江苏省苏州市立达中学2023-2024八年级上学期10月月考数学试卷(PDF解析版)

2023-2024学年立达中学初二年级 10月份月考数学试卷
一、选择题(每题 2分，共 20分)
1.我们生活在一个充满对称的世界中，生活中的轴对称图形随处可见，下面几幅图片是校园中运动场上代表体育
项目的图标，其中可以看作是轴对称图形的是 ( )
A. 乒乓球 B. 跳远 C. 举重 D. 武术
【答案】C
【解答】解：A、图形不是轴对称图形，不符合题意；
B、图形不是轴对称图形，不符合题意；
C、图形是轴对称图形，符合题意；
D、图形不是轴对称图形，不符合题意．
故选：C．
2.下列长度的三条线段能组成直角三角形的是 ( )
A. 1，1， 2 B. 2，3，4 C. 4，5，6 D. 6，8，11
【答案】A
【解答】解：A、∵ 12+ 12= ( 2)2，∴三条线段能组成直角三角形，故A选项正确；
B、∵ 22+ 32≠ 42，∴三条线段不能组成直角三角形，故B选项错误；
C、∵ 42+ 52≠ 62，∴三条线段不能组成直角三角形，故C选项错误；
D、∵ 62+ 82≠ 112，∴三条线段不能组成直角三角形，故D选项错误；
故选：A．
3.下列各数中是无理数的是 ( )
A. 227 B. 1.2012001 C.
π
3 D. 81
【答案】C
【解答】解：A. 227 是分数，属于有理数；
B.1.2012001是有限小数，属于有理数；
C. π3 是无理数；
D. 81= 9，是整数，属于有理数．
故选：C．
4.为响应习近平总书记“坚决打赢关键核心技术攻坚战”的号召，某科研团队最近攻克了 7nm的光刻机难题，其
中 1nm= 0.000000001m，则 7nm用科学记数法表示为 ( )
A. 7× 10-9m B. 0.7× 10-9m C. 0.7× 10-8m D. 7× 10-8m
【答案】A
【解答】解：7nm= 0.000000007m，
则 7nm用科学记数法表示为 7× 10-9m．
故选：A．
5.已知 a= 5，b= 2，c= 3，则 a、b、c的大小关系是 ( )
A. b> a> c B. a> c> b C. a> b> c D. b> c> a
【答案】C
【解答】解：∵ 3< 4< 5，
初二数学 第 1页 共 14页
{#{QQABSYIQggCoQAAAAQhCAwFCCgOQkBCAAAoGABAMsAAAQBNABAA=}#}
∴ 3< 4< 5，
即 3< 2< 5，
则 a> b> c，
故选：C．
6.等腰三角形的一个内角是 80°，则它的底角是 ( )
A. 50° B. 80° C. 50°或 80° D. 20°或 80°
【答案】C
1
【解答】解：当 80°是等腰三角形的顶角时，则顶角就是 80°，底角为 2 (180° -80°) = 50°；
当 80°是等腰三角形的底角时，则顶角是 180° -80° × 2= 20°．
∴等腰三角形的底角为 50°或 80°．
故选：C．
7.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若∠A= 20°，则∠BDC= ( )
A. 30° B. 40° C. 45° D. 60°
【答案】B
【解答】解：∵∠ACB= 90°，CD是斜边AB上的中线，
∴BD=CD=AD，
∴∠A=∠DCA= 20°，
∴∠BDC=∠A+∠DCA= 20° +20° = 40°．
故选：B．
8.如图，分别以Rt△ABC的三边为斜边向外作等腰直角三角形，若斜边AB= 4，则图中阴影部分的面积为
( )
A. 4 B. 8 C. 10 D. 12
【答案】B
【解答】解：在Rt△AHC中，AC2=AH 2+HC2，AH=HC，
∴AC2= 2AH 2，
∴HC=AH= AC ，
2
CF=BF= BC BE=AE= AB同理： ， ，
2 2
在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2，AB= 4，
S阴影=S△AHC+S
1 1 1
△BFC+S△AEB= 2 HC AH+ 2 CF BF+ 2 AE BE，
= 1 × (AC )2+ 1 × (BC )2+ 1 (AB )2= 1 22 2 2 4 (AC +BC
2+AB2)
2 2 2
初二数学 第 2页 共 14页
{#{QQABSYIQggCoQAAAAQhCAwFCCgOQkBCAAAoGABAMsAAAQBNABAA=}#}
= 14 (AB
2+AB2)
= 1 24 × 2AB
= 1 22 AB
= 12 × 4
2
= 8．
故选：B．
9.如图，AB、BC、CD、DE是四根长度均为 5cm的火柴棒，点A、C、E共线．若AC= 6cm，CD⊥BC，则线段
CE的长度是 ( )
A. 6cm B. 7cm C. 6 cm D. 8cm
【答案】D
【解答】解：由题意知，AB=BC=CD=DE= 5cm，AC= 6cm，
过B作BM⊥AC于M，过D作DN⊥CE于N，
则∠BMC=∠CND= 90°，AM=CM= 1 12 AC= 2 × 6= 3，CN=EN，
∵CD⊥BC，
∴∠BCD= 90°，
∴∠BCM+∠CBM=∠BCM+∠DCN= 90°，
∴∠CBM=∠DCN，
在△BCM和△CDN中，
∠CBM=∠DCN ∠BMC=∠CND，BC=DC
∴△BCM≌△CDN (AAS)，
∴BM=CN，
在Rt△BCM中，
∵BC= 5，CM= 3，
∴BM= BC2-CM 2= 52- 32= 4，
∴CN= 4，
∴CE= 2CN= 2× 4= 8，
故选：D．
初二数学 第 3页 共 14页
{#{QQABSYIQggCoQAAAAQhCAwFCCgOQkBCAAAoGABAMsAAAQBNABAA=}#}
10.如图，在△ABC中，∠ABC= 90°，AB= 8，BC= 12，D为AC边上的一个动点，连接BD，E为BD上的一个动
点，连接AE，CE，当∠ABD=∠BCE时，线段AE的最小值是 ( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】B
【解答】解：如图，取BC的中点T，连接AT，ET．
∵∠ABC= 90°，
∴∠ABD+∠CBD= 90°，
∵∠ABD=∠BCE，
∴∠CBD+∠BCE= 90°，
∴∠CEB= 90°，
∵CT=TB= 6，
∴ET= 12 BC= 6，AT= AB
2+BT2= 82+ 62= 10，
∵AE≥AT-ET，
∴AE≥ 4，
∴AE的最小值为 4，
故选：B．
二、填空题(每题 2分，共 16分)
11. 81的平方根是 ±9 ；
【答案】±9．
【解答】解：∵ (±9)2= 81，
∴ 81的平方根是±9；
故答案为：±9；9．
12.近似数 2.30精确到 百分 位．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：近似数 2.30精确到百分位．
故答案为百分．
初二数学 第 4页 共 14页
{#{QQABSYIQggCoQAAAAQhCAwFCCgOQkBCAAAoGABAMsAAAQBNABAA=}#}
13.等腰三角形的周长为 14cm，一边长为 4cm，则底边长为 4或 6 cm．
【答案】4或 6
【解答】解：当 4cm为腰长时，则底边长为 14- 4× 2= 6(cm)，
∵ 4+ 4> 6，
∴符合题意，
当 4cm为底边长时，则底边长为 4cm，
∵ 4+ 5> 5，
∴符合题意，
综上所述，底边长为 4cm或 6cm．
故答案为：4或 6．
14.如图，AB=AC，则数轴上点C所表示的数为 5- 1 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由勾股定理得，AB= 22+ 12= 5，
∴AC= 5，
∵点A表示的数是-1，
∴点C表示的数是 5- 1．
故答案为： 5- 1．
15.我国古代数学家赵爽巧妙地用“弦图”证明了勾股定理，标志着中国古代的数学成就．如图所示的“弦图”，是
由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．直角三角形的斜边长为 13，一条直角
边长为 12，则小正方形ABCD的面积的大小为 49 ．
【答案】49．
【解答】解：根据勾股定理，得AF= FE 2-AE 2= 133- 123= 5．
所以AB= 12- 5= 7．
所以正方形ABCD的面积为：7× 7= 49．
故答案为：49．
16.如图，AD 是△ABC 中∠ BAC 的角平分线，DE AB 与点 E，S△ABC=24,DE=4,AB=5,则 AC 的长是
7 ．
初二数学 第 5页 共 14页
{#{QQABSYIQggCoQAAAAQhCAwFCCgOQkBCAAAoGABAMsAAAQBNABAA=}#}
【答案】7．
【解答】解：设AC= x，
过D作DF⊥AC于F，
则DF=DE= 4．
∵S△ABD+S△ACD=S△ABC，
∴ 12 AB DE+
1
2 AC DF=
1
2 AB AC，
∴ 12 × 4× (5+ x) = 24，
解得 x= 7，
∴AC= 7．
故答案为：7．
17.如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内两点．AD平分∠BAC，∠EBC=∠E= 60°，若BE= 7cm，
DE= 3cm，则BC= 10 cm．
【答案】10．
【解答】解；过点E作EF⊥BC，垂足为F，延长AD到H，交BC于点H，过点D作DG⊥EF，垂足为G．
∵EF⊥BC，∠EBF= 60°，
∴∠BEF= 30°，
∴BF= 12 BE=
1
2 × 7= 3.5，
∵∠BED= 60°，∠BEF= 30°，
∴∠DEG= 30°．
又∵DG⊥EF，
∴GD= 1 ED= 12 2 × 3= 1.5，
初二数学 第 6页 共 14页
{#{QQABSYIQggCoQAAAAQhCAwFCCgOQkBCAAAoGABAMsAAAQBNABAA=}#}
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AH⊥BC，且BH=CH．
∵AH⊥BC，EF⊥BC，DG⊥EF，
∴四边形DGFH是矩形．
∴FH=GD= 1.5．
∴BC= 2BH= 2× (3.5+ 1.5) = 10．
故答案为：10．
18.如图，在△ABC中，AB=AC= 5，BC= 8，AD是∠BAC的平分线，若 P、Q分别是AD、AC上的动点，则
PC+PQ 24的最小值是 　 5 　．
24
【答案】 5 ．
【解答】解：∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD垂直平分BC，
∴BP=CP，BD= 12 BC=
1
2 × 8= 4，∠ADB= 90°，
由勾股定理，得AD= AB2-BD2= 52- 42= 3．
如图，过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ的长，如图所
示：
∵S = 1 BC AD= 1△ABC 2 2 AC BQ，
∴BQ= BC AD = 8× 3 = 24 ，
AC 5 5
即PC+PQ 24的最小值是 5 ．
24
故答案为：5 ．
三、解答题(共 64分)
19. (1)( 1 -12 ) - 3 -2 (2) 16 -
3 27 - 1+ 916 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：(1)原式= 2- (2- 3) = 2- 2+ 3= 3；
(2) 5原式= 4- 3- 4 =-
1
4 ．
20.求出下列 x的值：
(1) - 27x3+ 8= 0；
(2)3(x- 1)2- 12= 0．
初二数学 第 7页 共 14页
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【答案】见试题解答内容
【解答】解：(1) ∵-27x3+ 8= 0，
∴-27x3=-8，
则 x3= 827 ，
2
解得：x= 3 ；
(2) ∵ 3(x- 1)2- 12= 0，
∴ 3(x- 1)2= 12，
∴ (x- 1)2= 4，
则 x- 1=±2
解得：x= 3或 x=-1．
21.如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是 1，每个小格的顶点叫作格点，以格点为顶点分别按下列要求
画三角形 (涂上阴影)．
(1)在图 1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；
(2)在图 2、图 3中，分别画两个不全等的直角三角形，使它的三边长都是无理数．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：(1)如图 1，即为所求作的图形；
(2)如图 2，3即为所作图形．
22.已知 2a- 1的平方根是±3，3a+ b- 1的立方根是 2，求 2a- b的平方根．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵ 2a- 1的平方根是±3，
∴ 2a- 1= 9，
a= 5，
∵ 3a+ b- 1的立方根是 2，
∴ 3a+ b- 1= 8，
∴ b=-6，
∴ 2a- b= 16，
∴ 2a- b的平方根是±4．
23.如图在四边形ABCD中，AB=BC= 2，CD= 3，DA= 1，且∠B= 90°，求∠DAB的度数．
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【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图所示，连接AC，
∵∠B= 90°，AB=BC= 2，
∴AC= AB2+BC2= 2 2，∠BAC= 45°，
又∵CD= 3，DA= 1，
∴AC2+DA2= 8+ 1= 9，CD2= 9，
∴AC2+DA2=CD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴∠CAD= 90°，
∴∠DAB= 45° +90° = 135°．
故∠DAB的度数为 135°．
24.如图，△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，F为CA的延长线上一点，过点 F作 FG⊥BC于G点，并交
AB于E点，试说明下列结论成立的理由：
(1)AD∥FG；
(2)△AEF是等腰三角形．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：(1) ∵AB=AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵FG⊥BC，
∴AD∥FG．
(2) ∵AB=AC，D是BC的中点，
∴∠BAD=∠CAD，
∵AD∥FG，
初二数学 第 9页 共 14页
{#{QQABSYIQggCoQAAAAQhCAwFCCgOQkBCAAAoGABAMsAAAQBNABAA=}#}
∴∠F=∠CAD，∠AEF=∠BAD，
∴∠F=∠AEF，
∴AF=AE，
即△AEF是等腰三角形．
25.如图，在△ABC中，∠C= 90°，点P在AC上运动，点D在AB上，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线
交BC于点E，交BD于点F，连接DE．
(1)判断DE与DP的位置关系，并说明理由；
(2)若AC= 6，BC= 8，PA= 2，求线段DE的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：(1)DE⊥DP，
理由如下：∵PD=PA，
∴∠A=∠PDA，
∵EF是BD的垂直平分线，
∴EB=ED，
∴∠B=∠EDB，
∵∠C= 90°，
∴∠A+∠B= 90°，
∴∠PDA+∠EDB= 90°，
∴∠PDE= 180° -90° = 90°，
∴DE⊥DP；
(2)连接PE，设DE= x，则EB=ED= x，CE= 8- x，
∵∠C=∠PDE= 90°，
∴PC2+CE 2=PE 2=PD2+DE 2，
∴ 42+ (8- x)2= 22+ x2，
解得：x= 4.75，
则DE= 4.75．
26.如图，△ABC中，∠C= 90°，AB= 5cm，BC= 3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速
度为每秒 2cm，设出发的时间为 t秒
(1)出发 1秒后，△ABP的周长= (7+ 13 )cm，；
(2)当 t= 1.5s或 2.7s 时，△BCP是以BP为底边的等腰三角形；
(3)另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒 1cm，若P、Q两点同时出发，当P、
Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当 t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？
初二数学 第 10页 共 14页
{#{QQABSYIQggCoQAAAAQhCAwFCCgOQkBCAAAoGABAMsAAAQBNABAA=}#}
【答案】见试题解答内容
【解答】解：(1)如图 1所示：
由∠C= 90°，AB= 5cm，BC= 3cm，
∴AC= AB2-BC2= 52- 32= 4(cm)，
动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒 1cm，
∴出发 2秒后，则CP= 2cm，∴AP= 2cm，
∵∠C= 90°，
∴PB= 22+ 32= 13(cm)，
∴△ABP的周长为：AP+PB+AB= 2+ 5+ 13= 7+ 13(cm)，
故答案为：(7+ 13)cm，
(2)分两种情况：
①如图 2所示：
当点P在边AC上时，CP=BC= 3cm，3÷ 2= 1.5(s)，
此时用的时间为 1.5s，△BCP是以BP为底边的等腰三角形；
②如图 3所示：
当点P在边AB上时，CP=BC= 3cm，
过C作斜边AB的高CD，则CD= 3× 45 = 2.4(cm)，
在Rt△PCD中，PD= PC2-CD2= 32- 2.42= 1.8(cm)，
∴BP= 2PD= 3.6cm，
所以P运动的路程为 9- 3.6= 5.4(cm)，
则用的时间为 5.4÷ 2= 2.7(s)，△BCP为等腰三角形；
综上所述：当 t= 1.5s或 2.7s 时，△BCP是以BP为底边的等腰三角形；
故答案为：1.5s或 2.7s；
(3)分两种情况：
①如图 6所示：
当P点在AC上，Q在BC上，则PC= 2t，CQ= t，
∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，
∴ 2t+ t= 4- 2t+ 3- t+ 5，
解得：t= 2；
②如图 7所示：
当P点在BC上，Q在AB上，则BQ= t- 3，BP= 2t- 9
∴AQ= 5- (t- 3) = 8- t，CP= 3- (2t- 9) = 12- 2t，
∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，
∴ 4+ 8- t+ 12- 2t= t- 3+ 2t- 9，
解得：t= 6，
综上所述：当 t为 2s或 6s时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分．
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27.如图，Rt△ABC中，∠ACB= 90°，D为AB中点，点 E在直线BC上 (点 E不与点B，C重合)，连接DE，过点
D作DF⊥DE交直线AC于点F，连接EF．
(1)如图 1，当点F与点A重合时，请直接写出线段EF与BE的数量关系；
(2)如图 2，当点F不与点A重合时，请写出线段AF，EF，BE之间的数量关系，并说明理由；
(3)若AC= 5，BC= 3，EC= 1，请直接写出线段AF的长．
【答案】(1)EF=EB．
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(2)结论：AF 2+BE 2=EF 2，证明见解析部分．
(3)AF 11的长为 5 或 1．
【解答】解：(1)结论：EF=BE．
理由：如图 1中，
∵AD=DB，DE⊥AB，
∴EF=EB．
(2)结论：AF 2+BE 2=EF 2．
理由：如图 2中，过点A作AJ⊥AC交ED的延长线于 J，连接FJ．
∵AJ⊥AC，EC⊥AC，
∴AJ∥BE，
∴∠AJD=∠DEB，
在△AJD和△BED中，
∠AJD=∠DEB ∠ADJ=∠BDE，AD=BD
∴△AJD≌△BED(AAS)，
∴AJ=BE，DJ=DE，
∵DF⊥EJ，
∴FJ=EF，
∵∠FAJ= 90°，
∴AF 2+AJ2=FJ2，
∴AF 2+BE 2=EF 2．
(3)如图 3- 1中，当点E在线段BC上时，设AF= x，则CF= 5- x．
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∵BC= 3，CE= 1，
∴BE= 2，
∵EF 2=AF 2+BE 2=CF 2+CE 2，
∴ x2+ 22= (5- x)2+ 12，
∴ x= 115 ，
∴AF= 115 ．
如图 3- 2中，当点E在线段BC的延长线上时，设AF= x，则CF= 5- x．
∵BC= 3，CE= 1，
∴BE= 4，
∵EF 2=AF 2+BE 2=CF 2+CE 2，
∴ x2+ 42= (5- x)2+ 12，
∴ x= 1，
∴AF= 1，
11
综上所述，满足条件的AF的长为 5 或 1．
初二数学 第 14页 共 14页
{#{QQABSYIQggCoQAAAAQhCAwFCCgOQkBCAAAoGABAMsAAAQBNABAA=}#}2023-2024学年立达中学初二年级 10月份月考数学试卷
一、选择题(每题 2分，共 20分)
1.我们生活在一个充满对称的世界中，生活中的轴对称图形随处可见，下面几幅图片是校园中运动场上代表体育
项目的图标，其中可以看作是轴对称图形的是 ( )
A. 乒乓球 B. 跳远 C. 举重 D. 武术
2.下列长度的三条线段能组成直角三角形的是 ( )
A. 1，1， 2 B. 2，3，4 C. 4，5，6 D. 6，8，11
3.下列各数中是无理数的是 ( )
A. 227 B. 1.2012001 C.
π
3 D. 81
4.为响应习近平总书记“坚决打赢关键核心技术攻坚战”的号召，某科研团队最近攻克了 7nm的光刻机难题，其
中 1nm=0.000000001m，则 7nm用科学记数法表示为 ( )
A. 7×10-9m B. 0.7×10-9m C. 0.7×10-8m D. 7×10-8m
5.已知 a= 5，b=2，c= 3，则 a、b、c的大小关系是 ( )
A. b>a>c B. a>c>b C. a>b>c D. b>c>a
6.等腰三角形的一个内角是 80°，则它的底角是 ( )
A. 50° B. 80° C. 50°或 80° D. 20°或 80°
7.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若∠A=20°，则∠BDC= ( )
A. 30° B. 40° C. 45° D. 60°
第9题图
第7题图 第8题图
8.如图，分别以Rt△ABC的三边为斜边向外作等腰直角三角形，若斜边AB=4，则图中阴影部分的面积为
( )
A. 4 B. 8 C. 10 D. 12
9.如图，AB、BC、CD、DE是四根长度均为 5cm的火柴棒，点A、C、E共线．若AC=6cm，CD⊥BC，则线段CE
的长度是 ( )
A. 6cm B. 7cm C. 6 2 cm D. 8cm
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10.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=12，D为AC边上的一个动点，连接BD，E为BD上的一个动
点，连接AE，CE，当∠ABD=∠BCE时，线段AE的最小值是 ( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
二、填空题(每题 2分，共 16分)
11. 81的平方根是 ；
12.近似数 2.30精确到 位．
13.等腰三角形的周长为 14cm，一边长为 4cm，则底边长为 cm．
14.如图，AB=AC，则数轴上点C所表示的数为 ．
第14题图 第15题图 第16题图
15.我国古代数学家赵爽巧妙地用“弦图”证明了勾股定理，标志着中国古代的数学成就．如图所示的“弦图”，是
由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．直角三角形的斜边长为 13，一条直角
边长为 12，则小正方形ABCD的面积的大小为 ．
16.如图，AD 是△ABC 中∠ BAC 的角平分线，DE AB 与点 E，S△ABC=24,DE=4,AB=5,则 AC 的长是
．
17.如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内两点．AD平分∠ BAC，∠ EBC=∠ E=60°，若 BE=7cm，
DE=3cm，则BC= cm．
18.如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，AD是∠BAC的平分线，若P、Q分别是AD、AC上的动点，则PC+
PQ 的最 小值是 ．
第17题图 第18题图
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三、解答题(共 64分)
19. (1)( 12 )
-1- 3 -2 (2) 16 - 3 27 - 1+ 916 ．
20.求出下列 x的值：
(1)-27x3+8=0； (2)3(x-1)2-12=0．
21.如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是 1，每个小格的顶点叫作格点，以格点为顶点分别按下列要求
画三角形 (涂上阴影)．
(1)在图 1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；
(2)在图 2、图 3中，分别画两个不全等的直角三角形，使它的三边长都是无理数．
22.已知 2a-1的平方根是±3，3a+b-1的立方根是 2，求 2a-b的平方根．
23.如图在四边形ABCD中，AB=BC=2，CD=3，DA=1，且∠B=90°，求∠DAB的度数．
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24.如图，△ABC中，AB=AC，D为 BC边的中点，F为 CA的延长线上一点，过点 F作 FG⊥ BC于G点，并交
AB于E点，试说明下列结论成立的理由：
(1)AD∥FG；
(2)△AEF是等腰三角形．
25.如图，在△ABC中，∠C=90°，点P在AC上运动，点D在AB上，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线
交BC于点E，交BD于点F，连接DE．
(1)判断DE与DP的位置关系，并说明理由；
(2)若AC=6，BC=8，PA=2，求线段DE的长．
26.如图，△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速
度为每秒 2cm，设出发的时间为 t秒
(1)出发 1秒后，△ABP的周长= ；
(2)当 t= 时，△BCP是以BP为底边的等腰三角形；
(3)另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒 1cm，若P、Q两点同时出发，当P、
Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当 t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？
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27.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，点E在直线BC上(点E不与点B，C重合)，连接DE，过点D
作DF⊥DE交直线AC于点F，连接EF．
(1)如图 1，当点F与点A重合时，请直接写出线段EF与BE的数量关系；
(2)如图 2，当点F不与点A重合时，请写出线段AF，EF，BE之间的数量关系，并说明理由；
(3)若AC=5，BC=3，EC=1，请直接写出线段AF的长．
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