卷子答案网-一个不只有答案的网站宜宾市叙州区2023-2024学年高三上学期10月月考
数学（理工类）
本试卷共4页，23小题，满分150分.考试用时120分钟.
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知全集，集合满足，则
A． B． C． D．
2．已知复数，则
A． B． C．2 D．
3．若函数，则
A． B． C． D．
4．函数在上的图象大致为
A． B．
C． D．
5．已知函数，，则的值为
A．1 B．0 C． D．
6．若，，则
A． B． C． D．
7．现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率.函数的图象在处的曲率为
A． B． C． D．
8．若，则
A． B． C． D．1
9．已知函数，则
A． B．函数有一个零点
C．函数是偶函数 D．函数的图象关于点对称
10．如图，边长为的正方形ABCD所在平面与矩形ABEF所在的平面垂直，，N为AF的中点，，则三棱锥外接球的表面积为
A． B． C． D．
11．将的图象横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到的图象，若在上单调递增，则正数的取值范围为
A． B． C． D．
12．已知，，，则的大小关系为
A． B． C． D．
第II卷 非选择题
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．展开式中的常数项为 .
14．已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，点在角的终边上，则 .
15．在上单调递减，则实数m的最大值是 ．
16．若存在，使得，则的取值范围是 .
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。
17．（12分）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象．
(1)若为奇函数，求的值；
(2)若在上单调递减，求的取值范围．
18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)求；
(2)已知，，求△ABC的面积.
19．（12分）设为实数，函数，．
(1)求的极值；
(2)对于，，都有，试求实数的取值范围．
20．（12分）如图，在三棱锥中，是等边三角形，，是边的中点.
(1)求证：；
(2)，，平面与平面所成二面角为，求直线
与平面所成角的余弦值.
21．（12分）已知，且0为的一个极值点．
(1)求实数的值；
(2)证明：①函数在区间上存在唯一零点；
②，其中且．
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22.在平面直角坐标系xOy中，设曲线的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线的极坐标方程为．
(1)求曲线的普通方程；
(2)若曲线上恰有三个点到曲线的距离为，求实数a的值．
[选修 4-5：不等式选讲]（10 分）
23．设函数.
（1）解不等式；
（2）当x∈R，0
1．D 2．A 3．C 4．C 5．B 6．D 7．D 8．C 9．D 10．A 11．B 12．B
13． 14． 15． 16．
17．解：（1）易知，
向左平移个单位长度得，
因为为奇函数，所以，故，
因为，所以或或；
（2）由（1）知，
，
则由题意可知，
结合，取时分别得，，
即.
18．解：（1）由已知，
所以，
结合余弦定理，，
化简得：，所以．
（2）由正弦定理知，即，又，所以，
显然，即，故，
由，
又，则，
所以的面积.
19．解：（1），当时，；当时，；
即函数在上单调递减，在上单调递增；
函数的极小值为，无极大值.
（2）由（1）可知，函数在上单调递增，则.
，，当时，；当时，；
即函数在上单调递减，在上单调递增；
因为，所以，.
即.因为，，都有，
所以的值域是的值域的子集.即，解得.即实数的取值范围为.
20．（1）证明：如图所示，连接，因为是等边三角形，所以
在和中，因为，，
所以，所以，
又因为是边的中点，所以，.
因为，平面，平面，所以平面，
又因为平面，所以.
（2）解：在中，过作的垂线，交与点，
由（1）可得平面，以为原点建立空间直角坐标系，如图所示，
又由，且平面与平面所成二面角为，
因为，，所以为平面与平面所成二面角的平面角，
即，所以，
可得，，，，，
设平面的法向量为，且，
则，令，则，，所以又因为，
设直线与平面所成角为，则，
可得，即直线与平面所成角的余弦值为.
21．解：（1）由，
则，因为0为的一个极值点，
所以，所以．当时，，
当时，因为函数在上单调递减，
所以，即在上单调递减；
当时，，则，
因为函数在上单调递减，且，，
由零点存在定理，存在，使得，
且当时，，即单调递增，又因为，
所以，，在上单调递增；.
综上所述，在上单调递减，在上单调递增，
所以0为的一个极值点，故.
（2）①当时，，所以单调递减，
所以对，有，此时函数无零点；
当时，设，则，
因为函数在上单调递减，且，，
由零点存在定理，存在，使得，
且当时，，即单调递增，
当时，，即单调递减．又因为，
所以，，在上单调递增；
因为，，所以存在，
当时，，单调递增，当时，，单调递减．
所以，当时，单调递增，；
当时，单调递减，，此时在上无零点；
当时，，所以在单减，
又，，
由零点存在定理，函数在上存在唯一零点；
当时，，此时函数无零点；
综上所述，在区间上存在唯一零点．
②因为，由（1）中在上的单调性分析，
知，所以在单增，
所以对，有，
即，所以．
令，则，
所以，
设，，则，
所以函数在上单调递减，则，即，，
所以 ，
所以，所以.
22．解：（1）由已知得代入，消去参数t得，曲线的普通方程为．
（2）由曲线的极坐标方程得，
又，，，所以，即，
所以曲线是圆心为，半径等于的圆．
因为曲线上恰有三个点到曲线的距离为，
所以圆心到直线的距离，
即，解得．
23．解：（1）由已知可得：，
当时，成立；当时，，即，则.
∴的解集为.
（2）由（1）知，，
∵，则，
当且仅当，即时取等号，则有.
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