卷子答案网-一个不只有答案的网站2016-2017学年河南省郑州外国语学校高二上学期开学数学试卷
一、选择题
1．（2016高二上·郑州开学考）已知角α的终边落在直线y=﹣2x上，则tanα的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．
2．（2016高二上·郑州开学考）已知在等比数列{an}中，a1+a3=10，a4+a6= ，则等比数列{an}的公比q的值为（ ）
A． B． C．2 D．8
3．（2016高二上·郑州开学考）已知等差数列共有11项，其中奇数项之和为30，偶数项之和为15，则a6为（ ）
A．5 B．30 C．15 D．21
4．（2016高二上·西安期中）对于实数a，b，c，下列命题正确的是（ ）
A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2
C．若a＜b＜0，则 D．若a＜b＜0，则
5．（2016高二上·郑州开学考）已知向量 =（ ，1）， =（1，0），则向量 在向量 方向上的投影为（ ）
A． B． C．1 D．
6．（2016高二上·南宁期中）设x，y满足约束条件 ，则z=3x+y的最大值为（ ）
A．5 B．3 C．7 D．﹣8
7．（2016高二上·郑州开学考）若三角形三边长之比是1： ：2，则其所对角之比是（ ）
A．1：2：3 B．1： ：2 C．1： ： D． ： ：2
8．（2016高二上·郑州开学考）甲、乙两位同学在高一年级的5次考试中，数学成绩统计如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是 ，则下列叙述正确的是（ ）
A． ＞ ，乙比甲成绩稳定
B． ＞ ，甲比乙成绩稳定
C． ＜ ，乙比甲成绩稳定
D． ＜ ，甲比乙成绩稳定
9．（2016高二上·郑州开学考）某船开始看见灯塔A时，灯塔A在船南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°的方向航行45km后，看见灯塔A在船正西方向，则这时船与灯塔A的距离是（ ）
A．15 km B．30km C．15km D．15 km
10．（2016高二上·郑州开学考）如图，在△ABC中，已知AB=5，AC=6， = ， =4，则 =（ ）
A．﹣45 B．13 C．﹣13 D．﹣37
11．（2016高二上·郑州开学考）已知函数f（x）=cosωx（sinωx+ cosωx）（ω＞0），如果存在实数x0，使得对任意的实数x，都有f（x0）≤f（x）≤f（x0+2016π）成立，则ω的最小值为（ ）
A． B． C． D．
12．（2016高二上·郑州开学考）已知△ABC内一点O满足 = ，若△ABC内任意投一个点，则该点△OAC内的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．（2016高二上·郑州开学考）在△ABC中，若A=60°，C=45°，b=4，则此三角形的最小边是 ．
14．（2016高二上·郑州开学考）已知x＜ ，则函数y=2x+ 的最大值是 ．
15．（2016高二上·郑州开学考）某公司的班车在8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是 ．
16．（2016高二上·郑州开学考）平面向量 ， ， 两两所成角相等，且| |=1，| |=2，| |=3，则| + + |为 ．
三、解答题
17．（2016高二上·郑州开学考）设等差数列{an}满足a3=5，a10=﹣9．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值．
18．（2016高二上·郑州开学考）已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量 ， ， ．
（1）若 ∥ ，求证：△ABC为等腰三角形；
（2）若 ⊥ ，边长c=2，角C= ，求△ABC的面积．
19．（2016高二上·郑州开学考）某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，按其数学成绩（均为整数）分成六组[90，100），[100，110），…，[140，150]后得到如下部分频率分布直方图，观察图中的信息，回答下列问题：
（Ⅰ）补全频率分布直方图；
（Ⅱ）估计本次考试的数学平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（Ⅲ）用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生成绩中抽取一个容量为6的样本，再从这6个样本中任取2人成绩，求至多有1人成绩在分数段[120，130）内的概率．
20．（2016高二上·郑州开学考）设{an}是一个公差不为零的等差数列，其前n项和为Sn，已知S9=90，且a1，a2，a4成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn= ，求数列{bn}的前n项和Tn．
21．（2016高二上·郑州开学考）如图，OAB是一块半径为1，圆心角为 的扇形空地．现决定在此空地上修建一个矩形的花坛CDEF，其中动点C在扇形的弧 上，记∠COA=θ．
（Ⅰ）写出矩形CDEF的面积S与角θ之间的函数关系式；
（Ⅱ）当角θ取何值时，矩形CDEF的面积最大？并求出这个最大面积．
22．（2016高二上·郑州开学考）已知函数f（x）= ，其中 =（2cosx，﹣ sin2x）， =（cosx，1），x∈R
（Ⅰ）求函数y=f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f（A）=﹣1，a= ，且向量 =（3，sinB）与向量 =（2，sinC）共线，求△ABC的面积．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解：角α的终边落在直线y=﹣2x上，在直线y=﹣2x上任意取一点（a，﹣2a），a≠0，
则由任意角的三角函数的定义可得tanα= = =﹣2，
故选：B．
【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求得tanα的值．
2．【答案】B
【知识点】等比数列的性质
【解析】【解答】解：依题意，设公比为q，由于a1+a3=10，a4+a6= ，
所以q3= = ，∴q= ，
故选B
【分析】先设公比为q，用a4+a6除以a1+a3正好等于q3进而求得q．
3．【答案】C
【知识点】等差数列的通项公式
【解析】【解答】解：∵a1+a3+…+a11=30，a2+a4+…+a10=15，
相减可得：a1+5d=15=a6，
故选：C．
【分析】由a1+a3+…+a11=30，a2+a4+…+a10=15，相减即可得出．
4．【答案】B
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】解：A，当c=0时，有ac2=bc2 故错．
B 若a＜b＜0，则a2﹣ab=a（a﹣b）＞0，a2＞ab； ab﹣b2=b（a﹣b）＞0，ab＞b2，∴a2＞ab＞b2 故对
C 若a＜b＜0，取a=﹣2，b=﹣1，可知 ，故错．
D 若a＜b＜0，取a=﹣2，b=﹣1，可知 ，故错
故选B．
【分析】选项是不等式，可以利用不等式性质，结合特例逐项判断，得出正确结果．
5．【答案】A
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解： = ，cos＜ ＞= = ，
∴向量 在向量 方向上的投影为| |cos＜ ＞=2× = ．
故选：A．
【分析】先计算向量夹角，再利用投影定义计算即可．
6．【答案】C
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】解：如图，作出可行域，作出直线l0：y=﹣3x，将l0平移至过点A（3，﹣2）处时，函数z=3x+y有最大值7．
故选C．
【分析】首先作出可行域，再作出直线l0：y=﹣3x，将l0平移与可行域有公共点，直线y=﹣3x+z在y轴上的截距最大时，z有最大值，求出此时直线y=﹣3x+z经过的可行域内的点A的坐标，代入z=3x+y中即可．
7．【答案】A
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】解：∵三角形三边长之比是1： ：2，设一份为k，
∴三角形三边分别为a=k，b= k，c=2k，
∴cosA= = ，cosB= = ，cosC= =0，
∴A=30°，B=60°，C=90°，
则其所对角之比为1：2：3，
故选：A．
【分析】根据已知三角形三边之比设出三边，利用余弦定理求出每个角，即可得出之比．
8．【答案】C
【知识点】茎叶图
【解析】【解答】解：甲的平均成绩 = （73+78+79+87+93）=82，
甲的成绩的方差 = [（73﹣82）2+（78﹣82）2+（79﹣82）2+（87﹣82）2+（93﹣82）2]=50.4，
乙的平均成绩 = （79+89+89+92+91）=88，
乙的成绩的方差 = [（79﹣88）2+（89﹣88）2+（89﹣88）2+（92﹣88）2+（91﹣88）2]=21.6，
∴ ＜ ，乙比甲成绩稳定．
故选：C．
【分析】分别求出甲、乙二人的平均成绩和方差，由此能求出结果．
9．【答案】D
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意画出图形，如图所示，
可得∠DAB=60°，∠DAC=30°，AB=45km，
∴∠CAB=30°，∠ACB=120°，
在△ABC中，利用正弦定理得：
∴BC=15 （km），
则这时船与灯塔的距离是15 km．
故选：D．
【分析】根据题意画出图形，如图所示，求出∠CAB与∠ACB的度数，在三角形ABC中，利用正弦定理列出关系式，将各自的值代入即可求出BC的长．
10．【答案】D
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解： = =
∵ = ，
∴ = （ ﹣ ）
= ﹣ +
整理可得：
∴ =4
∴ =﹣12
∴ = = =﹣12﹣25=﹣37．
故选：D．
【分析】先用 和 表示出 = ，再根据 = 用 和 表示出 ，再根据 =4求出 的值，最后将 的值代入 = ，从而得出答案．
11．【答案】D
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】解：由题意可得，f（x0）是函数f（x）的最小值，f（x0+2016π）是函数f（x）的最大值．
显然要使结论成立，只需保证区间[x0，x0+2016π]能够包含函数的至少一个完整的单调区间即可．
又f（x）=cosωx（sinωx+ cosωx）= sin2ωx+ =sin（2ωx+ ）+ ，
故2016π≥ ，求得ω≥ ，
故则ω的最小值为 ，
故选：D．
【分析】由题意可得区间[x0，x0+2016π]能够包含函数的至少一个完整的单调区间，利用两角和的正弦公式求得f（x）=sin（2ωx+ ）+ ，再根据2016π≥ ，求得ω的最小值．
12．【答案】C
【知识点】几何概型
【解析】【解答】解：以 ， 为邻边作平行四边形OBDC，则 + =
∵ = ，
∴3 = ，
作AB的两个三等分点E，F，则 = = ，
∴O到AC的距离是E到AC距离的一半，B到AC的距离是O到AC距离的3倍，如图
∴S△AOC= S△ABC．
故△ABC内任意投一个点，则该点△OAC内的概率为 ，
故选：C．
【分析】要求该概率即求S△AOC：S△ABC=的比值．由 = ，变形为：3 = ，得到O到AC的距离是E到AC距离的一半，B到AC的距离是O到AC距离的3倍，两三角形同底，面积之比转化为概率．
13．【答案】4 ﹣4
【知识点】正弦定理的应用
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，A=60°，C=45°，
∴B=180°﹣A﹣C=75°，
可得C是最小内角，所以c为此三角形的最小边．
由正弦定理 ，可得c=
= = =4 ﹣4．
故答案为：4 ﹣4．
【分析】由三角形内角和定理，算出B=180°﹣A﹣C=75°，可得C是最小内角，所以c为此三角形的最小边．再根据正弦定理，即可得到答案．
14．【答案】-1
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：∵x＜ ，2x﹣1＜0，则1﹣2x＞0；
函数y=2x+
y=2x﹣1+ +1
y=﹣（1﹣2x+ ）+1
﹣（y﹣1）=1﹣2x+
∵1﹣2x＞0，
∴1﹣2x+ =2，
（当且仅当x= 时，等号成立），
所以：﹣（y﹣1）≥2 y≤﹣1
故答案为：﹣1．
【分析】构造基本不等式的结构，利用基本不等式的性质即可得到答案．
15．【答案】
【知识点】几何概型
【解析】【解答】解：设小明到达时间为y，
当y在7：50至8：00，或8：20至8：30时，
小明等车时间不超过10分钟，
故P= = ．
故答案为： ．
【分析】求出小明等车时间不超过10分钟的时间长度，代入几何概型概率计算公式，可得答案．
16．【答案】 或6
【知识点】向量加法的三角形法则
【解析】【解答】解：∵平面向量 ， ， 两两所成角相等，
∴两两所成角为0°或120°．
∵| |=1，| |=2，| |=3，
当所成角为120°时，
∴ =1×2×cos120°=﹣1，
=﹣ ，
=﹣3，
则| + + |= = = ．
同理可得：当所成角为0°时，
则| + + |=1+2+3=6．
故答案为： 或6．
【分析】由平面向量 ， ， 两两所成角相等，可得两两所成角为0°或120°．再利用数量积运算性质即可得出．
17．【答案】（1）解：由an=a1+（n﹣1）d及a3=5，a10=﹣9得
a1+9d=﹣9，a1+2d=5
解得d=﹣2，a1=9，
数列{an}的通项公式为an=11﹣2n
（2）解：由（1）知Sn=na1+ d=10n﹣n2．
因为Sn=﹣（n﹣5）2+25．
所以n=5时，Sn取得最大值
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【分析】（1）设出首项和公差，根据a3=5，a10=﹣9，列出关于首项和公差的二元一次方程组，解方程组得到首项和公差，写出通项．（2）由上面得到的首项和公差，写出数列{an}的前n项和，整理成关于n的一元二次函数，二次项为负数求出最值．
18．【答案】（1）证明：∵m∥n
∴asinA=bsinB
即a =b ．其中R为△ABC外接圆半径．
∴a=b
∴△ABC为等腰三角形
（2）证明：由题意，m p=0
∴a（b﹣2）+b（a﹣2）=0
∴a+b=ab
由余弦定理4=a2+b2﹣2ab cos
∴4=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab
∴（ab）2﹣3ab﹣4=0
∴ab=4或ab=﹣1（舍去）
∴S△ABC= absinC
= ×4×sin =
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【分析】（1）利用向量平行的条件，写出向量平行坐标形式的条件，得到关于三角形的边和角之间的关系，利用余弦定理变形得到三角形是等腰三角形．（2）利用向量垂直数量积为零，写出三角形边之间的关系，结合余弦定理得到求三角形面积所需的两边的乘积的值，求出三角形的面积．
19．【答案】解：（Ⅰ）分数在[120，130）内的频率1﹣（0.1+0.15+0.15+0.25+0.05）=1﹣0.7=0.3，
因此补充的长方形的高为0.03，补全频率分布直方图为：
（Ⅱ）估计平均分为
（Ⅲ）由题意，[110，120）分数段的人数与[120，130）分数段的人数之比为1：2，
用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生成绩中抽取一个容量为6的样本，
需在[110，120）分数段内抽取2人成绩，分别记为m，n，
在[120，130）分数段内抽取4人成绩，分别记为a，b，c，d，
设“从6个样本中任取2人成绩，至多有1人成绩在分数段[120，130）内”为事件A，
则基本事件共有{（m，n），（m，a），（m，b），（m，c），（m，d），（n，a），
（n，b），（n，c），（n，d），（a，b），（a，c），
（a，d），（b，c），（b，d），（c，d）}，共15个．
事件A包含的基本事件有{（m，n），（m，a），（m，b），
（m，c），（m，d），（n，a），（n，b），（n，c），（n，d）}共9个．
∴P（A）= =
【知识点】频率分布直方图；列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【分析】（Ⅰ）求出分数在[120，130）内的频率，补充的长方形的高，由此能补全频率分布直方图．（Ⅱ）利用频率分布直方图能估计平均分．（Ⅲ）用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生成绩中抽取一个容量为6的样本，需在[110，120）分数段内抽取2人成绩，分别记为m，n，在[120，130）分数段内抽取4人成绩，分别记为a，b，c，d，由此利用列举法能求出至多有1人成绩在分数段[120，130）内的概率．
20．【答案】（1）解：设等差数列{an}的公差为d（d≠0），则a2=a1+d，a4=a1+3d，
由a1，a2，a4成等比数列，可得 ，
即 ，
整理，可得a1=d．
由 ，可得a1=d=2，
∴an=a1+（n﹣1）d=2n
（2）解：由于an=2n，
所以 ，
从而 ，
即数列{bn}的前n项和为 ．
【知识点】数列的求和
【解析】【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d（d≠0），由a1，a2，a4成等比数列，可得 ，即 ，由 ，联立解出即可得出．（2）利用“裂项求和”即可得出．
21．【答案】解：（Ⅰ）因为：OF=cosθ，CF=sinθ，
所以： ， ，
所以： = ，
（Ⅱ）
= ，
因为： ，
所以：
所以：当 ，即 时，矩形CDEF的面积S取得最大值
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【分析】（Ⅰ）先把矩形的各个边长用角α表示出来，进而表示出矩形的面积；（Ⅱ）化简函数，利用角α的范围，结合正弦函数的性质可求矩形面积的最大值．
22．【答案】解：（Ⅰ）
= ，
令 ，
解得： ．
∴函数y=f（x）的单调递减区间为 ；
（Ⅱ）∵f（A）=﹣1，
∴ ，即 ．
∴ ．
∴ ．
又∵0＜A＜π，∴ ．
∵ ，
∴由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣3bc=7 ①
∵向量 与 共线，
∴2sinB=3sinC．
由正弦定理得2b=3c ②
由①②得b=3，c=2．
∴ ．
【知识点】平面向量的数量积运算；三角函数中的恒等变换应用
【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意，求出f（x）的解析式，利用三角函数的图象与性质求出f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）由f（A）=﹣1得到A的值，由a= ，结合余弦定理得①，由向量 =（3，sinB）与向量 =（2，sinC）共线，结合正弦定理得②，联立①②得b，c的值，再由三角形的面积公式计算得答案．
2016-2017学年河南省郑州外国语学校高二上学期开学数学试卷
一、选择题
1．（2016高二上·郑州开学考）已知角α的终边落在直线y=﹣2x上，则tanα的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．
【答案】B
【知识点】任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解：角α的终边落在直线y=﹣2x上，在直线y=﹣2x上任意取一点（a，﹣2a），a≠0，
则由任意角的三角函数的定义可得tanα= = =﹣2，
故选：B．
【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求得tanα的值．
2．（2016高二上·郑州开学考）已知在等比数列{an}中，a1+a3=10，a4+a6= ，则等比数列{an}的公比q的值为（ ）
A． B． C．2 D．8
【答案】B
【知识点】等比数列的性质
【解析】【解答】解：依题意，设公比为q，由于a1+a3=10，a4+a6= ，
所以q3= = ，∴q= ，
故选B
【分析】先设公比为q，用a4+a6除以a1+a3正好等于q3进而求得q．
3．（2016高二上·郑州开学考）已知等差数列共有11项，其中奇数项之和为30，偶数项之和为15，则a6为（ ）
A．5 B．30 C．15 D．21
【答案】C
【知识点】等差数列的通项公式
【解析】【解答】解：∵a1+a3+…+a11=30，a2+a4+…+a10=15，
相减可得：a1+5d=15=a6，
故选：C．
【分析】由a1+a3+…+a11=30，a2+a4+…+a10=15，相减即可得出．
4．（2016高二上·西安期中）对于实数a，b，c，下列命题正确的是（ ）
A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2
C．若a＜b＜0，则 D．若a＜b＜0，则
【答案】B
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】解：A，当c=0时，有ac2=bc2 故错．
B 若a＜b＜0，则a2﹣ab=a（a﹣b）＞0，a2＞ab； ab﹣b2=b（a﹣b）＞0，ab＞b2，∴a2＞ab＞b2 故对
C 若a＜b＜0，取a=﹣2，b=﹣1，可知 ，故错．
D 若a＜b＜0，取a=﹣2，b=﹣1，可知 ，故错
故选B．
【分析】选项是不等式，可以利用不等式性质，结合特例逐项判断，得出正确结果．
5．（2016高二上·郑州开学考）已知向量 =（ ，1）， =（1，0），则向量 在向量 方向上的投影为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解： = ，cos＜ ＞= = ，
∴向量 在向量 方向上的投影为| |cos＜ ＞=2× = ．
故选：A．
【分析】先计算向量夹角，再利用投影定义计算即可．
6．（2016高二上·南宁期中）设x，y满足约束条件 ，则z=3x+y的最大值为（ ）
A．5 B．3 C．7 D．﹣8
【答案】C
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】解：如图，作出可行域，作出直线l0：y=﹣3x，将l0平移至过点A（3，﹣2）处时，函数z=3x+y有最大值7．
故选C．
【分析】首先作出可行域，再作出直线l0：y=﹣3x，将l0平移与可行域有公共点，直线y=﹣3x+z在y轴上的截距最大时，z有最大值，求出此时直线y=﹣3x+z经过的可行域内的点A的坐标，代入z=3x+y中即可．
7．（2016高二上·郑州开学考）若三角形三边长之比是1： ：2，则其所对角之比是（ ）
A．1：2：3 B．1： ：2 C．1： ： D． ： ：2
【答案】A
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】解：∵三角形三边长之比是1： ：2，设一份为k，
∴三角形三边分别为a=k，b= k，c=2k，
∴cosA= = ，cosB= = ，cosC= =0，
∴A=30°，B=60°，C=90°，
则其所对角之比为1：2：3，
故选：A．
【分析】根据已知三角形三边之比设出三边，利用余弦定理求出每个角，即可得出之比．
8．（2016高二上·郑州开学考）甲、乙两位同学在高一年级的5次考试中，数学成绩统计如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是 ，则下列叙述正确的是（ ）
A． ＞ ，乙比甲成绩稳定
B． ＞ ，甲比乙成绩稳定
C． ＜ ，乙比甲成绩稳定
D． ＜ ，甲比乙成绩稳定
【答案】C
【知识点】茎叶图
【解析】【解答】解：甲的平均成绩 = （73+78+79+87+93）=82，
甲的成绩的方差 = [（73﹣82）2+（78﹣82）2+（79﹣82）2+（87﹣82）2+（93﹣82）2]=50.4，
乙的平均成绩 = （79+89+89+92+91）=88，
乙的成绩的方差 = [（79﹣88）2+（89﹣88）2+（89﹣88）2+（92﹣88）2+（91﹣88）2]=21.6，
∴ ＜ ，乙比甲成绩稳定．
故选：C．
【分析】分别求出甲、乙二人的平均成绩和方差，由此能求出结果．
9．（2016高二上·郑州开学考）某船开始看见灯塔A时，灯塔A在船南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°的方向航行45km后，看见灯塔A在船正西方向，则这时船与灯塔A的距离是（ ）
A．15 km B．30km C．15km D．15 km
【答案】D
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意画出图形，如图所示，
可得∠DAB=60°，∠DAC=30°，AB=45km，
∴∠CAB=30°，∠ACB=120°，
在△ABC中，利用正弦定理得：
∴BC=15 （km），
则这时船与灯塔的距离是15 km．
故选：D．
【分析】根据题意画出图形，如图所示，求出∠CAB与∠ACB的度数，在三角形ABC中，利用正弦定理列出关系式，将各自的值代入即可求出BC的长．
10．（2016高二上·郑州开学考）如图，在△ABC中，已知AB=5，AC=6， = ， =4，则 =（ ）
A．﹣45 B．13 C．﹣13 D．﹣37
【答案】D
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解： = =
∵ = ，
∴ = （ ﹣ ）
= ﹣ +
整理可得：
∴ =4
∴ =﹣12
∴ = = =﹣12﹣25=﹣37．
故选：D．
【分析】先用 和 表示出 = ，再根据 = 用 和 表示出 ，再根据 =4求出 的值，最后将 的值代入 = ，从而得出答案．
11．（2016高二上·郑州开学考）已知函数f（x）=cosωx（sinωx+ cosωx）（ω＞0），如果存在实数x0，使得对任意的实数x，都有f（x0）≤f（x）≤f（x0+2016π）成立，则ω的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】解：由题意可得，f（x0）是函数f（x）的最小值，f（x0+2016π）是函数f（x）的最大值．
显然要使结论成立，只需保证区间[x0，x0+2016π]能够包含函数的至少一个完整的单调区间即可．
又f（x）=cosωx（sinωx+ cosωx）= sin2ωx+ =sin（2ωx+ ）+ ，
故2016π≥ ，求得ω≥ ，
故则ω的最小值为 ，
故选：D．
【分析】由题意可得区间[x0，x0+2016π]能够包含函数的至少一个完整的单调区间，利用两角和的正弦公式求得f（x）=sin（2ωx+ ）+ ，再根据2016π≥ ，求得ω的最小值．
12．（2016高二上·郑州开学考）已知△ABC内一点O满足 = ，若△ABC内任意投一个点，则该点△OAC内的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】几何概型
【解析】【解答】解：以 ， 为邻边作平行四边形OBDC，则 + =
∵ = ，
∴3 = ，
作AB的两个三等分点E，F，则 = = ，
∴O到AC的距离是E到AC距离的一半，B到AC的距离是O到AC距离的3倍，如图
∴S△AOC= S△ABC．
故△ABC内任意投一个点，则该点△OAC内的概率为 ，
故选：C．
【分析】要求该概率即求S△AOC：S△ABC=的比值．由 = ，变形为：3 = ，得到O到AC的距离是E到AC距离的一半，B到AC的距离是O到AC距离的3倍，两三角形同底，面积之比转化为概率．
二、填空题
13．（2016高二上·郑州开学考）在△ABC中，若A=60°，C=45°，b=4，则此三角形的最小边是 ．
【答案】4 ﹣4
【知识点】正弦定理的应用
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，A=60°，C=45°，
∴B=180°﹣A﹣C=75°，
可得C是最小内角，所以c为此三角形的最小边．
由正弦定理 ，可得c=
= = =4 ﹣4．
故答案为：4 ﹣4．
【分析】由三角形内角和定理，算出B=180°﹣A﹣C=75°，可得C是最小内角，所以c为此三角形的最小边．再根据正弦定理，即可得到答案．
14．（2016高二上·郑州开学考）已知x＜ ，则函数y=2x+ 的最大值是 ．
【答案】-1
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：∵x＜ ，2x﹣1＜0，则1﹣2x＞0；
函数y=2x+
y=2x﹣1+ +1
y=﹣（1﹣2x+ ）+1
﹣（y﹣1）=1﹣2x+
∵1﹣2x＞0，
∴1﹣2x+ =2，
（当且仅当x= 时，等号成立），
所以：﹣（y﹣1）≥2 y≤﹣1
故答案为：﹣1．
【分析】构造基本不等式的结构，利用基本不等式的性质即可得到答案．
15．（2016高二上·郑州开学考）某公司的班车在8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是 ．
【答案】
【知识点】几何概型
【解析】【解答】解：设小明到达时间为y，
当y在7：50至8：00，或8：20至8：30时，
小明等车时间不超过10分钟，
故P= = ．
故答案为： ．
【分析】求出小明等车时间不超过10分钟的时间长度，代入几何概型概率计算公式，可得答案．
16．（2016高二上·郑州开学考）平面向量 ， ， 两两所成角相等，且| |=1，| |=2，| |=3，则| + + |为 ．
【答案】 或6
【知识点】向量加法的三角形法则
【解析】【解答】解：∵平面向量 ， ， 两两所成角相等，
∴两两所成角为0°或120°．
∵| |=1，| |=2，| |=3，
当所成角为120°时，
∴ =1×2×cos120°=﹣1，
=﹣ ，
=﹣3，
则| + + |= = = ．
同理可得：当所成角为0°时，
则| + + |=1+2+3=6．
故答案为： 或6．
【分析】由平面向量 ， ， 两两所成角相等，可得两两所成角为0°或120°．再利用数量积运算性质即可得出．
三、解答题
17．（2016高二上·郑州开学考）设等差数列{an}满足a3=5，a10=﹣9．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值．
【答案】（1）解：由an=a1+（n﹣1）d及a3=5，a10=﹣9得
a1+9d=﹣9，a1+2d=5
解得d=﹣2，a1=9，
数列{an}的通项公式为an=11﹣2n
（2）解：由（1）知Sn=na1+ d=10n﹣n2．
因为Sn=﹣（n﹣5）2+25．
所以n=5时，Sn取得最大值
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【分析】（1）设出首项和公差，根据a3=5，a10=﹣9，列出关于首项和公差的二元一次方程组，解方程组得到首项和公差，写出通项．（2）由上面得到的首项和公差，写出数列{an}的前n项和，整理成关于n的一元二次函数，二次项为负数求出最值．
18．（2016高二上·郑州开学考）已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量 ， ， ．
（1）若 ∥ ，求证：△ABC为等腰三角形；
（2）若 ⊥ ，边长c=2，角C= ，求△ABC的面积．
【答案】（1）证明：∵m∥n
∴asinA=bsinB
即a =b ．其中R为△ABC外接圆半径．
∴a=b
∴△ABC为等腰三角形
（2）证明：由题意，m p=0
∴a（b﹣2）+b（a﹣2）=0
∴a+b=ab
由余弦定理4=a2+b2﹣2ab cos
∴4=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab
∴（ab）2﹣3ab﹣4=0
∴ab=4或ab=﹣1（舍去）
∴S△ABC= absinC
= ×4×sin =
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【分析】（1）利用向量平行的条件，写出向量平行坐标形式的条件，得到关于三角形的边和角之间的关系，利用余弦定理变形得到三角形是等腰三角形．（2）利用向量垂直数量积为零，写出三角形边之间的关系，结合余弦定理得到求三角形面积所需的两边的乘积的值，求出三角形的面积．
19．（2016高二上·郑州开学考）某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，按其数学成绩（均为整数）分成六组[90，100），[100，110），…，[140，150]后得到如下部分频率分布直方图，观察图中的信息，回答下列问题：
（Ⅰ）补全频率分布直方图；
（Ⅱ）估计本次考试的数学平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（Ⅲ）用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生成绩中抽取一个容量为6的样本，再从这6个样本中任取2人成绩，求至多有1人成绩在分数段[120，130）内的概率．
【答案】解：（Ⅰ）分数在[120，130）内的频率1﹣（0.1+0.15+0.15+0.25+0.05）=1﹣0.7=0.3，
因此补充的长方形的高为0.03，补全频率分布直方图为：
（Ⅱ）估计平均分为
（Ⅲ）由题意，[110，120）分数段的人数与[120，130）分数段的人数之比为1：2，
用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生成绩中抽取一个容量为6的样本，
需在[110，120）分数段内抽取2人成绩，分别记为m，n，
在[120，130）分数段内抽取4人成绩，分别记为a，b，c，d，
设“从6个样本中任取2人成绩，至多有1人成绩在分数段[120，130）内”为事件A，
则基本事件共有{（m，n），（m，a），（m，b），（m，c），（m，d），（n，a），
（n，b），（n，c），（n，d），（a，b），（a，c），
（a，d），（b，c），（b，d），（c，d）}，共15个．
事件A包含的基本事件有{（m，n），（m，a），（m，b），
（m，c），（m，d），（n，a），（n，b），（n，c），（n，d）}共9个．
∴P（A）= =
【知识点】频率分布直方图；列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【分析】（Ⅰ）求出分数在[120，130）内的频率，补充的长方形的高，由此能补全频率分布直方图．（Ⅱ）利用频率分布直方图能估计平均分．（Ⅲ）用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生成绩中抽取一个容量为6的样本，需在[110，120）分数段内抽取2人成绩，分别记为m，n，在[120，130）分数段内抽取4人成绩，分别记为a，b，c，d，由此利用列举法能求出至多有1人成绩在分数段[120，130）内的概率．
20．（2016高二上·郑州开学考）设{an}是一个公差不为零的等差数列，其前n项和为Sn，已知S9=90，且a1，a2，a4成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn= ，求数列{bn}的前n项和Tn．
【答案】（1）解：设等差数列{an}的公差为d（d≠0），则a2=a1+d，a4=a1+3d，
由a1，a2，a4成等比数列，可得 ，
即 ，
整理，可得a1=d．
由 ，可得a1=d=2，
∴an=a1+（n﹣1）d=2n
（2）解：由于an=2n，
所以 ，
从而 ，
即数列{bn}的前n项和为 ．
【知识点】数列的求和
【解析】【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d（d≠0），由a1，a2，a4成等比数列，可得 ，即 ，由 ，联立解出即可得出．（2）利用“裂项求和”即可得出．
21．（2016高二上·郑州开学考）如图，OAB是一块半径为1，圆心角为 的扇形空地．现决定在此空地上修建一个矩形的花坛CDEF，其中动点C在扇形的弧 上，记∠COA=θ．
（Ⅰ）写出矩形CDEF的面积S与角θ之间的函数关系式；
（Ⅱ）当角θ取何值时，矩形CDEF的面积最大？并求出这个最大面积．
【答案】解：（Ⅰ）因为：OF=cosθ，CF=sinθ，
所以： ， ，
所以： = ，
（Ⅱ）
= ，
因为： ，
所以：
所以：当 ，即 时，矩形CDEF的面积S取得最大值
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【分析】（Ⅰ）先把矩形的各个边长用角α表示出来，进而表示出矩形的面积；（Ⅱ）化简函数，利用角α的范围，结合正弦函数的性质可求矩形面积的最大值．
22．（2016高二上·郑州开学考）已知函数f（x）= ，其中 =（2cosx，﹣ sin2x）， =（cosx，1），x∈R
（Ⅰ）求函数y=f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f（A）=﹣1，a= ，且向量 =（3，sinB）与向量 =（2，sinC）共线，求△ABC的面积．
【答案】解：（Ⅰ）
= ，
令 ，
解得： ．
∴函数y=f（x）的单调递减区间为 ；
（Ⅱ）∵f（A）=﹣1，
∴ ，即 ．
∴ ．
∴ ．
又∵0＜A＜π，∴ ．
∵ ，
∴由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣3bc=7 ①
∵向量 与 共线，
∴2sinB=3sinC．
由正弦定理得2b=3c ②
由①②得b=3，c=2．
∴ ．
【知识点】平面向量的数量积运算；三角函数中的恒等变换应用
【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意，求出f（x）的解析式，利用三角函数的图象与性质求出f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）由f（A）=﹣1得到A的值，由a= ，结合余弦定理得①，由向量 =（3，sinB）与向量 =（2，sinC）共线，结合正弦定理得②，联立①②得b，c的值，再由三角形的面积公式计算得答案．