卷子答案网-一个不只有答案的网站专题1.2 探索勾股定理（分层练习）（基础篇）
一、单选题
1．下列四组数中，是勾股数的是（ ）
A．6，8，10 B．0.3，0.4，0.5 C．，， D．32，42，52
2．若直角三角形的两直角边长分别为a，b，且满足，则该直角三角形的第三边长的平方为（ ）
A． B．7 C．或7 D．或
3．如图，在中，，正方形的面积分别为25和144，则的长度为（ ）
A．13 B．169 C．12 D．5
4．如图，大正方形是由4个小正方形组成，小正方形的边长为2，连接小正方形的三个顶点，得到△ABC，则△ABC的面积为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
5．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，则AB2+BC2+AC2的值为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．18
6．如图，中，，将折叠，使点C与的中点D重合，折痕交于点M，交于点N，则线段的长为（ ）
A． B． C．4 D．
7．如图，在中，，于H，M为AH上异于A的一点，比较与的大小，则（ ）．
A．大于 B．等于 C．小于 D．大小关系不确定
8．将四个全等的直角三角形(直角边分别为、)按图1和图2两种方式放置，则能验证的等式是( )
A． B．
C． D．
9．如图，边长为x的边等于5的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．在中，，是延长线上一点，，是上一点，连接交于点，若，，则ED的长为（ ）
A．2.5 B．4.5 C．8.5 D．10
二、填空题
11．若6，a，8是一组勾股数，则a的值为 ．
12．直角三角形一直角边为12cm，斜边长为13cm，则它的面积为
13．小颖从学校出发向南走了150m，接着向东走了80m到达书店，则学校与书店的距离是 m．
14．如图，折叠直角三角形纸片ABC，使得两个锐角顶点A、C重合，设折痕为DE，若AB=4，BC=3，则△ADC的周长是
15．（1）如图所示，已知两个正方形的面积分别是144和36，则正方形的面积为 ；
（2）如图所示，已知两个正方形的面积分别是225和81，则正方形的面积为 .
16．已知△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC边上的高AD＝8．则边BC的长为 ．
17．如图，用四个全等的直角三角形拼成如图一个大正方形ABCD和一个小正方形EFGH，这就是著名的“赵爽弦图”．在2002年北京召开的国际数学家大会就用这个弦图作为会 标．若AB＝10，AF＝8，则小正方形EFGH的面积为
18．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，在△ABC外取点D，E，使AD=AB，AE=AC，且α+β＝∠B，连结DE．若AB＝4，AC＝3，则DE＝ ．
三、解答题
19．求出下列直角三角形中未知边的长度．
20．已知直角三角形ABC，两条直角边AB、BC分别为3、4，斜边AC为5．求斜边上的高？
21．在Rt△ABC中，∠C＝90°
①若a＝40，c＝41，则b＝ ；
②若c＝13，b＝5，则a＝ ；
③已知a：b＝3：4，c＝15，则a＝ ；b＝ ．
22．如图，在四边形中，，，于，
（1）求证：；
（2）若，，求四边形的面积．
23．如图所示的是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边长分别为，斜边长为和一个边长为的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形.
（1）画出拼成的这个图形的示意图.
（2）证明勾股定理.
24．如图，有一公路AB和一铁路CD在点A处交汇，且∠BAD=30°，在公路的点P处有一所学校（学校看作点P，点P与公路AB的距离忽略不计），AP=320米，火车行驶时，火车周围200米以内会受到噪音的影响，现有一列动车在铁路CD上沿AD方向行驶，该动车车身长200米，动车的速度为180千米/时，那么在该动车行驶过程中．
（1）学校P是否会受到噪声的影响？说明理由；
（2）如果受噪声影响，那么学校P受影响的时间为多少秒？
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【分析】根据勾股数的定义：满足a2+b2=c2 的三个正整数，称为勾股数解答即可．
【详解】解：A、62+82＝102能构成勾股数，故符合题意；
B、0.3，0.4，0.5不是整数，不能构成勾股数，故不符合题意；
C、，，不是整数，不能构成勾股数，故不符合题意；
D、（32）2+（42）2≠（52）2，不能构成勾股数，故不符合题意．
故选：A．
【点睛】此题考查了勾股数，解答此题要深刻理解勾股数的定义，并能够熟练运用．
2．A
【分析】首先利用非负数的性质得，，再利用勾股定理计算即可．
【详解】解：，
，，
，，
a，b为直角三角形的两直角边长，
所以则该直角三角形的第三边长的平方为：
，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了非负数的性质，勾股定理等知识；熟练掌握公式是解题的关键．
3．A
【分析】由正方形的面积公式可知AC2=25，BC2=144，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2+BC2=AB2，由此可求AB2．即可得出AB的长．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，
又∵AC2=144，BC2=25，
∴AB2=25+144=169，
∴AB==13．
故选A．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题关键是明确直角三角形的边长的平方即为相应的正方形的面积．
4．B
【分析】根据题意可得＝S正方形DEFA－，代入求解即可．
【详解】如图所示，
∵大正方形是由4个小正方形组成，小正方形的边长为2，
∴由题意可得，
＝S正方形DEFA－
故选：B．
【点睛】此题考查了割补法求三角形面积，解题的关键是根据题意正确得到＝S正方形DEFA－．
5．D
【分析】根据，利用勾股定理可得，据此求解即可．
【详解】解：如图示，
∴在中，
∴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的性质，掌握直角三角形中，三角形的三边长，，满足是解题的关键．
6．B
【分析】先求出，由折叠的性质可得，则，利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：∵D是中点，，
∴，
∵将折叠，使点C与的中点D重合，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，正确理解题意利用方程的思想求解是解题的关键．
7．C
【分析】由题意得，AB2＝AH2＋BH2，AC2＝AH2＋HC2，则AB2 AC2＝BH2 HC2，同理有MB2 MC2＝BH2 HC2，则AB2 AC2＝MB2 MC2．再根据平方差公式即可求解．
【详解】解：∵AH⊥BC，有AB2＝AH2＋BH2，AC2＝AH2＋HC2，
∴AB2 AC2＝BH2 HC2，
又∵MH⊥BC，同理有MB2 MC2＝BH2 HC2，
∴AB2 AC2＝MB2 MC2，
即（AB＋AC）（AB AC）＝（MB＋MC）（MB MC），
又∵M点在△ABC内，∵AB＋AC＞MB＋MC，
则AB AC＜MB MC．
故选C．
【点睛】本题考查了勾股定理，解题的关键是熟知勾股定理及平方差公式的应用．
8．D
【分析】根据三角形的面积与正方形的面积，勾股定理即可求解．
【详解】解：依题意，图1的面积为，图2 的面积为，
则，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的面积正方形的面积，勾股定理，数形结合是解题的关键．
9．B
【分析】根据勾股定理分别求出各图形中的值，由此即可解答．
【详解】解：图中的值依次为：
；
；
；
．
综上，的直角三角形有2个．
故选B．
【点睛】本题考查了勾股定理，熟知在一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解决问题的关键．
10．B
【分析】延长到，使得，连接．证明，得到，，结合已知证明，设，则，，在中，根据，构建方程即可解决问题．
【详解】解：延长到，使得，连接．
在和中，
，
∴，
，，
，
，
，
，
，
设，则，，
在中，，
，
，
．
【点睛】本题属考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
11．10
【分析】分两种情况讨论：当a最大时，当8最大时，即可求解．
【详解】解：当a最大时，，
当8最大时， ，不是正整数，
所以a的值为10．
故答案为：10
【点睛】本题主要考查了勾股数，熟练掌握可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数是解题的关键．
12．30
【分析】根据勾股定理求得其另一直角边的长，再根据面积公式即可求得其面积．
【详解】解：∵直角三角形一直角边为12cm，斜边长为13cm，
∴另一直角边= =5(cm)，
∴面积=×5×12=30 (cm2)．
故答案为：30．
【点睛】本题考查了勾股定理解三角形，解决本题的关键是根据勾股定理求得另一直角边的长．
13．170
【分析】根据正南方向和正东方向成九十度，利用勾股定理进行计算即可．
【详解】解：∵正南方向和正东方向成90°，学校与书店距离构成直角三角形的斜边，
∴根据勾股定理得学校与书店之间的距离为＝170m．
故答案为：170．
【点睛】此题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此题的关键是根据题意画出图形，再根据勾股定理进行计算．
14．
【分析】首先根据勾股定理设，求出AD、CD，再求出AB，相加即可．
【详解】解：∵折叠直角三角形纸片，使两个锐角顶点、重合，
∴，
设，则，故，
∵，
∴，
即，
解得，
∴．
则
在中，
由勾股定理得
∴AC=5
∴周长为AD+CD+AB= ．
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用以及折叠的性质，掌握勾股定理和折叠的性质是解题的关键．
15． （1）180 （2）144
【分析】（1）根据正方形面积可以求得两条直角边的平方，斜边的平方根据勾股定理就可以计算出来，进而可得答案；
（2）根据正方形面积可以得斜边的平方和一条直角边的平方，则另一条直角边的平方根据勾股定理就可以计算出来，进而可得答案．
【详解】（1）如图，根据题意，CD2=144，DF2=36，且∠CDF=90°，
∴CF2= CD2+ DF2=144+36=180
故A的面积为180.
（2）如图，根据题意MN2=81，ML2=225，且∠MNL=90°，
∴NL2=ML2-MN2=225-81=144
故B的面积为144.
【点睛】本题考查勾股定理，在本题中每一条边所对正方形的面积正好等于该边的平方，而三边的平方符合勾股定理.
16．21或9
【分析】根据题意，可能是锐角三角形或者钝角三角形，分两种情况进行讨论作图，然后利用勾股定理即可求解．
【详解】解：在中，，，BC边上高，
如图所示，当为锐角三角形时，
在中，，由勾股定理得：
，
∴，
在中，，由勾股定理得：
，
∴，
∴BC的长为：；
如图所示：当为钝角三角形时，
在中，，由勾股定理得：
，
∴，
在中，，由勾股定理得：
，
∴，
∴BC的长为：；
综上可得：BC的长为：21或9．
故答案为：21或9．
【点睛】题目主要考查勾股定理，进行分类讨论作出图象运用勾股定理解直角三角形是解题关键．
17．4
【分析】观察图形可知，小正方形的边长=长直角边-短直角边，由勾股定理可得BF的长，从而得结论．
【详解】解：Rt△ABF中，AB=10，AF=8，
由勾股定理得：BF==6，
∴FG=8-6=2，
∴小正方形EFGH的面积=22=4，
故答案为：4．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练应用勾股定理是解题关键．
18．5
【分析】根据角度转换，得到三角形ADE是直角三角形，然后运用勾股定理计算出DE的长.
【详解】∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∠C=90°，
∴∠B+∠BAC=90°.
∵α+β＝∠B，
∴∠DAE=α+β+∠BAC==∠B+∠BAC=90°.
∴△ADE是直角三角形.
∴DE===5.
【点睛】本题主要考查到运用勾股定理求长度，说明三角形ADE是直角三角形是解题的关键.
19．，
【分析】直接根据勾股定理计算即可．
【详解】解：图1中：x＝；
图2中：y＝．
【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和等于斜边长的平方是解答此题的关键．
20．2.4
【分析】利用等积法求斜边上的高即可．
【详解】解：设斜边上的高为h，直角三角形ABC的面积可表示为，亦可表示为，
∴，
即3×4=5×h，
解得h=2.4．
【点睛】本题考查利用等积法求直角三角形斜边上的高．熟练掌握直角三角形的两种面积的表示方法是解题的关键．
21． 9 12 9 12
【分析】根据勾股定理直接求解即可
【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴,
（1）∵a＝40，c＝41，，
∴
（2）∵c＝13，b＝5，
∴
（3）∵a：b＝3：4，c＝15，，
∴设，
∴；
故答案为：①9；②12；③9；12.
【点睛】本题考查了勾股定理解直角三角形，掌握勾股定理是解题的关键．
22．（1）详见解析；（2）S四边形ABCD=56
【分析】（1）由等角的余角相等可得∠DAC=∠ABE，再根据题意可得Rt△BAE≌Rt△ADC，即可证；
（2）根据勾股定理算出AC，由全等可得BE=AC，再算出△ACD的面积和△ABC的面积相加即可．
【详解】解：（1）∵BE⊥AC，
∴∠ABE+∠BAE=90°，
∵BAD=90°，
∴∠BAE+∠DAC=90°，
∴∠DAC=∠ABE，
又∵AB=AD，∠BEA=∠ACD，
∴Rt△BAE≌Rt△ADC(AAS)，
∴BE=AC．
（2）∵AB=AD=10，CD=6，∠ACD=90°，
∴，
∵Rt△BAE≌Rt△ADC，
∴BE=AC=8，
∴．
【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质，三角形面积，关键在于牢记基础知识并灵活使用．
23．(1)详见解析；（2）详见解析
【分析】利用三角形和正方形边长的关系进行组合图形，利用面积的关系证明勾股定理．
【详解】解：如图①②所示．
（2）①大正方形的面积可表示为，大正方形的面积也可表示为，，即，，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
②大正方形的面积可表示为，又可以表示为，
，即，
，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
【点睛】本题考查勾股定理的证明．解题的关键是会根据所给的三角形拼出所需的图形．
24．（1）学校P会受到噪声的影响；（2）学校P受影响的时间为8.8秒．
【分析】(1) 作PH⊥CD于H, 由∠PAH=30°，PA=320m，可得PH=PA=160m，故学校P会受到噪声的影响；
(2) 当PE=PF=200时，动车在线段EF上时，受噪声影响，可得EF=2FH==240m，可得学校P受影响的时间.
【详解】解：（1）如图作PH⊥CD于H．
在Rt△APH中，∵∠PAH=30°，PA=320m，
∴PH=PA=160m，
∵160＜200，
∴学校P会受到噪声的影响．
（2）当PE=PF=200时，动车在线段EF上时，受噪声影响，
∵EF=2FH==240m，
180千米/时=50米/秒
∵=8.8秒，
答：学校P受影响的时间为8.8秒．
【点睛】本题主要考查含30度角的直角三角形的性质及勾股定理的应用.
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