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2023～2024学年度第一学期第一次阶段性作业
九年级数学
（建议完成时间：120分钟 满分：120分）
题号 一 二 三 总分
得分
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的）
1.下列一元二次方程中，二次项系数为1且一次项系数为3的是（ ）
A. B. C. D.
2.关于矩形的性质，以下说法不正确的是（ ）
A.对角互补 B.是中心对称图形 C.是轴对称图形 D.对角线互相垂直
3.如图，四边形ABCD是菱形，顶点A，C的坐标分别是，，顶点D在x轴的正半轴上，则顶点B的坐标是（ ）
（第3题图）
A. B. C. D.
4.方程根的符号是（ ）
A.两根一正一负 B.两根都是负数 C.两根都是正数 D.无法确定
5.利用配方法解一元二次方程时，将方程配方为，则m，n的值分别为（ ）
A.， B.， C.， D.，
6.已知平行四边形ABCD，对角线AC与BD交于点O，下列结论不正确的是（ ）
A.当时，它是矩形 B.当AC⊥BD时，它是矩形
C.当AC平分∠BAD时，它是菱形 D.当时，它是菱形
7.如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点E在AB边上，点F在OD上，过点E作EC⊥BD，垂足为点C，若，EF⊥CF，.则BE的长为（ ）
（第7题图）
A.3 B. C. D.
8.已知a、b、c是△ABC的三边，并且关于x的方程有两个相等的实数根，判断△ABC的形状，正确的结论是（ ）
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9.若关于x的方程是一元二次方程，则k的值可以是 .（写出一个即可）
10.如图，在菱形ABCD中，，，则菱形的面积为 .
（第10题图）
11.王刚同学在解关于x的方程时，误将看作，结果解得，，则原方程的解为 .
12.如图，在高3m，长4m的矩形墙面上有一块矩形装饰板（图中阴影部分），装饰板的上面和左右两边都留有相同宽度的空白墙面.若矩形装饰板的面积为4，设相同宽度的空白墙面的宽度为x m，根据题意列方程为 .
（第12题图）
13.如图，在矩形ABCD中，，点E是矩形ABCD内一点，连接BE、CE，，连接DE并延长交BC于点M，点F在BE上，连接CF，，若，则CM的长为 .
（第13题图）
三、解答题（共13小题，计81分.解答应写出过程）
14.（5分）
解方程：.
15.（5分）
如图，在矩形ABCD中，，，AC与BD交于点O.求△BOC与ADOC的周长差.
（第15题图）
16.（5分）
关于x的方程有实数根，且m为正整数，求m的值.
17.（5分）
如图，在正万形ABCD中，E、F分别为AB、BC边上的点，且，连接CE，延长AB至G使得，延长GF交CE于点H，求证：GH⊥CE.
（第17题图）
18.（5分）
如图，在四边形ABCD中，，点O是四边形ABCD内一点，连接OA、OB、OD，，，，求证：四边形ABCD是菱形.
（第18题图）
19.（5分）
我们定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”.
（1）请判断方程是不是倍根方程；并说明理由；
（2）若是倍根方程，则 .
20.（5分）
如图，点O是菱形ABCD内的一点，连接OB，OC，BO平分∠ABC，，.请判断四边形ABCD是正方形吗？并说明理由.
（第20题图）
21.（6分）
已知关于x的一元一次方程.若一个面积为15的矩形的两邻边长正好是方程的两根，求该矩形的周长.
22.（7分）
如图，菱形ABCD中，，点E在边BC上，点F在边CD上.若E是BC的中点，连接AE、AF、EF，，求证：F是CD的中点.
（第22题图）
23.（7分）
“唐妞”是陕西省历史博物馆的形象代言人，她高髻峨眉，面如满月，体态丰满，身穿宽袖长裙，以崭新的卡通形象示人.某文创产品店销售唐妞团扇，团扇的成本为8元/把.据市场分析，销售单价定为10元/把时，每天能售出200把；现采用提高商品售价，减少销售量的办法增加利润，若销售单价每涨1元，每天的销售量就减少20把.针对这种团扇的销售情况，该店要保证每天盈利640元，同时又要使顾客得到实惠，那么销售单价应定为多少元/把？
（第23题图）
24.（8分）
如图，在中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC交CB延长线于点E，CF∥AE交AD延长线于点F.
（第24题图）
（1）求证：四边形AECF是矩形；
（2）若四边形ABCD为菱形，H为AB的中点，连接OH，若，，求OH的长.
25.（8分）
阅读材料：各类方程的解法不尽相同，但是它们都用到一种共同的基本数学思想——“转化”，即把未知转化为已知来求解.用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程.
例如，解一元三次方程，通过因式分解把它转化为，通过解方程和，可得原方程的解.
再例如，解根号下含有未知数的方程：，通过两边同时平方转化为，
解得：，，
∵且，
∴不是原方程的解，
∴原方程的解为.
请仔细阅读材料，解下列方程：
（1）；
（2）.
26.（10分）
问题解决：
（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且，连接AE，BF，设AE、BF交于H.请判断AE与BF的数量关系和位置关系.并说明理由；
图1
拓展深究：
（2）如图2，若将边长为4的正方形ABCD折叠，使得点A落在BC的中点E处，折痕为GF，点在AB边上，点F在CD上，连接AE、GE，求折痕GF的长.
图2
C（北师大版）
2023～2024学年度第一学期第一次阶段性作业
九年级数学参考答案及评分标准
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的）
1.A 2.D 3.A 4.C 5.D 6.B 7.C 8.B
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9.0（答案不唯一） 10. 11.， 12.（他形式正确也可） 13.3
三、解答题（共13小题，计81分.解答应写出过程）
14.解：，
∴，，，
，
，
所以，.
（注：其他解法正确也可）
15.解：
∵矩形ABCD中，，，
∴，，
∴的周长的周长，
∴与的周长之差为2.
16.解：
∵关于x的方程有实数根，
∴，
∴，
解得：，
∵m为正整数，
∴.
17.证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
18.证明：
∵，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形ABCD是菱形.
19.解：
（1）方程是倍根方程，
理由如下：
由方程，
解得，，
∴，
∴方程是倍根方程.
（2）1或4.
20.解：四边形ABCD是正方形.
理由如下：
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵BO平分∠ABC，
∴，
∴四边形ABCD是正方形.
21.解：
设矩形两邻边分别为：a，b，
∵矩形面积为15，
∴，
∴，
解得，（舍去），
∴原方程化为，
∴矩形的两邻边长之和为9，
∴矩形的周长为18.
22.证明：连接AC，
∵在菱形ABCD中，，
∴，.
∴△ABC等边三角形，
∴E是BC的中点，
∴.
∵，
∴.
∴.
∴.
∴.
∵，
∴，
∴F是CD的中点.
23.解：设销售单价应定为x元，所以每把团扇盈利元，
由题意可得，，
解得：，，
因为要让顾客得到实惠，所以取，
∴销售单价应定为12元/把.
24.（1）证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴.
∵，
∴四边形AECF是平行四边形.
∵AE⊥BC，
∴，
∴四边形AECF是矩形.
（2）解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴，，
∵四边形AECF是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵H为AB的中点，
∴，
∴OH是△ABC的中位线，
∴.
25.解：
（1），
，
∴或.
解方程，得或，
∴，，.
（2），
方程两边平方，得，
即，
整理，得.
解得，.
经检验，是原方程的解.
∴原方程的解为.
26.解：
（1），且.
理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴，，
在△ABE和△BCF中，
，
∴，
∴，.
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，且.
（2）如图，过点G作于M，
在正方形ABCD中，，
∴，
∴四边形AGMD是矩形，，
由翻折变换得，
∵，，
∴.
∵四边形ABCD是正方形，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴.
∵点E是BC的中点，
∴，
在Rt△ABE中，由勾股定理得，，
∴GF的长为.
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