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浙江省杭州市2023年九年级上册期中考试模拟卷
一、选择题（共30分）
1．下列函数中，是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．若，则的值是（ ）
A．2 B．3 C． D．
4．已知的半径是6cm，点P到圆心O的距离为4，，则点P与的位置关系是（ ）
A．点在圆外 B．点在圆上 C．点在圆内 D．无法判断
5．9张背面相同的卡片，正面分别写有不同的从1到9的一个自然数，现将卡片背面朝上，从中任意抽出一张，正面的数是偶数的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，则平移后的抛物线解析式为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，为的直径，弦于点E，已知，，则的长为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
8．若线段，点P是线段的黄金分割点，且，则的长为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，已知扇形BOD， DE⊥OB于点E，若ED=OE=2，则阴影部分面积为( )
A． B． C． D．
10．如图，抛物线的对称轴是，并与x轴交于A，B两点，若，则下列结论中：①；②；③；④若m为任意实数，则，正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（共24分）
11．一个仅装有球的不透明布袋里共有4个球(只有颜色不同)， 其中3个是红球，1个是黑球，从中任意摸出一个球，是黑球的概率是 ．
12．如图，若与都是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），则与的周长比为 ．
13．已知扇形的圆心角为，半径为2，则扇形的弧长为 （结果保留．
14．已知抛物线的对称轴为，若点，，，请比较，，的大小 ．（用“<”连接）
15．已知二次函数，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，当时，的值是 ．
16．如图，是半圆的直径，是半圆的弦，沿弦折叠交直径于点．（1）当时，则的长为 ；（2）当，时，则的长为 ．
三、解答题（共66分）
17．（6分）在一次宣传杭州亚运会的有奖竞猜活动中，获奖者从放有只有颜色不同的3个小球（1个黑球，1个白球，1个黄球）的不透明布袋中摸球．若摸到一个黑球奖励一个亚运会吉祥物“宸宸”，摸到一个白球奖励一个“琮琮”，摸到一个黄球奖励一个“莲莲”．一个获奖者先从布袋中任意摸出一球，不放回，再摸出一球，求得到一个“莲莲”和一个“琮琮”的概率．
18．（8分）已知线段a、b满足，且．
(1)求a、b的值；
(2)若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值．
19．（8分）已知在平面直角坐标系中的位置如图所示．
(1)画出绕点B按逆时针方向旋转后的；
(2)在（1）的条件下，求点A旋转到点所经过的路线长（结果保留）．
20．（10分）如图，已知抛物线的对称轴为直线，且与y轴的交点坐标为，直线l与x轴相交于点C．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)如图，点P是该抛物线对称轴右侧图象上一动点，过点P作轴，，垂足分别为A，B．设点P的横坐标为m．当四边形为正方形时，求m的值．
21．（10分）在校园嘉年华中，九年级同学将对一块长20m，宽10m的场地进行布置，设计方案如图所示．阴影区域为绿化区（四块全等的矩形），空白区域为活动区，且4个出口宽度相同，其宽度不小于4m，不大于8m．设出口长均为x（m），活动区面积为y（m2）．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）当x取多少时，活动区面积最大？最大面积是多少？
（3）若活动区布置成本为10元/m2，绿化区布置成本为8元/m2，布置场地的预算不超过1850元，当x为整数时，请求出符合预算且使活动区面积最大的x值及此时的布置成本．
22．（12分）如图，在中，AB是直径，，C是弧PB上一点，过点C做，垂足是E，交于D，交AP的延长线于点F，连结CA，CB，PC，PD．
(1)证明：；
(2)若，求β与α满足的关系式；
(3)连结AD，若，求．
23．（12分）在直角坐标系中，设函数（m，n是实数）．
(1)当时，若该函数的图象经过点，求函数的表达式．
(2)若，且当时，y随x的增大而减小，求m的取值范围．
(3)若该函数的图象经过，两点（a，b是实数）．当时，求证：．
参考答案
1．B
【分析】判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合并同类项）后，能写成y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是．
【详解】A.的分母含有自变量，故不是二次函数；
B.，是二次函数；
C.=x3+x的自变量的最高次数是3，故不是二次函数；
D.的自变量的次数是1，故不是二次函数；
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的函数叫做二次函数．
2．B
【分析】一个图形绕着某固定点旋转180度后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形，这个固定点叫做对称中心；如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B．该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
C．该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
D．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与原图重合
3．C
【分析】比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项，根据两内项之积等于两外项之积可得答案．
【详解】解：∵3x＝2y，
∴x：y＝2：3，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了比例的性质，关键是掌握两内项之积等于两外项之积．
4．C
【分析】直接根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．
【详解】解：∵的半径为6cm,点P到圆心O的距离为4，
∴点P到圆心O的距离小于圆的半径，
∴点P在内．
故选：C．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有3种．设的半径为r，点P到圆心的距离，则有：点P在圆外；点P在圆上；点P在圆内 ．
5．C
【分析】利用列举法列出全部可能情况，从中找出是偶数的情况，根据概率公式P(A)=事件包含的结果/总体可能的结果计算即可．
【详解】解：从9张卡片中任意抽出一张，正面的数有1~9共9种可能，其中为偶数的情况有2、4、6、8共4种，
所以正面的数是偶数的概率P=，
故选 ：C．
【点睛】本题考查了概率，需熟练运用列举法进行分析，会使用列表法、树状图法求概率．
6．A
【分析】根据图象向左平移加，向上平移加，可得答案．
【详解】解：将抛物线y=-x2向左平移3个单位，再向上平移5个单位，平移后抛物线的解析式是y=-（x+3）2+5，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，函数图象平移的规律是左加右减，上加下减．
7．C
【分析】利用垂径定理求解即可．
【详解】解：如图：
，，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了垂径定理，熟练掌握定理是解题的关键．
8．B
【分析】根据黄金分割点的定义和得出，代入数据即可得出的长度,然后求得的长度．
【详解】解：由于P为线段的黄金分割点，
且，
则
故选：B．
【点睛】本题考查了黄金分割．应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的，较长的线段=原线段的．
9．B
【分析】由题意可得△ODE为等腰直角三角形，可得出扇形圆心角为45°，再根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：∵DE⊥OB，OE=DE=2,
∴△ODE为等腰直角三角形，
∴∠O=45°，OD=OE=2.
∴S阴影部分=S扇形BOD-S△OED=
故答案为：B．
【点睛】本题考查的是扇形面积计算、等腰直角三角形的性质，利用转化法求阴影部分的面积是解题的关键．
10．C
【分析】根据函数图像的开口方向，对称轴，图像与y轴的交点，即可判断①；根据对称轴x= - 2，OA=5OB，可得OA=5，OB＝1，点A（－5，0），点B（1，0），当x＝1时，y＝0即可判断②；根据对称轴x= - 2以及a+b+c=0得a与c的关系，即可判断③；根据函数的最小值是当x＝－2时y＝4a－2b＋c即可判断④.
【详解】解：①观察图像可知a＞0，b＞0，c＜0，
∴abc＜0，
故①错误
②∵对称轴为直线x= - 2 ，OA＝5OB，可得OA=5 ，OB=1
∴点A（－5，0），点B（1，0）
∴当x＝1时，y＝0即a＋b＋c= 0
∴（a＋c）2－b2＝（a＋b＋c）（a＋c－b）＝0
故②正确
③抛物线的对称轴为直线x=- 2，即 ＝－2
∴b＝4a
∵a＋b＋c＝0
∴ 5a＋c＝0
∴c＝－5a
∴9a＋4c＝－11a＜0，
故③正确
④ 当x＝－2时函数有最小值y＝4a－2b＋c，
当x=m时，am2＋bm＋c≥4a－2b＋c
整理得，若m为任意实数，则am2＋bm＋2b≥4a，
故④正确
故选C
【点睛】本题考查了二次函数图像与系数的关系，二次函数图像上点的坐标特征，解决本题的关键是掌握二次函数图像与系数关系．
11．
【分析】首先列举出所有的可能结果，再根据概率的计算公式进行计算即可．
【详解】任意摸出一个球，有4种结果，其中1个是黑球，
∴从中任意摸出一个球，是黑球的概率为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了列举法求概率，熟练掌握运用概率公式是解答本题的关键．
12．
【分析】设正方形网格的边长为1，根据勾股定理求出△EFD、△ABC的边长，运用三边对应成比例，则两个三角形相似这一判定定理证明△EDF∽△BAC，即可解决问题．
【详解】解：设正方形网格的边长为1，
由勾股定理得：
DE2＝22+22，EF2＝22+42，
∴DE＝2，EF＝2；
同理可求：AC＝，BC＝，
∵DF＝2，AB＝2，
∴，
∴△EDF∽△BAC，
∴与的周长比为：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了勾股定理和相似三角形的判定及其性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
13．/
【分析】已知扇形的圆心角为，半径为2，代入弧长公式计算．
【详解】解：依题意，，，
扇形的弧长．
故答案为：．
【点睛】本题考查了弧长公式的运用．关键是熟悉公式：扇形的弧长=．
14．
【分析】先求出C关于对称轴的对称点，再根据二次函数的图象开口向下，对称轴是直线，则当时，y随x的增大而减小，即可得出答案．
【详解】解：设C关于对称轴的对称点为，
则，
解得：，
∴．
∵抛物线图象的开口向上，对称轴是直线，
∴当时，y随x的增大而减小．
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解答此题的关键．
15．
【分析】根据二次函数的增减性，结合图像与性质即可得到二次函数图像的对称轴为，从而确定值，得到二次函数解析式为，将代入即可得到结论．
【详解】解：二次函数，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，
，即，
二次函数解析式为，
当时，，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数增减性与对称轴的关系是解决问题的关键．
16． 5 4
【分析】（1）连接CA、CD，由圆周角定理得，证明AC＝CD，∠ACB＝90°，再由直角三角形的性质得CD＝BD＝5，则AC＝CD＝5，然后由勾股定理求解即可；
（2）连接CA、CD，由圆周角定理得，则AC＝CD，过点C作CE⊥AB于E，则AE＝ED＝2，再证△ACE∽△CBE，求出CE2＝AE BE＝16，然后由勾股定理即可得出答案．
【详解】解：（1）连接CA、CD，如图1所示：
根据折叠的性质，弧CD所对的圆周角是∠CBD，
∵∠CBA＝∠CBD，
∴，
∴AC＝CD，
∵AB是半圆的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AD＝BD＝5，
∴AB＝AD+BD＝10，CD＝AB＝BD＝5，
∴AC＝CD＝5，
∴BC＝＝＝5，
故答案为：5；
（2）连接CA、CD，如图2所示：
根据折叠的性质，弧CD所对的圆周角是∠CBD，
∵∠CBA＝∠CBD，
∴，
∴AC＝CD，
过点C作CE⊥AB于E，
则AE＝ED＝AD＝×4＝2，
∴BE＝BD+DE＝6+2＝8，
∵AB是半圆的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CE⊥AB，
∴∠ACB＝∠AEC＝90°，
∴∠A+∠ACE＝∠ACE+∠BCE＝90°，
∴∠A＝∠BCE，
∴△ACE∽△CBE，
∴＝，
即CE2＝AE BE＝2×8＝16，
在Rt△BCE中，BC＝＝＝4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了圆周角定理，翻折的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，圆心角、弧、弦的关系、勾股定理等知识，正确找出辅助线，证明AC＝CD是解题的关键．
17．
【分析】根据题意作图树状图，可知共有6种可能情况，而满足条件的有2种情况，进而求概率即可．
【详解】解：根据题意，可作树状图如下，
由树状图可知，共有6种可能情况，满足条件的有2种情况，
所以，得到一个“莲莲”和一个“琮琮”的概率为．
【点睛】本题主要考查了列举法求概率的知识，能够正确作出树状图是解题关键．
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据可得，再代入计算即可得；
（2）根据比例中项的定义求解即可得．
【详解】（1）解：，
，
，
，
解得，
则．
（2）解：线段是线段、的比例中项，
，即，
解得或（不符合题意，舍去），
则的值为．
【点睛】本题主要考查了比例线段和比例中项，属于基础题，熟记定义是解题关键．
19．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据图形旋转的作法，先确定各个点，然后顺次连接即可；
（2）利用弧长公式求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）由（1）知，点A旋转到点的圆心角为，半径为3，
∴路线长为：
【点睛】题目主要考查图形的旋转及弧长公式的计算，理解题意，作出旋转图形是解题关键．
20．(1)
(2)0或1
【分析】（1）利用待定系数法解答，即可；
（2）根据题意可得，再由正方形的性质可得，从而得到关于m的方程，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵直线与x轴相交于点C．
∴点，
∵轴，，垂足分别为A，B．点P的横坐标为m．
∴，
∴，，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
解得：（舍去）或或（舍去）或，
综上所述，m的值为0或1．
【点睛】本题主要考查了二次函数的的综合题，涉及了求二次函数的解析式，正方形的性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．
21．（1）；（2）当时，活动区面积最大，最大面积是；（3）符合预算且使活动区面积最大的值为5，此时的布置成本为1850元．
【分析】（1）先求出小长方形的长、宽，再利用大长方形的面积减去四个小长方形的面积即可得；
（2）结合（1）的结果，利用二次函数的性质即可得；
（3）先根据布置场地的预算求出的取值范围，从而可得一个关于的一元二次方程，解方程即可得．
【详解】解：（1）由题意得：，
小长方形的长为，宽为，
则，
整理得：，
故关于的函数表达式为；
（2）将二次函数化成顶点式为，
由二次函数的性质可知，当时，随的增大而增大，
则当时，取得最大值，最大值为，
答：当时，活动区面积最大，最大面积是；
（3）由题意得：，
解得，
当时，，
解得或（不符题意，舍去），
答：符合预算且使活动区面积最大的值为5，此时的布置成本为1850元．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用、一元二次方程的应用等知识点，依据题意，正确建立函数和方程是解题关键．
22．(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据垂径定理求出，再根据圆内接四边形的性质即可证明；
（2）根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半的性质进行求解即可；
（3）根据直径所对的圆周角为直角可得，根据题意可设，则，再根据圆弧所对的圆周角相等得出，再根据含的直角三角形的性质求出，最后根据相似三角形的判定和性质和高相同时两三角形的面积比等于底之比进行求解即可．
【详解】（1）连接BC，
∵，AB为直径，
∴，
∴，
又∵四边形APCB为的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）连接OP，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴；
（3）连接PB，
∵AB为直径，
∴，
∵，
∴设，则，
在中，，
由（2）知，
∴，
∴在中，，
又由（1）知，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了垂径定理、圆内接四边形的性质、含的直角三角形的性质、圆周角定理、相似三角形的判定和性质和勾股定理的应用，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
23．(1)
(2)
(3)见详解
【分析】（1）根据待定系数法即可求得；
（2）求得抛物线与的交点坐标，即可求得抛物线的对称轴为直线，根据二次函数的性质即可得出，即可求解；
（3）把，两点代入，表示出和，然后将配方可得．
【详解】（1）解：当时，则，
把点代入得，，
∴，
∴，即；
（2）解：∵，
∴抛物线与轴的交点为，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴对称轴为直线，
∵抛物线开口向上且当时，随的增大而减小，
∴，
∴；
（3）证明：∵函数的图象经过，两点（是实数），
∴，，
∴
，
∵，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解决问题的关键是熟练掌握二次函数的性质．