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2024数学中考专题复习
专题十 不规则图形的面积的计算
1.(2020江苏苏州)如图,在扇形OAB中,已知∠AOB=90°,OA=,过的中点C作CD⊥OA,CE⊥OB,垂足分别为D、E,则图中阴影部分的面积为( )
A.π-1 B.
2.如图,正方形ABCD的边长为4,分别以正方形的三边为直径在正方形内部作半圆,则阴影部分的面积之和是( )
A.8 B.4 C.16π D.4π
3.(2020山东泰安)如图,点O是半圆圆心,BE是半圆的直径,点A,D在半圆上,且AD∥BO,∠ABO=60°,AB=8,过点D作DC⊥BE于点C,则阴影部分的面积是 .
4.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,☉O为Rt△ABC的内切圆,则图中阴影部分的面积为 .
5.如图,边长为4的正方形ABCD的对角线交于点O,以OC为半径的扇形的圆心角∠FOH=90°.则图中阴影部分的面积是 .
6.(2022河南)如图,将扇形AOB沿OB方向平移,使点O移到OB的中点O'处,得到扇形A'O'B'.若∠O=90°,OA=2,则阴影部分的面积为 .
7.如图,O为大半圆的圆心,AB是半圆O的弦,CD是半圆O的直径,AB与小半圆相切,AB∥CD,且AB=24,求图中阴影部分的面积.
8.如图,AB为半圆O的直径,C为AO的中点,CD⊥AB交半圆于点D,以C为圆心,CD为半径画弧DE交AB于E点,若AB=8 cm,求图中阴影部分的面积.
微专题十 不规则图形的面积的计算
1.(2020江苏苏州)如图,在扇形OAB中,已知∠AOB=90°,OA=,过的中点C作CD⊥OA,CE⊥OB,垂足分别为D、E,则图中阴影部分的面积为( )
A.π-1 B.
答案 B 连接OC,如图.
∵点C为的中点,∴,
∴∠AOC=∠BOC.
∵CD⊥OA,CE⊥OB,∴CD=CE,
又∵∠CDO=∠CEO=∠DOE=90°,∴四边形CDOE为正方形.
∵OC=OA=,∴OD=OE=1.
∴S正方形CDOE=1.
易得S扇形OAB=.
∴S阴影=S扇形OAB-S正方形CDOE=-1,故选B.
2.如图,正方形ABCD的边长为4,分别以正方形的三边为直径在正方形内部作半圆,则阴影部分的面积之和是( )
A.8 B.4 C.16π D.4π
答案 A 设两半圆的交点为O,如图,连接AO,DO,BO,CO.
易知两半圆的交点即为正方形ABCD的中心,
根据对称性可知S阴影=2S△AOB=2××4×2=8.
3.(2020山东泰安)如图,点O是半圆圆心,BE是半圆的直径,点A,D在半圆上,且AD∥BO,∠ABO=60°,AB=8,过点D作DC⊥BE于点C,则阴影部分的面积是 .
答案
解析 连接OA,易知△AOB是等边三角形,∵AB=8,
∴半圆的半径为8,
∵AD∥OB,
∴∠DAO=∠AOB=60°,
∵OA=OD,
∴△AOD是等边三角形,
∴∠AOD=60°,
∵∠AOB=∠AOD=60°,
∴∠DOE=60°,∠AOE=120°,
∵DC⊥BE于点C,
∴CD=ODsin∠DOC=4OD=4,
∴BC=8+4=12,
S阴影=S△AOB+S扇形OAE-S△BCD
=.
4.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,☉O为Rt△ABC的内切圆,则图中阴影部分的面积为 .
答案 5-
解析 设圆与边BC、AC、AB的切点分别为D、E、F,连接OD、OE、OF.
∵☉O为Rt△ABC的内切圆,
∴AE=AF,BD=BF,CD=CE,OD⊥BC,OE⊥AC,
∵∠C=90°,∴四边形CDOE为正方形,
∴∠EOF+∠FOD= 360°-90°=270°,
设☉O的半径为x,则CD=CE=x,AE=AF=4-x,BD=BF=3-x,∴AB=4-x+3-x=5,解得x=1.
∴S阴影=S△ABC-(S扇形OEF+S扇形ODF)-S正方形CDOE=.
5.如图,边长为4的正方形ABCD的对角线交于点O,以OC为半径的扇形的圆心角∠FOH=90°.则图中阴影部分的面积是 .
答案 2π-4
解析 ∵四边形ABCD为正方形,
∴OB=OC,∠BOC=90°,∠OBE=∠OCG=45°,
∵扇形的圆心角∠FOH=90°,
∴∠BOC-∠COE=∠FOH-∠COE,即∠BOE=∠COG,故△OCG≌△OBE,∴S四边形OECG=S△BOC.
∵正方形的边长为4,∴AC=,
∴OC=2.∴S扇形OFH=π·(2=2π,S△BOC=)2=4.
∴S阴影=S扇形OFH-S四边形OECG=2π-4.
6.(2022河南)如图,将扇形AOB沿OB方向平移,使点O移到OB的中点O'处,得到扇形A'O'B'.若∠O=90°,OA=2,则阴影部分的面积为 .
答案
解析 如图,设A'O'与交于点D,连接OD.由平移可知S扇形AOB=S扇形A'O'B',即S1+S2=S2+S阴影,所以S1=S阴影.在Rt△OO'D中,因为OD=2OO'=2,所以∠AOD=
∠ODO'=30°,所以DO'=.所以S阴影=S1=S扇形AOD+S△OO'D=.
7.如图,O为大半圆的圆心,AB是半圆O的弦,CD是半圆O的直径,AB与小半圆相切,AB∥CD,且AB=24,求图中阴影部分的面积.
解析 将小半圆向右平移,使两个半圆的圆心重合,如图所示.设AB与平移后的小半圆的切点为E,连接OB,OE.由切线的性质及垂径定理可得OE⊥AB,AE=BE=12,∴S阴影=S大半圆-S小半圆=π·OB2-π·OE2=π·(OB2-OE2)=π·BE2=72π.
8.如图,AB为半圆O的直径,C为AO的中点,CD⊥AB交半圆于点D,以C为圆心,CD为半径画弧DE交AB于E点,若AB=8 cm,求图中阴影部分的面积.
解析 连接OD.
∵AB为半圆O的直径,AB=8 cm,∴OA=OD=4 cm.
∵点C是OA的中点,∴OC=2 cm.
∵在△COD中,CD⊥AB,OD=4 cm,OC=2 cm,∴CD=2 cm,∴cos∠DOC=,则∠DOC=60°,S△COD=(cm2).
∵扇形OAD的半径AO=4 cm,∠AOD=60°,∴S扇形OAD=(cm2).
∵∠DCE=90°,扇形CDE的半径CD=2 cm,∴S扇形CDE==3π(cm2).
∵半圆O的半径AO=4 cm,∴S半圆=8π(cm2),
∴S阴影=S半圆O-S扇形OAD-S扇形CDE+S△COD=(cm2).
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