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浙教版2023-2024学年八年级上学期期中数学模拟卷（1）
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】A、不是轴对称图形，故本选项错误； B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项正确．
故选D．
2．等腰三角形的两边长分别为3和6，它的周长是（ ）
A．12 B．14 C．15 D．12或15
【答案】C
【解析】①若三角形的腰为3，则3+3=6，不能构成三角形，故排除此种情况；②若三角形的腰为6，6-6<3<6+6，能构成三角形，故周长为：6+6+3=15；
故答案选择C.
3．对于命题“若，则”，下面四组a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【解析】A、a2=9，b2=4，且a＞b，满足“若a2＞b2，且a＞b”，故A不符合题意；
B、a2=9，b2=4，且a＜b，虽满足a2＞b2，但a＞b不成立，故B符合题意；
C、a2=9，b2=1，且a＞b，满足“若a2＞b2，且a＞b”，故C不符合题意；
D、a2=1，b2=9，且a＜b，满足a2＜b2，得出a＜b，故D不符合题意.
故答案为：B.
4．如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（ ）
A．∠A=∠D B．AB=DC C．∠ACB=∠DBC D．AC=BD
【答案】D
【解析】A、根据“AAS”可证
△ABC≌△DCB，故A不符合题意；
B、根据“SAS”可证
△ABC≌△DCB，故B不符合题意；
C、根据“ASA”可证
△ABC≌△DCB，故C不符合题意；
D、根据“ASS”不能证明
△ABC≌△DCB，故D符合题意；
故答案为：D.
5．如图所示，在△ABC中，∠BAC=130°，AB的垂直平分线ME交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线NF交BC于点N，交AC于点F，则∠MAN为（ ）
A．80° B．70° C．60° D．50°
【答案】A
【解析】∵EM是AB的垂直平分线，NF是AC的垂直平分线
∴AM=BM，AN=NC
∴∠BAM=∠ABM，∠CAN=∠ACN
设∠BAM=∠ABM =x，∠CAN=∠ACN =y
∴∠BAC=∠BAM+∠MAN+∠CAN=x+y+∠MAN=130°
在△AMN中，∠MAN+∠AMN+∠ANM=∠MAN+2∠BAM+2∠CAN=∠MAN+2(∠BAM+∠CAN)= ∠MAN+2(x+y)=180°
联立解得：∠MAN=80°，x+y=50°
故答案选择：A.
6．已知一个直角三角形的周长是，斜边上的中线长为2，则这个三角形的面积为（ ）
A．5 B．2 C． D．1
【答案】B
【解析】设直角三角形的直角边为a，b，斜边为c，
∵直角三角形斜边上的中线长为2，
∴c=4，
∵周长为4+2，
∴a+b=2，
∵a2+b2=c2，
∴（a+b）2-2ab=16，
∴ab=4，
∴S=ab=2.
故答案为：B.
7．如图，△ABC中，D为AB中点，E在AC上，且BE⊥AC．若DE=5，AE=8，则BE的长度是（ ）
A．5 B．5.5 C．6 D．6.5
【答案】C
【解析】∵BE⊥AC，
∴∠BEA=90°，
∵DE=5，D为AB中点，
∴AB=2DE=10，
∵AE=8，
∴由勾股定理得：BE= =6，
故选C．
8．在△ABC中，AB=10，AC=2 ，BC边上的高AD=6，则另一边BC等于（ ）
A．10 B．8 C．6或10 D．8或10
【答案】C
【解析】根据题意画出图形，如图所示，
如图1所示，AB=10，AC=2 ，AD=6，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
根据勾股定理得：BD= =8，CD= =2，
此时BC=BD+CD=8+2=10；
如图2所示，AB=10，AC=2 ，AD=6，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
根据勾股定理得：BD= =8，CD= =2，此时BC=BD﹣CD=8﹣2=6，
则BC的长为6或10．
故选C．
9．如图，点E是、的斜边的中点，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵点E是的斜边的中点，
∴，
∴，
∴，
∵点E是的斜边的中点，，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：A．
10．如图，对角线AC将正方形ABCD分成两个等腰三角形，点E，F将对角线AC三等分，且AC＝15，点P在正方形的边上，则满足PE+PF＝5的点P的个数是（ ）
A．0 B．4 C．8 D．16
【答案】B
【解析】作点F关于BC的对称点M，连接CM，连接EM交BC于点P，如图所示：
则PE+PF的值最小＝EM；
∵点E，F将对角线AC三等分，且AC＝15，
∴EC＝10，FC＝5＝AE，
∵点M与点F关于BC对称，
∴CF＝CM＝5，∠ACB＝∠BCM＝45°，
∴∠ACM＝90°，
∴，
同理：在线段AB，AD，CD上都存在1个点P，使；
∴满足的点P的个数是4个；
故答案为：B.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．请用不等式表示“x的4倍与3的和不大于2”： ．
【答案】4x+3≤2
【解析】“x的4倍与3的和不大于2”表示为： 4x+3≤2.
故答案为：4x+3≤2.
12．一个三角形的两边长分别是3和7，且第三边长为奇数，这个三角形的最大周长是 ，
【答案】19
【解析】设第三边为x，则4＜x＜10，
∵第三边长为奇数，
∴第三边长为5，7，9，
∴这个三角形的最大周长是3+7+9=19.
故答案为：19.
13．在直角三角形中，有两条边的长分别是3和4，则斜边长是 ．
【答案】4或5
【解析】当两条直角边的长分别是3和4时，斜边为5，
当斜边为4，一条直角边为3，另一条直角边为，
∴斜边长是4或5.
故答案为：4或5.
14．如图，已知，E为的中点，若，，则 ．
【答案】3
【解析】∵，
∴，，
∵E为的中点，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：3．
15．如图，在中，，，，点P是线段上一动点，点M在线段上，当时，的最小值为 ．
【答案】
【解析】如图，作点B关于AC的对称点B'，连接B'M交AC于点P，则BP=B'P，
∴，
∴的最小值为的长，
过点作于点H，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即的最小值为．
故答案为：.
16．已知等边中，在射线上有一点D，连接，以为边向上作等边，连接和，下列结论：①；②与的所夹锐角为；③当D在线段或延长线上时，总有；④时，，正确的结论序号有 ．
【答案】①②④
【解析】如图，设CD交AE于O．
∵，都是等边三角形，
∴，，，∴，
∴，
∴，，故①正确；
∵，
∴，
∴与的所夹锐角为，故②正确；
∵，，
∴，故③错误；
当时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，故④正确，
故答案为：①②④．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．
（1）解不等式：，并把解集在数轴上表示出来；
（2）解不等式组，并写出它的最大整数解.
【答案】（1）解： ，
，
，
，
，
将不等式的解集表示在数轴上如下：
（2）解：由 ，得： ，
由 ，得： ，
则不等式组的解集为 ，
所以不等式组的最大整数解为4.
18．如图，△ABC是等边三角形，点D是边AB上一点，以CD为边向上作等边△CDE，连结AE.
（1）求证：△BCD≌△ACE.
（2）若AE＝1，AB＝3，求AD的长.
【答案】（1）证明：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴CB＝AC，DC＝EC，∠ACB＝∠ECD＝60°，
∴∠BCD＝∠ACE＝60°﹣∠ACD，
在△BCD和△ACE中，
，
∴△BCD≌△ACE（SAS）.
（2）解：∵△BCD≌△ACE，AE＝1，AB＝3，
∴BD＝AE＝1，
∴AD＝AB﹣BD＝3﹣1＝2，
∴AD的长是2.
19．如图，在中，是边上的高.
（1）若是边上的中线，，，求的长；
（2）若是的平分线，，，求的大小.
【答案】（1）解： ， ，
，
是 边上的中线，
；
（2）解： ， ，
，
是 的平分线，
，
是 的一个外角，
，
在直角三角形 中 .
20．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，连结CD，BE，BD＝BC＝BE.
（1）若∠A＝30°，∠ACB＝70°，求∠BDC，∠ACD的度数；
（2）设∠ACD＝α°，∠ABE＝β°，求α与β之间的数量关系，并说明理由.
【答案】（1）解：∵∠A+∠ACB+∠ABC＝180°，∠A＝30°，∠ACB＝70°，
∴∠ABC＝80°.
在△BDC中，BD＝BC，
∴，
∴∠ACD＝∠BDC﹣∠A＝20°.
（2）解：设∠BCD＝x°，
∵BE＝BC，
∴∠BEC＝∠BCE＝（α+x）°，
∴∠DBC＝180°﹣2x°，∠EBC＝180°﹣2（α+x）°.
∴∠DBC﹣∠EBC＝（180°﹣2x°）﹣[180°﹣2（α+x）°]＝2α°，
又∵∠DBC﹣∠EBC＝∠ABE＝β°，
∴2α＝β.
21．如图，中，，，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且.
（1）求证：；
（2）若，，求的长.
【答案】（1）证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴.
即.
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴.
22．某学校为改善办学条件，计划采购、两种型号的空调，已知采购3台型空调和2台型空调，共需费用21000元；台型空调比5台型空调的费用多5000元.
（1）求型空调和型空调每台各需多少元；
（2）若学校计划采购、两种型号空调共30台，且型空调的台数不少于型空调的一半，两种型号空调的采购总费用不超过115000元，该校共有哪几种采购方案？
（3）在（2）的条件下，直接写出采用哪一种采购方案可使总费用最低，最低费用是多少元？
【答案】（1）解：设 型空调每台需 元， 型空调每台需 元.
由题意可列： ，
解得 .
答： 型空调每台需5000元， 型空调每台需3000元.
（2）解：设采购 型空调 台，则采购 型空调 .
由题意可列： ，
解得： .
为正整数，
，11，12.
有三种采购方案：
方案一：采购10台 型空调，20台 型空调；
方案二：采购11台 型空调，19台 型空调；
方案三：采购12台 型空调，18台 型空调；
（3）解：设总费用为 元，
，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
费用最低的方案是采购10台 型空调，20台 型空调；最低费用是110000元.
23．
（1）如图1，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB.过D作EFBC交AB于E，交AC于F，请说明EF＝BE＋CF的理由.
（2）如图2，BD平分∠ABC，CD是△ABC中∠ACB的外角平分线，若仍然过点D作EFBC交AB于E，交AC于F，第（1）题的结论还成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，你能否找到EF与BE、CF之间类似的数量关系？
【答案】（1）解：∵在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠EBD＝∠DBC，∠DCB＝∠FCD.
又∵EFBC交AB于E，交AC于F，
∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB
∴∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠FCD，
∴BE＝ED，CF＝FD，
∴EF＝ED+DF＝BE+CF.
即：EF＝BE+CF.
（2）解：不成立.EF＝BE﹣CF.理由如下：
∵BD平分∠ABC，CD是△ABC中∠ACB的外角平分线，
∠EBD＝∠DBC，∠FCD＝∠DCG，
∵EFBC交AB于E，交AC于F，
∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCG，
∴∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠FCD，
∴BE＝DE，DF＝CF，
∴EF＝ED﹣DF＝BE﹣CF.
24．如图，AC⊥BD于点E，连结AB，CD，AB＝10，BE＝8，点P在线段AB上运动时（不与A，B重合），点Q在线段AC上，满足CQ＝ AP，连结PQ.当P为AB中点时，Q恰好与点E重合.
（1）求AC的长.
（2）若∠C＝∠B，P运动到AB中点时，求证：直线PQ⊥CD.
（3）连结BQ，当△ABQ是等腰三角形时，请写出所有符合条件的AP的长.
【答案】（1）解：如图1，∵AC⊥BD于点E，
∴∠AEB＝90°，
∵AB＝10，BE＝8，
∴AE＝ ＝6，
∵当P为AB中点时，Q恰好与点E重合，且CQ＝ AP，
∴CE＝CQ＝ AP＝ × ×10＝6，
∴AC＝AE+CE＝6+6＝12，
∴AC的长是12.
（2）证明：由已知得，当P为AB中点时，Q恰好与点E重合，
如图1，延长PE交CD于点F，
∵∠AEB＝90°，P为AB中点，
∴PE＝PB＝ AB，
∴∠PEB＝∠B，
∵∠C＝∠B，
∴∠C＝∠PEB，
∵∠CEB＝90°，
∴∠C+∠CEF＝∠PEB+∠CEF＝90°，
∴∠CFE＝90°，
∴PE⊥CD，
∴PQ⊥CD.
（3）解：当△ABQ是等腰三角形，且AQ＝AB时，如图2，
∵AC＝12，AQ＝AB＝10，
∴CQ＝AC﹣AQ＝12﹣10＝2，
∴CQ＝ AP，
∴ AP＝2，
∴AP＝ ；
当△ABQ是等腰三角形，且AQ＝BQ时，如图3，
∵BE2+EQ2＝BQ2，且BE＝8，EQ＝6﹣CQ，BQ＝AQ＝12﹣CQ，
∴82+（6﹣CQ）2＝（12﹣CQ）2，
∴CQ＝ ，
∴ AP＝ ，
∴AP＝ ；
∵BD垂直平分AC，
∴若点Q与点C重合，则AB＝QB，
∵点P不与B重合，且CQ＝ AP，
∴点Q不与点C重合，
∴不存在AB＝QB的情况，
综上所述，AP的长为 或 .
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浙教版2023-2024学年八年级上学期期中数学模拟卷（1）
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．等腰三角形的两边长分别为3和6，它的周长是（ ）
A．12 B．14 C．15 D．12或15
3．对于命题“若，则”，下面四组a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是（ ）
A．， B．， C．， D．，
4．如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（ ）
A．∠A=∠D B．AB=DC C．∠ACB=∠DBC D．AC=BD
（第4题） （第5题） （第7题） （第9题）
5．如图所示，在△ABC中，∠BAC=130°，AB的垂直平分线ME交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线NF交BC于点N，交AC于点F，则∠MAN为（ ）
A．80° B．70° C．60° D．50°
6．已知一个直角三角形的周长是，斜边上的中线长为2，则这个三角形的面积为（ ）
A．5 B．2 C． D．1
7．如图，△ABC中，D为AB中点，E在AC上，且BE⊥AC．若DE=5，AE=8，则BE的长度是（ ）
A．5 B．5.5 C．6 D．6.5
8．在△ABC中，AB=10，AC=2 ，BC边上的高AD=6，则另一边BC等于（ ）
A．10 B．8 C．6或10 D．8或10
9．如图，点E是、的斜边的中点，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，对角线AC将正方形ABCD分成两个等腰三角形，点E，F将对角线AC三等分，且AC＝15，点P在正方形的边上，则满足PE+PF＝5的点P的个数是（ ）
A．0 B．4 C．8 D．16
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．请用不等式表示“x的4倍与3的和不大于2”： ．
12．一个三角形的两边长分别是3和7，且第三边长为奇数，这个三角形的最大周长是 ，
13．在直角三角形中，有两条边的长分别是3和4，则斜边长是 ．
14．如图，已知，E为的中点，若，，则 ．
（第14题） （第15题） （第16题）
15．如图，在中，，，，点P是线段上一动点，点M在线段上，当时，的最小值为 ．
16．已知等边中，在射线上有一点D，连接，以为边向上作等边，连接和，下列结论：①；②与的所夹锐角为；③当D在线段或延长线上时，总有；④时，，正确的结论序号有 ．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．
（1）解不等式：，并把解集在数轴上表示出来；
（2）解不等式组，并写出它的最大整数解.
18．如图，△ABC是等边三角形，点D是边AB上一点，以CD为边向上作等边△CDE，连结AE.
（1）求证：△BCD≌△ACE.
（2）若AE＝1，AB＝3，求AD的长.
19．如图，在中，是边上的高.
（1）若是边上的中线，，，求的长；
（2）若是的平分线，，，求的大小.
20．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，连结CD，BE，BD＝BC＝BE.
（1）若∠A＝30°，∠ACB＝70°，求∠BDC，∠ACD的度数；
（2）设∠ACD＝α°，∠ABE＝β°，求α与β之间的数量关系，并说明理由.
21．如图，中，，，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且.
（1）求证：；
（2）若，，求的长.
22．某学校为改善办学条件，计划采购、两种型号的空调，已知采购3台型空调和2台型空调，共需费用21000元；台型空调比5台型空调的费用多5000元.
（1）求型空调和型空调每台各需多少元；
（2）若学校计划采购、两种型号空调共30台，且型空调的台数不少于型空调的一半，两种型号空调的采购总费用不超过115000元，该校共有哪几种采购方案？
（3）在（2）的条件下，直接写出采用哪一种采购方案可使总费用最低，最低费用是多少元？
23．
（1）如图1，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB.过D作EFBC交AB于E，交AC于F，请说明EF＝BE＋CF的理由.
（2）如图2，BD平分∠ABC，CD是△ABC中∠ACB的外角平分线，若仍然过点D作EFBC交AB于E，交AC于F，第（1）题的结论还成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，你能否找到EF与BE、CF之间类似的数量关系？
24．如图，AC⊥BD于点E，连结AB，CD，AB＝10，BE＝8，点P在线段AB上运动时（不与A，B重合），点Q在线段AC上，满足CQ＝ AP，连结PQ.当P为AB中点时，Q恰好与点E重合.
（1）求AC的长.
（2）若∠C＝∠B，P运动到AB中点时，求证：直线PQ⊥CD.
（3）连结BQ，当△ABQ是等腰三角形时，请写出所有符合条件的AP的长.
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