卷子答案网-一个不只有答案的网站封开县2023-2024学高三上学期第一次月考数学试题
考试时间：120分钟；试题总分：150分
一、单选题.本题共8小题，每小题5分，共计40分.
1．命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
3．已知，则的共轭复数（ ）
A． B． C． D．
4．已知向量，，若，则（ ）
A．0或2 B．2 C．0或 D．
5．设，，，则、、的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
6．“”是“”的（ ）条件.
A．充分而不必要 B．必要而不充分
C．充分必要 D．既不充分也不必要
7．设为正数，且，则的最小值为（ ）
A．4 B． C．2 D．
8．已知p：，q：，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题．本题共4小题，每小题5分，共计20分．全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错得0分．
9．下列判断正确的是（ ）
A．
B．函数的最小值为
C．幂函数的图象都通过点
D．若，则“”是“”的充要条件
10．已知向量，，其中，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若与的夹角为钝角，则
D．若，向量在方向上的投影为
11．已知复数满足，则（ ）
A．的虚部为
B．
C．在复平面内对应的点在第四象限
D．若复数满足，则
12．已知关于的一元二次不等式的解集为或，下列说法正确的是（ ）
A． B．的解集是
C． D．对于任意的，恒成立
三、填空题.本题共4小题，每小题5分，共计20分．
13．展开式中第三项系数为 （用具体数字作答）．
14．不等式的解集是 ．
15．若命题“”为假命题，则实数a的取值范围是 .
16．已知等差数列，为其前n项和，若，，成等比数列，则的最小值为 ．
四、解答题.本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知复数，且为纯虚数.
(1)求复数；
(2)若，求复数以及模.
18．已知，，．
(1)求
(2)求向量与的夹角的余弦值．
19．在等差数列中，，.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
20．在中，角A、B、C的对边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)若，的面积，求的周长.
21．今年的5月20日是全国第34个“中学生营养日”，今年的主题是“科学食养助力儿童健康成长”.围绕这个主题，在今年的5月19日，中国校园健康行动领导小组、中国国际公司促进会、中国关心下一代健康体育基金会、中国关心下一代工作委员会健康体育发展中心、中国国际跨国公司促进会中国青少年儿童健康安全食品联合工作委员会、中国青少年儿童健康安全食品管理委员会等单位在京共同启动了“中国青少年儿童营养健康标准推广实施行动”.我校也希望大力改善学生的膳食结构，让更多的学生到食堂正常就餐，而不是简单地用面包，方便面或者零食来填饱肚子.于是学校从晚餐在食堂就餐的学生中随机抽取了100名学生，针对他们晚餐时更喜欢吃面食还是更喜欢吃米饭做了调查，得到如下列联表：
更喜欢吃面食 更喜欢吃米饭 总计
男生 30 25 55
女生 20 25 45
总计 50 50 100
(1)依据小概率的独立性检验，判断晚餐是否更喜欢吃面食与性别是否有关联？
(2)在样本中，从晚餐更喜欢吃面食的学生中按性别分层抽样抽取5人，在这5人中任选2人，其中女生的人数为X，请写出X的分布列；
(3)现用频率估计概率，在全校学生中，从晚餐更喜欢吃面食的学生中任选3人，其中男生人数为Y，请写出Y的期望和方差.
附：，其中．
0.05 0.01 0.005
3.841 6.635 7.879
22．已知函数，其中.
(1)求函数的单调区间；
(2)讨论函数零点的个数；
参考答案：
1．A
【分析】由全称命题的否定可以直接得出结果.
【详解】由全称命题的否定可知：原命题的否定为.
故选：A
2．B
【分析】将集合化简，然后结合交集的运算，即可得到结果.
【详解】因为，
，
则.
故选：B
3．D
【分析】根据除法运算化简复数，利用共轭复数概念直接求解即可.
【详解】因为，所以，
所以.
故选：D
4．C
【分析】利用向量线性运算的坐标表示和向量垂直的坐标表示计算即可.
【详解】向量，，则
由，所以，得或．
故选：C.
5．A
【分析】利用指数函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系.
【详解】因为，，，
因此，.
故选：A.
6．B
【分析】由对数函数的性质，解不等式，根据充分条件和必要条件的关系，可得答案.
【详解】由，得，因而“”是“”的必要而不充分条件.
故选：B.
7．C
【分析】将变形为，展开后利用基本不等式即可求得答案.
【详解】由题意为正数，且，
则
，
当且仅当，结合，即时等号成立，
即的最小值为2，
故选：C
8．D
【分析】先解出得，由题设得对于，恒成立，换元后参变分离转化为函数值域问题即可求解.
【详解】由可得，又p是q的充分条件，则，即对于，恒成立，
令，则对于恒成立，又，则.
故选：D.
9．AC
【分析】由全称量词命题真假判断A；求出函数最小值判断B；利用幂函数图象性质判断C；利用充要条件的意义判断D作答.
【详解】对于A，，A正确；
对于B，令，函数在上单调递增，则当，即时，，B错误；
对于C，幂函数的图象都通过点，C正确；
对于D，当时，成立，而不成立，因此不能推出，D错误.
故选：AC
10．ABD
【分析】选项A可由共线向量的坐标表示可得；
选项B由垂直转化为数量积为0，可得进而可得；
选项C由与的夹角为钝角可得，且与不共线，进而可得；
选项D由向量在方向上的投影为可得.
【详解】选项A：由得，得，故A正确；
选项B：由得，即，
所以，故B正确；
选项C：与的夹角为钝角，则，且与不共线，
由得，即，
由选项A知与不共线时，，故C错误；
选项D：时，，向量在方向上的投影为，故D正确.
故选：ABD
11．ABD
【分析】根据题意，由复数的四则运算即可求得，然后对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】
因为，即，所以，
则，
所以的虚部为，故A正确；
则，故B正确；
在复平面内对应的点为，在第三象限，故C错误；
满足的复数对应的点的集合是以为圆心，为半径的圆，
而表示复数到原点的距离，且，
则，故D正确；
故选：ABD
12．AB
【分析】根据关于的一元二次不等式的解集为或，可得，，从而可判断AB；
将用表示，即可解得不等式，，从而可判断CD.
【详解】解：因为关于的一元二次不等式的解集为或，
所以，且方程的解为或，
则，即，
所以，故A正确；
由，即，即，解得，
即的解集是，故B正确；
，故C错误；
由，得，即，不等式无解，故D错误.
故选：AC
13．7
【分析】根据题意，由二项式的展开式的通项公式即可得到结果.
【详解】由题意可知，展开式的通项公式为，
令，则第三项为，所以系数为.
故答案为：
14．或}
【分析】分式不等式变式成，等价于，求解即可
【详解】，所以，解得或，
所以不等式的解集是或}.
故答案为：或}
15．
【分析】先求出特称命题的否定，结合二次函数的图象与性质即可列式求解
【详解】∵“”是假命题，则“”为真命题，，解得，故实数a的取值范围是
故答案为：
16．5
【分析】根据等差、等比数列的通项公式、等差数列的求和公式以及基本不等式求解结果.
【详解】等差数列，设公差为，.
若，，成等比数列，则，
所以，即，
，
当时取等号.
则的最小值为5.
故答案为：5.
17．(1)；
(2)，．
【分析】（1）由复数的乘法法则化简后，根据复数的分类求解；
（2）由复数除法法则计算出，再由复数模的定义计算．
【详解】（1）由题意，它为纯虚数，
则，∴，
∴；
（2），
．
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据数量积的运算律以及模长公式，可得答案；
（2）利用向量夹角的表示即可得解.
【详解】（1）因为，所以．
故．
（2）设向量与的夹角为，
19．(1)
(2)
【分析】（1）由已知得，解方程组可求出，从而可求得通项公式；
（2）由（1）可得，然后利用裂项相消求和法求解即可
【详解】（1）设数列的公差为，
则，
解得，
故.
（2）由（1）知，
则，
所以.
20．(1)
(2)
【分析】（1）根据条件，利用正弦定理：边转角，得到，进而可求出结果；
（2）根据条件求出，再利用余弦定理求出，即可求出结果.
【详解】（1）因为，所以由正弦定理可得到，
又因为，所以，
故，得到，又因为，所以.
（2）因为，的面积，
所以，得到，
在中，由余弦定理得，
所以，故的周长为.
21．(1)没有关联
(2)分布列见解析
(3)
【分析】（1）根据题意计算，从而根据独立性检验思想即可求解；
（2）由题意，在抽取出来的5人中，男生有3人，女生有2人，再根据分布列的求解步骤即可求解；
（3）由题意可得 ， 再根据二项分布的期望公式及方差公式即可求解.
【详解】（1）零假设：晚餐是否更喜欢吃面食与性别没有关联.
由列联表，计算，得
根据小概率0.05的独立性检验，我们没有充分的理由推断不成立.
所以我们认为晚餐更喜欢吃面食与性别没有关联.
（2）由题意，在抽取出来的5人中，男生有3人，女生有2人，从中任取2人，女生人数为X，
则X所有可能的值为0，1，2 ，
其中
所以，X的分布列为
X 0 1 2
P
（3）在样本中晚餐喜欢吃面食学生共50人，其中男生有30人，其频率为，
所以 ，
所以 .
22．(1)单调递增区间为，；单调递减区间为
(2)答案见解析
【分析】（1）求导后，根据的正负可得单调区间；
（2）取，结合（1）的结论可知在上无零点；讨论的情况时，分别在、和的情况下，根据的正负，结合零点存在定理得到零点个数.
【详解】（1）由题意知：定义域为，，
令，解得：，，又，
当时，；当时，；
的单调递增区间为，；单调递减区间为.
（2）取，则当时，，，，
；
，由（1）知：在上单调递增，
当时，，即在上无零点；
下面讨论的情况：
①当时，在上单调递减，在上单调递增，
，
又，，
在和上各存在一个零点，即有两个不同零点；
②当时，在上单调递减，在上单调递增，又，
有唯一零点；
③当时，在上单调递减，在上单调递增，
，无零点；
综上所述：当时，有两个不同零点；当时，有且仅有一个零点；当时，无零点.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求解函数单调区间、讨论函数零点个数问题；本题讨论零点个数的关键是根据函数的单调性，将问题转化为函数最小值正负的讨论问题，由此可确定参数在不同范围时的零点个数.
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