卷子答案网-一个不只有答案的网站专题2.40 几何模型专题（切线的证明）（知识梳理与考点分类讲解）
【知识要点】证明一条直线是圆的切线的方法及辅助线的作法
连半径、证垂直：当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称“连半径，证垂直”
作垂直，证半径：当直线和圆的公共点没有明确时，可以过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称“作垂直，证半径”
类型一、有公共点：连半径，证垂直
【考点一】勾股定理逆定理法证垂直
【例1】
（2023秋·江苏·九年级专题练习）
1．如图，在中，，，的半径为3．求证：是的切线．
【举一返三】
【变式1】
（2023秋·江苏·九年级专题练习）
2．如图，AD，BD是的弦，，且，点C是BD的延长线上的一点，，求证：AC是的切线．
【变式2】
（2022秋·贵州遵义·九年级校考期中）
3．如图，是上一点，点在直径的延长线上，的半径为，，.
求证：是的切线.
【考点二】利用三角形全等证明证垂直
【例2】
（2023·湖南邵阳·统考二模）
4．如图，已知是的直径，D是上一点，且．求证：是的切线．
【举一返三】
【变式1】
（2022春·全国·九年级专题练习）
5．如图，PA与⊙O相切于点A，点B在⊙O上，且PA=PB．
(1)求证：PB与⊙O相切；
(2)点Q在劣弧AB上运动，过点Q作⊙O的切线分别交PA，PB于点M，N．若PA=6，则△PMN的周长为______．
【变式2】
（2022春·全国·九年级专题练习）
6．如图，O为菱形 ABCD对角线上一点，⊙O与BC相切于点M．求证：CD与⊙O相切．
【考点三】利用平行线的性质证垂直
【例3】
（2023春·安徽六安·九年级校联考阶段练习）
7．如图，为的直径，直线交于A、B两点，点D在上，平分，于点E．求证：直线是的切线．
【举一返三】
【变式1】
（2023春·浙江·九年级专题练习）
8．如图，是的直径，交的中点于D，．求证：是的切线．
【变式2】
（2023·安徽合肥·合肥市第四十二中学校考模拟预测）
9．如图，是⊙的直径，、都是⊙上的点，平分，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点．
(1)求证：是⊙的切线；
(2)若，，求的值．
【考点四】利用特殊角证垂直
【例4】
（2023春·九年级单元测试）
10．如图，线段经过圆心O，交于点A、C，点D在上，连接、，，是的切线吗？请说明理由．
【举一返三】
【变式1】
（2022秋·全国·九年级专题练习）
11．如图，AB是⊙O的直径，∠B＝45°，AC＝AB，AC是⊙O的切线吗？（写出详细的过程）
【变式2】
（2022春·九年级课时练习）
12．如图，AB是⊙O的弦，OP⊥AB交⊙O于C，OC＝2，∠ABC＝30°．
(1)求AB的长；
(2)若C是OP的中点，求证：PB是⊙O的切线．
【考点五】和用等角代换求垂直
【例4】
（2022秋·广东广州·九年级校考期末）
13．如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠DCB=∠A．E是AB下半圆弧中点，连接CE交AD于F．
(1)求证：CD与⊙O相切．
(2) AF=8，EF=2，求⊙O的半径．
【举一返三】
【变式1】
（2022秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）
14．如图，在中，D是边上一点，以为直径的经过点A，且．
(1)请判断直线是否是的切线，并说明理由．
(2)若，，求的直径长．
【变式2】
（2023·全国·九年级假期作业）
15．如图，以的一边为直径的，交于点D，连接，，已知．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径．
【考点五】利用角平分线的性质证明垂直
【例5】
（2021春·全国·九年级专题练习）
16．如图,在RT△ABC中,∠ABC=90°,∠BAC的平分线交BC于D,以D为圆心,DB长为半径作⊙D.求证:AC与⊙D相切.
【举一返三】
【变式1】
（2023·山东日照·校考三模）
17．如图，在中，，的平分线交于点，点在上，且以为直径的经过点．
(1)求证，是的切线：
(2)当，且时，求的半径．
【变式2】
（2021秋·江苏苏州·九年级统考期中）
18．如图，为⊙O的直径，点在⊙O 外，的平分线与⊙O交于点，．
（1）与⊙O有怎样的位置关系？请说明理由；
（2）若，，求CD的长．
【考点六】利用中位线的性质证明垂直
【例6】
（2023秋·江苏·九年级专题练习）
19．如图，是的直径，半径为2，交于点D，且D是的中点，于点E，连接．
(1)求证：是的切线．
(2)若，求的长．
【举一返三】
【变式1】
（2023秋·江苏·九年级专题练习）
20．如图，在中，，以为直径的与交于点D，与边交于点E，过点D作的垂线，垂足为F．
(1)求证：为的切线；
(2)若，求的半径．
【变式2】
（2023秋·江苏·九年级专题练习）
21．如图，为的直径，是的切线，，为的中点，在上，，连接，．
(1)求证：为的切线；
(2)若，，求的半径．
类型一、无公共点：做垂直，证半径
【考点七】直接作垂直证明垂线段等于半径
【例6】
（2022秋·福建福州·九年级校考期中）
22．如图，在中，，O为圆心，为半径作圆，求证：AB是圆的切线．
【举一返三】
【变式1】
（2022春·九年级课时练习）
23．如图，Rt△ABC，∠ABC=90°，点O在AB上，AD⊥CO交CO延长线于点D，∠DAO=∠ACO，以点O为圆心，OB为半径作圆．
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)已知，求OC的长？
【变式2】
（2022春·全国·九年级专题练习）
24．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC的平分线交BC于点O，D为AB上的一点，OD＝OC，以O为圆心，OB的长为半径作⊙O．
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)若AB＝6，BD＝2，求线段AC的长．
【考点八】通过角平分线的性质证明垂线段等于半径
【例8】
（2021·九年级课时练习）
25．如图，P是的平分线上一点．于E．以P点为圆心，长为半径作．求证：与相切．
【考点九】通过三角形全等证明垂线段等于半径
【例9】
（2023秋·江苏·九年级专题练习）
26．如图，为等腰三角形，O是底边的中点，于D，以O为圆心、为半径作．求证：与相切．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．见解析
【分析】由于题意没有明确圆与直线的交点，作垂直再根据切线的判定方法即可得证．
【详解】证明：如图，过作于，
，，
，
在中，，
的半径为3，
为的半径，
是的切线．
【点睛】本题考查切线的判定，切线的证明方法有两种：知交点连半径证垂直，无交点作垂直证半径．
2．证明见解析．
【分析】先由勾股定理的逆定理证明垂直，再由切线的判断进行解答即可．
【详解】证明：连接AB，
∵，且
∴AB为直径，AB2=82+42=80，
∵CD=2，AD=4
∴AC2=22+42=20
∵CD=2，BD=8,
∴BC2=102=100
∴，
∴
∴AC是的切线．
【点睛】本题考查切线的判定，圆周角定理的推论，勾股定理的逆定理，解题关键是作出辅助线构造直角三角形．
3．见解析
【分析】连接，证明得是直角三角形，即，则是的切线．
【详解】证明：如图，连接，
∵的半径为，，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴是的切线．
【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理的逆定理，掌握切线的判定定理是解题的关键．
4．见解析
【分析】连接，根据圆周角之间的关系得到，然后得到，证明出，得到，进而得到，即可证明出是的切线．
【详解】解：连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，OC公共边，
∴，
∴，
又点B在上，
∴是的切线．
【点睛】此题考查了圆周角定理，直径的性质，切线的判定，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
5．(1)见解析；
(2)12
【分析】（1）连接OB，证明△APO≌△BPO（SSS），由全等三角形的判定与性质得出∠PAO=∠PBO=90°，得出OB⊥PB，则可得出结论；
（2）由切线长定理可得出答案．
【详解】（1）证明：连接OB，
∵PA与⊙O相切于点A，
∴∠PAO=90°，
在△APO和△BPO中，
，
∴△APO≌△BPO（SSS），
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∴OB⊥PB，
∴PB与⊙O相切；
（2）解：∵PA，PB是⊙O的切线，过点Q作⊙O的切线，PA=6，
∴MA=MQ，NQ=NB，PA=PB=6，
∴△PMN的周长=PM+MQ+NQ+PN=PA+PB=12；
故答案为：12．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质，切线长定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
6．见解析
【分析】连接OM，过点O作ON⊥CD于垂足为N，只要证明OM=ON即可得出结论．
【详解】证明：连接OM，过点O作ON⊥CD于垂足为N，
∵⊙O与BC相切于点M，
∴OM⊥BC，OM为半径，
∴∠OMC=∠ONC=90°，
∵AC是菱形ABCD的对角线，
∴∠ACB=∠ACD，
∵OC=OC，
∴△OMC≌△ONC（AAS），
∴ON=OM=半径，∠ONC=90°，
∴CD与⊙O相切．
【点睛】本题考查了切线的判定定理，菱形的性质，熟知无交点，作垂直，证半径是解题的关键．
7．见解析
【分析】连接，证明出，即可解题．
【详解】如图所示，连接，
∵
∴
∵平分
∴
∴
∴
∵
∴
∵是的半径
∴直线是的切线
【点睛】本题考查切线的判定，解题的关键是掌握切线判定的两个条件：经过半径的外端和垂直于半径．
8．见解析
【分析】连接，只要证得即可得到是的切线．
【详解】证明：连接，
是的中点，
．
，
．
又，
．
是的切线．
【点睛】本题考查了切线的判定，熟练掌握切线的判定是解题的关键．
9．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据平分，则，根据，等量代换，得，根据平行线的判定和性质，得，推出，即可；
（2）连接，交于点；根据直径所对的圆周角是直角，则，根据勾股定理求出，根据等腰三角形三线合一，则，；根据矩形的判定，得四边形是矩形，则，即可．
【详解】（1）证明如下：
连接，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是⊙的切线．
（2）连接，交于点，
∵是⊙的直径，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴是等腰三角形，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴．
【点睛】本题考查圆的切线，等腰三角形，矩形的知识，解题的关键是掌握圆的基本性质，切线判定，等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质．
10．是的切线，理由见解析
【分析】先猜想是的切线，再根据切线的判定进行分析，得到是的半径，且，从而可得到结论．
【详解】解：是的切线，理由如下：
连接，
，又是半径
是的切线．
【点睛】本题考查切线的判定方法及三角形的内角和等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
11．AC是⊙O的切线
【分析】由∠B＝45°，AC＝AB，得到∠C＝45°，因此∠BAC＝90°，又因为AB是⊙O的直径，得到OA⊥AC．
【详解】解：AC是⊙O的切线．
证明如下：
∵∠B＝45°，AC＝AB，
∴∠C＝45°，
∴∠BAC＝90°，
而AB是⊙O的直径，
∴OA⊥AC，
所以AC是⊙O的切线．
【点睛】本题考查了圆的切线的判定方法．若直线与圆有唯一的公共点，则此直线是圆的切线；若圆心到直线的距离等于圆的半径，则此直线是圆的切线；经过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线．当已知直线过圆上一点，要证明它是圆的切线，则要连接圆心和这个点，证明这个连线与已知直线垂直即可；当没告诉直线过圆上一点，要证明它是圆的切线，则要过圆心作直线的垂线，证明垂线段等于圆的半径．
12．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可求出的度数，进而根据特殊的锐角三角函数值求得AD的长，最后由垂径定理可得AB的长．
（2）由于点B在圆上，可根据“连半径，证垂直”可证得PB是⊙O的切线．
【详解】（1）
解：如图所示，连接OA、OB，
∵∠ABC=30°，
∴∠AOC=60°，
由OP⊥AB于D，则，
又∵OP⊥AB
∴，
（2）证明：由（1）知∠BOC=60°，从而∠OBC=∠OCB=60°，
C是OP的中点，CP=CO=CB，从而．
∴∠OBP=90°（OB⊥BP），
∴PB是⊙О的切线．
【点睛】本题主要考查了圆的性质，其中熟知圆的垂径定理以及圆的切线常用证明方法是解决本题的关键．
13．(1)见解析
(2)⊙O的半径为6．
【分析】（1）如图，作辅助线，证明∠OCD=90°即可解决问题；
（2）连接OE，证明EO⊥AB，在Rt△OEF中，利用勾股定理构建方程，解方程即可解决问题．
【详解】（1）证明：如图，连接OC；
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB；
∵AB是⊙O的直径，
∴∠A+∠OBC=90°，
而∠DCB=∠A，∠OBC=∠OCB，
∴∠DCB+∠OCB=90°，
即∠OCD=90°，
∴DC为⊙O的切线；
（2）解：连接OE，
∵AB是⊙O的直径，E是AB下半圆弧中点，
∴==，
∴EO⊥AB，
设OA=OE=R，OF=8-R，
在Rt△OEF中，EF2=OF2+OE2，
∴（2）2=R2+（8-R）2，
∴R=6（不符合题意的根已经舍弃）．
∴⊙O的半径为6．
【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．
14．(1)证明见解析
(2)6
【分析】（1）如图，连接，由圆周角定理可得，由等腰三角形的性质可得，可得，可得结论；
（2）由勾股定理可求即可得到答案．
【详解】（1）解：直线是的切线，理由如下：
如图所示，连接，
∵为的直径，
∴，
∴
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵是半径，
∴直线是的切线；
（2）解：在中，由勾股定理得，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的直径长为6．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆的有关知识，勾股定理等知识，证明直线是否是的切线是本题的关键．
15．(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用等腰三角形的性质和三角形外角性质可得，从而可得，再根据三角形的内角和定理可得，然后根据圆的切线的判定即可得证；
（2）先求出，根据圆周角定理可得，从而可得，再根据含30度角的直角三角形的性质可得，然后利用勾股定理可得，由此即可得．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
，
∴，
∴，
∴，
又∵是的半径，
是的切线．
（2）解：在中，，
，
∵为的直径，
，
，
∴在中，，
，
，
则的半径为．
【点睛】本题考查了圆的切线的判定、圆周角定理、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握圆的切线的判定是解题关键．
16．详见解析
【分析】过点D作DF⊥AC于F，求出BD=DF（半径），即可得出AC是⊙D的切线．
【详解】证明：过点D作DF⊥AC于F，如图所示：
∵AB为⊙D的切线，
∴∠B=90°，
∴AB⊥BC，
∵AD平分∠BAC，DF⊥AC，
∴BD=DF，
∴AC与⊙D相切．
【点睛】本题考查的是切线的判定、角平分线的性质定理、熟练掌握切线的判定方法是解题的关键．
17．(1)见解析
(2)半径为
【分析】（1）连接，根据角平分线的定义得出，由得出，等量代换得出则，根据得出，即可得证；
（2）设，则，根据中，勾股定理得出，即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接，
平分，
，
，
，
，
，，
即，
是半径，
为的切线
（2）解：，设，则，
，
在中，根据勾股定理得：，
即，
，
半径为．
【点睛】本题考查了切线性质的判定，勾股定理，熟练掌握切线的性质与判定是解题的关键．
18．（1）相切，理由见解析；（2）
【分析】（1）连接，根据可得，根据角平分线的定义可得，即可得，进而可得，由，可得，即可证明是的切线；
（2）根据已知条件以及角平分线的定义可得，根据含30度角的直角三角形的性质，可得，,勾股定理求得，即可的长．
【详解】（1）如图，连接，
平分
是半径
是的切线；
（2）平分，，，
是直径
在中
【点睛】本题考查了圆的切线的判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，角平分线的性质，直径所对的圆周角是直角，掌握以上知识是解题的关键．
19．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，利用三角形的中位线定理和平行线的性质得到，利用圆的切线的判定定理解答即可；
（2）利用线段 垂直平分线的性质，等腰三角形的性质和含角的直角三角形的性质求，利用勾股定理求得，则．
【详解】（1）证明：连接，如图，
∵D是的中点，
∴，
∵，
∴为的中位线，
∴，
∵，
∴，
∵为的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵是的直径，
∴，
∵D是的中点，
∴为的垂直平分线，
∴，
∴，
∵是的直径，半径为2，
∴．
在中，．
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，三角形的中位线的性质定理，平行线的性质，圆的切线的判定定理，含角的直角三角形的性质，勾股定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
20．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据是的直径，可得，再由三角形中位线定理可得，从而得到，即可求证；
（2）连接，根据圆内接四边形的性质可得，从而得到，进而得到，继而得到的长，即可求解．
【详解】（1）证明：连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴点D是的中点，
∵点O是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴为的半径；
（2）解：连接，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的半径是．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆内接四边形的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定定理，圆内接四边形的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质是解题的关键．
21．(1)详见解析
(2)4
【分析】（1）连接，作于，作于，由三角形中位线定理推出，而，得到，即可证明，得到，由四边形是矩形，，得到，即可证明为的切线；
（2）由，，得到，而，得到，而，由勾股定理求出，即可得到的半径是4．
【详解】（1）证明：连接，作于，作于，
是中点，是中点，
是的中位线，
，，
，
，
，，
，
，
切圆于，
半径，
，，
四边形是矩形，
，，
，
为的切线；
（2）解：，，
，
由（1）知，
，
，
，
，
的半径是4．
【点睛】本题考查切线的判定和性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，关键是通过作辅助线构造全等三角形和矩形，从而证明．
22．见解析
【分析】过点作于，勾股定理求得，等面积法得出，根据题意可得为半径，即可得证．
【详解】证明：如图，过点作于
∵，
∴，
在中，，，
∵，
∴，
∵的半径为4，
∴为的半径，
∵，
∴是的切线．
【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理，掌握切线的判定定理是解题的关键．
23．(1)见解析
(2)
【分析】（1）证明∠BCO=∠ACO，推出OE=OB，即可证明AC是⊙O的切线；
（2）证明△OBC≌△OEC，利用勾股定理求得AC=10，在Rt△AOE中，利用勾股定理列式计算可求得圆的半径，进一步求解即可．
【详解】（1）证明：作OE⊥AC，垂足为E，
∵AD⊥CO，
∴∠ADO=90°，
∴∠ADO=∠ABC=90°，
∵∠AOD=∠BOC，
∴∠DAO=∠BCO，
∵∠DAO=∠ACO，
∴∠BCO=∠ACO，
∵OB⊥BC，OE⊥AC，
∵OE=OB，
∵OB是半径，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：∵OBC=∠OEC，∠BCO=∠ACO，OC=CO，
∴△OBC≌△OEC，
∴BC=EC=6，
在Rt△ABC中，，
∴AE=AC EC=10 6=4，
在Rt△AOE中，设半径为R，
∵AE2+OE2=OA2，
∴42+R2=(8 R)2，
∴R=OC=3，
∴在Rt△OBC中，．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握切线的判定和性质是解题的关键．
24．(1)见解析
(2)8
【分析】（1）过O作OE⊥AC于E，先证Rt△ABO≌Rt△AEO，OB＝OE，即OE为圆的半径，即可求证；
（2）利用切线的性质可得AB=AE，再证Rt△BOD≌Rt△COE，即有BD＝CE＝2，则AC可求．
【详解】（1）证明：过O作OE⊥AC于E．
∵AO平分∠BAC，且∠ABC＝90°，OE⊥AC，
∴OB＝OE，即OE为圆的半径，
∴AC是⊙O的切线；
（2）∵∠ABC＝90°，OB为⊙O半径，
∴AB是⊙O的切线，
又由（1）AC是⊙O的切线，
∴AB＝AE＝6，
在Rt△BOD和Rt△COE中，
，
∴Rt△BOD≌Rt△COE，
∴BD＝CE＝2，
∴AC＝AE+CE＝8
【点睛】本题考查了切线的判定与性质，角平分线的性质定理，在OE⊥AC的条件下证得OE为圆的半径是解答本题的关键．
25．见详解
【分析】过点P作PD⊥OB于点D，由题意易得PD=PE，然后问题可求证．
【详解】证明：过点P作PD⊥OB于点D，如图所示：
∵P是的平分线上一点，，
∴，即PD为的半径，
∴与相切．
【点睛】本题主要考查切线的判定定理，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．
26．见详解
【分析】过点O作OE⊥AC于点E，由题意易得，，，则可证，进而可得，最后问题可求解．
【详解】证明：过点O作OE⊥AC于点E，如图所示：
∵为等腰三角形，O是底边的中点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，即OE为的半径，
∴与相切．
【点睛】本题主要考查切线的判定定理，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．
答案第1页，共2页
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