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特殊三角形章末 题型大总结
【题型1 利用轴对称的性质求解】
【例1】（2023春·山东青岛·八年级统考期末）如图，在中，点D，E分别在边，上，点A与点E关于直线对称．若，，，则的周长为 ．
【答案】10
【分析】根据轴对称的性质可得，，进而得出，再根据三角形的周长公式，即可求解．
【详解】解：∵点A与点E关于直线对称，
∴，，
∵，
∴，
∵，，，
∴的周长．
故答案为：10．
【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是掌握成轴对称的图象对应边相等，对应角相等．
【变式1-1】（2023春·江西九江·八年级统考期末）已知中是钝角，以所在直线为对称轴作，若，则的度数为 ．
【答案】
【分析】根据轴对称的性质可得，从而得到，再根据三角形内角和定理进行计算即可得到答案．
【详解】解：根据题意画出图如图所示：
，
和关于成轴对称，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，三角形内角和定理，熟练掌握轴对称的性质，三角形内角和定理，是解题的关键．
【变式1-2】（2023春·山东潍坊·八年级统考期中）如图，点P为内一点，分别作出P点关于、的对称点，，连接交于M，交于N，若，则∠MPN的度数是 ．
【答案】
【分析】首先求出证明，，推出，可得结论．
【详解】解：∵P点关于的对称点是，P点关于OA的对称点是，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查轴对称，三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【变式1-3】（2023春·江苏泰州·八年级校考期中）如图，将△ABC纸片沿DM折叠，使点C落在点的位置，其中点D为AC边上一定点，点M为BC边上一动点，点M与B，C不重合．
（1）若∠A＝84°，∠B＝61°，则∠＝ °；
（2）如图1，当点落在四边形ABMD内时，设∠BM＝∠1，∠AD＝∠2，探索∠与∠1，∠2之间的数量关系，并说明理由；
（3）在点M运动过程中，折叠图形，若∠＝35°，∠BM＝53°，求∠AD的度数．
【答案】（1）35 （2）2∠C′＝∠1＋∠2，理由见解析 （3）17°或123°
【分析】（1）由三角形的内角和定理求出∠C，再由折叠性质得∠＝∠C即可解答；
（2）由三角形的内角和定理得出∠CDM+∠CMD=180 ﹣∠C，由折叠性质得∠C′DM=∠CDM，∠C′MD=∠CMD，推出∠1+∠2=360 -2（∠CDM+∠CMD）即可找出角之间的关系；
（3）根据题意，分点C′落在三角形ABC内和外讨论，类比（2）中方法求解即可．
【详解】（1）在△ABC中，∠A=84 ，∠B=61 ，
由∠A+∠B+∠C=180 得：∠C=180 -84 -61 =35 ，
由折叠性质得：∠C′=∠C=35 ，
故答案为：35；
（2）在△CDM中，∠CDM+∠CMD+∠C=180 ，即∠CDM+∠CMD=180 ﹣∠C，
由折叠性质得：∠C′DM=∠CDM，∠C′MD=∠CMD，
∵∠1+∠C′MD+∠CMD=180 ，
∠2+∠C′DM+∠CDM=180 ，
∴∠1+∠2=360 ﹣2（∠CDM+∠CMD）=2∠C，
∴∠1+∠2=2∠C′；
（3）设∠BM＝∠1=53 ，∠AD＝∠2，
当点C′落在△ABC的内部时，由（2）知，∠2=2C′-∠1=2×35 -53 =17 ；
当点C′落在如图1位置时，同（2）中方法由∠1+∠2=2∠C′，∴∠2==17 ；
当点C′落在如图2位置时，在△CDM中，∠CDM+∠CMD=180 ﹣∠C，
由折叠性质得：∠C′DM=∠CDM，∠C′MD=∠CMD，
∵∠1+∠C′MD+∠CMD=180 ，
∠C′DM+∠CDM﹣∠2=180 ，
∴∠1﹣∠2=360 ﹣2（∠CDM+∠CMD）=2∠C，
∴∠1﹣∠2=2∠C′，
∴∠2=∠1﹣2∠C′=53 -70 =﹣17 （舍去）；
当点C′落在如图3位置时，
∵∠C′MD+∠CMD﹣∠1=180 ，
∠C′DM+∠CDM+∠2=180 ，
∴∠2﹣∠1=360 ﹣2（∠CDM+∠CMD）=2∠C，
∴∠2﹣∠1=2∠C′，
∴∠2=2∠C′+∠1=70 +53 =123 ，
综上，∠AD的度数为17 或123 ．
【题型2 轴对称中的光线反射】
【例2】（2023春·全国·八年级专题练习）光线以如图所示的角度照射到平面镜工上，然后在平面镜，之间来回反射．若，，则等于 ( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据入射光线与水平线的夹角等于反射光线与水平线的夹角将已知转化到三角形中，利用三角形的内角和是求解．
【详解】解：如图：
由反射规律可知：，，，
又∵
∴，
即
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，掌握入射光线与水平线的夹角等于反射光线与水平线的夹角是解题关键，注意隐含的的关系的使用．
【变式2-1】（2023·八年级单元测试）公元一世纪，正在亚历山大城学习的古希腊数学家海伦发现：光在镜面上反射时，反射角等于入射角．如图1，法线垂直于反射面，入射光线与法线的夹角为入射角，反射光线与法线的夹角为反射角．台球碰撞台球桌边后反弹与光线在镜面上反射原理相同．
如图2，长方型球桌上有两个球，．请你尝试解决台球碰撞问题：
(1)请你设计一条路径，使得球撞击台球桌边反射后，撞到球．在图2中画出，并说明做法的合理性．
(2)请你设计一路径，使得球连续三次撞击台球桌边反射后，撞到球，在图3中画出一种路径即可．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）作点P关于的对称点，连接交于T，线路即为所求．
（2）作点P关于的对称点，作点Q关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于E，交于F，连接交于点G，即为所求．
【详解】（1）解：如图2中，作点P关于的对称点，连接交于T，线路即为所求，
原理：∵点和点P关于对称，
∴，
∵，
∴；
（2）如图3中，
作点P关于的对称点，作点Q关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于E，交于F，连接交于点G，即为所求．
【点睛】本题考查轴对称的应用，解题的关键是学会利用轴对称解决实际问题．
【变式2-2】（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图1，直线l垂直于点B，，点D为中点，一条光线从点A射向D，反射后与直线l交于点E，且有．
(1)求证：；
(2)如图2，连接交于点F，连接交于点H，，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，点P是边上的动点，连接，，，，请问是否存在最小值，若存在，请直接写出最小值，无需证明；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)存在，5
【分析】（1）由可证，可得；
（2）由可证，可得，由余角的性质可得结论；
（3）由可证，可得，则当点E，点P，点D三点共线时，有最小值，即有最小值为的长，由面积法可以求解．
【详解】（1）∵直线l垂直于点B，，点D是的中点，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）存在；
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴当点E，点P，点D三点共线时，有最小值，即有最小值为的长，
∵，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴．
∴的最小值为．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，寻找条件证明三角形全等是解题的关键．
【变式2-3】（2023春·上海·八年级专题练习）如图所示，已知边长为2的正三角形ABC中，P0是BC边的中点，一束光线自P0发出射到AC上的P1后，依次反射到AB、BC上的点P2和P3，且1＜BP3＜（反射角等于入射角），则P1C的取值范围是 ．
【答案】
【分析】首先利用光的反射定律及等边三角形的性质证明△P0P1C∽△P2P1A∽△P2P3B，再根据相似三角形对应边成比例得到用含P3B的代数式表示P1C的式子，然后由
1＜BP3＜，即可求出P1C长的取值范围．
【详解】解：∵反射角等于入射角，
∴∠P0P1C＝∠P2P1A＝∠P2P3B，
又∵∠C＝∠A＝∠B＝60°，
∴△P0P1C∽△P2P1A∽△P2P3B，
∴＝＝，
设P1C＝x，P2A＝y，则P1A＝2﹣x，P2B＝2﹣y．
∴＝＝，
∴，
∴x＝（2+P3B）．
又∵1＜BP3＜，
∴1＜x＜，
即P1C长的取值范围是：1＜P1C＜．
故答案为：1＜P1C．
【点睛】此题考查了等边三角形的性质，解题的关键是根据等边三角形的性质找出对应点是解此题的关键，难度较大．
【题型3 等腰三角形中分类讨论】
【例3】（2023春·重庆南岸·八年级校考期末）如图，中，，，为边上一点（不与、重合），将沿翻折得到，交于点．若为等腰三角形，则为（ ）
A． B．或 C． D．或
【答案】B
【分析】分两种情况进行讨论，当时，根据折叠的性质可知，设，根据等腰三角形的性质可得，则，解出x即可；当时， 根据折叠的性质可知，设，根据等腰三角形的性质可得，则，则，解出y即可．
【详解】解：当时，
根据折叠的性质可知，
设，
∵，
∴，
∵为等腰三角形，，
∴，
∵，
∴，
解得，
当时，
根据折叠的性质可知，
设，
∵，
∴，
∵为等腰三角形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
综上所述，的度数为或，
故选：B．
【点睛】本题考查了折叠的性质以及等腰三角形的性质，利用外角的性质将角与角建立联系列出方程是解题的关键．
【变式3-1】（2023春·陕西渭南·八年级校考期中）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则它的底角为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理进行分析，注意分类讨论思想的运用．
【详解】解：①，，，
，
；
②，，，
．
故选：C．
【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理及三角形外角的性质的综合运用，熟练掌握这两个定理是解决问题的关键．
【变式3-2】（2023春·广东广州·八年级校考期中）如图，中，动点D在直线上，当为等腰三角形， ．
【答案】或或或
【分析】画出图形，分四种情况分别求解．
【详解】解：若，
则；
若，
则，
∴；
若，且三角形是锐角三角形，
则；
若，且三角形是钝角三角形，
则．
综上：的度数为或或或，
故答案为：或或或．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，外角的性质，解题的关键是找齐所有情况，分类讨论．
【变式3-3】（2023春·山西运城·八年级统考期末）如图，在中，，，和关于直线对称，的平分线交于点G，连接，当为等腰三角形时，的度数为 ．
【答案】或或
【分析】先由轴对称可以得出，就可以得出，，再证明就可以得出，就可以求出的值；再分三种情况求解：当、、．
【详解】解：∵，，
∴．
∵和关于直线对称，
∴，
∴，，
∴．
∵平分，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴．
①当时，
∴．
②当时，
∴．
∵，
∴．
③当时，
∴，
∴，
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，分类讨论是解答本题的关键．
【题型4 双垂直平分线求角度与周长】
【例4】（2023春·广西桂林·八年级统考期末）如图所示，点、是的边上的两点，线段的垂直平分线交于，的垂直平分线恰好经过点，连接、，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据线段垂直平分线的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理计算判断即可．
【详解】∵线段的垂直平分线交于，的垂直平分线恰好经过点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】本题考查了线段的垂直平分线，三角形外角性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握线段的垂直平分线，三角形外角性质，等腰三角形的性质是解题的关键．
【变式4-1】（2023春·河北保定·八年级统考期中）如图，在中，，的垂直平分线交于D，的垂直平分线交与E，则的周长等于（ ）
A．6 B．7 C．8 D．12
【答案】C
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，，进而可得，从而可得答案．
【详解】解：∵的垂直平分线交于D，
∴，
∵的垂直平分线交于E，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的周长为8，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
【变式4-2】（2023春·河北保定·八年级统考期中）如图，在中，平分，平分，点是、的垂直平分线的交点，连接、，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接并延长，根据线段垂直平分线的性质得到，，根据等腰三角形的性质得到，，根据三角形的外角性质计算，得到．根据三角形内角和定理得到，根据角平分线的定义得到，求出．
【详解】解：连接并延长，
点是、的垂直平分线的交点，
，，
，，
是的一个外角，
，
同理，，
，
，
，
平分，平分，
，，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
【变式4-3】（2023春·辽宁丹东·八年级校考期中）如图，在中，边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点O，这两条垂直平分线分别交于点D、E．已知的周长为，分别连接，若的周长为，则的长为 ．
【答案】
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，，，从而可求出，然后根据的周长为，即可求出的长，即可解答．
【详解】解：是的垂直平分线，
，，
是的垂直平分线，
，，
，
的周长为，
，
，
，
的周长为，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
【题型5 角平分线与垂直平分线综合运用】
【例5】（2023春·湖南湘西·八年级统考期末）如图，在中，，的平分线与边的垂直平分线相交于点，交的延长线于点，于点，现有以下结论：①；②；③平分；④；其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．1个
【答案】B
【分析】①由角平分线的性质即可证明；②由题意可知，可得，，从而可以证明；③假设平分，则，可推出，条件不足，故错误；④连接，证明，，得出，，即可证明．
【详解】如图所示，连接，
∵平分，，，
∴．
故①正确；
∵，平分，
∴．
∵，
∴．
∴．
同理，
∴．
故②正确；
∵，
∴．
假设平分，则，
∴．
∵，
∴．
∴．
又∵的度数是未知的，
∴不能判定平分．
故③错误；
∵是的垂直平分线，
∴．
在和中，
，
∴．
∴．
在和中，
，
∴．
∴，
∴．
故④正确；
故选B．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
【变式5-1】（2023春·山东威海·八年级统考期末）如图，在中，的平分线交于点恰好是的垂直平分线，垂足为．若，则的长为 ．
【答案】3
【分析】由角平分线性质定理，得，所以，于是，由线段垂直平分线定理，得；由面积公式，化简求解．
【详解】解：∵平分，，，
∴．
∴
∵垂直平分，
∴，．
∴．
∵，
∴．
∴．
故答案为：3．
【点睛】本题考查垂直平分线的性质，角平分线的性质，直角三角形全等的判定；运用面积公式寻求线段间的关系是解题的关键．
【变式5-2】（2023春·山东青岛·八年级统考期末）如图，在中，的角平分线与的垂直平分线交于点O，连接．若，则 ．
【答案】
【分析】由线段垂直平分线的性质可得，由角平分线的定义可得，再利用三角形的内角和定理可求得的度数，进而可求解．
【详解】解：垂直平分，
，
，
平分，
，
，
，
，，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，利用三角形的内角和定理求解的度数是解题的关键．
【变式5-3】（2023春·四川成都·八年级校考期中）如图，中，的角平分线和边的中垂线交于点D，的延长线于点M，于点N．若，则的长为 ．
【答案】2
【分析】连接，由“”可证，可得，由“”可证，可得，即可求解．
【详解】解：连接，
∵是的平分线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为2．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
【题型6 轴对称图形中的面积问题】
【例6】（2023春·陕西榆林·八年级校考期中）如图，在中，垂直平分，平分，，交的延长线于点．
(1)若，求的度数；
(2)若，与的周长之差为8cm，且的面积为，求的面积．
【答案】(1)
(2)的面积为
【分析】（1）由角平分线的定义可得，由线段垂直平分线的性质可得，从而得到，由三角形外角的性质可求出，最后由三角形内角和定理进行计算即可；
（2）由线段垂直平分线的性质可得，，由与的周长之差为8cm计算可得，由角平分线的性质可得，由三角形的面积可求得，最后由三角形的面积公式进行计算即可．
【详解】（1）解：∵平分，
∴．
垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：垂直平分，
∴，，
∵与的周长之差为8cm，
∴，
∵平分，，
∴，
∵，的面积为，
∴，
∴，
∴的面积，
答：的面积为．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、三角形外角的定义与性质、三角形内角和定理、三角形面积公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
【变式6-1】（2023春·广东深圳·八年级校考期中）如图，，点E是的中点，平分．
(1)求证：是的平分线；
(2)已知，，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)12
【分析】（1）过点作于点，首先根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得，根据等量代换可得，再根据角平分线的判定可得平分；
（2）利用（1）的结论证明和，可推出，，再根据，，即可得出结论．
【详解】（1）证明：如图，过点作于点，
∵，平分，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
又∵，，
∴平分．
（2）解：∵，，
∴和都为，
又∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴和都为，
又∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴
．
∴四边形的面积为．
【点睛】本题考查角平分线的性质和判定，全等三角形的判定和性质，利用等积法计算四边形的面积．解题的关键是掌握角平分线的性质和判定定理．
【变式6-2】（2023春·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考期中）如图，在中，，，点D、E分别是边、上的点，连接，交于点O．
(1)如图1，，过点C作，交的延长线于点F，求证：；
(2)如图2，点D是中点，连接，若，求证：；
(3)如图3，过点C作于点F，延长至点G，使得，点B、O、D、G在同一直线上，若，，直接写出的面积．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）证明，即可得结论；
（2）如图2中，过点作交的延长线于点．证明，推出，，再证明，推出，，即可得结论；
（3）过点作于点．证明，再证明，推出，，证明，推出，即可得结论．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
在和中，，
，
∴．
（2）证明：如图，过点作交的延长线于点，
∵是的中点，
∴，
在和中，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）解：如图，过点作于点，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
在和中，，
∴，
∴，，
，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．
【变式6-3】（2023春·江苏泰州·八年级校考期中）如图，，点M、N分别在射线上，，的面积为12，点P是直线上的动点，点P关于对称的点为，点P关于对称的点为，当点P在直线上运动时， ，的面积最小值为 ．
【答案】 90 8
【分析】分点在线段上，点的左侧和点的右侧，三种情况进行讨论，连接，过点作交的延长线于，先利用三角形的面积公式求出，再根据轴对称的性质可得，，，从而可得，然后利用三角形的面积公式可得的面积为，根据垂线段最短可得当点与点重合时，取得最小值，的面积最小，由此即可得．
【详解】解：当点在线段上，如图，连接，过点作交的延长线于，
∵，且，
∴，
∵点关于对称的点为，点关于对称的点为，
∴，，，
∵，
∴，
∴的面积为，
由垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，最小值为，
∴的面积的最小值为，
当点在点的左侧时，如图：连接，过点作交的延长线于，
同法可得：，
∵点关于对称的点为，点关于对称的点为，
∴，，，
∵，
∴，
∴的面积为，
由垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，最小值为，
∴的面积的最小值为，
当点在点的右侧时，如图：连接，过点作交的延长线于，
同法可得：，
的面积的最小值为，
综上：，的面积的最小值为；
故答案为：90，8．
【点睛】本题考查了轴对称、垂线段最短等知识点，熟练掌握轴对称的性质是解题关键．
【题型7 轴对称中尺规作图与证明、计算的综合运用】
【例7】（2023春·河南郑州·八年级统考期末）如图，在中，．
(1)请用无刻度的直尺和圆规在边上找一点P，使得点P到点A和点B的距离相等；（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用铅笔作图）
(2)在（1）的条件下，若，，则的周长是___________．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）作线段的垂直平分线与的交点即为P点；
（2）根据求出的周长等于即可得解．
【详解】（1）解：如图，点P即为所求；
（2）解：连接，
由（1）知，
∴的周长为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了尺规作线段的垂直平分线，线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
【变式7-1】（2023春·重庆巴南·八年级统考期末）如图，在中，，为的中点，连接．
(1)请用直尺和圆规完成基本作图：
作的垂直平分线交于点，交于点，交于点，连接、；（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）
(2)求证：．（请补全下面的证明过程，不写证明理由）．
证明：∵，为中点，
∴________．
∵为的垂直平分线，
∴，
又∵，
，
∴________．
∴________，
∴．
【答案】(1)见解析
(2)，，
【分析】（1）利用基本作图作的垂直平分线得到；
（2）先根据等腰三角形的性质得到 ，再根据线段垂直平分线的性质得到，进而可得 ，根据等角对等边得到 ，等量代换即可解题．
【详解】（1）解：直线，如图所示：
（2）证明：∵，为中点，
∴ ．
∵为的垂直平分线，
∴，．
又∵，
，
∴ ，
∴ ．
∴．
故答案为：，，
【点睛】本题考查垂直平分线的作图和性质，等角对等边，掌握基本作图和垂直平分线的性质是解题的关键．
【变式7-2】（2023春·河南许昌·八年级许昌市第一中学校联考期末）如图，是等边三角形，是中线，延长至E，使．
(1)求证：；
(2)请用无刻度的直尺和圆规作出线段的中点F（不写作法，保留作图痕迹）；若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)作图见解析，
【分析】（1）证明，利用等角对等边即可得出结论．
（2）过点D作于F即可，再根据等边三角形性质得出，，再由是中线得，在中，由，即可得．
【详解】（1）证明：是等边三角形，
，
∵是中线，
∴，
，
，
又，
，
，
．
（2）解：如图所示．
由作图可知：，由（1）知，，
∴垂直平分．即点F是的中点，
是等边三角形，
∴，，
∵是中线，
∴，
∴在中，．
∴．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，尺规基本作图-经过直线外一点作直线的垂线，等腰三角形的性质，直角三角形的性质．熟练掌握等边三角形、等腰三角形、直角三角形的性质是解题的关键．
【变式7-3】（2023春·河北廊坊·八年级统考期末）（1）尺规作图：过点A作直线l的垂线．
作法如下：
①以点A为圆心，a为半径作弧交直线l于C、D两点；
②分别以C、D为圆心，a长为半径作弧，两弧在l下方交于点E，连接（路径最短）；
i根据题意，利用直尺和圆规补全图形；
ii作图依据为______________
（2）画一画，想一想：如图，已知．你能用手中的三角板作出的角平分线吗？写出作法，并证明．
【答案】（1）作图见解析，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分上；
（2）见解析
【分析】（1）按照要求直接作图，根据垂直平分线的性质可得答案；
（2）按照角平分线的作法作出图形，并用全等三角形的判定定理进行证明．
【详解】（1）如图所示，
连接,
由作法得：，
∴，在的垂直平分线上，
∴
∴作图依据为：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分上．
故答案为：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分上．
（2）作法：①在上，利用刻度尺截取，
利用三角板的直角作交于点，
③作射线，
则为的角平分线．
证明：∵
∴
在和中，
，
∴
∴
即为的角平分线．
【点睛】本题考查基本作图——垂线和角平分线，解题的关键是熟练掌握垂直平分线和角平分线的性质．
【题型8 轴对称中的旋转】
【例8】（2023春·山西太原·八年级校考期末）如图，在折线段中，可绕点旋转，，，线段上有一动点，将线段分成两部分，旋转，，当三条线段，，首尾顺次相连构成等腰三角形时，的长为（ ）
A．3 B．2或3 C．2或4 D．2或3或4
【答案】A
【分析】分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和三角形的三边关系可求解．
【详解】解：当时，
，
，
当时，则，
，
三条线段，，不能构成三角形，
当时，则，
，
三条线段，，不能构成三角形，
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
【变式8-1】（2023春·河南南阳·八年级统考期末）一副直角三角尺按如图①所示叠放，现将含45°的三角尺固定不动，将含30°的三角尺绕顶点A顺时针旋转.如图②，当时，此时.继续旋转三角尺，使两块三角尺至少有一组边互相平行，则（）其他所有可能符合条件的度数为
【答案】15°、60°、105°或135°
【分析】分四种情况进行讨论，分别依据平行线的性质进行计算即可得到的度数，再找到关于点中心对称的情况即可求解．
【详解】解：如图②，当 时，
；
如图所示，当时，
；
如图所示，当 （或）时，
；
如图所示，当时，
．
故答案为：、、或．
【点睛】本题主要考查的是平行线的判定和性质，根据题意画出图形，利用平行线的性质及直角三角形的性质求解是解题的关键．
【变式8-2】（2023春·江苏无锡·八年级校联考期末）如图，在中，，以点B为旋转中心把按顺时针方向旋转得到，点恰好落在上，连接，则度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由旋转知，，，由等边对等角及三角形内角和定理可求，，，，从而求得．
【详解】解：由旋转知，，，，
∴，，
∴，，
∵中，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查等腰三角形等边对等角，三角形内角和定理，由定理得到角之间数量关系是解题的关键．
【变式8-3】（2023春·浙江宁波·八年级统考期末）如图，在中，，，为边的中点，，绕点旋转，它的两边分别交和的延长线于，，当点在延长线上时，，，的关系为（ ）
A．= B．=
C．= D．=
【答案】A
【分析】连接CD，证明△CDE≌△BDF（ASA），由全等三角形的性质得出S△CDE=S△BDF，则可得出结论．
【详解】解：连接CD，如图所示：
∵AC=BC，∠ACB=90°，D为AB中点，
∴∠ABC=45°，∠ACD=∠ACB=45°，CD⊥AB，CD=AD=BD，
∴∠DCE=∠DBF，∠CDB=90°，
∵∠EDF=90°，
∴∠CDE=∠BDF，
在△CDE和△BDF中，
∴△CDE≌△BDF（ASA），
∴S△CDE=S△BDF，
∴S△DEF=S△CFE+S△DBC，
=S△CFE+S△ABC，
∴S△DEF-S△CFE=S△ABC．
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、图形面积的求法；证明三角形全等是解决问题的关键．
【题型9 轴对称中规律探究】
【例9】（2023春·宁夏中卫·八年级统考期末）如图在中，，分别交，于点，，交的延长线于点．
(1)若，求的大小；
(2)如果将（1）中的的度数改为，其余条件不变，再求的大小；
(3)分析（1），（2）两问，你认为存在什么样的规律？试用文字概括；
(4)将（1）中的改为钝角，对这个问题规律的认识是否需要加以修改？说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)当为锐角时，．
(4)需要加以修改，需改为：当为顿角时，，理由见解析
【分析】（1）根据等边对等角结合三角形内角和定理，即可求出，再根据，即可求出；
（2）同理即可求；
（3）设，根据等边对等角结合三角形内角和定理，即可求出．再根据，即可得出，即；
（4）画出图形，设，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理同样可求出，再根据结合三角形外角性质即可求出，即．
【详解】（1）∵，
∴．
∵，
∴；
（2）同理可得，
∴；
（3）当为锐角时，．
设，
∵，
∴．
∵，
∴．
故；
（4）需要加以修改，需改为：当为顿角时，，
理由：如图，
设，
∵，
∴．
∵，
∴．
∴，即．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理和三角形外角性质等知识．利用数形结合的思想是解题关键．
【变式9-1】（2023·北京·八年级专题练习）如图，在射线，上分别截取，连接，在，上分别截取，连接，按此规律作下去，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据等腰三角形两底角相等结合三角形外角性质用表示出，依此类推即可得到结论．
【详解】解：，，
，
同理，
∴，
，
，
故选：．
【点睛】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，和三角形外角性质,图形的变化规律，依次求出每个三角形的一个底角，得到分母成2的指数次幂变化，分子不变的规律是解题的关键．
【变式9-2】（2023春·八年级单元测试）观察规律并填空：，, ,
【答案】
【详解】分析：根据已知得出是连续的偶数且每两个数组成轴对称图形进而得出答案．
详解：由题意得出：
数据是连续的偶数且每两个数组成轴对称图形，故空格处应该是．
故答案为．
点睛：此题主要考查了轴对称图形的性质，根据题意得出数组变化规律是解题关键．
【变式9-3】（2023春·云南大理·八年级统考期末）同学们，我们已学习了角平分线的概念和性质，那么你会用它们解决有关问题吗？
（1）如图（1），已知，请你画出它的角平分线，并填空：因为OC是的平分线，所以∠______=∠______
（2）如图（2），已知，若将沿着射线OC翻折，射线OA落在OB处，请你画出射线OB，射线OC一定平分．
理由如下：因为是由翻折而成，而翻折不改变图形的形状和大小，所以_______，所以射线_________是∠_________的角平分线．
拓展应用
（3）如图（3），将长方形纸片的一角折叠，使顶点A落在C处，折痕为，再将它的另一个角也折叠，顶点B落在OC上的D处并且使OD过点C，折痕为OF．直接利用（2）的结论；
①若，求的度数．（写出计算说理过程）
②若，求的度数，从计算中你发现了的度数有什么规律？（写出计算说理过程）
【答案】（1）∠AOC，∠BOC；（2）∠AOC，OC，∠AOB；（3）①，过程见解析，②90°，始终是90°，过程见解析．
【分析】(1)根据角的平分线的定义解答即可；
(2)根据折叠的意义解答即可；
(3)①根据折叠的意义，平角的定义，角平分线的定义解答即可；②根据计算探究规律．
【详解】解：（1）如图(1)，根据角的平分线的定义，知∠AOC＝∠BOC，
故答案为：∠AOC，∠BOC；
（2）如图(2)，AOC，所以射线OC_是∠AOB的角平分线，
故答案为：∠AOC，OC，∠AOB；
（1）（2）（3）
（3）①由（2）“翻折”结论得
，，
而
，
所以，
所以；
②当时，同理可得，，
，
所以，
综上所述，发现始终是90°．
【点睛】本题考查了角的平分线，角的平分线的基本作图，折叠的意义，折叠的应用，熟练掌握角的平分线的意义和折叠的意义是解题的关键．
【题型10 等边三角形的十字结合模型】
【例10】（2023春·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考期末）如图是等边三角形，点、分别在边、上，、交于点，，为的角平分线，点在的延长线上，连接、，，①；②；③；④；其中说法正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】先证明，得到，可判断①；过点H作交延长线于N，作于M，由角平分线的性质得，可证明，推出是等边三角形，再证明，，可判断④；根据角之间的关系得出，即，可判断③；在上截取，证明，得出，根据线段的和差，可判断②．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，，
∵，，
∴，
在和△CAE中，，
∴，
∴，故①正确；
过点H作交延长线于N，作于M，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，④正确；
∵，，
∴，
∴，③错误；
在上截取，
∵，
∴是等边三角形，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，故②正确，
∴正确的有：①②④，
故选：C．
【点睛】本题考查等边三角形的性质及判定，全等三角形的性质及判定，角平分线的性质定理，涉及三角形面积等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
【变式10-1】（2023春·河南许昌·八年级统考期末）如图，在等腰中，，，是等边三角形，P是平分线上一动点连接、，则的最小值为 ．
【答案】20
【分析】连接，根据等腰三角形的性质可证垂直平分，即可得到，再根据当B，P，D在同一直线上时，的最小值为线段长，即可得出的最小值为20．
【详解】解：如图，连接，
∵点P是的角平分线上一动点，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴当B，P，D在同一直线上时，的最小值为线段长，
又∵是等边三角形，，
∴的最小值为20，
故答案为：20．
【点睛】本题主要考查了最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
【变式10-2】（2023春·福建厦门·八年级福建省厦门第六中学校考期中）如图，等边三角形中，点，分别在，边上，且，，相交于点．
(1)不添加辅助线，请在图中找出与相等的线段，并证明．
(2)若于，，，求的长．
【答案】(1)；证明见解析
(2)
【分析】（1）由证明即可；
（2）根据三角形全等的性质得出，，求出，证明，根据，求出，根据直角三角形的性质得出．
【详解】（1）解：；理由如下：
∵为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
即，
在和中，，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形的外角与内角的关系的运用，全等三角形的判定与性质的运用，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法证明．
【变式10-3】（2023春·福建厦门·八年级福建省厦门第六中学校考期中）如图，等边三角形中，点，分别在，边上，且，，相交于点．
(1)不添加辅助线，请在图中找出与相等的线段，并证明．
(2)若于，，，求的长．
【答案】(1)；证明见解析
(2)
【分析】（1）由证明即可；
（2）根据三角形全等的性质得出，，求出，证明，根据，求出，根据直角三角形的性质得出．
【详解】（1）解：；理由如下：
∵为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
即，
在和中，，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形的外角与内角的关系的运用，全等三角形的判定与性质的运用，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法证明．
【题型11 勾股数的运用】
【例11】（2023春·江苏南通·八年级统考期末）勾股定理最早出现在《周解算经》：“勾广三，股修四，弦隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点如下：勾为奇数，弦与股相差1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…若此类勾股数的勾为（，为正整数），则其弦是（结果用含的式子表示）（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意得为偶数，设其股是，则弦为，根据勾股定理列方程即可得到结论．
【详解】解：为正整数，
为偶数，设其股是，则弦为，
根据勾股定理得，，
解得，
弦是，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股数，勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理．
【变式11-1】（2023春·安徽合肥·八年级统考期末）下列各组是勾股数的是（ ）
A． B．
C．，，c＝ D．
【答案】A
【分析】根据勾股数的概念对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、∵，
∴能构成勾股数，符合题意；
B、∵不是整数，
∴不能构成勾股数，不符合题意；
C、∵不是整数，
∴不能构成勾股数，不符合题意；
D、∵，
∴不能构成勾股数，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查的是勾股数，熟知“满足的三个正整数为勾股数”是解题的关键．
【变式11-2】（2023春·广西河池·八年级统考期末）当直角三角形的三边长都是正整数时，我们称这三个数为勾股数，如：3，4，5都是正整数，且，所以3，4，5是勾股数．观察下列各勾股数有哪些规律；
3，4，5； 9，40，41；
5，12，13； ……；
7，24，25； ，，．
(1)当时，求，的值
(2)判断10，24，26是否为一组勾股数？若是，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)10，24，26是勾股数，见解析
【分析】（1）先观察已有的勾股数，得到，再利用勾股定理进行求解即可；
（2）利用勾股数的定义进行判断即可．
【详解】（1）解：观察已有的勾股数可得，
∴，
把代入，
解得（负值已舍掉），
∴；
（2）10，24，26是勾股数．
∵．
又∵10，24，26都是正整数
根据勾股数的定义，可知10，24，26是勾股数．
【点睛】本题考查勾股数．熟练掌握勾股数的定义，是解题的关键．
【变式11-3】（2023春·重庆九龙坡·八年级统考期末）我们知道，如果直角三角形的三边的长都是正整数，这样的三个正整数就叫做一组勾股数．如果一个正整数c能表示为两个正整数a，b的平方和，即，那么称a，b，c为一组广义勾股数，c为广义斜边数，则下面的结论：①m为正整数，则3m，4m，5m为一组勾股数；②1，2，3是一组广义勾股数；③13是广义斜边数；④两个广义斜边数的和是广义斜边数；⑤若，其中k为正整数，则a，b，c为一组勾股数；⑥两个广义斜边数的积是广义斜边数．依次正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④⑤ C．③④⑤ D．①③⑤
【答案】D
【分析】根据题目中所给的勾股数．广义勾股数，广义斜边数的定义，分析选项找出结论正确的即可．
【详解】解：由题意可知：
①m为正整数，则3m，4m，5m为一组勾股数；结论正确；
②1，2，3是一组广义勾股数；∵，∴不满足，不能成为广义勾股数，故结论不正确；
③13是广义斜边数；∵，∴结论正确；
④两个广义斜边数的和是广义斜边数；例如，，但是7不是广义斜边数，故结论不正确；
⑤若，其中k为正整数，则a，b，c为一组勾股数；∵，，满足：，故结论正确；
⑥两个广义斜边数的积是广义斜边数．例如，但是4不是广义斜边数，故结论不正确；
故正确的结论为：①③⑤．
故选：D
【点睛】本题考查勾股数．广义勾股数，广义斜边数的定义，解题的关键是理解题意，根据题干中的定义解答．
【题型12 勾股树的探究】
【例12】（2023春·全国·八年级期中）“勾股树”是以正方形－边为斜边向外作直角三角形 ，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这－过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似－－棵树而得名．假设下图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第五代勾股树中正方形的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由已知图形观察规律，即可得到第五代勾股树中正方形的个数．
【详解】解：由题意可知第一代勾股树中正方形有（个），
第二代勾股树中正方形有（个），
第三代勾股树中正方形有（个），
由此推出第五代勾股树中正方形有（个）
故选：B．
【点睛】本题考查了图形类规律探索的相关问题，仔细观察从图中找到规律是解题的关键．
【变式12-1】（2023春·河北石家庄·八年级统考期末）如图是一株美丽的勾股树，其作法为：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作两个正方形，计为②．依此类推…若正方形①的面积为16，则正方形③的面积是 ．
【答案】4．
【分析】根据勾股定理可得两条直角边的平方和等于斜边的平方，即第①个正方形的面积＝第②个正方形面积的两倍；同理，第③个正方形面积是第②个正方形面积的一半，依此类推即可解答．
【详解】解：第①个正方形的面积为16，
由分析可知：第②个正方形的面积为8，
第③个正方形的面积为4，
故答案为：4．
【点睛】本题是图形类的变化规律题，考查了勾股定理与面积的关系及等腰直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．
【变式12-2】（2023春·湖南长沙·八年级长郡中学校考期末）勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，其中蕴含着丰富的科学知识和人文价值．如图所示，是一棵由正方形和含角的直角三角形按一定规律长成的勾股树，树的主干自下而上第一个正方形和第一个直角三角形的面积之和为，第二个正方形和第二个直角三角形的面积之和为，…，第个正方形和第个直角三角形的面积之和为．
设第一个正方形的边长为1．
请解答下列问题：
（1） ．
（2）通过探究，用含的代数式表示，则 ．
【答案】 （为整数）
【分析】根据正方形的面积公式求出面积，再根据直角三角形三条边的关系运用勾股定理求出三角形的直角边，求出S1，然后利用正方形与三角形面积扩大与缩小的规律推导出公式．
【详解】解：（1）∵第一个正方形的边长为1，
∴正方形的面积为1，
又∵直角三角形一个角为30°，
∴三角形的一条直角边为，另一条直角边就是，
∴三角形的面积为，
∴S1=；
（2）∵第二个正方形的边长为，它的面积就是，也就是第一个正方形面积的，
同理，第二个三角形的面积也是第一个三角形的面积的，
∴S2=（） ，
依此类推，S3=（） ，
即S3=（） ，
Sn=（n为整数）．
故答案为：（1） ；（2）（为整数）
【点睛】本题考查勾股定理的运用，正方形的性质以及含30°角的直角三角形的性质．能够发现每一次得到的新的正方形和直角三角形的面积与原正方形和直角三角形的面积之间的关系是解题的关键．
【变式12-3】（2023春·山东烟台·八年级统考期中）有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形（如图1），三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生出了4个正方形（如图2），如果按此规律继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”．在“生长”了2022次后形成的图形中所有正方形的面积和是 ．
【答案】2023
【分析】根据勾股定理和正方形的面积公式，知“生长”1次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，即所有正方形的面积和是2×1=2；“生长”2次后，所有的正方形的面积和是3×1=3，推而广之即可求出“生长”2022次后形成图形中所有正方形的面积之和．
【详解】设第一个直角三角形的是三条边分别是a，b，c．
根据勾股定理，得，
由图1可知，“生长”1次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，即所有正方形的面积和是；
由图2可知，“生长”2次后，所有的正方形的面积和是，
···
“生长”了2022次后形成的图形中所有的正方形的面积和是．
故答案为：2023.
【点睛】此题考查了正方形的性质，以及勾股定理，其中能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解本题的关键．
【题型13 由勾股定理在坐标系中求距离】
【例13】（2023春·安徽安庆·八年级统考期中）如图，点P是平面坐标系内一点，则点P到原点的距离是（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】A
【分析】连接，在直角坐标系中，根据点P的坐标是，得，，然后利用勾股定理即可求解．
【详解】解：连接，
∵点P的坐标是，
∴，，
∴点P到原点的距离，
故选：A．
【点睛】此题考查勾股定理、坐标与图形性质的理解，掌握用勾股定理求点P到坐标轴的距离是解题的关键．
【变式13-1】（2023春·湖北武汉·八年级统考期末）在平面直面坐标系中有两点和，则这两点之间的距离是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．7
【答案】C
【分析】根据平面直角坐标系中，两点之间的距离公式，代值求解即可得到答案．
【详解】解：连接，如图所示：
∵，，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查平面直角坐标系中，两点之间的距离，熟练掌握两点之间距离公式的运用是解决问题的关键．
【变式13-2】（2023春·湖北鄂州·八年级统考期中）【复习旧知】结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：数轴上表示4和1的两点之间的距离是3：而；表示－3和2两点之间的距离是：而；表示和两点之间的距离是3，而，一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离公式为．
（1）数轴上表示数的点与表示的点之间的距离为___；
【探索新知】如图1，我们在“格点”直角坐标系上可以清楚看到：要找或的长度，显然是化为求或的斜边长．下面我们以求为例来说明如何解决：
从坐标系中发现：，，所以，，所以由勾殿定理可得：．
（2）在图2中：设，试用表示AB的长：___．
得出的结论被称为“平面直角坐标系中两点间距离公式”；
【学以致用】请用此公式解决如下问题：
（3）如图3，已知：，，C为坐标轴上的点，且使得是以为底边的等腰三角形．请求出C点的坐标．
【答案】（1）3；（2）；（3）或
【分析】（1）由计算即可求出数轴上表示数的点与表示的点之间的距离为；
（2）结合坐标系及各点坐标即可得出各线段的长度．
（3）设点的坐标为或，依次求出即可得出答案．
【详解】解：解：（1）数轴上表示数的点与表示的点之间的距离，
故答案为：3；
（2）结合图形可得：，，．
故答案为：；
（3）若点在轴上，设点的坐标为，
则，即，
解得：，
即点的坐标为；
若点在轴上，设点的坐标为，
则，即，
解得：，
即点的坐标为．
综上可得点的坐标为或．
【点睛】本题考查了勾股定理及两点间的距离公式，看似难度较大，其实不然，注意仔细审题，领悟题意是解题的关键．
【变式13-3】（2023春·湖南·八年级期末）阅读材料，在平面直角坐标系中，已知x轴上两点、的距离记作，如果、是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求间的距离．如下左图，过A、B分别向x轴、y轴作垂线、和、，垂足分别是、、、，直线交于点Q，在中，，，∴．
(1)由此得到平面直角坐标系内任意两点、间的距离公式为： ______．
(2)直接应用平面内两点间距离公式计算点，之间的距离为______．
利用上面公式解决下列问题：
(3)在平面直角坐标系中的两点，，P为x轴上任一点，求的最小值和此时点P的坐标；
(4)应用平面内两点间的距离公式，求代数式的最小值（直接写出答案）．
【答案】(1)
(2)5
(3)，
(4)
【分析】（1）根据题干内容回答即可；
（2）直接利用两点之间距离公式直接求出即可；
（3）利用轴对称求最短路线方法得出点位置，进而求出的最小值；
（4）根据原式表示的几何意义是点到点和的距离之和，当点在以和为端点的线段上时其距离之和最小，进而求出即可．
【详解】（1）解：阅读材料可得：；
（2）平面直角坐标系内任意两点，，，间的距离公式为：，
点，之间的距离为：；
故答案为：5；
（3）作点关于轴对称的点，连接，直线于轴的交点即为所求的点，的最小值就是线段的长度，然后根据两点间的距离公式即可得到结论．
，
，
，
设直线的一次函数表达式为，
把代入 解得 ，
当时，解得，即，
，
即为的最小值为．
故答案为：；
（4）原式，
故原式表示点到和的距离之和．
由两点之间线段最短，点在以和为端点的线段上时，原式值最小．
利用公式可得，原式．
【点睛】此题主要考查了利用轴对称求最值问题以及两点之间距离公式，正确转化代数式为两点之间距离问题是解题关键．
【题型14 由勾股定理探究图形面积】
【例14】（2023春·河南新乡·八年级河南师大附中校考期末）如图，在中，，，若以边和边向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形．记的面积是，的面积是，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由勾股定理求出，由等腰直角三角形的性质得出，，，即可得出结果．
【详解】解：，，
和为等腰直角三角形，
，，
，
故选：．
【点睛】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质、三角形面积的计算方法，熟练掌握勾股定理和等腰直角三角形的性质是解决问题的关键．
【变式14-1】（2023春·吉林四平·八年级统考期末）如果一个三角形，三条边的长度之比为，且周长为，那么这个三角形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设这个三角形的三条边的长度分别为，根据周长为列出方程并求得三边长度；然后由勾股定理逆定理判定该三角形为直角三角形，由三角形的面积公式作答即可．
【详解】解：设这个三角形的三条边的长度分别为，
∵三角形的周长为，
则，
解得，
则该三角形的三条边的长度分别为，
∵，
则该三角形为直角三角形，两直角边长分别为，
∴面积为: ，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出方程求得三角形的三条边的长度．
【变式14-2】（2023春·广西南宁·八年级校联考期中）现有如图1的8张大小形状相同的直角三角形纸片，三边长分别是a、b、c．用其中4张纸片拼成如图2的大正方形（空白部分是边长分别为a和b的正方形）；用另外4张纸片拼成如图3的大正方形（中间的空白部分是边长为c的正方形）．
(1)观察：从整体看，整个图形的面积等于各部分面积的和．所以图2和图3的大正方形的面积都可以表示为，结论①；图2中的大正方形的面积又可以用含字母a、b的代数式表示为： ，结论②；图3中的大正方形的面积又可以用含字母a、b、c的代数式表示为： ，结论③；
(2)思考：结合结论①和结论②，可以得到一个等式 ；结合结论②和结论③，可以得到一个等式 ；
(3)应用：若分别以直角三角形三边为直径，向外作半圆（如图4），三个半圆的面积分别记作，且，求的值．
(4)延伸：若分别以直角三角形三边为直径，向上作三个半圆（如图5），直角边，，斜边，求图中阴影部分面积和．
【答案】(1)；
(2)；
(3)
(4)
【分析】（1）图2的大正方形的面积等于四个直角三角形的面积加上两个正方形的面积，图3的大正方形的面积等于四个直角三角形的面积加上中间空白正方形的面积；
（2）根据两种方法表示的大正方形的面积相等整理即可得解；
（3）根据结论②求出，然后进行计算即可得解；
（4）根据结论③求出阴影部分的面积等于直角三角形的面积，然后列式计算即可得解．
【详解】（1）解：图2：；
图3：；
（2）解：结合结论①和结论②，可以得到一个等式：；
结合结论②和结论③，可以得到一个等式：，
即，；
（3）解：，，，
，
，
，
，
解得；
（4）解：由“应用”的解答过程可知：
∴阴影部分面积和，
，，
阴影部分面积和．
【点睛】本题考查了勾股定理，完全平方公式的几何背景，读懂题目材料的信息并用两种方法准确表示出同一个图形的面积是解题的关键．
【变式14-3】（2023春·湖南衡阳·八年级校考期中）在中， ，，则的面积是 ．
【答案】或
【分析】作交于点，设，用勾股定理得出，再由可得是的倍列出方程可得的值，再根据三角形的面积公式可得答案．
【详解】解：作交于点，
设，则．
在中，
．
∵中，，
∴ ，即，
∴，
解得或．
∴ 或 ，
∴的面积 或 ．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题主要考查了勾股定理以及30度直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理．
【题型15 由勾股定理求线段长度】
【例15】（2023春·广东佛山·八年级佛山市华英学校校考期中）如图，的周长为，其中，．
(1)______；
(2)判断是否为直角三角形，并说明理由．
(3)过点A作，，在上取一点D，使得，求的长度．
【答案】(1)；
(2)是直角三角形，理由见解析；
(3)1
【分析】（1）由三角形周长公式可求解；
（2）由勾股定理的逆定理可证是直角三角形；
（3）利用勾股定理可求解．
【详解】（1）解：∵的周长为，，，
∴，
故答案：；
（2）解：是直角三角形，理由如下：
∵，，
∴，
∴是直角三角形；
（3）解：∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，勾股定理，掌握勾股定理的性质是解题的关键．
【变式15-1】（2023春·山西太原·八年级校联考期中）如图，，且，，，则DC的长度为（ ）
A．3 B．8 C．4 D．9
【答案】A
【分析】在中先根据勾股定理求出的长，再在中根据勾股定理即可得出结论．
【详解】，，，
．
在中，
，，，
．
故选：A．
【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
【变式15-2】（2023春·山东济南·八年级统考期末）如图，在中，，线段的垂直平分线交于点O，则的长度为 ．
【答案】
【分析】连接，延长交于H，根据得，可得，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理得到，在中，根据勾股定理求解即可．
【详解】解：如图：连接，延长交于H，
∵线段的垂直平分线交于点O，
∴,
∵，
,
在和中，，
，
∴，
∴平分，
∵
∴，
∴，
在中，,
解得：．
故答案为．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，正确作出辅助线是解题的关键．
【变式15-3】（2023春·重庆合川·八年级统考期末）如图，在等腰三角形中，底边，D是上一点，连接．
(1)求证：是直角三角形；
(2)求边的长度．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理直接得出结论；
（2）设腰长为x，在中，利用勾股定理列出x的方程，求出x的值，进而利用三角形的面积公式求出答案．
【详解】（1）解：，
，
是直角三角形；
（2）解：设腰长．
在中，，
，
解得，
即：．
【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理、等腰三角形的性质，解题的关键是利用勾股定理求出腰长，此题难度不大．
【题型16 由勾股定理证明线段之间的关系】
【例16】（2023春·四川成都·八年级校联考期中）已知是等边三角形．
(1)如图1，也是等边三角形．点A、B、E三点不共线，求证：；
(2)如图2，点D是外一点，且，请证明结论；
(3)如图3，点D是等边三角形外一点，若．试求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）连接．根据证明即可解决问题；
（2）以为边向下作等边，连接．证明，推出，再证明，即可解决问题；
（3）以为边向下作等边，连接，作交的延长线于．同法可证：，可得，设，，利用勾股定理构建方程组，求出，即可解决问题．
【详解】（1）解：证明：如图1中，连接．
，都是等边三角形，
，，，
，
，
．
（2）如图2中，以为边向下作等边，连接．
，都是等边三角形，
，，，
，
，
，
，，
，
，
，，
．
（3）如图3中，以为边向下作等边，连接，作交的延长线于．
同法可证：，
，设，，
则有，
解得，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考压轴题．
【变式16-1】（2023春·湖北十堰·八年级校联考期中）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，且，点B在y轴上，且．
(1)求线段的长；
(2)若点E在线段上，，且，求的值；
(3)在（2）的条件下，过点O作，交于点M，试证明：
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【分析】（1）根据即可解决．
（2）先证明得，所以即可解决．
（3）结论：．只要证明，，在中利用勾股定理即可证明．
【详解】（1）在中，
∵，
∴．
（2）∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
（3）结论：，理由如下：
连接．∵，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
由（1）可知，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题关键是寻找全等三角形，属于中考常考题型．
【变式16-2】（2023春·河南鹤壁·八年级统考期末）亲爱的同学们，在全等三角形中，我们见识了很多线段关系的论证题，下面请你用本阶段所学知识，分别完成下列题目．
(1)如图，已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．证明：；
(2)如图，和均为等腰直角三角形，，点、、在同一直线上，为中边上的高，连接．容易证明，则：
①的度数为______；
②直接写出、、之间的数量关系．
(3)如图，中，若，为的中点，交、于、，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)①；②
(3)见解析
【分析】（1）利用证明，得到，，即可得到结论成立；
（2）①由等腰直角三角形的性质，得，则，由全等三角形的性质，，即可求出的度数；②由全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质，得到，，即可得到；
（3）延长到点，使，连接，，证明，得到，再根据勾股定理解答即可．
【详解】（1）证明：如图，
，直线，直线，
，
，
，
，
，
，，
；
（2）解：①和均为等腰直角三角形，，
，
，
，
，，
，
故答案为：；
②，理由如下：
为等腰直角三角形，为中边上的高，
，
，
；
（3）证明：如图，延长到点，使，连接，，
是的中点，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，即，
中，，
，，
，
．
【点睛】本题是三角形综合题，考查的是全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，以及勾股定理的应用，掌握全等三角形的判定和性质是解本题的关键．
【变式16-3】（2023春·广东广州·八年级校考期中）如图，点A为x轴负半轴上一点，点B为y轴正半轴上一点，点C为x轴正半轴上一点，，，,且a、b、c满足有意义．
(1)若，求__________________；
(2)如图1，点P在x轴上（点P在点A左边），以为直角边在的上方作等腰直角三角形，求证：；
(3)如图2，点M为中点，点E为射线上一点，点F为射线上一点，且，设，，请求出的长度（用含m、n的代数式表示）．
【答案】(1)
(2)证明见解析；
(3)
【分析】（1） 根据二次根式的非负性可求得，再结合勾股定理可求得的值；
（2）连接，证明，再由全等三角形的性质及勾股定理即可证明；（3）分情况讨论，当点E在线段上时，当点E在线段延长线上时，分别画出图形，作出辅助线，利用三角形全等和勾股定理得出结论即可．
【详解】（1）解：∵a、b满足有意义，
∴且，
∴，即，，
；
（2）证明：连接，由（1）可得，
∵两个坐标轴垂直，
∴，
∴，
又∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．，，
∵，
∴，
∴，
即，
∴即；
（3）当点E在线段上时，连接，如图所示：
∵，，点M为的中点，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
根据勾股定理得：；
当点E在线段延长线上时，连接，如图所示：
同理可得：，
∴，
∵，
∴，
根据勾股定理得：；
综上分析可知，．
【点睛】本题考查勾股定理，全等三角形的性质和判定，坐标与图形，二次根式的非负性等．（1）中能根据二次根式的非负性得出a=b=c是解题关键；（2）中正确构造辅助线，作出全等三角形是解题关键；（3）能借助全等三角形和线段的和差正确表示线段的长度是解题关键．
【题型17 勾股定理中的规律探究】
【例17】（2023春·四川眉山·八年级统考期末）如图，为等腰直角三角形，，以斜边为直角边作等腰直角三角形，再以为直角边作等腰直角三角形，，按此规律作下去，则的长度为 ．
【答案】
【分析】利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理分别求出各边长，依据规律即可得出答案．
【详解】解：为等腰直角三角形，，
，
为等腰直角三角形，
．
为等腰直角三角形，
．
为等腰直角三角形，
．
的长度为．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形的性质以及勾股定理，熟练应用勾股定理得出斜边是解题关键．
【变式17-1】（2023春·云南昆明·八年级统考期末）如果正整数a、b、c满足等式，那么正整数a、b、c叫做勾股数．某同学将自探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知的值为（ ）
a b c
3 4 5
8 6 10
15 8 17
24 10 26
… … …
x 14 y
A．67 B．34 C．98 D．73
【答案】C
【分析】依据每列数的规律，即可得到，，，进而得出的值．
【详解】解：由题可得，，，，
，，，（且n为正整数）
当时，
解得：，
，，
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了勾股数，满足的三个正整数，称为勾股数．
【变式17-2】（2023春·湖北咸宁·八年级统考期末）如图是第七届国际数学教育大会的会徽图案，它是由一串有公共顶点O的直角三角形组成的，图中的，按此规律，在线段，，，，中，长度为整数的线段有 条．
【答案】
【分析】，根据勾股定理可得，，找到的规律，即可得到结论．
【详解】解：∵如图是由一串有公共顶点O的直角三角形组成的，
图中的，
∴由勾股定理可得：
，
，
……
∴，
∴在线段，，，，中，完全平方数有，，．
∴故长度为整数的线段有条．
故答案为：．
【点睛】本题考查勾股定理的灵活运用．本题中找到的规律是解题的关键．
【变式17-3】（2023春·江西南昌·八年级校考期中）在平面直角坐标系中，将若干个边长为2个单位长度的等边三角形按如图所示的规律摆放，点P从原点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿着等边三角形的边→→→→…的路线运动，设第n秒运动到点（n为正整数），则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】通过观察可得，每6个点的纵坐标规律：，0，，0，，0，点的横坐标规律：1，2，3，4，5，6，…，n，点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿着等边三角形的边“…”的路线运动，1秒钟走一段，P运动每6秒循环一次，点P运动n秒的横坐标规律：1，2，3，4，5，6，…，n，点P的纵坐标规律：，0，，0，，0，…，确定循环的点即可．
【详解】解：过点作轴于B，
∵图中是边长为2个单位长度的等边三角形，
∴，
∴，
∴，，
同理，，
，，
，
…
∴中每6个点的纵坐标规律：，0，，0，，0，
点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿着等边三角形的边“…” 的路线运动，1秒钟走一段，
∴P运动每6秒循环一次，
∴点P的纵坐标规律：，0，，0，，0，…，
点P的横坐标规律： 1，2，3，4，5，6，…，，
∵，
∴点的纵坐标为，
∴点的横坐标为，
∴点的坐标，
故选C．
【点睛】本题考查点的坐标变化规律，平面直角坐标系中点的特点及等边三角形的性质，勾股定理，确定点的坐标规律是解题的关键．
【题型18 由勾股定理求最值】
【例18】（2023春·安徽六安·八年级校考期中）如图，已知，点为内的两个动点，且，，，点分别是上的动点，则的最小值是（ ）
A．5 B．7 C．8 D．10
【答案】A
【分析】作点关于直线的对称点，连接，作点关于直线的对称点，连接，连接，可知，当，，，在同一条直线上时，可以取得最小值，最小值等于的长度，即的最小值等于的长度，利用勾股定理即可求得的长度．
【详解】如图所示，作点关于直线的对称点，连接，作点关于直线的对称点，连接，连接．
根据轴对称图形的性质可知，，
∴．
根据题意可知，当，，，在同一条直线上时，可以取得最小值，最小值等于的长度，即的最小值等于的长度．
根据轴对称图形的性质可知，，
∴．
∴．
根据轴对称图形的性质可知，，
∴．
∴的最小值等于．
故选：．
【点睛】本题主要考查轴对称图形的性质和勾股定理，根据题目要求构建轴对称图形是解题的关键．
【变式18-1】（2023春·贵州贵阳·八年级统考期中）如图，等腰和等腰的腰长分别为4和2，其中，M为边的中点．若等腰绕点A旋转，则点B到点M的距离的最大值为 ．
【答案】
【分析】连接．由三线合一得，利用勾股定理求出，然后利用三角形三条边的关系求解即可.
【详解】如图，连接．
∵M为边的中点，且为等腰直角三角形，
∴，．
在中，，
由勾股定理可知，即．
当A，B，M三点不共线时，由三角形的三边关系可知，
此时一定有；当A，B，M三点共线且点M不位于点A，B之间时，此时有，
∴，
即点B到点M的距离的最大值为．
【点睛】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，以及三角形三条边的关系，确定当A，B，M三点共线且点M不位于点A，B之间时有最大值是解题的关键．
【变式18-2】（2023春·江苏淮安·八年级统考期末）如图，正方形的边长为6，线段在边上左右滑动，若，则的最小值为 ．
【答案】13
【分析】如图，作A于对称点,则，在上截取，然后连接，当三点共线时，有值最小，然后利用勾股定理即可解答．
【详解】解：如图，作A于对称点，
∴，,
在上截取，然后连接，
∵
∴四边形是平行四边形，
∴,
∴，
∴当三点共线时，有值最小，
∵，
∴，
∴，
由勾股定理得:，即最小值为13．
故答案为13．
【点睛】本题主要考查了利用轴对称求最短路径问题、勾股定理等知识点，根据题意确定最小时E，F位置是解题关键．
【变式18-3】（2023春·广东梅州·八年级校考期中）如图，中，，，，点在上，将沿折叠，点落在点处，与相交于点，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】首先利用勾股定理求出，然后确定取最大值时最小，然后利用垂线段最短解决问题．
【详解】解：在中，，，，
，
，，
当最小时，最大，
当时最小，
又 ，解得，
的最小值为，
的最大值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了翻折变换，涉及点到直线最短距离、勾股定理求线段长、等面积法求线段长等知识，灵活运用勾股定理及翻折不变性是解题的关键．
特殊三角形章末 题型大总结
【题型1 利用轴对称的性质求解】
【例1】（2023春·山东青岛·八年级统考期末）如图，在中，点D，E分别在边，上，点A与点E关于直线对称．若，，，则的周长为 ．
【变式1-1】（2023春·江西九江·八年级统考期末）已知中是钝角，以所在直线为对称轴作，若，则的度数为 ．
【变式1-2】（2023春·山东潍坊·八年级统考期中）如图，点P为内一点，分别作出P点关于、的对称点，，连接交于M，交于N，若，则∠MPN的度数是 ．
【变式1-3】（2023春·江苏泰州·八年级校考期中）如图，将△ABC纸片沿DM折叠，使点C落在点的位置，其中点D为AC边上一定点，点M为BC边上一动点，点M与B，C不重合．
（1）若∠A＝84°，∠B＝61°，则∠＝ °；
（2）如图1，当点落在四边形ABMD内时，设∠BM＝∠1，∠AD＝∠2，探索∠与∠1，∠2之间的数量关系，并说明理由；
（3）在点M运动过程中，折叠图形，若∠＝35°，∠BM＝53°，求∠AD的度数．
【题型2 轴对称中的光线反射】
【例2】（2023春·全国·八年级专题练习）光线以如图所示的角度照射到平面镜工上，然后在平面镜，之间来回反射．若，，则等于 ( )
A． B． C． D．
【变式2-1】（2023·八年级单元测试）公元一世纪，正在亚历山大城学习的古希腊数学家海伦发现：光在镜面上反射时，反射角等于入射角．如图1，法线垂直于反射面，入射光线与法线的夹角为入射角，反射光线与法线的夹角为反射角．台球碰撞台球桌边后反弹与光线在镜面上反射原理相同．
如图2，长方型球桌上有两个球，．请你尝试解决台球碰撞问题：
(1)请你设计一条路径，使得球撞击台球桌边反射后，撞到球．在图2中画出，并说明做法的合理性．
(2)请你设计一路径，使得球连续三次撞击台球桌边反射后，撞到球，在图3中画出一种路径即可．
【变式2-2】（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图1，直线l垂直于点B，，点D为中点，一条光线从点A射向D，反射后与直线l交于点E，且有．
(1)求证：；
(2)如图2，连接交于点F，连接交于点H，，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，点P是边上的动点，连接，，，，请问是否存在最小值，若存在，请直接写出最小值，无需证明；若不存在，请说明理由．
【变式2-3】（2023春·上海·八年级专题练习）如图所示，已知边长为2的正三角形ABC中，P0是BC边的中点，一束光线自P0发出射到AC上的P1后，依次反射到AB、BC上的点P2和P3，且1＜BP3＜（反射角等于入射角），则P1C的取值范围是 ．
【题型3 等腰三角形中分类讨论】
【例3】（2023春·重庆南岸·八年级校考期末）如图，中，，，为边上一点（不与、重合），将沿翻折得到，交于点．若为等腰三角形，则为（ ）
A． B．或 C． D．或
【变式3-1】（2023春·陕西渭南·八年级校考期中）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则它的底角为（ ）
A． B． C．或 D．或
【变式3-2】（2023春·广东广州·八年级校考期中）如图，中，动点D在直线上，当为等腰三角形， ．
【变式3-3】（2023春·山西运城·八年级统考期末）如图，在中，，，和关于直线对称，的平分线交于点G，连接，当为等腰三角形时，的度数为 ．
【题型4 双垂直平分线求角度与周长】
【例4】（2023春·广西桂林·八年级统考期末）如图所示，点、是的边上的两点，线段的垂直平分线交于，的垂直平分线恰好经过点，连接、，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（2023春·河北保定·八年级统考期中）如图，在中，，的垂直平分线交于D，的垂直平分线交与E，则的周长等于（ ）
A．6 B．7 C．8 D．12
【变式4-2】（2023春·河北保定·八年级统考期中）如图，在中，平分，平分，点是、的垂直平分线的交点，连接、，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】（2023春·辽宁丹东·八年级校考期中）如图，在中，边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点O，这两条垂直平分线分别交于点D、E．已知的周长为，分别连接，若的周长为，则的长为 ．
【题型5 角平分线与垂直平分线综合运用】
【例5】（2023春·湖南湘西·八年级统考期末）如图，在中，，的平分线与边的垂直平分线相交于点，交的延长线于点，于点，现有以下结论：①；②；③平分；④；其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．1个
【变式5-1】（2023春·山东威海·八年级统考期末）如图，在中，的平分线交于点恰好是的垂直平分线，垂足为．若，则的长为 ．
【变式5-2】（2023春·山东青岛·八年级统考期末）如图，在中，的角平分线与的垂直平分线交于点O，连接．若，则 ．
【变式5-3】（2023春·四川成都·八年级校考期中）如图，中，的角平分线和边的中垂线交于点D，的延长线于点M，于点N．若，则的长为 ．
【题型6 轴对称图形中的面积问题】
【例6】（2023春·陕西榆林·八年级校考期中）如图，在中，垂直平分，平分，，交的延长线于点．
(1)若，求的度数；
(2)若，与的周长之差为8cm，且的面积为，求的面积．
【变式6-1】（2023春·广东深圳·八年级校考期中）如图，，点E是的中点，平分．
(1)求证：是的平分线；
(2)已知，，求四边形的面积．
【变式6-2】（2023春·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考期中）如图，在中，，，点D、E分别是边、上的点，连接，交于点O．
(1)如图1，，过点C作，交的延长线于点F，求证：；
(2)如图2，点D是中点，连接，若，求证：；
(3)如图3，过点C作于点F，延长至点G，使得，点B、O、D、G在同一直线上，若，，直接写出的面积．
【变式6-3】（2023春·江苏泰州·八年级校考期中）如图，，点M、N分别在射线上，，的面积为12，点P是直线上的动点，点P关于对称的点为，点P关于对称的点为，当点P在直线上运动时， ，的面积最小值为 ．
【题型7 轴对称中尺规作图与证明、计算的综合运用】
【例7】（2023春·河南郑州·八年级统考期末）如图，在中，．
(1)请用无刻度的直尺和圆规在边上找一点P，使得点P到点A和点B的距离相等；（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用铅笔作图）
(2)在（1）的条件下，若，，则的周长是___________．
【变式7-1】（2023春·重庆巴南·八年级统考期末）如图，在中，，为的中点，连接．
(1)请用直尺和圆规完成基本作图：
作的垂直平分线交于点，交于点，交于点，连接、；（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）
(2)求证：．（请补全下面的证明过程，不写证明理由）．
证明：∵，为中点，
∴________．
∵为的垂直平分线，
∴，
又∵，
，
∴________．
∴________，
∴．
【变式7-2】（2023春·河南许昌·八年级许昌市第一中学校联考期末）如图，是等边三角形，是中线，延长至E，使．
(1)求证：；
(2)请用无刻度的直尺和圆规作出线段的中点F（不写作法，保留作图痕迹）；若，求的长．
【变式7-3】（2023春·河北廊坊·八年级统考期末）（1）尺规作图：过点A作直线l的垂线．
作法如下：
①以点A为圆心，a为半径作弧交直线l于C、D两点；
②分别以C、D为圆心，a长为半径作弧，两弧在l下方交于点E，连接（路径最短）；
i根据题意，利用直尺和圆规补全图形；
ii作图依据为______________
（2）画一画，想一想：如图，已知．你能用手中的三角板作出的角平分线吗？写出作法，并证明．
【题型8 轴对称中的旋转】
【例8】（2023春·山西太原·八年级校考期末）如图，在折线段中，可绕点旋转，，，线段上有一动点，将线段分成两部分，旋转，，当三条线段，，首尾顺次相连构成等腰三角形时，的长为（ ）
A．3 B．2或3 C．2或4 D．2或3或4
【变式8-1】（2023春·河南南阳·八年级统考期末）一副直角三角尺按如图①所示叠放，现将含45°的三角尺固定不动，将含30°的三角尺绕顶点A顺时针旋转.如图②，当时，此时.继续旋转三角尺，使两块三角尺至少有一组边互相平行，则（）其他所有可能符合条件的度数为
【变式8-2】（2023春·江苏无锡·八年级校联考期末）如图，在中，，以点B为旋转中心把按顺时针方向旋转得到，点恰好落在上，连接，则度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-3】（2023春·浙江宁波·八年级统考期末）如图，在中，，，为边的中点，，绕点旋转，它的两边分别交和的延长线于，，当点在延长线上时，，，的关系为（ ）
A．= B．=
C．= D．=
【题型9 轴对称中规律探究】
【例9】（2023春·宁夏中卫·八年级统考期末）如图在中，，分别交，于点，，交的延长线于点．
(1)若，求的大小；
(2)如果将（1）中的的度数改为，其余条件不变，再求的大小；
(3)分析（1），（2）两问，你认为存在什么样的规律？试用文字概括；
(4)将（1）中的改为钝角，对这个问题规律的认识是否需要加以修改？说明理由．
【变式9-1】（2023·北京·八年级专题练习）如图，在射线，上分别截取，连接，在，上分别截取，连接，按此规律作下去，若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式9-2】（2023春·八年级单元测试）观察规律并填空：，, ,
【变式9-3】（2023春·云南大理·八年级统考期末）同学们，我们已学习了角平分线的概念和性质，那么你会用它们解决有关问题吗？
（1）如图（1），已知，请你画出它的角平分线，并填空：因为OC是的平分线，所以∠______=∠______
（2）如图（2），已知，若将沿着射线OC翻折，射线OA落在OB处，请你画出射线OB，射线OC一定平分．
理由如下：因为是由翻折而成，而翻折不改变图形的形状和大小，所以_______，所以射线_________是∠_________的角平分线．
拓展应用
（3）如图（3），将长方形纸片的一角折叠，使顶点A落在C处，折痕为，再将它的另一个角也折叠，顶点B落在OC上的D处并且使OD过点C，折痕为OF．直接利用（2）的结论；
①若，求的度数．（写出计算说理过程）
②若，求的度数，从计算中你发现了的度数有什么规律？（写出计算说理过程）
【题型10 等边三角形的十字结合模型】
【例10】（2023春·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考期末）如图是等边三角形，点、分别在边、上，、交于点，，为的角平分线，点在的延长线上，连接、，，①；②；③；④；其中说法正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式10-1】（2023春·河南许昌·八年级统考期末）如图，在等腰中，，，是等边三角形，P是平分线上一动点连接、，则的最小值为 ．
【变式10-2】（2023春·福建厦门·八年级福建省厦门第六中学校考期中）如图，等边三角形中，点，分别在，边上，且，，相交于点．
(1)不添加辅助线，请在图中找出与相等的线段，并证明．
(2)若于，，，求的长．
【变式10-3】（2023春·福建厦门·八年级福建省厦门第六中学校考期中）如图，等边三角形中，点，分别在，边上，且，，相交于点．
(1)不添加辅助线，请在图中找出与相等的线段，并证明．
(2)若于，，，求的长．
【题型11 勾股数的运用】
【例11】（2023春·江苏南通·八年级统考期末）勾股定理最早出现在《周解算经》：“勾广三，股修四，弦隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点如下：勾为奇数，弦与股相差1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…若此类勾股数的勾为（，为正整数），则其弦是（结果用含的式子表示）（ ）
A． B． C． D．
【变式11-1】（2023春·安徽合肥·八年级统考期末）下列各组是勾股数的是（ ）
A． B．
C．，，c＝ D．
【变式11-2】（2023春·广西河池·八年级统考期末）当直角三角形的三边长都是正整数时，我们称这三个数为勾股数，如：3，4，5都是正整数，且，所以3，4，5是勾股数．观察下列各勾股数有哪些规律；
3，4，5； 9，40，41；
5，12，13； ……；
7，24，25； ，，．
(1)当时，求，的值
(2)判断10，24，26是否为一组勾股数？若是，请说明理由．
【变式11-3】（2023春·重庆九龙坡·八年级统考期末）我们知道，如果直角三角形的三边的长都是正整数，这样的三个正整数就叫做一组勾股数．如果一个正整数c能表示为两个正整数a，b的平方和，即，那么称a，b，c为一组广义勾股数，c为广义斜边数，则下面的结论：①m为正整数，则3m，4m，5m为一组勾股数；②1，2，3是一组广义勾股数；③13是广义斜边数；④两个广义斜边数的和是广义斜边数；⑤若，其中k为正整数，则a，b，c为一组勾股数；⑥两个广义斜边数的积是广义斜边数．依次正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④⑤ C．③④⑤ D．①③⑤
【题型12 勾股树的探究】
【例12】（2023春·全国·八年级期中）“勾股树”是以正方形－边为斜边向外作直角三角形 ，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这－过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似－－棵树而得名．假设下图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第五代勾股树中正方形的个数为（ ）
A． B． C． D．
【变式12-1】（2023春·河北石家庄·八年级统考期末）如图是一株美丽的勾股树，其作法为：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作两个正方形，计为②．依此类推…若正方形①的面积为16，则正方形③的面积是 ．
【变式12-2】（2023春·湖南长沙·八年级长郡中学校考期末）勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，其中蕴含着丰富的科学知识和人文价值．如图所示，是一棵由正方形和含角的直角三角形按一定规律长成的勾股树，树的主干自下而上第一个正方形和第一个直角三角形的面积之和为，第二个正方形和第二个直角三角形的面积之和为，…，第个正方形和第个直角三角形的面积之和为．
设第一个正方形的边长为1．
请解答下列问题：
（1） ．
（2）通过探究，用含的代数式表示，则 ．
【变式12-3】（2023春·山东烟台·八年级统考期中）有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形（如图1），三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生出了4个正方形（如图2），如果按此规律继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”．在“生长”了2022次后形成的图形中所有正方形的面积和是 ．
【题型13 由勾股定理在坐标系中求距离】
【例13】（2023春·安徽安庆·八年级统考期中）如图，点P是平面坐标系内一点，则点P到原点的距离是（ ）
A．3 B． C． D．
【变式13-1】（2023春·湖北武汉·八年级统考期末）在平面直面坐标系中有两点和，则这两点之间的距离是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．7
【变式13-2】（2023春·湖北鄂州·八年级统考期中）【复习旧知】结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：数轴上表示4和1的两点之间的距离是3：而；表示－3和2两点之间的距离是：而；表示和两点之间的距离是3，而，一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离公式为．
（1）数轴上表示数的点与表示的点之间的距离为___；
【探索新知】如图1，我们在“格点”直角坐标系上可以清楚看到：要找或的长度，显然是化为求或的斜边长．下面我们以求为例来说明如何解决：
从坐标系中发现：，，所以，，所以由勾殿定理可得：．
（2）在图2中：设，试用表示AB的长：___．
得出的结论被称为“平面直角坐标系中两点间距离公式”；
【学以致用】请用此公式解决如下问题：
（3）如图3，已知：，，C为坐标轴上的点，且使得是以为底边的等腰三角形．请求出C点的坐标．
【变式13-3】（2023春·湖南·八年级期末）阅读材料，在平面直角坐标系中，已知x轴上两点、的距离记作，如果、是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求间的距离．如下左图，过A、B分别向x轴、y轴作垂线、和、，垂足分别是、、、，直线交于点Q，在中，，，∴．
(1)由此得到平面直角坐标系内任意两点、间的距离公式为： ______．
(2)直接应用平面内两点间距离公式计算点，之间的距离为______．
利用上面公式解决下列问题：
(3)在平面直角坐标系中的两点，，P为x轴上任一点，求的最小值和此时点P的坐标；
(4)应用平面内两点间的距离公式，求代数式的最小值（直接写出答案）．
【题型14 由勾股定理探究图形面积】
【例14】（2023春·河南新乡·八年级河南师大附中校考期末）如图，在中，，，若以边和边向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形．记的面积是，的面积是，则（ ）
A． B． C． D．
【变式14-1】（2023春·吉林四平·八年级统考期末）如果一个三角形，三条边的长度之比为，且周长为，那么这个三角形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【变式14-2】（2023春·广西南宁·八年级校联考期中）现有如图1的8张大小形状相同的直角三角形纸片，三边长分别是a、b、c．用其中4张纸片拼成如图2的大正方形（空白部分是边长分别为a和b的正方形）；用另外4张纸片拼成如图3的大正方形（中间的空白部分是边长为c的正方形）．
(1)观察：从整体看，整个图形的面积等于各部分面积的和．所以图2和图3的大正方形的面积都可以表示为，结论①；图2中的大正方形的面积又可以用含字母a、b的代数式表示为： ，结论②；图3中的大正方形的面积又可以用含字母a、b、c的代数式表示为： ，结论③；
(2)思考：结合结论①和结论②，可以得到一个等式 ；结合结论②和结论③，可以得到一个等式 ；
(3)应用：若分别以直角三角形三边为直径，向外作半圆（如图4），三个半圆的面积分别记作，且，求的值．
(4)延伸：若分别以直角三角形三边为直径，向上作三个半圆（如图5），直角边，，斜边，求图中阴影部分面积和．
【变式14-3】（2023春·湖南衡阳·八年级校考期中）在中， ，，则的面积是 ．
【题型15 由勾股定理求线段长度】
【例15】（2023春·广东佛山·八年级佛山市华英学校校考期中）如图，的周长为，其中，．
(1)______；
(2)判断是否为直角三角形，并说明理由．
(3)过点A作，，在上取一点D，使得，求的长度．
【变式15-1】（2023春·山西太原·八年级校联考期中）如图，，且，，，则DC的长度为（ ）
A．3 B．8 C．4 D．9
【变式15-2】（2023春·山东济南·八年级统考期末）如图，在中，，线段的垂直平分线交于点O，则的长度为 ．
【变式15-3】（2023春·重庆合川·八年级统考期末）如图，在等腰三角形中，底边，D是上一点，连接．
(1)求证：是直角三角形；
(2)求边的长度．
【题型16 由勾股定理证明线段之间的关系】
【例16】（2023春·四川成都·八年级校联考期中）已知是等边三角形．
(1)如图1，也是等边三角形．点A、B、E三点不共线，求证：；
(2)如图2，点D是外一点，且，请证明结论；
(3)如图3，点D是等边三角形外一点，若．试求的度数．
【变式16-1】（2023春·湖北十堰·八年级校联考期中）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，且，点B在y轴上，且．
(1)求线段的长；
(2)若点E在线段上，，且，求的值；
(3)在（2）的条件下，过点O作，交于点M，试证明：
【变式16-2】（2023春·河南鹤壁·八年级统考期末）亲爱的同学们，在全等三角形中，我们见识了很多线段关系的论证题，下面请你用本阶段所学知识，分别完成下列题目．
(1)如图，已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．证明：；
(2)如图，和均为等腰直角三角形，，点、、在同一直线上，为中边上的高，连接．容易证明，则：
①的度数为______；
②直接写出、、之间的数量关系．
(3)如图，中，若，为的中点，交、于、，求证：．
【变式16-3】（2023春·广东广州·八年级校考期中）如图，点A为x轴负半轴上一点，点B为y轴正半轴上一点，点C为x轴正半轴上一点，，，,且a、b、c满足有意义．
(1)若，求__________________；
(2)如图1，点P在x轴上（点P在点A左边），以为直角边在的上方作等腰直角三角形，求证：；
(3)如图2，点M为中点，点E为射线上一点，点F为射线上一点，且，设，，请求出的长度（用含m、n的代数式表示）．
【题型17 勾股定理中的规律探究】
【例17】（2023春·四川眉山·八年级统考期末）如图，为等腰直角三角形，，以斜边为直角边作等腰直角三角形，再以为直角边作等腰直角三角形，，按此规律作下去，则的长度为 ．
【变式17-1】（2023春·云南昆明·八年级统考期末）如果正整数a、b、c满足等式，那么正整数a、b、c叫做勾股数．某同学将自探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知的值为（ ）
a b c
3 4 5
8 6 10
15 8 17
24 10 26
… … …
x 14 y
A．67 B．34 C．98 D．73
【变式17-2】（2023春·湖北咸宁·八年级统考期末）如图是第七届国际数学教育大会的会徽图案，它是由一串有公共顶点O的直角三角形组成的，图中的，按此规律，在线段，，，，中，长度为整数的线段有 条．
【变式17-3】（2023春·江西南昌·八年级校考期中）在平面直角坐标系中，将若干个边长为2个单位长度的等边三角形按如图所示的规律摆放，点P从原点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿着等边三角形的边→→→→…的路线运动，设第n秒运动到点（n为正整数），则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【题型18 由勾股定理求最值】
【例18】（2023春·安徽六安·八年级校考期中）如图，已知，点为内的两个动点，且，，，点分别是上的动点，则的最小值是（ ）
A．5 B．7 C．8 D．10
【变式8-1】（2023春·贵州贵阳·八年级统考期中）如图，等腰和等腰的腰长分别为4和2，其中，M为边的中点．若等腰绕点A旋转，则点B到点M的距离的最大值为 ．
【变式8-2】（2023春·江苏淮安·八年级统考期末）如图，正方形的边长为6，线段在边上左右滑动，若，则的最小值为 ．
【变式8-3】（2023春·广东梅州·八年级校考期中）如图，中，，，，点在上，将沿折叠，点落在点处，与相交于点，则的最大值为 ．