卷子答案网-一个不只有答案的网站2023-2024学年北师大版九年级数学上册《第1章特殊平行四边形》
期中复习综合训练（附答案）
一、单选题
1．如图，D、E、F分别是各边中点，则以下说法中不正确的是（ ）
A．和的面积相等 B．四边形是平行四边形
C．若，则四边形是矩形 D．若，则四边形是菱形
2．如图，在四边形中，，于点，若四边形的面积是，则的长是( )
A． B． C． D．
3．如图，在矩形中，在上取点，连接，在上取点，连接，将沿翻折，使得点刚好落在边的处，若，，，的长是（ ）
A．3 B．5 C． D．
4．如图，菱形的对角线、相交于点．若，，，垂足为，则的长为 （ ）
A．12 B．14 C． D．
5．如图，在矩形中，，连接，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，，直线分别交，于点，．下列结论：①四边形是菱形；②；③；④若平分，则．其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
6．如图，正方形的边长为5，点E在边上，，连接，将沿翻折得，延长交于点F．则的长度为（ ）
A．2 B． C． D．
7．如图，已知正方形的边长为4，P是对角线上一点，于点E，于点F，连接，．给出下列结论：①；②四边形的周长为8；③一定是等腰三角形；④．其中正确结论的序号为（ ）
A．①②③④ B．①②④ C．②④ D．①②③
二、填空题
8．如图，菱形的对角线交于点O，点M为的中点，连接．若，则的长为_________．
9．如图，点O是矩形的对称中心，E、F分别是边上的点，且关于点O中心对称，如果矩形的面积是20，那么图中阴影部分的面积为______．
10．如图，在正方形中，，、分别是、边上的动点，以、为边作平行四边形．若为的中点，当______时，四边形为菱形．
11．如图，在边长为8的正方形中，点G是边的中点，E、F分别是和边上的点，则四边形周长的最小值为______．
12．如图，在四边形中，，，，E是中点，且，则线段的长度是______．
13．如图，矩形对角线相交于点，为上一点，连接，F为的中点，．若，，则的长为______．
14．如图，矩形中，点E是的中点，交于点F，连接交于点G，若，则的度数为_______________．
三、解答题
15．如图，已知四边形是平行四边形，对角线与相交于点F，且平分，延长，过点D作，交的延长线于点C ．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，求四边形的面积 ．
16．如图所示，在菱形中，，E为中点，，，垂足分别为E，F，，交于点H，交于G点．
(1)求菱形的面积；
(2)求的度数．
17．如图，在矩形中，，相交于点O，，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求的长及四边形的面积．
18．如图，正方形的边长为1，点F在边上，延长到点E，使得，连接．
(1)求证：；
(2)若延长与恰好相交于中点G，求的长．
19．（1）如图1，已知，，．求的度数．
（2）“三等分一个任意角”是数学史上的一个著名问题，今天人们已经知道，仅用圆规和直尺是不可能作出的．在探索中，有人曾利用过如图2所示的图形，其中，四边形是长方形， ，F是延长线上一点，连接，交于点E，点G是上一点，且．
①求证：；
②当四边形为正方形，且面积为8时，若，求的度数，并直接写出的面积．
20．问题情境：
如图①，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到 点的对应点为点，延长交于点，连接．
猜想证明：
(1)试判断四边形的形状，并说明理由；
(2)如图②，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明；解决问题：
(3)如图①，若，，请直接写出的长．
参考答案
1．解：A、连接，
∵D、E、F分别是各边中点，
∴，，
设EF和BC间的距离为h，
∴，
∴和的面积相等，选项正确，不符合题意；
B、∵D、E、F分别是各边中点，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，选项正确，不符合题意；
C、∵四边形是平行四边形，
∴若，则四边形是矩形，选项正确，不符合题意；
D、∵D、E、F分别是各边中点，
∴，，
若，则，无法确定，
∴四边形不一定是菱形，选项错误，符合题意．
故选D．
2．解：如图，过点D作交的延长线于E，
∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴四边形的面积四边形的面积，
∴，
∴，
故选C．
3．解：∵将沿翻折，使得点刚好落在边的处，，
∴，，
∵四边形是矩形，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴,
故选C．
4．解：四边形是菱形，
，，，
，
，
，
故选：C．
5．解：设交于点
由作图知，垂直平分
在矩形中，
四边形是菱形
∴①正确
四边形是菱形
∴②正确
∴③错误
平分
∴④错误．
故选C．
6．解：如图所示，连接，
∵正方形的边长为5，
∴，，
由折叠得，，，，
∴，，
在和中，
∴（），
∴，
设，则，，
在中，由勾股定理得，
解得，，
即的长度是，
故选：C．
7．解：∵于点E，于点F，，
∴，
∴，
∵四边形是正方形
∴
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴．
故①正确；
②∵，，
∴四边形为矩形，
∴四边形的周长，
故②正确；
③∵点P是正方形的对角线上任意一点，，
∴当或或时，是等腰三角形，
除此之外，不是等腰三角形，
故③错误．
④连接，
∵四边形为矩形，
∴，
∵正方形为轴对称图形，
∴，
∴，
故④正确；
故选：B．
8．解：∵四边形为菱形，
∴，，，
∴．
∵点M为的中点，
∴．
故答案为：．
9．解：在矩形中，，
∴，
在与中，
，
∴，
，
∴．
故答案为：5．
10．解：∵四边形是正方形，，
∴，，
∵为的中点，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，即，
∴，
∴，
解得，
故答案为：．
11．解：如图，作点G关于的对称点，作点B关于的对称点，连接、、，
∵，，
∴，
∵，
∴当时，四边形的周长有最小值，最小值为，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形的周长的最小值为24，
故答案为：24．
12．解：如图，过点B作，交于点H，则，过点B作，交延长线于点G，则，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∵,
∴四边形是正方形，且边长为4，
∴，，
∵E是中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴,
∵，
∴，
∴，
设，则，，
在中，，
即，
解得，
∴．
故答案为：
13．解：如图，连接，
由题意知，是的中位线，
∴，，
∴，
在中，由勾股定理得，
由矩形的性质可得，
∴，
故答案为：2．
14．解：延长交于点M，
∵点E是的中点，
∴，
又∵是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴
∴，，
又∵
∴，
∴，
∵
∴
∴
故答案为：．
15．（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形；
（2）解：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，
在中，，，
∴由勾股定理得，
∴四边形的面积．
16．（1）解：如图，连接，
∵E为的中点，，
∴，
又∵菱形的边，
∴是等边三角形，
∴，
，，
．
（2）解：在等边三角形中，
∵，
∴，
同理，
∴，
∵
∴，
∴．
17．（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，，
∵，，
∴，
由勾股定理得：，
连接交与，如图所示，
由（1）知四边形是菱形，
∴，，，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
∴．
18．（1）证明：∵正方形，
∴，，
在和中，
，
∴；
（2）解：连接AC，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵G为中点，
∴，
∵，
∴．
19．解：（1）∵，
∴，．
∵，
∴．
∵，，
∴．
∴．
（2）①证明：∵，
∴．
∵，
∴，．
∴．
∴．
∴．
∴．
②∵四边形为正方形，且面积为8，
∴，，．
∵，
∴．
∵，
∴，．
∴．
如图，过点作于点，
∴．
∵，
∴．
∴．
20．（1）解：四边形是正方形，理由如下：
∵将绕点B按顺时针方向旋转，
∴，，，
又∵，
∴四边形是矩形，
又∵，
∴四边形是正方形；
（2），证明如下：
如图②所示，过点D作，垂足为H，则，
∴，
∵，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
由（1）知四边形是正方形，
∴，
∴，
由旋转的性质可得：，
∴，
∴，
（3）解：如图①所示，作于，
∵四边形是正方形
∴，
在中，∵，，
∴，
∴，
∴，
由（2）可知：，
∴，
∴．
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