卷子答案网-一个不只有答案的网站泸州市重点中学2023-2024学年高三上学期10月月考
数学（理工类）
本试卷共4页，23小题，满分150分.考试用时120分钟.
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，则
A． B．
C． D．
2．下列函数在区间上是增函数的是
A． B． C． D．
3．函数的单调递增区间为
A． B． C． D．
4．已知m，n为两条不重合直线，α，β为两个不重合平面，下列条件中，一定能推出的是
A． B．
C． D．
5．展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则n的值为
A．8 B．7 C．6 D．5
6．函数的定义域是，且满足，当时，，则图象大致是
A． B． C．D．
7．已知简单组合体的三视图如图所示，则此简单组合体的体积为
A． B． C． D．
8．已知，，则
A． B． C． D．
9．经研究发现：某昆虫释放信息素t秒后，在距释放处x米的地方测得信息素浓度y满足函数（A，K为非零常数）．已知释放1秒后，在距释放处2米的地方测得信息素浓度为a，则释放信息素4秒后，信息素浓度为的位置距释放处的距离为（ ）米．
A． B．2 C． D．4
10．如图，在长方形中，，现将沿折至，使得二面角为锐二面角，设直线与直线所成角的大小为，直线与平面所成角的大小为，二面角的大小为，则的大小关系是
A． B． C． D．不能确定
11．已知，则关于的方程恰有三个不同的实数根，则的取值范围是
A． B． C． D．
12．设，，，则a，b，c的大小关系是
A． B． C． D．
第II卷 非选择题
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．若复数（i为虚数单位），则z的实部为 ．
14．已知函数，则 ．
15．已知向量，的夹角为，，则向量在方向上的投影为 ．
16．已知菱形的边长为，，沿对角线将菱形折起，使得二面角为钝二面角，该四面体外接球的表面积为，则四面体的体积为 .
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。
17．（12分）已知，，．
(1)若，求x的值；
(2)求的最大值及取得最大值时相应的x的值．
18．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)证明：
(2)若，，求△ABC的面积．
19．（12分）已知函数.
(1)若在处取得极值，求的极值；
(2)若在上的最小值为，求的取值范围.
20．（12分）在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为的正方形,平面PAC⊥底面ABCD，PA=PC=
（1）求证：PB=PD;
（2）若点M,N分别是棱PA,PC的中点,平面DMN与棱PB的交点Q,则在线段BC上是否存在一点H,使得DQ⊥PH,若存在,求BH的长,若不存在,请说明理由.
21．（12分）已知函数.
(1)当时，求的单调区间；
(2)①当时，试证明函数恰有三个零点；
②记①中的三个零点分别为，，，且，试证明.
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22.在直角坐标系中，点，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为．
(1)写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
(2)设点M为C上的动点，点P满足，写出P的轨迹的参数方程，并判断l与是否有公共点．
[选修 4-5：不等式选讲]（10 分）
23．已知、为非负实数，函数．
(1)当，时，解不等式；
(2)若函数的最小值为，求的最大值．泸州市重点中学2023-2024学年高三上学期10月月考
数学（理工类）参考答案
1．A 2．A 3．C 4．B 5．C 6．A 7．C 8．B 9．D 10．B 11．C 12．D
13．1 14．. 15． 16．
17．解：（1），，
若，则，
∴，即，
∵，∴，可得，即；
（2），
∵，∴，可得当，即时，取最大值为1．
18．（1）证明：因为，所以，
所以．
所以，
即．
因为在△ABC中，所以，即，
故．即．
（2）解：由（1）可知．
因为，所以．则．．
由正弦定理可知．则．．
故△ABC的面积．
19．解：（1），，.
因为在处取得极值，所以，则.
所以，，
令得或1，列表得
1
+ 0 - 0 +
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
所以的极大值为，极小值为.
（2）.
①当时，，所以在上单调递增，的最小值为，满足题意；
②当时，令，则或，所以在上单调递减，在上单调递增，
此时，的最小值为，不满足题意；
③当时，在上单调递减，的最小值为，不满足题意.
综上可知，实数的取值范围时.
20(1)证明：记AC∩BD=O，连结PO，
底面ABCD为正方形，OA=OC=OB=OD=2.
PA=PC，PO⊥AC，
平面PAC∩底面ABCD=AC，PO平面PAC，
PO⊥底面ABCD.
BD底面ABCD，PO⊥BD. PB=PD.
(2)以O为坐标原点，射线OB，OC，OP的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示，由（1）可知OP=2.
可得P(0,0,2)，A(0,-2,0), B(2,0,0), C(0,2,0), D(-2,0,0),
可得，M(0,-1,1), N(0,1, 1).，.设平面的法向量n=，
，，令，可得n=.
记，可得，
，=0，可得，，解得.可得，.
记，可得，
，若DQ⊥PH，则，，解得.故.
21．解：（1）当时，定义域为，
所以，
所以在定义域上单调递减，其单调递减区间为，无单调递增区间．
（2）①由定义域为，
所以，
令，因为，，
设方程的两根分别为，，且，则，，
所以有两个零点，，且，
当时，，单调递减；当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以在处取得极小值，在处取得极大值，
又，故，则，
又因为，，且，故有，由零点存在性定理可知，
在恰有一个零点，在也恰有一个零点，
易知是的零点，所以恰有三个零点；
②由①知，，则，
因为，所以，
所以要证，即证，即证，
即证，即证，即证．令，则，
当时，，所以在上单调递减，
所以，故式成立，所以．
22．解：（1）因为曲线C的参数方程为(为参数)，
所以，即曲线C的普通方程为：，
因为，由，可得l的方程为：.
（2）设，设，因为 ，
所以，则，（为参数），
故P的轨迹的参数方程为，（为参数），
所以曲线为以为圆心，半径为4的圆，而圆心到直线l的距离为，
因为，所以直线l与圆相离，故直线l与圆没有公共点.
23．（1）解：当，时，．
当时，，解得，此时；
当时，，此时原不等式无解；
当时，，解得，此时．
综上，不等式的解集为.
（2）解：由，
因为，，当且仅当时，等号成立，．
所以，，即，所以，，
当且仅当时，即当，时，等号成立，综上，的最大值为．
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