山东省济南市历城区华山中学2023-2024九年级上学期学情调研10月月考数学试题（含解析）

山东省济南市历城区华山中学2023-2024学年九年级上学期学情调研10月月考数学试题
数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 若是关于的方程的一个根，则的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. D.
2. 下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 用配方法解方程x2﹣6x+4＝0时，配方后得的方程为（　　）
A. （x+3）2＝5 B. （x﹣3）2＝﹣13
C. （x﹣3）2＝5 D. （x﹣3）2＝13
4. 已知关于x的一元二次方程(k+1)x2+2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是( )
A. k≥﹣2 B. k≥﹣2且k≠﹣1 C. k≥2 D. k≤﹣2
5. 如果一个袋子里有16个除颜色外其他完全相同的球，若摸到黑球的概率为，则可估计袋中黑球的个数为（ ）
A. 12 B. 6 C. 4 D. 不能确定
6. 下列说法中正确的是（　　）．
A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是正方形
C. 平行四边形的对角线平分一组对角 D. 矩形的对角线相等且互相平分
7. 如图，直线a∥b∥c，分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F，若AB＝2，BC＝4，DE＝3，则EF的长是（　　）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
8. 如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC．若树高AB=2m，树影BC=3m，树与路灯的水平距离BP=4.5m．则路灯的高度OP为（ ）
A. 3m B. 4m
C. 4.5m D. 5m
9. 如图，已知矩形ABCD的边AD长为8cm，边AB长为6cm，从中截去一个矩形（图中阴影部分），如果所截矩形与原矩形相似，那么所截矩形的面积是（　　）
A. 28cm2 B. 27cm2 C. 21cm2 D. 20cm2
10. 如图，正方形中，点是边上一点，连接，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点，连接．以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的个数为（ 　 ）
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中的横线上）
11. 已知，则的值是 _____．
12. 若m是方程x2﹣2x﹣3＝0的根，则1﹣m2+2m的值为______.
13. 把一枚均匀的硬币连续抛掷两次，两次正面朝上的概率是____．
14. 已知菱形的周长为20，一条对角线长为8，则菱形的面积为________．
15. 漏刻是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位是时间的一次函数，下表是小明记录的部分数据，其中有一个的值记录错误，请排除后利用正确的数据确定当为时，对应的时间为__________．
… 1 2 3 5 …
… 2.4 2.8 3.4 4 …
16. 矩形ABCD与CEFG如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH．若BC＝EF＝2，CD＝CE＝1，则GH＝_____．
三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 计算
（1）
（2）
18. 解下列一元二次方程：
（1）3x（x﹣2）＝x﹣2；
（2）2x2﹣5x+3＝0．
19. 解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来．
20. 先化简，再求值：，其中．
21. 如图，在矩形ABCD，AD＝AE，DF⊥AE于点F．求证：AB＝DF．
22. 为了传承中华优秀传统文化，培养学生自主、团结协作能力，某校推出了以下四个项目供学生选择：A．家乡导游：B．艺术畅游：C．体育世界：D．博物旅行．学校规定：每个学生都必须报名且只能选择其中一个项目，学校对某班学生选择的项目情况进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息，解答下列问题：
(1)求该班学生总人数；
(2)计算B项目所在扇形的圆心角的度数；
(3)将条形统计图补充完整；
(4)该校有1200名学生，请你估计选择“博物旅行”项目学生的人数．
23. 如图，某农户准备建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，若墙长为18m，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长35m，围成长方形的养鸡场四周不能有空隙．
（1）要围成养鸡场的面积为150m2，则养鸡场的长和宽各为多少？
（2）围成养鸡场的面积能否达到200m2？请说明理由．
24. 如图，AB∥CD，AC与BD交于点E，且AB＝6，AE＝4，AC＝9．
（1）求CD的长；
（2）求证：△ABE∽△ACB．
25. 在RtABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．求：
（1）当t＝3时，这时，P，Q两点之间的距离是多少．
（2）当t为多少时，PQ的长度等于4？
（3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与ABC相似？
26. 在等腰△ABC中，AC＝BC，是直角三角形，∠DAE＝90°，∠ADE＝∠ACB，连接BD，BE，点F是BD的中点，连接CF．
（1）当∠CAB＝45°时．
①如图1，当顶点D在边AC上时，请直接写出∠EAB与∠CBA的数量关系是　 　．线段BE与线段CF的数量关系是　 　；
②如图2，当顶点D在边AB上时，（1）中线段BE与线段CF的数量关系是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由；
学生经过讨论，探究出以下解决问题的思路，仅供大家参考：
思路一：作等腰△ABC底边上的高CM，并取BE的中点N，再利用三角形全等或相似有关知识来解决问题；
思路二：取DE的中点G，连接AG，CG，并把绕点C逆时针旋转90°，再利用旋转性质、三角形全等或相似有关知识来解快问题．
（2）当∠CAB＝30°时，如图3，当顶点D在边AC上时，写出线段BE与线段CF的数量关系，并说明理由．山东省济南市历城区华山中学2023-2024学年九年级上学期学情调研10月月考数学试题
数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 若是关于的方程的一个根，则的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用一元二次方程的解的定义，将x=1代入关于x的方程x2+x+a=0，然后解关于a的方程即可．
【详解】解：根据题意，得当x=1时，1+1+a=0，
解得，a=-2；
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，即一元二次方程的根，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；将x=1代入原方程即可求得a的值．
2. 下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先根据把一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，分别找出各选项中轴对称图形的选项，进而排成不是轴对称图形的选项；然后再分析得到的是中心对称的图形，即可得出结论．
【详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不符合题意；
B、是轴对称图形，是中心对称图形，故B选项符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故D选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，掌握中心对称图形与轴对称图形的判别方法是解题的关键．
3. 用配方法解方程x2﹣6x+4＝0时，配方后得的方程为（　　）
A. （x+3）2＝5 B. （x﹣3）2＝﹣13
C. （x﹣3）2＝5 D. （x﹣3）2＝13
【答案】C
【解析】
【分析】先把4移到右边，再配方即可.
【详解】解：x2﹣6x+4＝0，
x2﹣6x＝﹣4，
x2﹣6x+9＝﹣4+9，
（x﹣3）2＝5，
故选C．
【点睛】本题是对配方法的考查，熟练掌握配完全平方是解决本题的关键.
4. 已知关于x的一元二次方程(k+1)x2+2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是( )
A. k≥﹣2 B. k≥﹣2且k≠﹣1 C. k≥2 D. k≤﹣2
【答案】B
【解析】
【分析】利用一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到k+1≠0且△＝22﹣4×(k+1)×(﹣1)≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可.
【详解】解：根据题意得k+1≠0且△＝22﹣4×(k+1)×(﹣1)≥0，
解得k≥﹣2且k≠﹣1.
故选B.
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根
5. 如果一个袋子里有16个除颜色外其他完全相同的球，若摸到黑球的概率为，则可估计袋中黑球的个数为（ ）
A. 12 B. 6 C. 4 D. 不能确定
【答案】A
【解析】
【分析】设黑球的个数为x，再根据概率相等列出方程，求出解即可．
【详解】设黑球的个数为x，根据题意，得
解得．
所以黑球的个数为12个．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了概率的计算，理解概率的公式是解题的关键．
6. 下列说法中正确的是（　　）．
A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是正方形
C. 平行四边形的对角线平分一组对角 D. 矩形的对角线相等且互相平分
【答案】D
【解析】
【分析】由矩形和正方形的判定方法容易得出A、B不正确；由平行四边形的性质和矩形的性质容易得出C不正确，D正确．
【详解】∵对角线相等的平行四边形是矩形，
∴A不正确；
∵对角线互相垂直的矩形是正方形，
∴B不正确；
∵平行四边形的对角线互相平分，菱形的对角线平分一组对角，
∴C不正确；
∵矩形的对角线互相平分且相等，
∴D正确；
故选D．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质、正方形的判定；熟练掌握平行四边形、矩形、正方形的判定与性质是解决问题的关键．
7. 如图，直线a∥b∥c，分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F，若AB＝2，BC＝4，DE＝3，则EF的长是（　　）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到，然后根据比例的性质求EF的长即可．
【详解】∵直线a∥b∥c，
∴，即，
∴EF＝6．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
8. 如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC．若树高AB=2m，树影BC=3m，树与路灯的水平距离BP=4.5m．则路灯的高度OP为（ ）
A. 3m B. 4m
C. 4.5m D. 5m
【答案】D
【解析】
【分析】根据在同一灯光照射下任何物体的高度与其影子的比值不变建立等量关系即可求解．
【详解】解：在同一灯光照射下任何物体的高度与其影子的比值不变：
∵当树高AB=2m，树影BC=3m，且BP=4.5m
∴ ，代入得：
∴m
故选：D
【点睛】本题考查利用相似三角形测高，掌握同一灯光照射下任何物体的高度与其影子的比值不变是解题关键．
9. 如图，已知矩形ABCD的边AD长为8cm，边AB长为6cm，从中截去一个矩形（图中阴影部分），如果所截矩形与原矩形相似，那么所截矩形的面积是（　　）
A. 28cm2 B. 27cm2 C. 21cm2 D. 20cm2
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，截取矩形与原矩形相似，利用相似形的对应边的比相等可得．
【详解】解：依题意，在矩形ABDC中截取矩形ABFE，
则矩形ABDC∽矩形AEFB，
则，
设AE＝xcm，得到：，解得：x＝4.5，
经检验x=4.5是原方程的解
则截取的矩形面积是：6×4.5＝27（cm2）．
故选：B．
【点睛】本题考查相似形的对应边的比相等，分清矩形的对应边是解决本题的关键．
10. 如图，正方形中，点是边上一点，连接，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点，连接．以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的个数为（ 　 ）
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
【答案】D
【解析】
【分析】①四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形，∠EAB、∠GAD与∠BAG的和均为90°，即可证明∠EAB与∠GAD相等；②由题意易得AD=DC，AG=FG，进而可得，∠DAG=∠CAF，然后问题可证；③由四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形，可求证△HAF∽△FAC，则有，然后根据等量关系可求解；④由②及题意知∠ADG=∠ACF=45°，则问题可求证．
【详解】解：①∵四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形
∴∠EAG=∠BAD=90°
又∵∠EAB=90°-∠BAG，∠GAD=90°-∠BAG
∴∠EAB=∠GAD
∴①正确
②∵四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形
∴AD=DC，AG=FG
∴AC=AD，AF=AG
∴，
即
又∵∠DAG+∠GAC=∠FAC+∠GAC
∴∠DAG=∠CAF
∴
∴②正确
③∵四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形，AF、AC为对角线
∴∠AFH=∠ACF=45°
又∵∠FAH=∠CAF
∴△HAF∽△FAC
∴
即
又∵AF=AE
∴
∴③正确
④由②知
又∵四边形ABCD为正方形， AC为对角线
∴∠ADG=∠ACF=45°
∴DG在正方形另外一条对角线上
∴DG⊥AC
∴④正确
故选：D．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质综合运用，同时利用到正方形相关性质，解题关键在于找到需要的相似三角形进而证明．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中的横线上）
11. 已知，则的值是 _____．
【答案】##
【解析】
【分析】根据，设，，代入即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴设，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了比例的计算，设未知数是本题的关键．
12. 若m是方程x2﹣2x﹣3＝0的根，则1﹣m2+2m的值为______.
【答案】-2
【解析】
【分析】把x＝m代入已知方程，可以求得m2﹣2m＝3，然后整体代入所求的代数式求值即可.
【详解】解：∵实数m是关于x的方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，
∴m2﹣2m﹣3＝0，
∴m2﹣2m＝3，
∴1﹣m2+2m＝1﹣(m2﹣2m)＝1﹣3＝﹣2.
故答案为﹣2.
【点睛】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
13. 把一枚均匀的硬币连续抛掷两次，两次正面朝上的概率是____．
【答案】
【解析】
【分析】举出所有情况，看正面都朝上的情况数占总情况数的多少即可．
【详解】解：共4种情况，正面都朝上的情况数有1种，所以概率是．
故答案为：．
考点：列表法与树状图法．
14. 已知菱形的周长为20，一条对角线长为8，则菱形的面积为________．
【答案】24
【解析】
【分析】画出草图分析．因为周长是20，所以边长是5．根据对角线互相垂直平分得直角三角形，运用勾股定理求另一条对角线的长，最后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算求解．
【详解】解：因为周长是20，所以边长是5．
如图所示：AB=5，AC=8．
根据菱形的性质，
AC⊥BD，AO=4，
在中，
根据勾股定理，
，
BD=6．
∴面积S=AC×BD=8×6×=24．
故答案为：24．
【点睛】考查了菱形的性质和菱形的面积公式，掌握菱形的面积公式是解题的关键．
15. 漏刻是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位是时间的一次函数，下表是小明记录的部分数据，其中有一个的值记录错误，请排除后利用正确的数据确定当为时，对应的时间为__________．
… 1 2 3 5 …
… 2.4 2.8 3.4 4 …
【答案】15
【解析】
【分析】由题意及表格数据可知记录错误的数据为当t=3时，h=3.4，然后设水位与时间的函数解析式为，进而把t=2，h=2.8和t=5，h=4代入求解即可．
【详解】解：由表格可得：当t=1，h=2.4时，当t=2，h=2.8时，当t=5，h=4时，时间每增加一分钟，水位就上升0.4cm，由此可知错误的数据为当t=3时，h=3.4，
设水位与时间的函数解析式为，把t=2，h=2.8和t=5，h=4代入得：
，解得：，
∴水位与时间的函数解析式为，
∴当=8时，则有，解得：，
故答案为15．
【点睛】本题主要考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的应用是解题的关键．
16. 矩形ABCD与CEFG如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH．若BC＝EF＝2，CD＝CE＝1，则GH＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】延长GH交AD点p,先证三角形APH与三角形FGH全等，得AP=GF=1，GH=PH=PG,再由勾股定理求得PG,从而得出答案.
【详解】
如图，延长GH交AD于p,
∵矩形ABCD与CEFG，
∴∠ADC=∠ADG=∠CGF=90°，AD=BC=2，GF=CE=1
∴AD∥GF,
∴∠GFH=∠PAH
∵H是AF的中点，
∴AH=FH,
在△APH与△FGH中，∠GFH=∠PAH，AH=FH, ∠AHP=∠FHG
∴△APH≌△FGH
∴AP=GF=1，GH=PH=PG
∴PD=AD-AP=1
∴CG=2，CD=1
∴DG=1
∴GH =PG=.
【点睛】本题考查的是矩形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键.
三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 计算
（1）
（2）
【答案】（1）2 （2）
【解析】
【分析】（1）化简算术平方根、绝对值及零指数幂，然后运用实数的加减法则计算；
（2）化简立方根、绝对值及负指数幂和零指数幂，然后运用实数的加减法则计算．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
【点睛】本题考查算术平方根，立方根，绝对值的化简，零指数幂，实数运算法则；掌握运算法则是解题的关键．
18. 解下列一元二次方程：
（1）3x（x﹣2）＝x﹣2；
（2）2x2﹣5x+3＝0．
【答案】（1）x1＝2，x2＝；（2）x1＝，x2＝1
【解析】
【分析】（1）移项，提取公因式分解因式，转化为两个式子的积是0的形式，从而转化为两个一元一次方程求解；
（2）分解因式，转化为两个式子的积是0的形式，从而转化为两个一元一次方程求解．
【详解】解：（1）3x（x﹣2）=x﹣2，
3x（x﹣2）﹣（x﹣2）=0，
（x﹣2）（3x﹣1）=0，
∴x﹣2=0或3x﹣1=0，
∴x1=2，x2=；
（2）2x2﹣5x+3＝0，
（2x﹣3）（x﹣1）＝0，
∴2x﹣3＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝，x2＝1．
【点睛】本题考查了解一元二次方程－因式分解法，注意：解一元二次方程的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．
19. 解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来．
【答案】
【解析】
【分析】先求出每个不等式的解集，在数轴上表示出不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
【详解】解：
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
把不等式①②的解集在数轴上表示出来：
不等式组解集是．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，熟知解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
20. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】先根据分式的混合运算将式子化简，再将x的值代入计算即可．
【详解】解：
，
把代入，．
【点睛】本题考查分式的化简求值，解题关键是掌握分式的混合运算法则．
21. 如图，在矩形ABCD，AD＝AE，DF⊥AE于点F．求证：AB＝DF．
【答案】见解析
【解析】
【分析】利用矩形和直角三角形的性质得到∠AEB=∠EAD、∠AFD=∠B，从而证得两个三角形全等，可得结论．
【详解】∵四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC，∠B=90°
∴∠AEB=∠DAE
∵DF⊥AE
∴∠AFD=∠B=90°．
在△ABE和△DFA中
∵
∴△ABE≌△DFA
∴AB=DF．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、矩形的性质的知识，属于基础题，难度不是很大，熟练掌握全等三角形的判定与性质是关键．
22. 为了传承中华优秀传统文化，培养学生自主、团结协作能力，某校推出了以下四个项目供学生选择：A．家乡导游：B．艺术畅游：C．体育世界：D．博物旅行．学校规定：每个学生都必须报名且只能选择其中一个项目，学校对某班学生选择的项目情况进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息，解答下列问题：
(1)求该班学生总人数；
(2)计算B项目所在扇形的圆心角的度数；
(3)将条形统计图补充完整；
(4)该校有1200名学生，请你估计选择“博物旅行”项目学生的人数．
【答案】（1）40；（2）；（3）见解析；（4）120人．
【解析】
【分析】（1）利用A项目的频数除以它所占的百分比得到调查的总人数；
（2）用360°乘以B项目所占的百分比即可求出B项目所在扇形的圆心角的度数；
（3）用总人数减去其它项目的人数求出C项目的人数，然后补全条形统计图；
（4）用总人数乘以博物旅行所占的百分比即可得到答案．
【详解】解：（1）调查的总人数有：12÷30%=40（人），
故答案为：40；
（2）B项目所在扇形的圆心角的度数是；
（3）C项目的人数为：40-12-14-4=10（人），
补条型统计图如下：
（4）人；
估计选择“博物旅行”项目学生的人数为1200人．
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
23. 如图，某农户准备建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，若墙长为18m，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长35m，围成长方形的养鸡场四周不能有空隙．
（1）要围成养鸡场的面积为150m2，则养鸡场的长和宽各为多少？
（2）围成养鸡场的面积能否达到200m2？请说明理由．
【答案】（1）养鸡场的宽是10m，长为15m；（2）围成养鸡场的面积不能达到200m2，见解析
【解析】
【分析】（1）先设养鸡场的宽为xm，得出长方形的长，再根据面积公式列出方程，求出x的值即可，注意x要符合题意；
（2）先设养鸡场的宽为xm，得出长方形的长，再根据面积公式列出方程，判断出△的值，即可得出答案．
【详解】解：（1）设养鸡场的宽为xm，根据题意得：
x（35﹣2x）＝150，
解得：x1＝10，x2＝7.5，
当x1＝10时，35﹣2x＝15＜18，
当x2＝7.5时35﹣2x＝20＞18，（舍去），
则养鸡场的宽是10m，长为15m．
（2）设养鸡场的宽为xm，根据题意得：
x（35﹣2x）＝200，
整理得：2x2﹣35x+200＝0，
△＝（﹣35）2﹣4×2×200＝1225﹣1600＝﹣375＜0，
因为方程没有实数根，
所以围成养鸡场的面积不能达到200m2．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程是解题的关键，注意宽的取值范围．
24. 如图，AB∥CD，AC与BD交于点E，且AB＝6，AE＝4，AC＝9．
（1）求CD的长；
（2）求证：△ABE∽△ACB．
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）由线段的和差关系可求出CE的长，由AB//CD可证明△CDE∽△ABE，根据相似三角形的性质即可求出CD的长；
（2）根据AB、AE、AC的长可得，由∠A为公共角，根据两组对应边成比例，且对应的夹角相等即可证明△ABE∽△ACB．
【详解】（1）∵AE＝4，AC＝9
∴CE=AC-AE＝9-4＝5
∵AB∥CD，
∴△CDE∽△ABE，
∴，
∴．
（2）∵，
∴
∵∠A＝∠A，
∴△ABE∽△ACB
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键.
25. 在RtABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．求：
（1）当t＝3时，这时，P，Q两点之间的距离是多少．
（2）当t为多少时，PQ的长度等于4？
（3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与ABC相似？
【答案】（1）10cm；（2）2：（3）3或
【解析】
【分析】先由运动知，CQ＝2tcm，CP＝（20﹣4t）cm，再确定出0≤t≤5；
（1）先求出CP＝8cm，CQ＝6cm，最后用勾股定理求出PQ，即可得出结论；
（2）利用勾股定理得出（4）2＝（20﹣4t）2+（2t）2，解方程，即可得出结论；
（3）分①△CPQ∽△CAB和②△CPQ∽△CBA，利用相似三角形得出比例式，建立方程求解，即可得出结论．
【详解】解：由运动知，AP＝4tcm，CQ＝2tcm，
∵AC＝20cm，
∴CP＝（20﹣4t）cm，
∵点P在AC上运动，
∴4t≤20，
∴t≤5，
∵点Q在BC运动，
∴2t≤15，
∴t≤7.5，
∴0≤t≤5，
（1）当t＝3时，CP＝8cm，CQ＝6cm，
在Rt△PCQ中，根据勾股定理得，PQ＝＝10（cm）；
（2）在Rt△PCQ中，根据勾股定理得，PQ2＝CP2+CQ2，
∵PQ＝4，
∴（4）2＝（20﹣4t）2+（2t）2，
解得：t＝2或t＝6（舍去），
即当t为2时，PQ的长度等于4；
（3）∵以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，且∠C＝∠C＝90°，
∴①△CPQ∽△CAB，
∴，
∴，
∴t＝3，
②△CPQ∽△CBA，
∴，
∴，
∴t＝，
即当t为3或时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
26. 在等腰△ABC中，AC＝BC，是直角三角形，∠DAE＝90°，∠ADE＝∠ACB，连接BD，BE，点F是BD的中点，连接CF．
（1）当∠CAB＝45°时．
①如图1，当顶点D在边AC上时，请直接写出∠EAB与∠CBA的数量关系是　 　．线段BE与线段CF的数量关系是　 　；
②如图2，当顶点D在边AB上时，（1）中线段BE与线段CF的数量关系是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由；
学生经过讨论，探究出以下解决问题的思路，仅供大家参考：
思路一：作等腰△ABC底边上的高CM，并取BE的中点N，再利用三角形全等或相似有关知识来解决问题；
思路二：取DE的中点G，连接AG，CG，并把绕点C逆时针旋转90°，再利用旋转性质、三角形全等或相似有关知识来解快问题．
（2）当∠CAB＝30°时，如图3，当顶点D在边AC上时，写出线段BE与线段CF的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）①，；②仍然成立，证明见解析；（2），理由见解析．
【解析】
【分析】（1）①如图1中，连接BE，设DE交AB于T．首先证明再利用直角三角形斜边中线的性质解决问题即可．②解法一：如图2﹣1中，取AB的中点M，BE的中点N，连接CM，MN．证明（SAS），可得结论．解法二：如图2﹣2中，取DE的中点G，连接AG，CG，并把绕点C逆时针旋转90°得到，连接DT，GT，BG．证明四边形BEGT是平行四边形，四边形DGBT是平行四边形，可得结论．
（2）结论：BE＝．如图3中，取AB的中点T，连接CT，FT．证明，可得结论．
【详解】解：（1）①如图1中，连接BE，设DE交AB于T．
∵CA＝CB，∠CAB＝45°，
∴∠CAB＝∠ABC＝45°，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ADE＝∠ACB＝45°，∠DAE＝90°，
∴∠ADE＝∠AED＝45°，
∴AD＝AE，
∴AT⊥DE，DT＝ET，
∴AB垂直平分DE，
∴BD＝BE，
∵∠BCD＝90°，DF＝FB，
∴CF＝BD，
∴CF＝BE．
故答案为：∠EAB＝∠ABC，CF＝BE．
②结论不变．
解法一：如图2﹣1中，取AB的中点M，BE的中点N，连接CM，MN．
∵∠ACB＝90°，CA＝CB，AM＝BM，
∴CM⊥AB，CM＝BM＝AM，
由①得：
设AD＝AE＝y．FM＝x，DM＝a，
点F是BD的中点，
则DF＝FB＝a+x，
∵AM＝BM，
∴y+a＝a+2x，
∴y＝2x，即AD＝2FM，
∵AM＝BM，EN＝BN，
∴AE＝2MN，MN∥AE，
∴MN＝FM，∠BMN＝∠EAB＝90°，
∴∠CMF＝∠BMN＝90°，
∴（SAS），
∴CF＝BN，
∵BE＝2BN，
∴CF＝BE．
解法二：如图2﹣2中，取DE的中点G，连接AG，CG，并把△CAG绕点C逆时针旋转90°得到，连接DT，GT，BG．
∵AD＝AE，∠EAD＝90°，EG＝DG，
∴AG⊥DE，∠EAG＝∠DAG＝45°，AG＝DG＝EG，
∵∠CAB＝45°，
∴∠CAG＝90°，
∴AC⊥AG，
∴AC∥DE，
∵∠ACB＝∠CBT＝90°，
∴AC∥BT∥，
∵AG＝BT，
∴DG＝BT＝EG，
∴四边形BEGT是平行四边形，四边形DGBT是平行四边形，
∴BD与GT互相平分，
∵点F是BD的中点，
∴BD与GT交于点F，
∴GF＝FT，
由旋转可得；
是等腰直角三角形，
∴CF＝FG＝FT，
∴CF＝BE．
（2）结论：BE＝．
理由：如图3中，取AB的中点T，连接CT，FT．
∵CA＝CB，
∴∠CAB＝∠CBA＝30°，∠ACB＝120°，
∵AT＝TB，
∴CT⊥AB，
∴AT＝，
∴AB＝，
∵DF＝FB，AT＝TB，
∴TF∥AD，AD＝2FT，
∴∠FTB＝∠CAB＝30°，
∵∠CTB＝∠DAE＝90°，
∴∠CTF＝∠BAE＝60°，
∵∠ADE＝∠ACB＝60°，
∴AE＝AD＝FT，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题属于相似形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质,锐角三角函数的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题。

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