卷子答案网-一个不只有答案的网站2023-2024学年重庆市南岸区茶园新城中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.小红有三顶帽子，分别为白色、红色和粉色，有两条围巾，分别为白色和红色她随机拿出一顶帽子和一条围巾戴上，恰好为红色帽子和红色围巾的概率是( )
A. B. C. D.
2.如图，要使平行四边形成为矩形，需要添加的条件是( )
A.
B.
C.
D.
3.一元二次方程根的情况是( )
A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定
4.在一个不透明的盒子里装有若干个白球和个红球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在左右，则袋中白球约有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
5.一元二次方程配方可变形为( )
A. B. C. D.
6.如图，把一块长为，宽为的矩形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后把纸板沿虚线折起，做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为，设剪去小正方形的边长为，则可列方程为( )
A. B.
C. D.
7.如图，已知是菱形的边上一点，且，那么的度数为( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，矩形中，是的中点，将沿直线折叠后得到，延长交于点，若，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
9.如图，四边形是菱形，，，于点点是上一点，且，点是的中点点是线段上一动点点在运动过程中，的最小值为( )
A. B. C. D.
10.在多项式其中中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”例如：，，下列说法：
存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等；
不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为；
所有的“绝对操作”共有种不同运算结果．
其中正确的个数是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）
11.方程的解为______．
12.如图，在菱形中，对角线与相交于点，若，，则的长为______ ．
13.已知是方程的根，则代数式的值为______．
14.在一个不透明的口袋中装有个红球、个黑球，这些球除颜色外其他都相同，随机地从这个袋子中一次摸出两个球，则摸到两个球都是红球的概率是______ ．
15.设，是一元二次方程的两个根，则 ．
16.如图，在四边形中，为对角线的中点，连接、、，若，则的度数为______ ．
17.若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解是整数，则符合条件的所有整数的和为______ ．
18.若一个四位正整数满足：，我们就称该数是“交替数”，则最小的“交替数”是 ；若一个“交替数”满足千位数字与百位数字的平方差是，且十位数字与个位数的和能被整除则满足条件的“交替数”的最大值为 ．
三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）
19.解方程：
；
．
四、解答题（本大题共7小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20.本小题分
如图，，平分，且交于点．
作的平分线交于点尺规作图，保留痕迹，不写作法；
根据中作图，连接，求证：四边形是菱形．
证明：，
______ ，
平分，
______ ．
，
______ ，
同理可证，
．
又，
______ ，
又，
四边形是菱形．
21.本小题分
如图，在平行四边形中，连接，为线段的中点，延长与的延长线交于点，连接，．
求证：四边形是矩形；
若，，求的面积．
22.本小题分
年虎年新春，中国女足：逆转韩国，时隔年再夺亚洲杯总冠军：年国庆，中国女篮高歌猛进，时隔年再夺世界杯亚军，一扫男足、男篮颓势，展现了中国体育的风采为了培养青少年人才储备，雅礼某初中开展了“阳光体育活动”，决定开设足球、篮球、乒乓球、羽毛球、排球等球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题：
本次被调查的学生有______名；补全条形统计图；
扇形统计图中“排球”对应的扇形的圆心角度数是______；
学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的名参加全市中学生篮球比赛，请用列表法或画树状图法分析甲和乙同学同时被选中的概率．
23.本小题分
某商场将进货价为元的台灯以元售出，月份销售个，月份和月份这种台灯销售量持续增加，在售价不变的基础上，月份的销售量达到个，设月份和月份两个月的销售量月平均增长率不变．
求月份和月份两个月的销售量月平均增长率；
从月份起，在月份销售量的基础上，商场决定降价促销经调查发现，售价在元至元范围内，这种台灯的售价每降价元，其销售量增加个若商场要想使月份销售这种台灯获利元，则这种台灯售价应定为多少元？
24.本小题分
如图，中，，，，动点从点出发，沿着折线匀速运动，到达点时停止，设点运动路程为，的面积为动点在点和点时，的面积记为．
请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围；
在平面直角坐标系中画出与的函数图象，并写出它的一条性质；
根据图象直接写出当时的取值范围．
25.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，与直线：交于点，．
求直线的解析式；
连接、，若直线上存在一点，使得，求点的坐标；
将直线向下平移个单位长度得到直线，直线与轴交于点，点为直线上的一点，在平面直角坐标系中，是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
26.本小题分
已知，在中，，．
如图，点、点分别是线段上两点，连接、，若，且，求的度数；
如图，点、点分别是线段上两点，连接、，过点作交延长线于，连接，若，求证：；
如图，为射线上一点，为射线上一点，且始终满足，过点作的垂线交的延长线于点，连接，猜想：、、之间的数量关系并证明你的结论．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：画树状图为：
共有种等可能的结果，其中恰好为红色帽子和红色围巾的结果数为种，
所以恰好为红色帽子和红色围巾的概率．
故选：．
画树状图展示所有种等可能的结果，再找出恰好为红色帽子和红色围巾的结果数，然后根据概率公式计算．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式计算事件或事件的概率．
2.【答案】
【解析】解：、四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
四边形是菱形，不能推出四边形是矩形，故本选项错误，不符合题意；
B、，
平行四边形是矩形，故本选项正确，符合题意；
C、四边形是平行四边形，
当时四边形是菱形，故本选项错误，不符合题意；
D、根据和平行四边形不能得出四边形是矩形，故本选项错误，不符合题意，不符合题意；
故选：．
根据矩形的判定定理有一个角是直角的平行四边形是矩形，有三个角是直角的四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形逐一判断即可．
本题考查了对矩形的判定定理的应用，注意：矩形的判定定理有：有一个角是直角的平行四边形是矩形，有三个角是直角的四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形．
3.【答案】
【解析】解：，，，
，
，
该方程有两个不相等的实数根，
故选：．
根据方程找出对应的、、，再代入到根的判别式中即可求出答案．
本题考查了一元二次方程根的判别式，熟记根的判别式及相应结果是解题关键．
4.【答案】
【解析】解：经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在左右，
摸到红球的频率稳定在左右，
袋中装有若干个白球和个红球，
袋中球的总数为：，
袋中白球约有：个，
故选：．
根据题意和题目中的数据，可以计算出红球出现的频率，然后即可求出总的球的个数，从而可以计算出白球的个数．
本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是求出球的总数．
5.【答案】
【解析】解：，
，
，
所以．
故选：．
先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上，然后把方程左边写成完全平方的形式即可．
本题考查了解一元二次方程配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．
6.【答案】
【解析】解：因为剪去小正方形的边长为，
所以该无盖纸盒的底面长为，宽为．
依题意得：．
故选：．
由剪去小正方形的边长可得出该无盖纸盒的底面长为，宽为，根据该无盖纸盒的底面积为，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：四边形是菱形，
，，，
，
，
，
，
故选：．
由菱形的性质得出，，，则，得，再由三角形内角和定理求出，即可得出答案．
本题考查了菱形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握菱形的性质和等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：是的中点，
，
沿折叠后得到，
，，
，
在矩形中，
，
，
在和中，
，
≌，
，
设，则，，
在中，，即，
解得：，
即；
故选：．
根据点是的中点以及翻折的性质可以求出，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可证得；设，表示出、，然后在中，利用勾股定理列式进行计算即可得解．
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，翻折变换的性质；熟记矩形的性质和翻折变换的性质，根据勾股定理列出方程是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：如图，在上取，
四边形是菱形，为轴对称图形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是菱形，
，
，
中，，
，
，
的最小值为，
故选：．
在上取，由菱形可知，，进一步由菱形面积可得，的长，再由直角三角形的性质可得，的长，由此可得答案．
此题考查的是菱形的性质，轴对称，勾股定理，两点之间线段最短，添加辅助线，构造轴对称图形是解决此题的关键．
10.【答案】
【解析】解：，故说法正确．
若使其运算结果与原多项式之和为，需出现，
显然无论怎么添加绝对值，都无法使的符号为负号，故说法正确．
当添加一个绝对值时，共有种情况，分别是；；；当添加两个绝对值时，共有种情况，分别是；；共有种情况；
有两对运算结果相同，故共有种不同运算结果，故说法不符合题意．
故选：．
根据给定的定义，举出符合条件的说法和说法需要对绝对操作分析添加一个和两个绝对值的情况，并将结果进行比较排除相等的结果，汇总得出答案．
本题考查新定义题型，根据多给的定义，举出符合条件的代数式进行情况讨论；
需要注意去绝对值时的符号，和所有结果可能的比较．主要考查绝对值计算和分类讨论思想的应用．
11.【答案】，
【解析】解：分解因式得：，
可得或，
解得：，．
故答案为：，
方程左边分解因式后，利用两数相乘积为，两因式中至少有一个为转化为两个一元一次方程来求解．
此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12.【答案】
【解析】解：四边形是菱形，，
，，，
，
，
，
，
故答案为：．
由菱形的性质可得，，由勾股定理可求，即可求解．
本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的性质是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：根据题意，得
，
整理得，，
所以．
故答案为：．
根据一元二次方程的解的定义，将代入已知方程，即可求得的值．
本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
14.【答案】
【解析】解：画出树状图为：
共有种等可能情况，其中两个球都是红球的有种情况，
所以两个球都是红球．
故答案为：．
根据题意画出树状图列出所有可能情况，然后根据概率公式进行计算即可得解．
本题考查了列表法与树状图法，利用树状图列出所有可能情况是解题的关键，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
15.【答案】
【解析】解：根据题意得，，
；
故答案为：．
根据，是一元二次方程的两根时，，，得，，分式通分后相加，再把两根之和与两根之积的结果代入，计算即可．
此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
16.【答案】
【解析】解：，是的中点，
，，
，
，，
，
，，
，
．
故答案为：．
由直角三角形斜边中线的性质得到，推出，，得到，由三角形外角的性质得到，，即可推出．
本题考查直角三角形斜边的中线，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，关键是由直角三角形斜边中线的性质得到，由等腰三角形的性质，三角形外角的性质即可求解．
17.【答案】
【解析】解：解不等式组，
得：，
由不等式组的解集为，得到，
分式方程，
去分母得：，
解得：，
分式方程有整数解，得到，，，，
所有整数的和为：．
故答案为：．
不等式组整理后，根据已知解集确定出的范围，分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程有非负整数解确定出整数的值，进而求出之和即可．
本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式组，以及一元一次不等式组的整数解，掌握各自的性质是解本题的关键．
18.【答案】
【解析】解：取最小的正整数，取最小的整数，
则，，．
最小的“交替数”是；
根据题意知：，是正整数，．
，且，，
或，
解得或，
．
，
或，
是正整数，
或或，
或或或或或，
解得或或舍去或舍去或或，
，，，，即；
或，，，，即；
或，，，，即；
或，，，，即．
故所有的“交替数”是或或或，
最大的“交替数”为，
故答案为：，．
根据最小的正整数是，最大的一位数是解答；根据题意得到：，是正整数，，联立方程组，解答即可．
本题主要考查了因式分解的应用，实数的运算，理解新定义，并将其转化为实数的运算是解题的关键．
19.【答案】解：，
，
，即，
，
，；
，
，
，
，
，．
【解析】利用配方法求解即可；
利用因式分解法求解即可．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
20.【答案】 四边形是平行四边形
【解析】解：如图：即为所求；
证明：，
，
平分，
．
，
，
同理可证，
．
又，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形，
故答案为：，，，四边形是平行四边形．
根据作角平分线的基本作法作图；
根据“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”进行证明．
本题考查了基本作图，掌握菱形的判定定理是解题的关键．
21.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
，
，，
≌，
，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是矩形．
解：由得：四边形是矩形，，
，
，
则，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
．
【解析】证明≌，得，则四边形是平行四边形，再由，即可得出结论；
由矩形的性质得，再由勾股定理得，然后由平行四边形的性质得，则，即可解决问题．
此题重点考查平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
22.【答案】．
补全条形统计图如下：
．
画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中甲和乙同学同时被选中的结果有种，
甲和乙同学同时被选中的概率为．
【解析】解：本次被调查的学生人数为名．
选择“足球”的人数为名．
补全条形统计图如下：
故答案为：．
扇形统计图中“排球”对应的扇形的圆心角度数为 ．
故答案为：．
见答案．
用选择“篮球”的人数除以其所占百分比，可得本次被调查的学生总人数；求出选择“足球”的人数，再补全条形统计图即可．
用选择“排球”的人数除以本次被调查的学生总人数再乘以即可．
画树状图得出所有等可能的结果数，以及甲和乙同学同时被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够读懂条形统计图和扇形统计图，掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
23.【答案】解：设月份和月份两个月的销售量月平均增长率为，
根据题意，得，
解得，舍去，
答：月份和月份两个月的销售量月平均增长率为；
设这种台灯售价应定为元，
根据题意，得，
解得，，
售价在元至元范围内，
，
答：这种台灯售价应定为元．
【解析】设月份和月份两个月的销售量月平均增长率为，根据月份销售个，月份和月份这种台灯销售量持续增加，在售价不变的基础上，月份的销售量达到个，列一元二次方程，求解即可；
设这种台灯售价应定为元，根据商场要想使月份销售这种台灯获利元，列一元二次方程，求解即可．
本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立相应的等量关系是解题的关键．
24.【答案】解：，，，
，
当在边上，即时，如图：
；
当在边不含上，即时，如图：
；
；
当时，当时，当时，
画出函数图象如下：
由图象可知，当时，随的增大而增大；的最大值为写出一条即可；
根据函数图象可得，当时的取值范围是或．
【解析】求出，分两种情况：当在边上，即时，；当在边不含上，即时，；
描点作出函数图象，再写出一条性质即可；
根据函数图象即可得到答案．
本题考查三角形综合应用，涉及一次函数图象及性质，解题的关键是读懂题意，应用分类讨论思想写出函数关系式．
25.【答案】解：直线与轴、轴分别交于点、点，
令，则，
点为，
，
，
点为，点为，
设直线的解析式为；
，
，
直线的解析式为；
解：在中，令，则，
点为，
，
解得，
点的坐标为；
；
点在直线上，则设点为，则
当点在点的下方时，如图：
，点的坐标为，
，
，
，
，
解得：，
，
点的坐标为；
当点在点的上方时，如图：
，
，
解得：，
，
点的坐标为；
综合上述，点的坐标为或；
解：直线向下平移个单位长度得到直线，
直线为，
令，则，
点的坐标为，
即；
当作为矩形的边时，如图：
点的坐标为，
点的坐标为；
当作为矩形的对角线时，如图：
点的坐标为，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
四边形是正方形，
，，
，
点的坐标为；
综合上述，则点的坐标为或；
【解析】先求出，然后求出点和点的坐标，利用待定系数法，即可求出解析式；
先求出点和点的坐标，然后求出四边形的面积，然后分类讨论：当点在点的下方时；当点在点的上方时；分别求出三角形的面积，即可求出点的坐标；
先求出直线为，然后得到，然后分情况进行分析：当作为矩形的边时；当作为矩形的对角线时；分别求出两种情况的点的坐标即可．
本题考查了矩形的性质，一次函数的图象和性质，坐标与图形，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出图形，从而运用分类讨论的思想进行解题．
26.【答案】解：，，
，
又，，
≌，
，
，，
；
证明：延长至，使，连接，
，
，
，，
，
又，，
≌，
，，
，
，
，
又，，
≌，
，
；
解：，理由如下：
过点作交的延长线于．
，，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
．
【解析】由“”可证，即可求解；
由“”可证≌，可得，，可得≌，可得，可得结论；
过点作交的延长线于证明≌，推出，，由“”可证≌，可得，可得结论．
本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
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