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重点01 解一元二次方程
1.解一元二次方程的第一种方法，直接开平方法，此方法用于简单的解方程中，但是注意的是要把二次项系数化成“1”再做。
2.解一元二次方程的第二种方法：配方法。此方法用途很频繁，基本简单的解一元二次方程的题目当中都能用到它，也很快捷。注意一点是先把二次项系数化成“1”，然后配成完全平方式，这样就可以利用以前学的因式分解中的完全平方公式的方法去解题了。
3.解一元二次方程的第三种方法：公式法。公式法俗称万能方法，任何解一元二次方程的题目都能用；但是公式法需要把公式记住，做题的时候解题量较大，所以不建议用。在做题的时候可以先观察一下，如果之前学的方法不适用，那再用公式法。
4.解一元二次方程的第四种方法：分为提公因式法、平方差公式法及十字相乘法。①提公因式法是因式分解里面的基础方法，只要把公因式提出来，解方程就简单多了。
②平方差公式法用途广泛，也是非常重要的一种解题方法。解这类题目需要我们把平方差公式的特点弄得非常明白，所以再做题的时候可以参考图四的解题步骤，不要着急，慢慢做。
③十字相乘法简单直接。只要能用到十字相乘法，这类题目解答是很快速的。但是十字相乘也需要大家认真观察，尤其是一次项系数，我们怎么分解才能得到它，这是关键，大家可以多练习。
一、直接开平方法
1、方程形如x2=a（a≥0），根据平方根的定义直接开平方，可以解得：
重点题型训练1
1．方程的根是（ ）
A． B． C．， D．，
【答案】D
【分析】两边直接开平方即可．
【详解】解：，
两边直接开平方得：，
故：，，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成的形式，开方直接求解．
2．一元二次方程的根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据直接开平方法求出方程的解即可．
【详解】解：
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了根的判别式和解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解题的关键．
3．一元二次方程的根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用直接开平方法即可求解．
【详解】解：得，
∴
故选：C．
【点睛】本题考查利用直接开平方法求解一元二次方程，注意计算得准确性．
4．一元二次方程的根是 ．
【答案】
【分析】直接开平方法求解即可．
【详解】，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了直接开平方法解方程，熟练掌握解法是解题的关键．
5．如果关于x的一元二次方程可以用直接开平方求解，则m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据平方的非负性得出不等式，求出不等式的解集即可．
【详解】解：∵方程可以用直接开平方求解，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解一元二次方程和解一元一次不等式，能得出关于m的不程是解此题的关键．
6．用直接开平方法解下列方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】对于形如的方程，直接开平方，转化为一元一次方程，，求解．
【详解】（1）由原方程，得，
∴，
∴，．
（2），
，
，
或，
∴，．
【点睛】本题考查直接开平方法求解一元二次方程；理解平方根的表示及求解是解题的关键．
7．解方程：． 小明的解答如下：
解：原方程可化简为得，
小滨的解答是否正确，如不正确，请写出正确的解答过程．
【答案】不正确，正确过程见解析
【分析】分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
【详解】小滨的解答不正确，
正确的解答过程是：,
【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键
二、配方法：
用配方法解一元二次方程的步骤：
移项：把常数项移到方程的右边；
配方：方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方；
变形：方程左边分解因式，右边合并同类项；
开方：根据平方根的意义，方程两边开平方；
求解：解一元一次方程；
定解：写出原方程的解。
重点题型训练2
1．用配方法解方程，配方后得到的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用配方法求解一元二次方程，求解即可．
【详解】解：
故选：B
【点睛】此题考查了配方法求解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法求解一元二次方程的步骤．
2．用配方法解方程，将其化为的形式，则的值为（ ）
A．15 B．7 C．－1 D．1
【答案】B
【分析】先配方，后确定的值计算即可．
【详解】∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选B．
【点睛】本题考查了配方法计算，熟练掌握配方法的基本步骤是解题的关键．
3．一元二次方程配方后得， 则n的值是
【答案】3
【分析】先把方程的常数项移到方程右边，再方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，熟知配方法是解题的关键．
4．关于x的方程通过配方得，则 ．
【答案】
【分析】先把二次项系数化为1，然后进行移项，再进行配方，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可变形成左边是完全平方，右边是常数的形式．
【详解】解：，
，
，
，
，，
，
，
故答案为：．
【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方是解题的关键，选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
5．用配方法解方程：
【答案】
【分析】根据配方法解一元二次方程，即可求解．
【详解】解：，
∴，
即，
∴，
∴，
解得：．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键．
6．用配方法解方程：．
【答案】，
【分析】根据配方法的步骤先把常数项移到等号的右边，再在等式的两边同时加上一次项系数的一半的平方，配成完全平方的形式，然后开方即可．
【详解】解：方程整理得：，
配方得：，
即，
开方得：，
解得：，．
【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法的步骤是解题的关键．
7．用配方法解一元二次方程：．
【答案】，
【分析】利用配方法法解一元二次方程即可得到答案．
【详解】解：移项得：，
二次项系数化为1得：，
配方得：，即，
直接开平方得：，
∴，．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，将原方程配方得到是解此题的关键．
三、公式法
1、首先要确定好一元二次方程的三个系数a,b,c，注意符号要写对。
2、然后求出判别式△，若是△≥0，则继续往下求。若是△＜0，则可以直接说该方程无实数根。
3、下一步就是将a,b,c的值带入到求根公式中。分别求出两个根的值。
4、最后写成该一元二次方程的解。
重点题型训练3
1．用求根公式解方程时，，的值是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】B
【分析】将方程化为一般形式即可得到a，b，c的值．
【详解】解：∵，
∴，
则，，．
故选：B．
【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式：，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．
2．以为根的一元二次方程可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据公式法解一元二次方程的方法进行求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程如果有解，那么方程的解为，
∴方程的解为，
故选A．
【点睛】本题主要考查了用公式法解一元二次方程，解题的关键在于熟知关于x的一元二次方程如果有解，那么方程的解为．
3．方程的解是 ．
【答案】，
【分析】选择公式法求解即可．
【详解】，
整理，得，
∵
∴，
∴，，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了解方程，选择适当的方法求解是解题的关键．
4．用公式法解方程：．
【答案】，
【分析】整理为一元二次方程的一般形式，根据公式法求解一元二次方程即可．
【详解】解：原方程变形，得，这里，，，
∴，
∴，
∴，．
【点睛】本题考查了利用公式法求解一元二次方程，熟熟记一元二次方程的求根公式是解题的关键．
5．用公式法解方程：．
【答案】
【分析】根据公式法解一元二次方程的步骤进行计算即可．
【详解】解：
整理得：，
则，，，
，
∴．
【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
四、因式分解法
一般步骤：
(1)、使方程右边为0，左边因式分解为两个含有未知数的一次代数式的乘积；
(2)、令两个一次式分别等于0，得到两个一元一次方程；
(3)、解这两个一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解。
注意事项：
不能随意约去方程两边含有未知数的式子，例如(x－1)(x－2)＝x－1，若约去x－1，就会丢掉x＝1这个根。
重点题型训练4
1．方程的根是 ( )
A． B． C．， D．，
【答案】C
【分析】把原方程化为或，从而可得答案．
【详解】解：，
∴或，
解得：，，
故选C
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握利用因式分解的方法解一元二次方程是解本题的关键．
2．一元二次方程的解是（ ）
A． B． C．， D．，
【答案】D
【分析】把方程化为，再化为两个一次方程求解即可．
【详解】解：，
∴，
∴或，
解得：，，
故选D
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握利用因式分解的方法解方程是解本题的关键．
3．已知一元二次方程的两个根分别是的两边长．则第3条边长( )
A．3 B．4或5 C．3或5 D．4或
【答案】D
【分析】先解方程求出一元二次方程的两个根是3和5，再分两种情况：当3和5都是直角边时；当5是斜边长时；分别利用勾股定理计算出第三边长即可．
【详解】解：，
，
解得，
当3和5都是直角边时，第三边长为：；
当5是斜边长时，第三边长为：．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了解一元二次方程-因式分解法，勾股定理，解决本题的关键是当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解．
4．方程的根为 ．
【答案】，
【分析】利用因式分解转化为得或即可求解．
【详解】∵，
∴或，
∴，，
故答案为：，．
【点睛】此题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程解法的步骤是解题关键．
5．一元二次方程的解
【答案】1或/或1
【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】
∴或
解得，．
故答案为：1或．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
6．解方程：（因式分解）．
【答案】，
【分析】利用因式分解法解方程即可．
【详解】解：∵
∴，
∴或，
∴，．
【点睛】本题考查解一元一次方程，熟练掌握利用因式分解的方法解方程是解题的关键．
7．解下列方程：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先运用十字相乘法因式分解，再运用因式分解法解答即可；
（2）先移项，然后再运用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解：
，
．
（2）解：，
，
．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用因式分解法解一元二次方程是解答本题的关键．
一、选择题
1．一元二次方程的根为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】移项后，利用直接开平方法求解．
【详解】解：，
∴，
解得：，，
故选D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，根据方程的特点选择恰当的方法是解题关键．
2．方程的根为（ ）
A． B．， C． D．，
【答案】D
【分析】直接开方法解方程即可．
【详解】
解得，
故选：D
【点睛】此题考查一元二次方程的解法，解题关键是直接开方会得到正负两个值，然后分别求解即可．
3．用配方法解方程，方程应变形为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】常数项移到方程的右边后，两边配上一次项系数一半的平方，写成完全平方式即可得．
【详解】解：，
，即，
故选：C．
【点睛】本题主要考查配方法解一元二次方程的能力，熟练掌握完全平方公式和配方法的基本步骤是解题的关键．
4．以为根的一元二次方程可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据求根公式逐一判断即可．
【详解】解：A．此方程的根为，不符合题意；
B．此方程的根为，不符合题意；
C．此方程的根为，不符合题意；
D．此方程的根为，符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程—公式法，解题的关键是掌握求根公式．
5．下列方程中，不适合用因式分解法求解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】把各方程整理乘右边等于0的形式，即可求解．
【详解】解：A、整理得：，适合运用因式分解法求解，故本选项不符合题意；
B、整理得：，即，适合运用因式分解法求解，故本选项不符合题意；
C、，不适合运用因式分解法求解，故本选项符合题意；
D、整理得：，即，适合运用因式分解法求解，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了利用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握适合因式分解法解一元二次方程——把方程的右边化为0，左边能通过因式分解化为两个一次因式的积的形式的方程是解题的关键．
6．解方程较为合适的方法是（ ）
A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法
【答案】D
【分析】用因式分解法中的提公因式进行分解即可解方程；
【详解】解：根据因式分解法得；，
．
故选：D．
【点睛】本题主要考查因式分解法解一元二次方程，根据方程判断出最快的解法是解题的关键．
二、填空题
7．方程的解为 ．
【答案】，
【分析】把原方程化为两个一次方程，再解一次方程即可．
【详解】解：∵，
∴或，
解得：，．
故答案为：，．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，熟练的利用因式分解的方法解一元二次方程是解本题的关键．
8．解方程：的根是 ．
【答案】
【分析】利用直接开方法，求出方程的解即可．
【详解】解：移项得：，
开方得：，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了解一元二次方程．熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键．
9．若一元二次方程配方后为，则 ．
【答案】12
【分析】将配方后的方程化为一般形式，即可得出a=4，b=3，代入代数式求解即可．
【详解】解：∵一元二次方程 ax+b=0配方后为，
∴将整理为，
∴a=4，b=3，
∴ab=12，
故答案为：12．
【点睛】题目主要考查一元二次方程的配方法及求代数式的值，将配方后的方程展开是解题关键．
10．方程的根是 ．
【答案】，
【分析】利用公式法求解即可．
【详解】解：，
，
∴，
∴，
∴，，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
三、解答题
11．用适当方法解方程．
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)，
(2)，
(3)，
(4)，
【分析】（1）用直接开平方法求解即可；
（2）用因式分解法求解即可；
（3）用配方法求解即可；
（4）移项后用因式分解法求解即可．
【详解】（1），
，
∴，；
（2），
，
或，
∴，；
（3），
，
，
，
∴，；
（4），
，
，
∴，．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．
12．用适当的方法解下列方程：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）方程利用配方法求出解即可；
（2）方程利用公式法求出解即可；
（3）利用因式分解法求出解即可；
（4）利用因式分解法求出解即可．
【详解】（1）
（2），，，
，
；
（3），
或
（4）
或
．
【点睛】此题考查了解一元二次方程因式分解法以及公式法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．
重点01 解一元二次方程
1.解一元二次方程的第一种方法，直接开平方法，此方法用于简单的解方程中，但是注意的是要把二次项系数化成“1”再做。
2.解一元二次方程的第二种方法：配方法。此方法用途很频繁，基本简单的解一元二次方程的题目当中都能用到它，也很快捷。注意一点是先把二次项系数化成“1”，然后配成完全平方式，这样就可以利用以前学的因式分解中的完全平方公式的方法去解题了。
3.解一元二次方程的第三种方法：公式法。公式法俗称万能方法，任何解一元二次方程的题目都能用；但是公式法需要把公式记住，做题的时候解题量较大，所以不建议用。在做题的时候可以先观察一下，如果之前学的方法不适用，那再用公式法。
4.解一元二次方程的第四种方法：分为提公因式法、平方差公式法及十字相乘法。①提公因式法是因式分解里面的基础方法，只要把公因式提出来，解方程就简单多了。
②平方差公式法用途广泛，也是非常重要的一种解题方法。解这类题目需要我们把平方差公式的特点弄得非常明白，所以再做题的时候可以参考图四的解题步骤，不要着急，慢慢做。
③十字相乘法简单直接。只要能用到十字相乘法，这类题目解答是很快速的。但是十字相乘也需要大家认真观察，尤其是一次项系数，我们怎么分解才能得到它，这是关键，大家可以多练习。
一、直接开平方法
1、方程形如x2=a（a≥0），根据平方根的定义直接开平方，可以解得：
重点题型训练1
1．方程的根是（ ）
A． B． C．， D．，
2．一元二次方程的根是（ ）
A． B． C． D．
3．一元二次方程的根是（ ）
A． B． C． D．
4．一元二次方程的根是 ．
5．如果关于x的一元二次方程可以用直接开平方求解，则m的取值范围是 ．
6．用直接开平方法解下列方程：
(1)；
(2)．
7．解方程：． 小明的解答如下：
解：原方程可化简为得，
小滨的解答是否正确，如不正确，请写出正确的解答过程．
二、配方法：
用配方法解一元二次方程的步骤：
移项：把常数项移到方程的右边；
配方：方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方；
变形：方程左边分解因式，右边合并同类项；
开方：根据平方根的意义，方程两边开平方；
求解：解一元一次方程；
定解：写出原方程的解。
重点题型训练2
1．用配方法解方程，配方后得到的方程是（ ）
A． B． C． D．
2．用配方法解方程，将其化为的形式，则的值为（ ）
A．15 B．7 C．－1 D．1
3．一元二次方程配方后得， 则n的值是
4．关于x的方程通过配方得，则 ．
5．用配方法解方程：
6．用配方法解方程：．
7．用配方法解一元二次方程：．
三、公式法
1、首先要确定好一元二次方程的三个系数a,b,c，注意符号要写对。
2、然后求出判别式△，若是△≥0，则继续往下求。若是△＜0，则可以直接说该方程无实数根。
3、下一步就是将a,b,c的值带入到求根公式中。分别求出两个根的值。
4、最后写成该一元二次方程的解。
重点题型训练3
1．用求根公式解方程时，，的值是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
2．以为根的一元二次方程可能是（ ）
A． B． C． D．
3．方程的解是 ．
4．用公式法解方程：．
5．用公式法解方程：．
四、因式分解法
一般步骤：
(1)、使方程右边为0，左边因式分解为两个含有未知数的一次代数式的乘积；
(2)、令两个一次式分别等于0，得到两个一元一次方程；
(3)、解这两个一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解。
注意事项：
不能随意约去方程两边含有未知数的式子，例如(x－1)(x－2)＝x－1，若约去x－1，就会丢掉x＝1这个根。
重点题型训练4
1．方程的根是 ( )
A． B． C．， D．，
2．一元二次方程的解是（ ）
A． B． C．， D．，
3．已知一元二次方程的两个根分别是的两边长．则第3条边长( )
A．3 B．4或5 C．3或5 D．4或
4．方程的根为 ．
5．一元二次方程的解
6．解方程：（因式分解）．
7．解下列方程：
(1)
(2)
一、选择题
1．一元二次方程的根为（ ）
A． B． C． D．
2．方程的根为（ ）
A． B．， C． D．，
3．用配方法解方程，方程应变形为（ ）
A． B． C． D．
4．以为根的一元二次方程可能是（ ）
A． B． C． D．
5．下列方程中，不适合用因式分解法求解的是（ ）
A． B．
C． D．
6．解方程较为合适的方法是（ ）
A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法
二、填空题
7．方程的解为 ．
8．解方程：的根是 ．
9．若一元二次方程配方后为，则 ．
10．方程的根是 ．
三、解答题
11．用适当方法解方程．
(1) (2)
(3) (4)
12．用适当的方法解下列方程：
(1)
(2)
(3)
(4)