卷子答案网-一个不只有答案的网站
(总课时14)§2.3确定二次函数的表达式（2）
【学习目标】进一步理解和会用待定系数法确定二次函数的表达式（用三元一次方程组）
【学习重难点】根据条件正确合理地选择二次函数的表达式
【导学过程】
一.知识回顾
(1)二次函数表达式有哪几种表达方式？
一般式：y＝ax2＋bx＋c；
顶点式：y＝a(x－h)2＋k [a≠0，(h，k)是抛物线的顶点坐标]；
交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)．（x1,x2是抛物线与x轴交点的横坐标）
(2)如何求二次函数的表达式？
①已知二次函数表达式中的一个字母系数和图象上的两个点的坐标，可设一般式代入求其表达式；
②已知二次函数顶点坐标和图象上的另一个点的坐标，可设顶点式代入求其表达式；
③已知抛物线与x轴的两个交点(x1，0)(x2，0)，可设交点式代入求其表达式．
二.探究新知
【探究1】已知一个二次函数的图象过（－1，10），（1，4），（2，7）三点，求这个函数的解析式.
解：设所求的二次函数为y=ax2+bx+c，由条件得：
解方程组得： 因此，所求二次函数的解析式是：y=2x2-3x+5.
练习1.一个二次函数的图象经过A(0，－1)，B(1，2)，C(2，－1)三点，你能确定这个二次函数的表达式吗？你有几种方法？与同伴进行交流．
方法一：设所求的二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c.将三点A(0，－1)，B(1，2)，C(2，－1)的坐标分别代入表达式，得解得所以，所求二次函数的表达式为y＝－3x2＋6x－1.
方法二：设所求的二次函数为y＝a(x－1)2＋2，由图象经过点(0，－1)，得－1＝a(0－1)2＋2，解得a＝－3.故所求的二次函数表达式为y＝－3(x－1)2＋2，即y＝－3x2＋6x－1.
【探究2】如图1是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象，你能从此图象中获取哪些信息？你能求出这个二次函数的表达式吗？
方法一：抛物线的对称轴是直线x＝1，顶点坐标是(1，－2)．所以设抛物线的表达式是
y＝a(x－1)2－2，把点(3，0)代入，解得a＝.所以，抛物线的表达式是
y＝(x－1)2－2，即y＝x2－x－.
方法二：因为抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，所以抛物线与x轴的另一个交点坐标是(－1，0)．因为抛物线与x轴的两个交点分别是(3，0)，(－1，0)，所以设抛物线的表达式是y＝a(x－3)(x＋1)，把点(1，－2)代入，解得a＝.所以，抛物线的表达式是y＝(x－3)(x＋1)，即y＝x2－x－.
方法三：设抛物线的表达式是y＝ax2＋bx＋c，把点(1，－2)，(3，0)，(－1，0)分别代入，得解得所以，抛物线的表达式是y＝x2－x－.
三.典例与练习
例1.已知二次函数的图象经过（﹣1，0），（2，0），（0，2）三点，则该函数解析式为（D）
A．y＝﹣x2﹣x+2 B．y＝x2+x﹣2 C．y＝x2+3x+2 D．y＝﹣x2+x+2
练习2.已知抛物线的对称轴是y轴，且经过点（1，3）、（2，6），则该抛物线的解析式为y＝x2+2．
例2.二次函数y=ax2+bx+c的x，y的部分对应值如表所示，则下列判断不正确的是（C）
x ﹣2 ﹣1 0 1 2
y ﹣2.5 0 1.5 2 1.5
A.当x＜0时，y随x的增大而增大 B．对称轴是直线x=1
C．当x=4时，y=﹣2 D．方程ax2+bx+c=0有一个根是3
练习3.如果点(－2，－3)和(5，－3)都是抛物线y=ax2+bx+c上的点，那么抛物线的对称轴是(C)
A. x=3 B. x=－3 C. x= D. x=－
例3.如图2，已知抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（5，0）．
（1）求抛物线的解析式并写出顶点M的坐标；
（2）若点C在抛物线上，且点C的横坐标为8，求四边形AMBC的面积．
解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（5，0）．
∴函数的表达式为：y＝（x+1）（x﹣5）＝（x2﹣4x﹣5）＝x2﹣x﹣，点M坐标为（2，﹣3）；
当x＝8时，y＝（x+1）（x﹣5）＝9，即点C（8，9），因为AB＝5+1＝6，
所以S四边形AMBC＝S△ABM+S△ABC＝+＝36．
四.课堂小结
(1)正确选择二次函数的形式；
(2)解三元一次方程组时注意“消元”的方法和步骤；
(3)运用顶点式进行求解时，先代入顶点式．
五.分层过关
1.已知抛物线y=ax2+bx+c过(1,-1)、(2,-4)和(0,4)三点，那么a、b、c的值分别是（D）
A.a=-1,b=-6,c=4 B.a=1,b=-6,c=-4,C.a=-1,b=-6,c=-4 D.a=1,b=-6,c=4
2.抛物线与x轴交于点(-1,0)和(3,0)，与y轴交于点(0,-3)则此抛物线对此函数的表达式为（B）
A. y=x2+2x+3 B. A. y=x2-2x-3 C. A. y=x2-2x+3 D. A. y=x2+2x-3
3.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝0时，y＝1；当x＝－1时，y＝6；当x＝1时，y＝0.则这个二次函数的表达式是y＝2x2－3x＋1．
4.已知二次函数的图象的顶点坐标是（﹣1，﹣6），并且该图象经过点（2，3）表达式为y＝x2+2x﹣5．
5.已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴、y轴分别相交于A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．则该抛物线的解析式是y＝﹣x2+2x+3．
6.将直角边长为6的等腰Rt△AOC放在如图所示的平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C，A分别在x，y轴的正半轴上，一条抛物线经过点A，C及点B(－3，0)．求该抛物线的表达式．
解：由题意知，OA＝OC＝6，∴A(0，6)，C(6，0)．
∵抛物线的图象经过点B(－3，0)，C(6，0)，∴可设抛物线表达式为：，又∵抛物线过点A（0，6），∴，
解得，∴抛物线表达式为；，即.
思考题：平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A、C的坐标分别是为（0,3）、（-1,0），将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′.
（1）若抛物线过点C、A、A′，则此抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3；
（2）求平行四边形ABOC和平行四边形A′B′OC′重叠部分
△OC′D的周长为；
（3）点M是第一象限内抛物线上的一动点，问：点M在何处时；△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点M的坐标.
解：（3）作MN⊥x轴交AA′于N点，设M（m，-m2+2m+3），
AA′的解析式为y=-x+3，N点坐标为（m，-m+3），MN的长为-m2+3m，
S△AMA′=MN xA′=（-m2+3m）×3
=-（m2-3m）=-（m-）2+，
∵0＜m＜3，∴当m=时，-m2+2m+3=，M（，），
△AMA′的面积有最大值．
图1
1
图2
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "()
" ()
(总课时14)§2.3确定二次函数的表达式（2）
一.选择题：
1.二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数y的对应值如下表：
x … －5 －4 －3 －2 －1 0 …
y … 4 0 －2 －2 0 4 …
下列说法正确的是( )
A．抛物线的开口向下 B．当x＞－3时，y随x的增大而增大
C．二次函数的最小值是－2 D．抛物线的对称轴是直线x＝-2.5
2.已知抛物线过A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于C点，且BC=3，则这条抛物线的解析式为( )
A. y=－x2+2x+3 B. y＝x2－2x－3
C. y=x2+2x―3或y＝－x2+2x+3 D. y=－x2+2x+3或y＝x2－2x－3
3.抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点为(-1，0)，(3，0)，其形状和开口方向与抛物线y=-2x2相同，则抛物线y=ax2+bx+c的表达式为( )
A. y=-2x2-x+3 B. y=-2x2+4x+5 C. y=-2x2+4x+8 D. y=-2x2+4x+6
4.一个二次函数的图象经过点A（0，0），B（-1，-11），C（1，9）三点，则这个二次函数的关系式是（ ）
A. B. C. D.
5.抛物线与x轴交点的横坐标为-2和1，且过点（2，8），它的关系式为（ ）
A. B. C. D.
二.填空题：
6.已知抛物线与x轴交点的横坐标分别为3，1；与y轴交点的纵坐标为6，则二次函数的关系式是______．
7.已知二次函数的图象的顶点坐标是（﹣1，﹣6），并且该图象经过点（2，3）表达式为____________．
8.已知二次函数的图象开口向上，且顶点在y轴的负半轴上，请你写出一个满足条件的二次函数的表达式________．
9.已知二次函数的图象经，，三点，那么这个二次函数的解析式是________.
10.设抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)过A(0，2)、B(2，-1)、C(4,0)三点，则抛物线的函数解析式为
_______________________.
三.解答题：
11.已知抛物线y=ax2+bx+c经过A，B，C三点，当x≥0时，其图象如图所示．
（1）求抛物线的解析式，写出抛物线的顶点坐标；
（2）利用抛物线y=ax2+bx+c，写出x为何值时，y>0．
12.已知二次函数的图象过点A（1，0），B（-2，0），C（0，2），求这个函数的解析式．
四.提高题：
13.如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过A(2，0)、B(0，－1)和C(4，5)三点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标；
(3)在同一坐标系中画出直线y＝x＋1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "()
" ()
(总课时14)§2.3确定二次函数的表达式（2）
【学习目标】进一步理解和会用待定系数法确定二次函数的表达式（用三元一次方程组）
【学习重难点】根据条件正确合理地选择二次函数的表达式
【导学过程】
一.知识回顾
(1)二次函数表达式有哪几种表达方式？
一般式：______________；
顶点式：______________________________________________________；
交点式：___________________________________________________.
(2)如何求二次函数的表达式？
①已知二次函数表达式中的一个字母系数和图象上的两个点的坐标，可设一般式代入求其表达式；
②已知二次函数顶点坐标和图象上的另一个点的坐标，可设顶点式代入求其表达式；
③已知抛物线与x轴的两个交点(x1，0)(x2，0)，可设交点式代入求其表达式．
二.探究新知
【探究1】已知一个二次函数的图象过（－1，10），（1，4），（2，7）三点，求这个函数的解析式.
解：设所求的二次函数为y=ax2+bx+c，把（－1，10），（1，4），（2，7）三点代入得：
解方程组得：因此，所求二次函数的解析式是：____________.
练习1.一个二次函数的图象经过A(0，－1)，B(1，2)，C(2，－1)三点，你能确定这个二次函数的表达式吗？你有几种方法？与同伴进行交流．
方法一：设所求的二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c.
方法二：设所求的二次函数为y＝a(x－1)2＋2，
【探究2】如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象，你能从此图象中获取
哪些信息？你能求出这个二次函数的表达式吗？
方法一：抛物线的对称轴是直线x＝1，顶点坐标是______．所以设抛物线的表达式是
_____________，把点(3，0)代入，解得a＝___.
所以，抛物线的表达式是_____________________________________
方法二：因为抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，所以抛物线与x轴的另一个交点坐标是_______．因为抛物线与x轴的两个交点分别是______________，所以设抛物线的表达式是______________，把点(1，－2)代入，解得a＝___.所以，抛物线的表达式是___________________________________.
方法三：设抛物线的表达式是y＝ax2＋bx＋c，把点(1，－2)，(3，0)，(－1，0)分别代入，得解得所以，抛物线的表达式是______________.
三.典例与练习
例1.已知二次函数的图象经过（﹣1，0），（2，0），（0，2）三点，则该函数解析式为（ ）
A．y＝﹣x2﹣x+2 B．y＝x2+x﹣2 C．y＝x2+3x+2 D．y＝﹣x2+x+2
练习2.已知抛物线的对称轴是y轴，且经过点（1，3）、（2，6），则该抛物线的解析式为_______．
例2.二次函数y=ax2+bx+c的x，y的部分对应值如表所示，则下列判断不正确的是（ ）
x ﹣2 ﹣1 0 1 2
y ﹣2.5 0 1.5 2 1.5
A.当x＜0时，y随x的增大而增大 B．对称轴是直线x=1
C．当x=4时，y=﹣2 D．方程ax2+bx+c=0有一个根是3
练习3.如果点(－2，－3)和(5，－3)都是抛物线y=ax2+bx+c上的点，那么抛物线的对称轴是( )
A. x=3 B. x=－3 C. x= D. x=－
例3.如图2，已知抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（5，0）．
（1）求抛物线的解析式并写出顶点M的坐标；
（2）若点C在抛物线上，且点C的横坐标为8，求四边形AMBC的面积．
四.课堂小结
(1)正确选择二次函数的形式；
(2)解三元一次方程组时注意“消元”的方法和步骤；
(3)运用顶点式进行求解时，先代入顶点式．
五.分层过关
1.已知抛物线y=ax2+bx+c过(1,-1)、(2,-4)和(0,4)三点，那么a、b、c的值分别是（ ）
A.a=-1,b=-6,c=4 B.a=1,b=-6,c=-4,C.a=-1,b=-6,c=-4 D.a=1,b=-6,c=4
2.抛物线与x轴交于点(-1,0)和(3,0)，与y轴交于点(0,-3)则此抛物线对此函数的表达式为（ ）
A. y=x2+2x+3 B. A. y=x2-2x-3 C. A. y=x2-2x+3 D. A. y=x2+2x-3
3.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝0时，y＝1；当x＝－1时，y＝6；当x＝1时，y＝0.则这个二次函数的表达式是______________．
4.已知二次函数的图象的顶点坐标是（﹣1，﹣6），并且该图象经过点（2，3）表达式为_______．
5.已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴、y轴分别相交于A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．则该抛物线的解析式是_______．
6.将直角边长为6的等腰Rt△AOC放在如图所示的平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C，A分别在x，y轴的正半轴上，一条抛物线经过点A，C及点B(－3，0)．求该抛物线的表达式．
思考题：平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A、C的坐标分别是为（0,3）、（-1,0），将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′.
（1）若抛物线过点C、A、A′，则此抛物线的解析式为：______________；
（2）求平行四边形ABOC和平行四边形A′B′OC′重叠部分
△OC′D的周长为______________；
（3）点M是第一象限内抛物线上的一动点，问：点M在何处时；△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点M的坐标.
图1
1
图2
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "()
" ()
(总课时14)§2.3确定二次函数的表达式（2）
一.选择题：
1.二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数y的对应值如下表：
x … －5 －4 －3 －2 －1 0 …
y … 4 0 －2 －2 0 4 …
下列说法正确的是(D)
A．抛物线的开口向下 B．当x＞－3时，y随x的增大而增大
C．二次函数的最小值是－2 D．抛物线的对称轴是直线x＝-2.5
2.已知抛物线过A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于C点，且BC=3，则这条抛物线的解析式为(D)
A. y=－x2+2x+3 B. y＝x2－2x－3
C. y=x2+2x―3或y＝－x2+2x+3 D. y=－x2+2x+3或y＝x2－2x－3
3.抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点为(-1，0)，(3，0)，其形状和开口方向与抛物线y=-2x2相同，则抛物线y=ax2+bx+c的表达式为(D)
A. y=-2x2-x+3 B. y=-2x2+4x+5 C. y=-2x2+4x+8 D. y=-2x2+4x+6
4.一个二次函数的图象经过点A（0，0），B（-1，-11），C（1，9）三点，则这个二次函数的关系式是（D）
A. B. C. D.
5.抛物线与x轴交点的横坐标为-2和1，且过点（2，8），它的关系式为（D ）
A. B. C. D.
二.填空题：
6.已知抛物线与x轴交点的横坐标分别为3，1；与y轴交点的纵坐标为6，则二次函数的关系式是y=2x2-8x+6．
7.已知二次函数的图象的顶点坐标是（﹣1，﹣6），并且该图象经过点（2，3）表达式为y＝x2+2x﹣5．
8.已知二次函数的图象开口向上，且顶点在y轴的负半轴上，请你写出一个满足条件的二次函数的表达式y=x2-2．
9.已知二次函数的图象经，，三点，那么这个二次函数的解析式是
10.设抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)过A(0，2)、B(2，-1)、C(4,0)三点，则抛物线的函数解析式为
y=0.5x2-2.5x+2
三.解答题：
11.已知抛物线y=ax2+bx+c经过A，B，C三点，当x≥0时，其图象如图所示．
（1）求抛物线的解析式，写出抛物线的顶点坐标；
（2）利用抛物线y=ax2+bx+c，写出x为何值时，y>0．
解：（1）由图象，可知A（0，2），B（4，0），C（5，﹣3），
得方程组．解得a=﹣，b=，c=2．
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+2．顶点坐标为（，）．
（2）由图象可知，当﹣1＜x＜4时，y＞0．
12.已知二次函数的图象过点A（1，0），B（-2，0），C（0，2），求这个函数的解析式．
解：设二次函数解析式为y=ax2+bx+c，∵二次函数的图象过点A（1，0），B（-2，0），C（0，2），
∴得到方程组： ，即：，解得：∴方程组的解为：
因此二次函数解析式为：y=-x2-x+2；
四.提高题：
13.如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过A(2，0)、B(0，－1)和C(4，5)三点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标；
(3)在同一坐标系中画出直线y＝x＋1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．
解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，-1）和C（4，5）三点，
∴，∴a=，b=-，c=-1，∴二次函数的解析式为y=x2-x-1；
（2）当y=0时，得x2-x-1=0；解得x1=2，x2=-1，∴点D坐标为（-1，0）；
（3）图象如图，
当一次函数的值大于二次函数的值时，x的取值范围是-1＜x＜4．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "()
" ()
转载请注明出处卷子答案网-一个不只有答案的网站 » 北师大版九下导学案+课时练习§2.3 确定二次函数的表达式（2）（教师版+学生版）