卷子答案网-一个不只有答案的网站2.2 双曲线 检测题
一、单选题
1．若焦点在轴上的双曲线的离心率为3，则与的关系为（ ）
A． B． C． D．
2．已知直线与椭圆交于A，B两点，线段的中点为，则椭圆C的离心率是（ ）
A． B． C． D．
3．已知双曲线的左顶点为A，右焦点为F，点M在双曲线C上，且，，则双曲线C的离心率为（ ）
A．2 B．3 C． D．
4．“”是“方程表示双曲线”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．已知双曲线，其左、右焦点分别为，.点到的一条渐近线的距离为1.若双曲线的焦点在轴上且与具有相同的渐近线，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
7．双曲线C:的右焦点为F，过点F作双曲线C的两条渐近线的垂线，垂足分别为H1，H2.若，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
8．与圆外切，且与圆内切的圆的圆心在（ ）
A．抛物线上 B．圆上 C．双曲线的一支上 D．椭圆上
二、多选题
9．对于方程，下列说法中正确的是（ ）
A．当时，方程表示椭圆
B．当时，方程表示焦点在x轴上的椭圆
C．存在实数，使该方程表示双曲线
D．存在实数，使该方程表示圆
10．已知P，Q是双曲线上关于原点对称的两点，过点P作轴于点M，MQ交双曲线于点N，设直线PQ的斜率为k，则下列说法正确的是（ ）
A．k的取值范围是且 B．直线MN的斜率为
C．直线PN的斜率为 D．直线PN与直线QN的斜率之和的最小值为
11．已知双曲线一条渐近线与实轴夹角为，且，则离心率e的可能取值是（ ）
A． B． C． D．
12．双曲线的光学性质：从双曲线一个焦点出发的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.已知为坐标原点，，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线交双曲线的右支于，两点，且在第一象限，，的内心分别为，，其内切圆半径分别为，，的内心为.双曲线在处的切线方程为，则下列说法正确的有（ ）
A．点、均在直线上 B．直线的方程为
C． D．
三、填空题
13．已知椭圆和双曲线有共同的焦点、，是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为、，则的最大值为 ．
14．设为双曲线（，）的右焦点，过且斜率为的直线与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，且，则双曲线的离心率为 .
15．已知双曲线在一三象限的一条渐近线为，圆与交于，两点，若是等腰直角三角形，且其中为坐标原点，则双曲线的离心率为
16．双曲线，离心率为，焦点到渐近线距离为1，则双曲线方程为 ．
四、解答题
17．设双曲线的右焦点为，点为坐标原点，过点的直线与的右支相交于两点.
(1)当直线与轴垂直时，，求的离心率；
(2)当的焦距为2时，恒为锐角，求的实轴长的取值范围.
18．求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程；
(1)短轴长为，离心率的椭圆；
(2)与双曲线具有相同的渐近线，且过点的双曲线．
19．双曲线与椭圆有相同焦点，且过点.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若是双曲线的两个焦点，点在双曲线上，且，求的面积.
20．已知双曲线的两焦点分别为、，点为双曲线上一点，且，求的面积．
21．已知双曲线的离心率为，为右支上的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为，且.
(1)求双曲线的方程；
(2)若双曲线的左顶点为，过的直线与双曲线交于，两点，直线，与轴分别交于，两点，设，的斜率分别为，，求的值.
22．已知椭圆与双曲线有交点P，且有公共的焦点，，且，求证：.
参考答案
1．C
【分析】由题意可得，化简不等式即可得出答案.
【详解】焦点在轴上的双曲线的方程化简为，
则离心率为，解得：，
则.
故选：C.
2．A
【分析】由题意，利用点差法，整理方程，根据斜率公式和中点坐标公式，可得答案.
【详解】设，则从而，
故．由题意可得，
则，从而，故椭圆C的离心率．
故选：A.
3．B
【分析】由题设求得，，结合已知数量关系及双曲线参数关系得到齐次方程，即可求离心率.
【详解】因为，又，则，故，即，
所以，又，且，
所以，从而，解得或（舍）.
故选：B
4．C
【分析】根据题意求出方程表示双曲线的条件，即可判断出结论.
【详解】若时，方程不表示双曲线；
若时，方程为双曲线，则，
∴是方程表示双曲线的充分必要条件，
故选：C.
5．D
【分析】由焦点在y轴上的双曲线方程的结构特征列出关于m的不等式组求解即得.
【详解】因方程表示焦点在y轴上的双曲线，
则有，解得，
所以实数m的取值范围为.
故选：D
6．C
【分析】先利用点到的一条渐近线的距离求出，再由双曲线的渐近线及离心率的公式求解即可.
【详解】设双曲线的半焦距为,则右焦点，
不妨设双曲线的一条渐近线为，
因为点到的一条渐近线的距离为1，
所以，由于，解得.
设：，其半焦距为，其渐近线方程为，
由题意可知，，所以，即，
所以双曲线的离心率为.
故选：C.
7．D
【分析】将条件转化为该双曲线的一条渐近线的倾斜角为，可得，由离心率公式即可得解.
【详解】由题意，(为坐标原点)，
所以该双曲线的一条渐近线的倾斜角为，
所以，即，
所以离心率.
故选：D.
8．C
【分析】由题设确定已知圆的圆心、及半径，若所求圆的圆心为、半径为，根据所求圆与已知圆的位置关系有且，即可知所求圆心的轨迹.
【详解】由题设，的圆心为，半径为；的圆心为，半径为2，
∴若所求圆的圆心为，半径为，由图及已知条件易得，
∴，则，
由双曲线定义知：圆心在以为焦点的双曲线的右支上.
故选：C
9．BCD
【分析】由m与之间的关系，以及圆、椭圆、双曲线标准方程的特征，逐个进行判断.
【详解】方程，当，即或时表示椭圆，故A不正确；
当时，，则方程表示焦点在轴上的椭圆，故B正确；
当，即或时，方程表示双曲线，故C正确；
当，即时，方程为，表示圆，故D正确.
故选: BCD
10．ABC
【分析】因为直线与双曲线两支各有一个交点，则斜率k在两条渐近线斜率之间可判断A；设点，，，表示出可判断B；由双曲线的第三定义知，再结合，求出可判断C；由均值不等式可判断D.
【详解】设点，，，直线与双曲线两支各有一个交点，
则斜率k在两条渐近线斜率之间，即且，选项A正确；
∵，，选项B正确；
设，则，
，
因为，在双曲线上，
所以，两式相减，则，
所以，
又，∴，选项C正确；
，当且仅当，即时取等，即，
但，所以等号无法取得，选项D错误．
故选：ABC.
11．BC
【分析】根据的关系求得正确答案.
【详解】由于，所以，
依题意，所以，
所以.
故选：BC
12．ABD
【分析】由切线长定理和双曲线定义即可判断选项A；利用点到直线的距离公式可分别求出点，到直线的距离，再用两点间距离公式求出，从而可判断选项B；根据的关系可判断选项C；借助B的结果求出点的横坐标，进而可得选项D.
【详解】由双曲线得，
设的内切圆与分别切于点，
则,
所以，
又,所以,即圆与轴的切点是双曲线的右顶点，即在直线上，
同理可得圆与轴的切点也是双曲线的右顶点，即也在直线上，故选项A正确；
因为点在双曲线上，所以，
点到直线的距离，
点到直线的距离
所以，
又，
所以，即，
又因为为的平分线，
所以直线的方程为，故选项B正确；
设圆与切于点，连接，设，
因为,所以,所以，即，所以，
又，所以，即，所以，故选项C错误；
由B知的方程为，①
设，同理得的方程为，②
由①②得，③
因为，所以设的方程为，
因为在上，所以，代入③得
，所以在直线上，
所以到的距离为，
又到的距离为，
所以,故选项D正确；
故选：ABD.
13．/
【分析】利用椭圆和双曲线的定义，在焦点三角形利用余弦定理得到，再用基本不等式求解.
【详解】不妨设为第一象限的点，为左焦点，
设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，
则根据椭圆及双曲线的定义可得，
，所以，，
，在△中，，
由余弦定理得，
化简得，即．
所以，从而，
当且仅当，且，即，时等号成立．
故答案为：
14．
【分析】由题可知直线与一条渐近线垂直，利用条件可求，即得.
【详解】∵渐近线的斜率为，
∴，又
在 中，由角平分线定理可得,
所以,,
所以,.
故答案为：.
15．
【分析】求出双曲线的一条渐近线方程，圆的圆心和半径，设，由已知向量等式可得，，得到，过作，且为的中点，运用直角三角形的勾股定理和点到直线的距离公式解得，，，再由离心率公式求解．
【详解】双曲线的一条渐近线的方程为，
圆：的圆心为，半径为，
由为等腰直角三角形，可得，
设，由，可得，，
由，得，
过作，且为的中点，则，，，
则到直线的距离为，
在直角三角形中，，
在直角三角形中，，
即有，解得，
即，解得，
，
故．
故答案为：．
【点睛】方法点睛：求双曲线离心率或离心率范围的两种方法：一种是直接建立的关系式求或的范围；另一种是建立、、的齐次关系式，将用、表示，转化为的关系式，进而求解．
16．
【分析】由离心率得到，得到渐近线方程，由点到直线距离公式得到，进而求出，，求出双曲线方程.
【详解】由题可知，故，所以，
则渐近线方程为，即，
焦点到渐近线距离为1，则，解得，
所以，
由得，所以双曲线方程为．
故答案为：
17．(1)
(2)
【分析】（1）由题意可得，得到的式子，再由离心率的定义即可得出答案；
（2）设其方程为与双曲线联立得到韦达定理由可得，由恒为锐角，得，均有，即恒成立，求解即可.
【详解】（1）当直线与轴垂直时，由对称性知是等腰直角三角形，
于是，即，
解得离心率.
（2）若的焦距为2，则，即.
由于直线的斜率不为零，可设其方程为.
结合，联立
得.
设.由韦达定理，
由于两点均在的右支上，
故，即.
.
由恒为锐角，得，均有，
即恒成立.
由于，因此不等号左边是关于的增函数，
所以只需时，成立即可.
解得，结合，
可知的取值范围是.
综上所述，的实轴长的取值范围是.
【点睛】关键点睛：联立直线与双曲线的方程，由可得，再将恒为锐角，得，均有，即恒成立，求解即可.
18．(1)或
(2)
【分析】（1）根据题意求出、、的值，对椭圆焦点的位置进行分类讨论，可得出椭圆的标准方程；
（2）设所求双曲线方程为，将点的坐标代入所求双曲线的方程，求出的值，即可得出所求双曲线的标准方程.
【详解】（1）解：由题意可知，解得.
若椭圆的焦点在轴上，椭圆的标准方程为，
若椭圆的焦点在轴上，椭圆的标准方程为.
综上所述，所求椭圆的标准方程为或.
（2）解：设所求双曲线方程为，
将点代入所求双曲线方程得，
所以双曲线方程为，即．
19．（1）（2）
【分析】（1）根据已知中双曲线与椭圆有相同焦点，我们可以设出双曲线的标准方程（含参数，然后根据经过点，得到一个关于的方程，解方程，即可得到的值，进而得到双曲线的方程．
（2）由题意可得，，由余弦定理可得，由，求得的面积．
【详解】解：（1）的焦点为，
设双曲线方程为得，过点，则
得或，而，
，
得到双曲线方程为；
（2）由题意可得，，，，得，；
又，
由余弦定理可得：
的面积
【点睛】本题考查的知识点是双曲线的标准方程，余弦定理，以及双曲线的简单性质的应用，根据已知条件设出双曲线的标准方程（含参数，并构造一个关于的方程，是解答本题的关键．
20．9
【分析】由双曲线定义得到，，结合勾股定理和完全平方公式得到，从而得到的面积.
【详解】不妨设为双曲线右支上一点，由题意得，
又，
因为，由勾股定理得，
故，即，
解得，故.
21．(1)
(2).
【分析】（1）先由离心率为，得到，再由，结合双曲线的渐近线，求得，联立方程组求得的值，即可求解；
（2）设直线，联立方程组得到，，得出直线的方程求得，，利用斜率公式，准确化简，即可求解.
【详解】（1）解：因为双曲线的离心率为，所以，可得，
设，则，即，
又双曲线的渐近线方程为，
所以，
又由于，则，故双曲线方程为.
（2）解：设直线，其中，，，
联立方程组，整理得，
由于，且，
所以，.
因为直线的方程为，
所以的坐标为，同理可得的坐标为，
因为，，
所以
，
即为定值.
【点睛】解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略：
1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量）；②利用条件找到过定点的曲线之间的关系，得到关于与的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；
2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.
22．证明见解析
【分析】设，，，在中，对于双曲线有，对于椭圆有，分别利用余弦定理和二倍角公式得到，从而得证.
【详解】如图所示，设，，，
则在中，对于双曲线有，
∴，
∴，即，
∴.
在中，对于椭圆有，
∴，
∴，即，
∴，
∴.
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