴C△ANM=AM+MO+NO+AN=AM+BM+CN+AN=AB+AC=7+9=16.
故答案为：16.
【分析】由平行线的性质和等边对等角把三角形的周长通过等量代换转化为AB+AC的长度.
三、解答题(本大题共6个小题，共66分。)
19．如图所示，点E，C，D，A在同一条直线上，AB∥DF，ED=AB，∠E=∠CPD．试说明：△ABC≌△DEF．
【答案】解：∵AB∥DF，
∴∠B=∠CPD，∠A=∠FDE，
∵∠E=∠CPD，
∴∠E=∠B．
在△ABC和△DEF中，∠E=∠B，ED= AB，∠A=∠FDE，
∴△A BC≌△DEF(ASA)．
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】根据平行线的性质和等量代换先求出∠B=∠E，∠A=∠FDE，再根据ASA证明三角形全等。
20．如图所示，AB∥CD，EF= EH，EH平分∠AEG，且∠EHF=15° ，求∠CFH的度数．
【答案】解：∵EF= EH，∠EHF=15°，
∴∠EFH=∠EHF=15°，
∴∠GEH=180°-∠HEF=∠EFH+∠EHF= 30°.
∵EH平分∠AEG，
∴∠AEG=2∠GEH= 60°．
∵AB∥CD，
∴∠CFG=∠AEG= 60°，
∴∠CFH=∠CFG-∠EFH=60°-15°= 45°．
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】根据等边对等角得出∠EFH=∠EHF，由角平分线的定义求出∠AEG=2∠GEH= 60°，再根据平行线的性质求出∠CFG的度数.
21．如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，点F在边AC上，BE=FC．试说明：BD=DF．
【答案】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C= 90°，
∴∠DEB=∠C，DC= DE，
在△DCF和△DEB中，
∵DC= DE，∠C=∠BED，CF= BE，
∴△DCF≌△DEB(SAS)，
∴BD= DF．
【知识点】角平分线的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】由角平分线的性质得C= DE，再由SAS证明三角形全等.
22．如图所示，圆柱形玻璃容器高19 cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1.5cm的点A处有一只蜘蛛，距蜘蛛正对面的圆柱形容器的上底1.5 cm处的点B处有一只苍蝇，蜘蛛急于捕捉苍蝇充饥，请你帮蜘蛛计算它沿容器侧面爬行的最短长度．
【答案】解：如图所示，将圆柱侧面展开成长方形MNQP，过点B作BC⊥MN于点C，连接AB，
则线段AB的长度即为最短距离．
在Rt△ACB中，AC=MN- AN-CM= 16 cm，
BC是上底面的半圆周的长，即BC= 30 cm．
由勾股定理，得AB2=AC2+ BC2=162+302=1156=342，
所以AB=34 cm．
所以蜘蛛所走的最短路线的长度为34 cm．
【知识点】勾股定理的应用；平面展开﹣最短路径问题
【解析】【分析】将圆柱侧面展开成矩形，将最短路线转化到平面图形中，根据勾股定理即可解得。
23．如图所示，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90° ，分别过点B，C向过点A的直线作垂线，垂足分别为点E，F．
（1）如图①所示，过点A的直线与斜边BC不相交时，试说明：EF=BE+CF．
（2）如图②所示，过点A的直线与斜边BC相交时，其他条件不变，若BE=10，CF=3，求FE的长．
【答案】（1）解：∵BE⊥EA，CF⊥AF，
∴∠BAC=∠BEA=∠CFE= 90°，
∴∠EAB+∠CAF=90°，∠EBA+∠EAB= 90°，
∴∠CAF=∠EBA．
在△BEA和△AFC中，
∵∠BEA=∠AFC= 90°，∠EBA=∠CAF，AB=AC，
∴△BEA≌△AFC(AAS)，
∴EA= FC，BE=AF，
∴EF= EA+AF= BE+ CF．
（2）解：∵BE⊥EA，CF⊥AF，
∴∠BAC=∠BEA=∠CFE= 90°，
∴∠EAB+∠CAF=90°，∠ABE+∠EAB= 90°，
∴∠CAF=∠A BE．
在△BEA和△AFC中，
∵∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA=∠FAC，AB= AC，
∴△BEA≌OAFC(AAS)，
∴EA= FC=3，BE=AF=10，
∴EF=AF- EA=10-3=7．
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）此题根据已知条件容易证明△BEA≌△AFC，再利用全等三角形对应边相等就可以证明。
（2）根据（1）可得△BEA≌△AFC，仍然成立，再利用全等三角形对应边相等就可以证明。
24．数学课上，张老师举了下面的例题：
例1：在等腰三角形ABC中，∠A=110°，求∠B的度数． (答案：35°)
例2：在等腰三角形ABC中，∠A=40°，求∠B的度数． (答案：40°或70°或100°)
张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：
变式：在等腰三角形ABC中，∠A=80°，求∠B的度数．
（1）请你解答以上的变式题．
（2）解(1)后，小敏发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数
也可能不同，如果在等腰三角形ABC中，设∠A=x°，当∠B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围．
【答案】（1）解：若∠A为顶角，则∠B=(180°-∠A) ÷2=50°；
若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B=180°-2×80°=20°；
若∠A为底角，∠B也为底角，则∠B= 80°．
故∠B的度数是50°或20°或80°．
（2）解：分两种情况：
①当90≤x<180时，∠A只能为顶角，
所以∠B的度数只有一个；
②当0
若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B=(180-2x)°；
若∠A为底角，∠B也为底角，则∠B=x°
当 ≠180-2x且180-2x≠x且 ≠x，
即当x≠60时，∠B有三个不同的度数．
综上，可知当0
【解析】【分析】（1）此题要把∠A和∠B分别为底角或顶角时进行讨论。
（2）分两种情况：
①当90≤x<180时，∠A只能为顶角；
②当0
（1）当∠BQD=30°时，求AP的长．
（2）试说明：在运动过程中，点D是线段PQ的中点．
（3）在运动过程中，线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化，请说明理由．
【答案】（1）解：设AP=x，则BQ=x．
∵∠BQD=30°，∠C= 60°，
∴∠QPC= 90°，
∴QC=2PC，即x+6=2(6- x)
解得x=2，
即AP=2．
（2）解： 如图，过点P作PF∥BC，交AB于点F，
∵PF∥BC，
∴∠PFA=∠FPA=∠A= 60°，
∴PF=AP=AF，所以PF= BQ．
又∠BDQ=∠PDF，∠DBQ=∠DFP，
∴△DQB≌△DPF(AAS)，
∴DQ= DP，
∴在运动过程中，点D是线段PQ的中点．
（3）解：在运动过程中，线段ED的长不发生变化．
∵PF=AP=AF，PE⊥AF，
∴EF= AF．
又△DQB≌△DPF，
∴DF=DB，即DF= BF，
∴ED= EF+ DF= (AF+ BF)= AB=3．
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】（1）由△ABC是边长为6的等边三角形，可知∠ACB=60°，再由∠BQP=30°可知∠QPC=90°，设AP=x，再Rt△QCP中，∠BQD=30°，PC=QC，即6-x=(6+x)，求出x即可。
（2）作PF∥BC，由QP速度相等可得AP=BQ，再根据平行线的性质可证明△DQB≌△DPF。
（3）由（2）可得△DQB≌△DPF，所以DF=DB，即DF= BF，再由EF= AF可证ED的长度不会发生变化。