卷子答案网-一个不只有答案的网站赤峰市名校2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试卷
2023.10
一、单选题（共8小题）
1.空间直角坐标系中，已知点、，则线段的中点坐标为（ ）
A. B. C. D.
2.如图所示，在平行六面体中，，，，是的中点，点是上的点，且，用，，表示向量的结果是（ ）
A. B. C. D.
3.已知，，，则向量与的夹角为（ ）
A.30° B.45° C.60° D.90°
4.在棱长为1的正方体中，则平面与平面之间的距离为（ ）
A. B. C. D.
5.若直线经过，两点，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6.过点且与直线平行的直线方程是（ ）
A. B. C. D.
7.已知直线，直线，若，则（ ）
A. B. C. D.
8.已知六棱锥的底面是正六边形，平面，.则下列命题中正确的有（ ）
①平面平面； ②；
③直线与所成角的余弦值为； ④直线与平面所成的角为45°；
⑤平面.
A.①④ B.①③④ C.②③⑤ D.①②④⑤
二、多选题（共4小题）
9.已知空间中三点，，，则下列结论不正确的有（ ）
A.与是共线向量 B.的单位向量是
C.与夹角的余弦值是 D.平面的一个法向量是
10.下列说法正确的是（ ）
A.直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2
B.直线的倾斜角为45°
C.过，两点的直线方程为
D.直线在轴上截距是
11.已知直线，则下列结论正确的是（ ）
A.直线的倾斜角是
B.若直线，则
C.直线过定点
D.过与直线平行的直线方程是
12.在棱长为1的正方体中中，点在线段上运动，则下列命题正确的是（ ）
A.异面直线和所成的角为定值 B.直线和平面平行
C.三棱锥的体积为定值 D.直线和平面所成的角为定值
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.设点在轴上，点在轴上，的中点是，则等于________.
14.已知直线经过点和点，直线经过点和点.若与没有公共点，则实数的值为________.
15.将正方形沿对角线折起，当以，，，四点为顶点的三棱锥体积最大时，异面直线与所成的角为________.
16.如图所示，在直平行六面体中，，，点在上，且，则点到平面的距离为________.
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17.（10分）已知，，，，，求：
（1），，；
（2）与夹角的余弦值.
18.（12分）如图，在直三棱柱中，，，，，是的中点.
（1）试建立适当的空间直角坐标系，并写出点，的坐标；
（2）求的长
（3）求证：.
19.（12分）已知中，点，，.
（1）求直线的方程；
（2）求边的高线所在的直线方程.
20.（12分）如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）求点到面的距离.
21.（12分）（1）过点，且斜率为的直线的一般式方程方程；
（2）经过点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程；
（3）经过点且与轴，轴正半轴分别交于点，，为坐标原点，求面积的最小值.
22.（12分）如图所示，在四棱锥中，底面四边形是正方形，侧面是边长为的正三角形，且平面底面，为的中点.
（1）求直线与平面所成角的正弦值；
（2）求平面与平面夹角的正弦值.
赤峰市名校2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试卷答案
2023.10
一、单选题（共8小题）
1.【答案】A 2.【答案】D 3.【答案】C
4.【答案】B
【分析】建立如图所示的直角坐标系，求得和平面的一个法向量，
利用向量的距离公式，即可求解.
【详解】建立如图所示的直角坐标系，则，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量，则，
即，解得，故，
显然平面平面，
所以平面与平面之间的距离.
5.【答案】C
【解答】根据题意，直线经过，，则直线的斜率，
又由，则，则有，又由，则；故选：C.
6.【答案】C
【解答】设过点且与直线平行的直线方程为：
，把代入，得.
∴过点且与直线平行的直线方程为.故选C.
7.【答案】B
【解答】直线，直线，
若，则，即，所以，所以.故选：B.
8.【答案】B
【解答】∵平面，∴，在正六边形中，，，∴平面，且面，∴平面平面，故①成立；
∵与在平面的射影不垂直，∴②不成立
∵，直线与所成角为，在中，，∴，∴③成立.
在中，，∴，故④成立.
∵平面，平面平面，∴直线平面也不成立，即⑤不成立.
故选：B.
二、多选题（共4小题）
9.【答案】ABC 10.【答案】ABD 11.【答案】CD
12.【答案】ABC
【分析】A：由正方体的性质判断平面，得出，异面直线与所成的角为90°；B：由，证明平面，即得平面；C：三棱锥的体积等于三棱锥的体积的体积，判断三棱锥的体积为定值；D：找出直线和平面所成的角，可知其不是定值.
【详解】对于A，因为在正方体中，，，
又，，平面，
所以平面，
而平面，所以，
故这两个异面直线所成的角为定值90°，所以A正确；
对于B，因为平面与面是同一平面，，面，平面，
故平面，即平面，故B正确；
对于C，三棱锥的体积等于三棱锥的体积，
而平面为固定平面，且大小一定，
又因为，因，平面，平面，
所以平面，所以点到平面的距离即为点到该平面的距离，为定值，
所以三棱锥的体积为定值，故C正确；
对于D，由线面夹角的定义，令与的交点为，
所以平面，
可得即为直线与平面所成的角，
当移动时这个角是变化的，故D错误.故选：ABC.
【分析】本题考查线面平行的判定，线面垂直的判定及性质，异面直线所成的角，直线与平面所成的角，空间中的距离，属于较难题.
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.【答案】 14.【答案】
15.【答案】
解析 根据题意可知，当最大时，平面平面，
设的中点为，连接，建立空间直角坐标系，如图所示，
令，则，，，，，，，因此，
所以异面直线与所成的角为.
16.【答案】
解析 建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
∴，.
设平面的法向量为，则，
令，则，，∴
∴点到平面的距离.
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17.解：（1）因为，所以，
解得，，则，.
又，所以，即，
解得，于是.
（2）由（1）得，，
设与的夹角为，因为.
所以与夹角的余弦值为.
18.【解答】（1）以为坐标原点，以，，为轴轴轴建立如图所示空间直角坐标系.，
（2）
（3），，所以.
19.【解答】解：（1）由题意可知，直线的斜率，
故直线的方程为即，
（2）边的高线的斜率
故直线边的高线的方程为，即.
20.证明：∵平面平面，平面平面，，平面，∴平面.
以为原点，，，分别为轴、轴、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.
则，，，，，.
（1）∵为的中点，∴，
则，，，
∴，故，，共面.
又平面，∴平面.
（2），，，
∵，∴
又，∴
又，，平面，
∴平面.
21.【解答】（1）利用点斜式可得：直线的方程为：，化为：.
（2）由题可设直线的方程为：，将点代入上式，得：，
∴直线的方程为：或.
（3）直线的方程经过点，所以，又，所以，所以，当且仅当时，即，时，等号成立，所以.
22.【答案】（1）；（2）
【分析】取的中点，连接，证明出平面，然后以点为坐标原点，、所在的直线分别为、轴建立空间直角坐标系.
求得平面的一个法向量，并写出，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值．
【详解】
取的中点，连接，
∵为正三角形，为的中点，则．
又∵平面平面，平面平面，平面，
∴平面．
以点为坐标原点，、所在的直线分别为、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、.
（1）设直线与平面所成的角为，易知平面的一个法向量为，
.
因此，直线与平面所成角的正弦值为.
（2）平面与平面夹角的正弦值.
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