卷子答案网-一个不只有答案的网站专题1.10 勾股定理的应用（分层练习）（基础篇）
一、单选题
1．一架5m的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距墙角3m，若梯子的顶端下滑1m，则梯足将滑动（ ）
A．0m B．1m C．2m D．3m
2．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m，当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（ ）
A．13m B．12m C．10m D．8m
3．如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相聚8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了（ ）米．
A． B． C． D．
4．如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去高六尺，折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺），一阵风将竹子折断，竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺，根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，将一根长13厘米的筷子置于底面直径为6厘米，高为8厘米的圆柱形杯子中，则筷子露在杯子外面的长度至少为（ ）厘米．
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图，小明和小华同时从P处分别向北偏东60°和南偏东30°方向出发，他们的速度分别是3m/s和4m/s，则20s后他们之间的距离为（ ）
A．70m B．80m C．90m D．100m
7．如图，为了测量池塘的宽度，在池塘周围的平地上选择了、、三点，且、、、四点在同一条直线上，，已测得，，，，则池塘的宽度（ ）
A． B． C． D．
8．如图，长方体的底面边长是1cm和3cm，高是6cm，如果用一根细线从点开始经过个侧面缠绕一圈到达，那么用细线最短需要（ ）
A．12cm B．10cm C．13cm D．11cm
9．如图所示的是小杰使用微信告诉小宇从小宇家到小杰家的方式.根据小杰所说的，最后应向东走（ ）
A．5千米 B．6千米 C．7千米 D．8千米
10．如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON=30°.公路PQ上A处距O点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为（ ）
A．秒 B．16秒 C．秒 D．24秒
二、填空题
11．使用13米长的梯子登建筑物，如果梯子的底部离建筑物的底部的距离不能小于5米，问该梯子最多可登上 米高的建筑物．
12．如图，要从电线杆离地面3.6m处向地面拉一条长为4.5m的钢缆．则地面钢缆固定点A到电线杆底部点B的距离是 m．
13．一根竹子高9尺，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处．则折断处离地面的高度是 尺．
14．我国古代九章算术中有数学发展史上著名的“葭生池中”问题：今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问：葭长几何？（1丈＝10尺）．意思是：有一个长方体池子，底面是边长为1丈的正方形，中间有芦苇，把高出水面1尺的芦苇拉向池边（芦苇没有折断），刚好贴在池边上，问：芦苇长多少尺？答：芦苇长 尺．
15．如图，轮船甲从港口O出发沿北偏西25°的方向航行5海里，同时轮船乙从港口O出发沿南偏西65°的方向航行12海里，这时两轮船相距 海里．
16．小聪准备测量河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边远的水底，竹竿高出水面，把竹竿的顶端拉向岸边，竹竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为 ．
17．小丽从家出发先向正东方向直线前进了40米，接着又向正北方向直线前进了9米，此时小丽若以20米/分钟的速度回家，最少需要 分钟.
18．如图，长方体鱼缸长宽高分别为120cm，50cm，40cm，一只壁虎从外表面点A出发，沿长方体表面爬到内侧点E处，点E在棱上且距离上沿10cm，壁虎爬行最短路程是 cm．
三、解答题
19．如图是一个棱长为6cm的正方体的有盖纸盒，一只蚂蚁想从盒底的A点爬到盒顶的B点，其中BC＝2cm，那么蚂蚁爬行的最短行程是多少？
20．如图，长方体盒子的长宽高分别为，，，在中点处有一滴蜜糖，有一只小虫从点爬到处去吃，有很多种走法，请你求出最短路线长．
21．如图，一只蚂蚁在圆柱形玻璃杯的外壁，距高底端2厘米A处发现在自己左上方距离顶端2厘米B处内壁有一滴蜂蜜，已知玻璃杯底面的周长为12厘米，高为8厘米，求蚂蚁吃到蜂蜜的最短距离．
22．如图，小区A与公路l的距离AC＝200米，小区B与公路l的距离BD＝400米，已知CD＝800米，
(1)政府准备在公路边建造一座公交站台Q，使Q到A、B两小区的路程相等，求CQ的长；
(2)现要在公路旁建造一利民超市P，使P到A、B两小区的路程之和最短，求PA+PB的最小值，并求CP的长度．
23．如图，铁路上A，B两点相距，C，D为两村庄，于点A，于点B，已知，，现在要在铁路上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少处？
24．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上、“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行．“远航”号沿北偏东方向航行，每小时航行16海里；“海天”号沿北偏西方向航行，每小时航行12海里．它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，求此时两轮船相距多少海里？
25．某商场准备开展元旦促销活动，现采用移动车进行广播宣传．如图，移动广播车P在笔直的公路上以200米/分的速度沿方向行驶，张丽的家在公路的一侧，到公路的距离米，假如移动广播车P周围500米以内能听到广播宣传，张丽在家能够听到广播宣传吗？若能，请求出她总共能听到多长时间的广播宣传？若不能，请说明理由．
26．如图，铁路和公路在点O处交汇．公路上距离O点的A处与铁路的距离是．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，A处受噪音影响的时间是多少？
试卷第2页，共2页
试卷第1页，共1页
参考答案：
1．B
【分析】在Rt△ACB中，运用勾股定理，求出AC的长；根据题意，在Rt△A'CB'中，再利用勾股定理，求出B'C的长，从而求出BB'即为所求．
【详解】解：在Rt△ACB中，∠C=90°，AB=5 m，BC=3 m．
由勾股定理，得AB2=AC2+BC2．
∴AC2=AB2-BC2=52-32=42．
∴AC=4．
在Rt△A'CB'中，∠C=90°，A'C=AC-AA'=4-1=3，A'B'=5．
由勾股定理，得A'B'2=A'C2+B'C2．
∴B'C2=A'B'2-A'C2=52-32=42．
∴B'C=4．
∴BB'=B'C-BC=4-3=1(m)．
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，将实际问题转化为勾股定理问题是解题的关键．
2．B
【分析】根据题意，设旗杆的高为x m ，则绳子AC的长为m ，再由勾股定理，即可求解．
【详解】解：根据题意，画出图形，m，如下图：
设旗杆的高为：x m ，则绳子的长为m ，
在 中，由勾股定理得：
，
即
解得： ，
即旗杆的高为m．
故选：B
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，能够正确根据题意画出图形，构造直角三角形，利用勾股定理解决问题是解题的关键．
3．D
【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
【详解】解：两棵树的高度差为，间距为，
根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是将现实问题建立数学模型，运用数学知识进行求解．
4．D
【分析】根据题目设出的未知数，将直角三角形的斜边的长度表示为，再利用勾股定理建立方程．
【详解】解：∵竹子原高十尺，竹子折断处离地面x尺
∴图中直角三角形的斜边长尺
根据勾股定理建立方程得：
故选：D．
【点睛】本题考查了利用勾股定理建立方程解决实际问题，熟记勾股定理，理清题目中的条件和数量关系是解决本题的关键．
5．C
【分析】首先应根据勾股定理求得圆柱形水杯的最大线段的长度，即＝10，故筷子露在杯子外面的长度至少为多少可求出．
【详解】解：如图所示，筷子，圆柱的高，圆柱的直径正好构成直角三角形，
∴勾股定理求得圆柱形水杯的最大线段的长度，即＝10（cm），
∴筷子露在杯子外面的长度至少为13﹣10＝3cm，
故选C．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理的应用.
6．D
【分析】根据题意可得∠APB=180°-30°-60°=90°，，，再根据勾股定理，即可求解．
【详解】解：根据题意得：∠APB=180°-30°-60°=90°，
，，
∴，
即20s后他们之间的距离为．
故选：D
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
7．C
【分析】根据已知条件在直角三角形ABC中，利用勾股定理求得AC的长，用AC减去AD、CE求得DE即可．
【详解】解：在Rt△ABC中，
AC＝＝＝80m
所以DE＝AC AD EC＝80 20 10＝50m
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，将数学知识与生活实际联系起来，是近几年中考重点考点之一．
8．B
【分析】要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”，利用勾股定理求出所需结果．
【详解】
解：如图，将长方体展开，连接A、B′，
则AA′＝1＋3＋1＋3＝8（cm）， A′B′＝6cm，
根据两点之间线段最短，由勾股定理得：AB′2＝AA′2+A′B′2＝82＋62＝102cm，
所以AB′＝10 cm．
故选：B．
【点睛】本题考查了平面展开 最短路径问题，本题的关键是把长方体的侧面展开“化立体为平面”，构造直角三角形运用勾股定理解决．
9．D
【分析】通过题干给出的信息，画出简图，发现小宇走了6千米之后此时的位置与小宇家和小杰家构成了直角三角形，利用直角三角形的勾股定理解答.
【详解】
由图可知：小宇向北走6km后，小杰的家在小宇的正东方向.
此时可以运用勾股定理得，向东走的距离为：（km）.
故应选：D.
【点睛】本题考查了直角三角形的实际应用，解题关键在于，充分理解题干信息，画出简图进行分析.
10．B
【分析】分析题意，首先通过作图，找出A处受噪声影响火车经过的路段;根据题意可以点A为圆心，取AB＝AD＝200米为半径，过点A作AC⊥MN,求AC的长;然后根据勾股定理求出BC的长，由垂径定理即可得到BD的长，再根据火车行驶的速度，进而求出对A处产生噪音的时间.
【详解】如图，
以点A为圆心，取AB＝AD＝200米为半径，过点A作AC⊥MN,∵∠QON＝30°，OA＝240米，∴ AC＝120米，当火车到B点时对A处产生噪音影响，到点D时结束影响，此时AB＝200米，∵ AB＝200米，AC＝120米，∴由勾股定理得: BC＝160米∴BD＝2BC＝320米,∵72千米/小时＝20米/秒,∴影响时间应是320÷20＝16 (秒)，故答案选B.
【点睛】本题主要考查了勾股定理，解本题要点在于找出受影响的路段，从而求出BD的长.
11．12
【分析】根据题意画出图形，再根据勾股定理进行解答即可．
【详解】解：如图，梯子AB=13米，
若梯子的底部离建筑物的底部的距离BC不能小于5米，
则AC≤=12米，
故答案为：12．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．
12．2.7####
【分析】根据勾股定理求解即可．
【详解】解：由题意可知，，，
∴．
故答案为：2.7．
【点睛】本题考查勾股定理．掌握直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方是解题关键．
13．4
【分析】设折断处离地面的高度是x尺，根据勾股定理即可列出方程进行求解．
【详解】如图所示，
设折断处离地面的高度是x尺，
根据勾股定理得，
解得．
故折断处离地面的高度是4尺，
故答案为：4．
【点睛】此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是熟知勾股定理的应用．
14．13
【分析】设水深OB=x尺，则芦苇长OA'=（x+1）尺，根据勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：根据题意，设水深OB=x尺，则芦苇长OA'=（x+1）尺，
根据题意列方程得：x2+52=（x+1）2，
解得：x=12
∴OA'=13尺．
故答案为：13．
【点睛】此题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是根据题意设出未知数，根据勾股定理列方程求解．
15．13
【分析】根据题意可得，∠AOB=180°-25°-65°=90°，OA=5，OB=12，再根据勾股定理可得AB的长，即可得两轮船的距离．
【详解】解：如图，
根据题意可知：
∠AOB=180°-25°-65°=90°，
OA=5，OB=12，
∴AB==13(海里)．
所以两轮船相距13海里．
故答案为：13
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角定义．
16．2
【分析】根据河水深度、竹竿到岸边的距离、竹竿长构成直角三角形，利用勾股定理进行计算即可．
【详解】根据题意画出示意图，如图，则AC=0.5m，，，
所以BC即为河水深度，，
∵，
∴是直角三角形，
∴，
∴，
解得：BC=2（m），
故答案为：2．
【点睛】本题考查了勾股定理，根据题意画示意图找出与所求边长相关线段所构成直角三角形是解题关键．
17．2.05
【分析】根据题意画出图形，利用勾股定理进行计算即可．
【详解】如图：AC=40米，BC=9米，
根据勾股定理得：AB= =41(米)，
41÷20=2.05.
故答案为2.05；
【点睛】此题考查勾股定理的应用，解题关键在于画出图形.
18．130
【分析】根据题意，要爬行到内侧点E处，可作出点E关于A’D’的对称点E’，连接AE’，利用勾股定理求解即为爬行的最短路程．
【详解】解：作点E关于A’D’的对称点E’，连接AE’，
根据题意可得：，，
∴，
在中，
，
∴爬行的最短路程为130cm，
故答案为：130．
【点睛】题目主要考查轴对称的性质及勾股定理的应用，理解题意，作出相应图形是解题关键
．
19．10cm
【分析】将正方体侧面展开图展开，由勾股定理计算即可．
【详解】解：如图所示．
∵BC＝2cm，棱长为6cm，
∴AD＝6+2＝8（cm），BD＝6cm
由勾股定理得，
AB＝＝10（cm），
答：蚂蚁爬行的最短行程是10cm．
【点睛】此题考查了平面展开一最短路径问题，利用勾股定理是解题的关键．
20．
【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体的侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答．
【详解】解：①如图，连接，
在中，，，
由勾股定理得：，此时；
①如图，连接，
在中，，，
由勾股定理得：；
∵，
∴从处爬到处的最短路程是．
【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，关键是画出图形知道求出哪一条线段的长，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目，切记要进行分类讨论．
21．蚂蚁吃到蜂蜜的最短距离为10厘米．
【分析】将圆柱体展开，作点B关于圆柱顶的对称点，连接，与圆柱顶交于点D，然后根据勾股定理求解即可．
【详解】将圆柱体展开，作点B关于圆柱顶的对称点，连接，与圆柱顶交于点D，
根据题意可得，
∵玻璃杯底面的周长为12厘米，高为8厘米，
∴厘米，厘米，
∵厘米，厘米，
∴厘米，
∵，
∴厘米．
∴蚂蚁吃到蜂蜜的最短距离为10厘米．
【点睛】此题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是根据题意正确画出图形，利用勾股定理求解．
22．(1)475米
(2)1000米，米
【分析】（1）根据勾股定理列出方程，解方程即可；
（2）如图，作点A关于直线l的对称点，连接，交直线l于点P．则AP＝P，AP+BP＝P+BP，PA+PB的最小值为B．
【详解】（1）解：如图1，
此时AQ＝BQ．
设CQ＝x，则DQ＝800﹣x，
∴，
解得x＝475，
即CQ的长为475米；
（2）解：如图2，
作点A关于直线l的对称点，连接，交直线l于点P．
则AP＝P，
AP+BP＝P+BP，
PA+PB的最小值为=1000米．
∵，
∴，
∴，
∴CP＝＝＝（米），
即CP的长度为米．
【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，作图﹣应用与设计作图，坐标与图形的性质，确定出Q、P的位置是本题的关键．
23．
【分析】先根据垂直的定义可得，再根据勾股定理可得，，从而可得，设，则，据此建立方程，解方程即可得．
【详解】解：∵使得两村到站的距离相等，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
设，则，
∵，，
∴，
解得：，
∴，
答：站应建在离站处．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理正确建立方程是解题关键．
24．此时两轮船相距30海里
【分析】由题意，首先确定出直角三角形，以及两直角边长，然后结合勾股定理求解即可．
【详解】解：由题意，，，
∴，即为直角三角形，
一个半小时后，（海里），（海里），
∴在中，（海里），
∴此时两轮船相距30海里．
【点睛】本题考查勾股定理解三角形，理解方位角的定义，准确建立直角三角形，熟练运用勾股定理是解题关键．
25．张丽能听到宣传，她总共能听到4分钟的广播．
【分析】张丽的家到公路的距离米米，可知张丽能听到宣传；如图：假设当宣讲车行驶到P点开始小明听到广播，行驶到Q点小明听不到广播，则米，米，根据勾股定理得出（米），进而求出米，然后求出来时间即可．
【详解】
解：张丽能听到宣传，
理由：∵张丽的家到公路的距离米米，
∴张丽能听到宣传；
如图：假设当宣讲车行驶到P点开始小明听到广播，行驶到Q点小明听不到广播，
则米，米，
∴（米），
∴米，
∴张丽听到广播的时间为：（分钟），
∴她总共能听到4分钟的广播．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题时结合生活实际，便于更好的理解题意．
26．A处受噪音影响的时间为
【分析】过点A作，根据题意可知的长与相比较，发现受到影响，然后过点A作，求出的长即可得出居民楼受噪音影响的时间．
【详解】解：如图：过点A作，，
∵公路上A处点距离O点，距离MN为，
∴，
当火车到B点时对A处产生噪音影响，此时，当货车到达D点后继续再运动时，对A处不再产生影响，此时，
∵，，，
∴由勾股定理得：，
，
∴，
∵，
∴A处受噪音影响的时间为：．
【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，根据题意构建直角三角形是解题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
转载请注明出处卷子答案网-一个不只有答案的网站 » 专题1.10勾股定理的应用 分层练习基础篇（含解析）2023-2024八年级数学上册北师大版专项讲练