卷子答案网-一个不只有答案的网站2023-2024学年人教版九年级数学上册期中阶段《第21-24章》综合练习题
一、选择题（共30分）
1．⊙O的半径为2，线段OP＝4，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．无法确定
2．如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD＝130°，则∠BOD的度数是（ ）
A．96° B．98° C．102° D．100°
3．已知二次函数y＝（k2﹣1）x2+2kx﹣4与x轴的一个交点A（﹣2，0），则k值为（ ）
A．2 B．﹣1 C．2或﹣1 D．任何实数
4．下列说法正确的是（ ）
A．同弧或等弧所对的圆心角相等
B．所对圆心角相等的弧是等弧
C．弧长相等的弧一定是等弧
D．平分弦的直径必垂直于弦
5．下列事件中，属于随机事件的是（ ）
A．刻舟求剑
B．从长度分别为1cm、2cm、3cm、4cm的4根小木棒中，任取3根为边拼成一个三角形
C．方程x4+1＝0在实数范围内有解
D．在装有10个红球的口袋内，摸出一个白球
6．从图中的四张图案中任取一张，取出图案是中心对称图形的概率是（ ）
A． B． C． D．1
7．如图，PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D．若△PCD的周长等于3，则PA的值是（ ）
A． B． C． D．
8．将二次函数y＝x2﹣4x+a的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位．若得到的函数图象与直线y＝2有两个交点，则a的取值范围是（ ）
A．a＞3 B．a＜3 C．a＞5 D．a＜5
9．已知抛物线y＝mx2+nx和直线y＝mx+n在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．二次函数y＝ax2+bx+c的图象上部分点的坐标（x，y）对应值列表如下：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …
y … ﹣3 ﹣2 ﹣3 ﹣6 ﹣11 …
则关于该二次函数的图象与性质，下列说法正确的是（ ）
A．开口方向向上
B．当x＞﹣2时，y随x增大而增大
C．函数图象与x轴没有交点
D．函数有最小值是﹣2
二、填空题（共24分）
11．若圆锥的底面半径为2，母线长为5，则圆锥的侧面积为 ．
12．一个半径为5cm的圆内接正三角形的面积等于 ．
13．已知二次函数y＝ax2+x+a（a﹣2）的图象经过原点，则a的值为 ．
14．已知：在⊙O中，弦AB将圆周分为5：1两段弧，则弦AB所对的圆周角为 ．
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆的圆心坐标是 ．
16．如图，将△ABC绕点B（1，0）旋转180°得到△A'B'C'，点A的坐标为（m，n），则点A'的坐标为 ．
17．已知m是方程x2﹣x﹣2＝0的一个实数根，求代数式（m2﹣m）（m﹣+1）的值．
18．如图，已知扇形OAB的圆心角为72°，半径为10，将它沿着箭头所示的方向无滑动滚动到扇形O'A'B'位置时，则点O到点O'所经过的路径的长为 ．
三、解答题（共66分）
19．△ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示．（不写解答过程，直接写出结果）
（1）若△A1B1C1与△ABC关于原点O成中心对称，则点A1的坐标为 ；
（2）将△ABC绕O点顺时针方向旋转90°，则点C走过的路径长为 ；
（3）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，则点P的坐标为 ．
20．如图，在四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CE，连接AE．
（1）求证：AE＝BD；
（2）若∠ADC＝30°，AD＝3，BD＝5，求CD的长．
21．为提升学生的艺术素养，学校计划开设四门艺术选修课：A．书法；B．绘画；C．乐器；D．舞蹈．为了解学生对四门功课的喜欢情况，在全校范围内随机抽取若干名学生进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门）．将数据进行整理，并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息解答下列问题：
（1）本次调查的学生共有 人；扇形统计图中∠α＝ 度；
（2）请把条形统计图补充完整；
（3）学校为举办2021年度校园文化艺术节，决定从A．书法；B．绘画；C．乐器；D．舞蹈四项艺术形式中选择其中两项组成一个新的节目形式，请用列表法或树状图求出选中书法与乐器组合在一起的概率．
22．如图，△ABC内接于⊙O，∠C＝60°，点E在直径BD的延长线上，且AE＝AB．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若AB＝3，求阴影部分的面积；
23．宜昌四中男子篮球队在2016全区篮球比赛中蝉联冠军，让全校师生倍受鼓舞．在一次与第25中学的比赛中，运动员小涛在距篮下4米处跳起投篮，如图所示，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为3.05米．
（1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式；
（2）运动员小涛的身高是1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，小涛跳离地面的高度是多少？
24．网络销售已经成为一种热门的销售方式，某公司在某网络平台上进行直播销售板栗．已知板栗的成本价格为6元/kg，每日销售量y（kg）与销售单价x（元/kg）满足一次函数关系，下表记录的是有关数据，经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于30元/kg．设公司销售板栗的日获利为w（元）．
x（元/kg） 7 8 9
y（kg） 4300 4200 4100
（1）请求出日销售量y与销售单价x之间的函数关系式；
（2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利w最大？最大利润为多少元？
（3）当销售单价在什么范围内时，日获利w不低于42000元？
25．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c经过A，B两点，BC⊥x轴于点C，且点A（﹣1，0），C（4，0），AC＝BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E是线段AB上一动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标．
（3）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使△ABP成为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（30）
1．解：∵OP＝4＞2，
∴点P与⊙O的位置关系是点P在⊙O外．
故选：C．
2．解：如图，圆上取一点A，连接AB，AD，
∵点A、B，C，D在⊙O上，∠BCD＝130°，
∴∠BAD+∠BCD＝180°．
∴∠BAD＝50°，
∴∠BOD＝2∠BAD＝100°，
故选：D．
3．解：∵二次函数y＝（k2﹣1）x2+2kx﹣4与x轴的一个交点为（﹣2，0），
∴0＝（k2﹣1）×（﹣2）2+2k×（﹣2）﹣4，且k2﹣1≠0，
解得：k1＝﹣1，k2＝2，
当k＝1时，k2﹣1＝0，不合题意舍去，
∴k＝2．
故选：A．
4．解：A、同弧或等弧所对的圆心角相等，正确，本选项符合题意；
B、所对圆心角相等的弧是等弧，错误，条件是同圆或等圆中，本选项不符合题意；
C、弧长相等的弧一定是等弧，错误，条件是同圆或等圆中，本选项不符合题意；
D、平分弦的直径必垂直于弦，错误此弦不能是直径，本选项不符合题意．
故选：A．
5．解：A、刻舟求剑，是不可能事件，不符合题意；
B、从长度分别为1cm、2cm、3cm、4cm的4根小木棒中，任取3根为边拼成一个三角形，是随机事件，符合题意；
C、方程x4+1＝0在实数范围内有解，是不可能事件，不符合题意；
D、在装有10个红球的口袋内，摸出一个白球，是必然事件，不符合题意；
故选：B．
6．解：在这四个图片中中心对称图形的有第1、2、3幅图片，
因此是中心对称称图形的卡片的概率是，
故选：C．
7．解：∵PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D，
∴AC＝EC，DE＝DB，PA＝PB
∵△PCD的周长等于3，
∴PA+PB＝3，
∴PA＝．
故选：A．
8．解：∵y＝x2﹣4x+a＝（x﹣2）2﹣4+a，
∴将二次函数y＝x2﹣4x+a的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，得到的函数解析式为y＝（x﹣2+1）2﹣4+a+1，即y＝x2﹣2x+a﹣2，
将y＝2代入，得2＝x2﹣2x+a﹣2，即x2﹣2x+a﹣4＝0，
由题意，得△＝4﹣4（a﹣4）＞0，解得a＜5．
故选：D．
9．解：A、由二次函数的图象可知m＜0，此时直线y＝mx+n应经过二、四象限，故A可排除；
B、由二次函数的图象可知m＜0，对称轴在y轴的右侧，可知m、n异号，n＞0，此时直线y＝mx+n应经过一、二、四象限，故B可排除；
C、由二次函数的图象可知m＞0，此时直线y＝mx+n应经过一、三象限，故C可排除；
D、观察图象可知m＞0，n＜0，符合题意．
故选：D．
10．解：∵抛物线经过（﹣3，﹣3），（﹣1，﹣3），
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣2，顶点坐标为（﹣2，﹣2），
∵﹣2为函数最大值，
∴抛物线开口向下，
∴x＞﹣2时，y随x增大而增大，
∴选项A，B，D，错误，
∵y≤﹣2，
∴图象与x轴无交点，
∴选项C正确，
故选：C．
二、填空题（24）
11．解：∵圆锥的底面半径为2，母线为5，
∴圆锥的侧面积＝π×2×5＝10π．
故答案为：10π．
12．解：如图，∵O为正三角形ABC的中心，CD⊥AB于点D，∠AOB＝，
∴∠OAD＝30°，
∵OA＝5，
∴OD＝，AD＝，
∴CD＝5+＝，AB＝2AD＝5，
∴S△ABC＝＝（cm2），
故答案为：（cm2）．
13．解：∵二次函数y＝ax2+x+a（a﹣2）的图象经过原点，
∴0＝a×02+0+a（a﹣2）且a≠0，
解得a＝2，
故答案为：2．
14．解：如图，
∵弦AB将圆周分为5：1两段弧，
∴∠AOB＝60°，
在优弧AB上取一点C，连接AC，BC，在劣弧AB上取一点D，连接AD，BD，
∵∠ACB＝∠AOB，∠ACB+∠ADB＝180°，
∴∠ACB＝30°，∠ADB＝150°，
故答案为：30°或150°．
15．解：如图，点P即为圆心，P（2，1）．
故答案为：（2，1）．
16．解：设A′（a，b），则有＝1，＝0，
∴a＝2﹣m，b＝﹣n，
∴A′（2﹣m，﹣n）．
故答案为：（2﹣m，﹣n）．
17．解：∵m是方程x2﹣x﹣2＝0的一个实数根，
∴m2﹣m﹣2＝0，
∴m2﹣m＝2，m2﹣2＝m，
∴（m2﹣m）（m﹣+1）
＝
＝
＝2×（1+1）
＝2×2
＝4．
18．解：+
＝10π+4π
＝14π，
∴点O到点O'经过的路径长为14π．
三、解答题（共66分）
19．解：（1）△A1B1C1与△ABC关于原点O成中心对称，A点坐标为（﹣2，3），则A1的坐标为（2，﹣3），
故答案为（2，﹣3）；
（2）由题意可知，点C走过的路径时以O为圆心，OC为半径，圆心角为90度的弧长，
∵C点坐标为（0，2），
故该弧长为2π×2×＝π，
故答案为：π；
（3）B点关于y轴对称的点B′的坐标为（﹣1，﹣1），
连接AB′，交x轴于P点，则PA+PB＝PA+PB′＝AB′，此时PA+PB的值最小，
设直线AB′的解析式为y＝kx+b，
把A（﹣2，3），B′（﹣1，﹣1）代入y＝kx+b，
，
解得，
故直线AB′的解析式为y＝﹣4x﹣5，
令y＝0，x＝﹣，
∴P点的坐标为（﹣，0），
故答案为（﹣，0）．
20．（1）证明：由旋转可知∠DCE＝60°，CD＝DE，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，AC＝BC，
∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD
即∠BCD＝∠ACE，
在△BCD和△ACE中，
，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴AE＝BD；
（2）连接DE，
∵BD＝5，
∴AE＝5，
由旋转可知：∠DCE＝60°，
∴△CDE是等边三角形，
∴∠CDE＝60°，CD＝DE，
∵∠ADC＝30°，
∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝90°，
在Rt△ADE中，，
∴CD＝DE＝4．
21．解：（1）本次调查的学生总人数为4÷10%＝40（人），∠α＝360°×（1﹣10%﹣20%﹣40%）＝108°．
故答案为：40；108．
（2）选择C科目的人数为40×（1﹣10%﹣20%﹣40%）＝12（人），
补全条形统计图如下：
（3）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中选中书法与乐器组合在一起的结果有2种，
∴选中书法与乐器组合在一起的概率为．
22．（1）证明：连接OA，如图，
∵∠AOB＝2∠C，∠C＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝＝30°，
∴∠AOE＝180°﹣∠AOB＝60°．
∵AE＝AB，
∴∠E＝∠ABE＝30°．
∴∠OAE＝180°﹣E﹣∠AOE＝90°，
∴OA⊥AE，
∵OE为⊙O的半径，
∴AE是⊙O的切线；
（2）解：过点O作OF⊥AB于点F，如上图，
∵OA＝OB，∠AOB＝120°，OF⊥AB，
∴∠AOB＝60°，AF＝BF＝AB＝．
∴OA＝．
在Rt△OAE中，
∵∠E＝30°，
∴OE＝2OA＝2，
∴AE＝＝3．
∴S阴影＝S△OAE﹣S扇形OAD
＝ AE OA﹣
＝3×﹣π
＝．
23．解：（1）∵当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，
∴抛物线的顶点坐标为（0，3.5），
∴设抛物线的表达式为y＝ax2+3.5．
由图知图象过以下点：（1.5，3.05）．
∴2.25a+3.5＝3.05，
解得：a＝﹣0.2，
∴抛物线的表达式为y＝﹣0.2x2+3.5．
（2）设球出手时，他跳离地面的高度为hm，
因为（1）中求得y＝﹣0.2x2+3.5，
则球出手时，球的高度为h+1.8+0.25＝（h+2.05）m，
∴h+2.05＝﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5，
∴h＝0.2（m）．
答：球出手时，他跳离地面的高度为0.2m．
24．解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
把x＝7，y＝4300和x＝8，y＝4200代入得：
，
解得：，
∴y＝﹣100x+5000；
（2）由题意得：
w＝（x﹣6）（﹣100x+5000）
＝﹣100x2+5600x﹣30000
＝﹣100（x﹣28）2+48400，
∵a＝﹣100＜0，对称轴为直线x＝28．
∴当x＝28时，w有最大值为48400元．
∴当销售单价定为28元时，销售这种板栗日获利w最大，最大利润为48400元；
（3）当w＝42000元时，有：42000＝﹣100（x﹣28）2+48400，
∴x1＝20，x2＝36，
∵a＝﹣100＜0，
∴当20≤x≤36时，w≥42000，
又∵6≤x≤30，
∴当20≤x≤30时，日获利w不低于42000元．
25．解：（1）∵点A（﹣1，0），C（4，0），
∴AC＝5，OC＝4，
∵AC＝BC＝5，
∴B（4，5），
把A（﹣1，0）和B（4，5）代入二次函数y＝x2+bx+c中得：，
解得：，
∴二次函数的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）如图1，∵直线AB经过点A（﹣1，0），B（4，5），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴，解得：，
∴直线AB的解析式为：y＝x+1，
∵二次函数y＝x2﹣2x﹣3，
∴设点E（t，t+1），则F（t，t2﹣2t﹣3），
∴EF＝（t+1）﹣（t2﹣2t﹣3）＝﹣（t﹣）2+，
∴当t＝时，EF有最大值，
∴点E的坐标为（，）；
（3）存在，
y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴设P（1，m），
分三种情况：
①以点B为直角顶点时，由勾股定理得：PB2+AB2＝PA2，
∴（4﹣1）2+（m﹣5）2+（4+1）2+52＝（1+1）2+m2，
解得：m＝8，
∴P（1，8）；
②以点A为直角顶点时，由勾股定理得：PA2+AB2＝PB2，
∴（1+1）2+m2+（4+1）2+52＝（4﹣1）2+（m﹣5）2，
解得：m＝﹣2，
∴P（1，﹣2）；
③以点P为直角顶点时，由勾股定理得：PB2+PA2＝BA2，
∴（1+1）2+m2+（4﹣1）2+（m﹣5）2＝（4+1）2+52，
解得：m＝6或﹣1，
∴P（1，6）或（1，﹣1）；
综上，点P的坐标为（1，8）或（1，﹣2）或（1，6）或（1，﹣1）．
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