卷子答案网-一个不只有答案的网站2023年中考数学专题训练：二次函数综合压轴题（特殊四边形问题）
1．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于两点，与y轴交于点C．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)点P是直线上方的抛物线上一动点，设三角形的面积为S，求S的最大值及S取得最大值时点P的坐标；
(3)点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
2．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，点B的坐标为，抛物线与y轴交于点，对称轴为直线，连接，过点B作交抛物线于点E．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是线段下方抛物线上的一个动点，过点P作轴交直线于点F，过点F作交直线于点D，连接，求面积的最大值及此时点P的坐标；
(3)在第（2）小问的条件下，将原抛物线沿着射线方向平移，平移后的抛物线过点B，点M在平移后抛物线的对称轴上，点T是平面内任意一点，是否存在以B、P、M、T为顶点的四边形是以为边的菱形，若存在，直接写出点T的坐标，若不存在，请说明理由．
3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点D与点C关于抛物线的对称轴l对称，连接，点P为下方抛物线上一动点，于点Q，求的最大值及此时点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，将抛物线向左平移，使新抛物线恰好经过原点，点E为点D的对应点，点F在l上，点G在新抛物线上，直接写出所有使得以点P，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形的点G的坐标，把求其中一个点G的坐标的过程写出来．
4．如图（1），一块钢板余料截面的两边为线段，，另一边曲线为抛物线的一部分，其中点为抛物线的顶点，于，以边所在直线为轴，边所在直线为轴，建立平面直角坐标系，规定一个单位代表1米．已知米，米，米．
(1)求曲线所在抛物线的函数表达式；
(2)若在该钢板余料中截取一个一边长为3米的矩形，设该矩形的另一边长为米，求的取值范围；
(3)如图（2），若在该钢板余料中截取一个，其中点在抛物线上，记的面积为，求的最大值．
5．如图1，拋物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．
(1)求该拋物线的函数表达式；
(2)在平面直角坐标系内是否存在一点P使得以A、B、C、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出所有满足该条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，若点D在该抛物线上且横坐标为2，直线l与抛物线交于A，D两点，点M在y轴上，当时，求点M的坐标．
6．如图，顶点为的抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，直线经过点，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接，，．求证：；
(3)点为抛物线对称轴上的一个动点，点是平面直角坐标系内一点，当以点，，，为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点的坐标．
7．如图1，抛物线经过点于，与x轴交于点两点，点A与点C关于抛物线的对称轴对称．
(1)求抛物线的解析式，并直接写出点C的坐标；
(2)如图2，点D是线段上一点，过点A作交延长线于点E，若四边形四边形，求线段的长；
(3)在抛物线上存在点P，请直接写出到直线和到x轴的距离相等时点P的坐标．
8．如图，抛物线（、是常数）的顶点为，与x轴交于、两点，，，点为线段上的动点，过作交于点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点是直线上一动点，点是抛物线上一动点，当点坐标为且四边形是平行四边形时，求点的坐标；
(3)求面积的最大值，并求此时点坐标．
9．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与平面直角坐标系交于点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)如图2，作直线，点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线交于点E，过点P作于点D，求的最大值及此时点P的坐标；
(3)在（2）中取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移2个单位，点为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点，M为平移后的抛物线的对称轴上一点.在平移后的抛物线上确定一点N，使得以点为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．
10．如图，抛物线与轴交于点（点在点左侧），与轴交于点，连接．
(1)求线段的长；
(2)点为直线上方抛物线上一点，求四边形面积的最大值及此时点的坐标；
(3)将原抛物线向左平移1个单位长度得到抛物线，与原抛物线交于点，点在直线上，在平面直角坐标系中是否存在点，使以点为顶点的四边形的菱形，若存在，请直接写出点的坐标，并写出其中一个点的坐标的解答过程；若不存在，请说明理由．
11．如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点A，B在x轴上，抛物线经过点，两点，且与直线交于另一点E．
(1)求抛物线的解析式；
(2)F为抛物线对称轴与x轴的交点，M为线段上一点，N为平面直角坐标系中的一点，若存在以点D、F、M、N为顶点的四边形是菱形．请直接写出点N的坐标，不需要写过程；
(3)P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为Q，连接，探究是否存在最小值.若存在，请求出这个最小值及点Q的坐标，若不存在，请说明．
12．二次函数的图象，与轴交于原点和点，顶点的坐标为．
(1)求二次函数的表达式；
(2)大家知道二次函数的图象是一条抛物线，过，两点可画无数条抛物线，设顶点为，过点向轴、轴作垂线，垂足为点，．求当所得的四边形为正方形时的二次函数表达式；
(3)点在（1）中求出的二次函数图象上，且点的坐标为，是否存在的面积为2，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
13．在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点A、点，与轴交于点．
(1)求b，c的值；
(2)如图，设点P为直线AC上方抛物线上的一个动点，过点P作x轴的平行线交于点D，过点P作y轴的平行线交x轴于点，求的最大值；
(3)在（2）中取得最大值的条件下，将该抛物线向左平移个单位长度，点F是点P的对应点，平移后的抛物线交y轴于点G，M为平移后的抛物线的对称轴上一点，在平移后的抛物线上确定一点N，使得以点F，G，M，N为顶点的四边形为平行四边形，直接写出所有符合条件的点的坐标．
14．如图，抛物线与y轴交于点A，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作轴，垂足为点．
(1)求直线AB的函数解析式．
(2)动点P在线段OC上，从原点O出发以每秒1个单位的速度向点C移动，过点P作轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N，设点P移动的时间为t秒，MN的长为s个单位，求s与t的函数解析式，并写出t的取值范围．
(3)在（2）的条件下（不考虑点P与点O、C重合的情况），连接CM、BN，是否存在某一时刻使得四边形BCMN为菱形？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由．
15．已知抛物线的图象与x轴相交于点和点，与y轴交于点C，连接，有一动点D在线段上运动，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点F，设点D的横坐标为m．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接，当△ACE的面积最大时，求出的最大面积和点D的坐标；
(3)当时，在平面内是否存在点Q，使以B，C，E，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
16．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C．
(1)求二次函数的解析式；
(2)点P是直线AC上方的抛物线上一动点，当的面积最大时，求点P的坐标；
(3)Q是x轴上一动点，M是第二象限内抛物线上一点，若以A，C，M，Q为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点Q的坐标．
17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为点，与轴交于点和点，其中的坐标为直线与抛物线交于，两点，其中点的坐标为．
(1)求抛物线和直线的解析式；
(2)直线与抛物线的对称轴交于点，为线段上一动点点不与点，重合，过点作∥交抛物线于点，设点的横坐标为，当为何值时，四边形是平行四边形？
(3)在（2）的条件下，设的面积为，当为何值时，最大？最大值是多少？
18．如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接，点为线段上一个动点（不与点，重合），过点作轴交抛物线于点．
(1)求抛物线的表达式和对称轴；
(2)设P的横坐标为t，请用含t的式子表示线段的长，并求出线段的最大值；
(3)已知点M是抛物线对称轴上的一个点，点N是平面直角坐标系内一点，当线段取得最大值时，是否存在这样的点M，N，使得四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
试卷第10页，共10页
试卷第9页，共10页
参考答案：
1．(1)
(2)，
(3)存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为或或或
2．(1)
(2)最大值为，
(3)或或或．
3．(1)
(2)最大值为，
(3)或或
4．(1)
(2)
(3)
5．(1)
(2)点P的坐标为或或；
(3)或
6．(1)
(2)证明见解析
(3)或或或
7．(1)，
(2)
(3)
8．(1)
(2)或
(3)面积的最大值为2，此时P点坐标为
9．(1)
(2)，
(3)或或
10．(1)
(2)当时，四边形面积的最大值为，此时点的坐标为
(3)存在点，使以点为顶点的四边形的菱形，点的坐标为或或
11．(1)
(2)点N的坐标为或或
(3)最小值是
12．(1)
(2)或
(3)或或或．
13．(1)
(2)
(3)或或．
14．(1)
(2)
(3)存在，．
15．(1)
(2)的值最大为，
(3)存在，当Q点为或或
16．(1)
(2)，
(3)或
17．(1)，
(2)
(3)
18．(1)，直线
(2)，最大值为4
(3)，或，
答案第4页，共4页
答案第3页，共4页
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