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高二数学（理科）
说明：1．本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟.
所有试题均在答题卡相应的区域内作答.
第I卷（选择题 共60分）
一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）
1．函数，其导函数为，则
A． B． C． D．
2. 设点，，. 若，则点的坐标为
A. B. C. D.
A． B． C． D．
4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某个零件的三视图，则这个零件的体积等于
A. B.
C. D.
5.
A. B. C. D.
6.函数的导函数等于
A. B.
C. D.
7．已知函数的导函数为的图象如图所示，则函数在区间内的极小值点的个数为
A． B． C． D．
8. 若函数有且仅有一个零点，则实数的取值范围为
A. B.
C. D.
9．在长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为
A． B． C． D．
10. 在三棱锥中，.三棱锥的所有顶点都在球的表面上，则球的半径为
A． B． C． D．
11. 函数，是函数的极大值点，则的取值范围是
A. B. C. D.
12. 已知函数，则函数的零点个数为
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
第II卷（非选择题 共90分）
注意事项： 必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指定的答题区域内作答,作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效.
二 .填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为________.
14. 已知，，且，则向量的夹角为________.
15. 若函数在上是单调增函数，则的取值范围是________.
16. 若≥，则实数的最大值为________.
三、解答题（本大题共6小题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.已知函数在处取得极大值.
（1）求的值；
（2）求曲线过点的切线方程.
18. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，M为PC中点．
（1）求证：PA∥平面MBD；
（2）若AB=AD=PA=2，求直线BM与平面AMD所成角的正弦值．
19. 函数.
（1）当时，求的极值；
（2）当时，恒成立，求实数的最大值.
20．在新冠肺炎疫情期间，口罩是必不可少的防护用品．某小型口罩生产厂家为保障抗疫需求，调整了口罩生产规模．已知该厂每月生产口罩的固定成本为1万元，每生产x万件，还需投入万元的原材料费，全部售完可获得万元，当月产量不足5万件时，；当月产量不低于5万件时，，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩当月可以全部售完．
(1)求月利润（万元）关于月产量（万件）的函数关系式，并求出月产量为3万件时，该厂这个月生产口罩所获得的利润；
(2)月产量为多少万件时，该口罩生产厂家所获得月利润最大？最大约为多少万元？（精确到） 参考数据：
21.如图，在三棱柱中，，．
(1)证明：平面平面．
(2)设P是棱的中点，求平面A1BC与平面所成锐二面角的余弦值．
22.已知函数，为的导函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，试讨论函数在上的零点个数．
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高二理科数学参考答案
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
A B B A D A A A A D A B
二、填空题
13、 14、 15、 16、
三、解答题
17、解：（1），且函数在处有极值1，
………………3分
解得 ………………5分
又当时，
在和上单调递增，在单调递减，
故在处取得极大值，满足题意.
综上，. ………………6分
（2）由（1）得，.
设切点为，则
解得 ………………10分
所以，曲线过点的切线方程为或 ………………12分
说明：求出一条切线方程得3分.
18、解：（1）连接于点，连接，
在中， ………………3分
又
所以， ………………5分
（2）以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则
………………7分
设平面的法向量为，则
，取 ………………9分
设直线与平面所成角为，则
………………11分
所以，直线与平面所成角的正弦值为． ………………12分
19、解：（1）当时，求
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
所以，的极小值为，无极大值. ………………6分
（2）当时，≥0恒成立，即≤恒成立，≤
令
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
所以，的最小值为. 故的取值范围为. ………………12分
20、解：（1）当时； ………………2分
当时， ………………4分
故月利润y关于月产量x的函数关系式为 ………………5分
当时，
故月产量为3万件时，该厂这个月生产口罩所获得的利润为7.5万元．………………6分
（2）当时，，
故当时，y取得最大值，最大值为8万元； ………………8分
当时，，．
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
故当时，y取得最大值，且． ……………11分
因为，所以当月产量约为8万件时，该口罩生产厂家所获得月利润最大，最大月利润约为8.9万元． ………………12分
21、解：（1）设，在四边形中，∵，，连接，
∴由余弦定理得，即，
∵，∴ ………………2分
又∵，∴， ………………4分
∴平面∵平面∴平面平面 ………………5分
（2）取AB中点D，连接CD，∵，∴
由（1）易知平面，且
如图，以B为原点，分别以射线BA，为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系B-xyz
则，，，，，，， ………………7分
设平面的法向量为，则
得，令，则取 ………………9分
同理可得平面A1BC的法向量， ………………10分
所以
所以平面A1BC与平面所成锐二面角的余弦值为. ………………12分
22、解：（1）函数的定义域为，
………………1 分
①当时，令得；令得. ………………2分
②当时，令得；令得.
………………3分
③当时，在恒成立. ………………4分
④当时，令得；令得.
………………5分
综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
………………6分
（2）①当时，在上单调递增，，故在上没有零点； ………………7分
②当，即时，在上单调递减，要使在上有零点，则
，解得； ………………8分
③当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
由于，.
令，
令，
则，所以在上单调递减
故，即，
所以在上单调递增，，
所以在上没有零点. ………………11分
综上所述，当时，在上有唯一零点；
当时，在上没有零点. ………………12分
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